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角平分线具有两条非常重要的性质：一是对称性；二是角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有四种：①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）；③做角平分线的垂线，与角两边构造等腰三角形；④过角平分线上的点做边的平行线。
方法一、在证明线段的和差倍分问题中，常用到的方法是延长法或截取法来证明，以此来构造三角形全等，延长短的线段，或在长的线段上截取一部分，使之等于短的线段。
但无论延长，还是截取都要证明线段的相等。
延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所要证明的目的。
例2中，用到了角平分线，用到了做垂直，利用三线合一证明边相等，利用SAS来证明三角形全等。
此题的证明，也可以在AB上截取AE=AC，先证明△ADE≌△ADC，再利用AB=2AC，得出E 是AB的中点，再利用三线合一证明DE⊥AB，所以DC⊥AC.课后专项练习一，就是利用延长或者截取法，来证明的。
题目不难，非常基础，请同学们，认真仿照例题，认真推敲，加强练习。
方法二、角平分线上的点向角两边做垂线。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。
一般来说，出现角平分线，做双垂直，都是非常通用的方法。
要么过角平线上的点做角两边的垂直，要么做角平分线的垂直交两边，都是必出三角形全等。
方法三，过角平分线上的一点，做角平分线的垂线，必然交于角的两边，构造出等腰三角形。
这个方法，在很多题型中，非常实用。
专项练习三，有两个题，需要自行画图。
只要我们一个专题一个专题的突破，把基础扎实起来，那么初中几何还难吗？初中数学还难吗？方法四、过角平分想上一点，做角的另一边的平行线。
因为角平分线有两角相等，平行线则有内错角相等，则必然出现角相等，得等腰三角形。
专题训练：常见辅助线的作法在解决平行线的问题时，当无法直接得到角的关系或是两条直线间的位置关系时，通常借助于辅助线来帮助解答，如何作辅助线需根据已知条件确定，辅助线的添加既可以产生新的条件，又能将题目中原有的条件联系在一起.一、加截线（连接两点或是延长线段相交）1、已知：如图，AB∥CD，∠ABF=∠DCE.求证：∠BFE=∠FEC.2、如图，∠BEC=95°，∠DCE=35°，则AB与CD平行吗？请说明理由.二、过“拐点”作平行线（一）“”形图3、如图，AB∥CD，P为AB,CD之间的一点，已知∠1=32°，∠2=25°，求∠BPC的度数.4、如图，已知AB∥CD，∠AMP=150°，∠PND=60°.试说明：MP⊥PN.5、如图，已知∠B=25°，∠BCD=45°，∠CDE=30°，∠E=10°，试说明AB∥EF.（二）“”形图6、如图，已知AB∥CD，请你猜想一下∠B+∠BED+∠D的度数，并说明理由.（三）“”形图7、如图，AB∥DE，则∠BCD，∠B，∠D有何关系？为什么？（四）“”形图8、已知：如图，AB∥DE，∠ABC=72°，∠CDE=140°，求∠BCD的度数.三、平行线间多折点角度问题探究9、（1）如图①中，AB∥CD，则∠E+∠G与∠B+∠F+∠D有何关系？（2）在图②中，若AB∥CD，又能得到什么结论？10、（1）如图所示，已知AB∥CD，则∠A+∠AEC+∠C=；（2）如图所示，已知AB∥CD，则∠A+∠AEC+∠EFC+∠C=；（3）如图所示，已知AB∥CD，则∠A+∠AEC+∠EFG+∠FGC+∠C=；（4）如图所示，已知AB∥CD，则∠A+∠AEC+∠EFG+…+∠C=.。
数学初三平行四边形中常做的辅助线一、平行四边形的对角线平行四边形有两条对角线，我们可以通过引入对角线来研究平行四边形的性质。
首先，我们可以证明平行四边形的对角线互相平分。
具体证明如下：设平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，连接OA、OB、OC 和OD。
由于平行四边形的两对边分别平行且相等，所以可以得到AO=CO，BO=DO。
又由于AO=CO，BO=DO，所以AOBO和CODA都是菱形。
因为菱形的对角线互相平分，所以AC和BD互相平分。
利用对角线平分的性质，我们可以得到平行四边形中很多有用的结论。
例如，当平行四边形的两对角线相等时，它是一个矩形；当平行四边形的两对角线垂直且相等时，它是一个正方形。
二、平行四边形的中位线平行四边形的中位线是连接相邻两边中点的线段。
通过引入中位线，我们可以研究平行四边形的对应边的关系。
具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的中位线互相平行且相等；2. 平行四边形的中位线平分平行四边形的面积；3. 平行四边形的中位线长度等于对应边长度的平均值。
三、平行四边形的高线平行四边形的高线是从一个顶点到与对立边垂直相交的线段。
通过引入高线，我们可以研究平行四边形的高度和底边的关系。
具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的高线互相平行；2. 平行四边形的高线长度相等；3. 平行四边形的高线长度等于底边长度乘以对应高度的比值。
四、平行四边形的角平分线平行四边形的角平分线是从一个内角的顶点到对立边上的一点并且与对立边相交的线段。
通过引入角平分线，我们可以研究平行四边形的内角之间的关系。
具体来说，我们可以得到以下结论：1. 平行四边形的角平分线互相平行；2. 平行四边形的角平分线平分对立角，即对立内角的两个角平分线相交于对立边上的一点。
五、平行四边形的中心连线平行四边形的中心连线是连接两对对边中点的线段。
通过引入中心连线，我们可以研究平行四边形的对角线之间的关系。
第3课时《四边形》（3）——梯形及梯形中常用的辅助线的作法【知识点拨】一、梯形的定义： 一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
直角梯形的定义：有一个角是直角的梯形 等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
等腰梯形判定定理：（1）同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
（2）对角线相等的梯形是等腰梯形。
[例题1]1、下列命题中，正确的个数是（ ）①如果一个梯形是轴对称图形，则它一定是等腰梯形②有两个角相等的梯形，一定是等腰梯形③一组对边平行，另一组对边相等的四边形事实上是等腰梯形④对角线相等的梯形是等腰梯形 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】：B2、已知梯形的两个对角分别是78和120，则另两个角分别为（ ） A ．78和120 B ．102和60C ．120和78 D ．60和120【答案】：Ｂ3、如图所示，在四边形ABCD 中，AD BC E ∥，是AB 的中点， 若DEC △的面积为S ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．52S B ．2S C ．74SD ．94S 【答案】：B4、已知，如图所示，在等腰梯形ABCD 中，.AD BC PA PD =∥，求证：PB PC =． 【答案】：证明：四边形ABCD 是等腰梯形．.B A D C D A ∴∠=∠ 又PA PD =，1 2..B A P C D P∴∠=∠∴∠=∠在PBA △和PCD △中，A B D C B A P C D P P A =∠=∠=，，．..P B A P C DP B P C ∴∴=△≌△12ADCPBA E BCD第3题图5、已知，如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC ＝DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。
求证（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD ＝DE 【答案】：二、梯形的中位线的性质：梯形的中位线平行于上下底边，且等于上下底边长度的和的一半。
专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法一、知识点1 •四边形的内角和与外角和定理：(1) 四边形的内角和等于360°; (彳2)四边形的外角和等于360° . 2. 多边形的内角和与外角和定理：(1) n 边形的内角和等于(n-2)180 ° ; (2) 任意多边形的外角和等于 360° . 3. 平行四边形的性质:5、和平行四边形有关的辅助线作法 (1) 利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O 是平行四边形ABCD 勺对角线AC 的中点，四边形OCD 是平行四边形•求证：OE 与AD 互相平分.例4、如图，在平行四边形ABCD 中，点E,F 在牒形，A 实上上是采用了平移请构以行四边 形.当已知中点或中线应思考这种方法•性质四边形ABCD 是平行四边形 呻判定(1) 两组对边分别平行;(2) 两组对边分别相等; (3) 两组对角分别相等;(4) 对角线互相平分； (5) 邻角互补.4、A 左行四边形判定方法的选择(2) 利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ ABC 中, E 、F 为AB 上两点, 说明：当已知条件中涉及到平行，且要求 证的结论中和平行四边形的性质有关， 可 试!通=过添加D 辅助线构造平行四BC 分别1为D, G.求证：ED+FG=AC.(3) 利用对角线互相平分构造平行四边形 例3、如图，已知 AD S^ ABC 的中线，BE 交说明：当图形中涉及到一组对边平AC 于时E ，，交可通过作平行线AE 造E 另一证BF=AC.(4) 连结对角线，把平行四边形转化成两个全等二说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行，且AE CF ,请你以F 为一个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段， 猜想并证明它和图中已有的某一条线段 相等（只需证明一条线段即可）（5） 平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例5、如右图2,在平行四边形ABCD 中，对角线BD 10，AB m ，那么m 的取值范围是（ A 、1 m 11 B 、2 m 22 C 、10 m 12 D 、5 m 6（6） 过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
中考数学几何辅助线大全及常考题型解析中考数学几何辅助线作法及常考题型解析第一部分常见辅助线做法等腰三角形:1.作底边上的高，构成两个全等的直角三角形2.作一腰上的高； 3.过底边的一个端点作底边的垂线，与另一腰的延长线相交，构成直角三角形。
梯形1.垂直于平行边2.垂直于下底，延长上底作一腰的平行线3.平行于两条斜边4.作两条垂直于下底的垂线5.延长两条斜边做成一个三角形菱形1.连接两对角2.做高平行四边形1.垂直于平行边2.作对角线——把一个平行四边形分成两个三角形3.做高——形内形外都要注意矩形1.对角线2.作垂线很简单。
无论什么题目，第一位应该考虑到题目要求，比如AB=AC+BD....这类的就是想办法作出另一条AB等长的线段，再证全等说明AC+BD=另一条AB,就好了。
还有一些关于平方的考虑勾股，A字形等。
三角形图中有角平分线，可向两边作垂线（垂线段相等）。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
解几何题时如何画辅助线①见中点引中位线，见中线延长一倍在几何题中，如果给出中点或中线，可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题。
②在比例线段证明中，常作平行线。
③对于梯形问题，常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四边形平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
平行四边形几何辅助线专题详解1 平行四边形知识框架{分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4个点的坐标平行四边形的面积{利用面积解决问题方程思想构造中位线{连接法{连接两中点知一中点，取另一中点知两中点，构双中位线倍长法{倍长垂直于角平分线的线段倍长线段 方法1 分类讨论思想分类讨论思想{动态讨论{1个点的移动2个点的移动高的位置的讨论{过点作下(上)侧边的高过点作右(左)侧边的高求平行四边形第4点坐标一、动态讨论解题技巧：点在线段的不同位置，也会造成不同的结果 （1）1个点的移动如下图，1个点C 在直线AB 上移动，会出现3种情况：①在线段AB 左侧；②在线段AB 当中；③在线段AB 右侧，具体见例1.（2）2个点的移动如下图，2个点C、D在线段AB上移动（C、D两点在AB中），会出现2种情况：①点C在点D的左侧；②点C在点D的右侧，具体见例2.例1.▱ABCD的内角∠BCD的平分线CE交射线DA于点E，若AE=3，DE=4，求▱ABCD的周长。
例2.在▱ABCD中，AD=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，求AB的长。
二、高的位置的讨论解题技巧：在平行四边形中作高，会出现2种情况：①在图形内；②在图形外。
（1）过点作下（上）侧边的高如下图，过点A作▱ABCD下侧的边CD上的高AE。
因▱ABCD倾斜方向的变化，高会存在两种情况，具体见例1（2）过点右（左）侧边的高如下图，过点B作▱ABCD的右侧边AD上的高AE。
因▱ABCD倾斜大小的变化，高会存在两种情况，具体见例2上述两种情况实质是同一种情况经过翻折后得到的，为同一种情况。
例1.在面积为15的平行四边形ABCD中，过点A作AE垂直于直线BC于点E，若AB=5，BC=6，求CE的值。
例2.在▱ABCD中，AD=BD=4，BE是AD边上的高，∠EBD=30°，求△ABD的面积。
辅助线的作法正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法： 方法一：从已知出发作出辅助线：例1．已知：在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与AC 的交点，求证：AF=FC 21分析：题设中含有D 是BC 中点，E 是AD 中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密 切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：（1）过D 点作DN ∥CA ，交BF 于N ，可得N 为BF 中点，由中位线定理得DN=FC 21，再证△AEF ≌△DEN ，则有AF=DN ，进而有AF=FC 21（2）过D 点作DM ∥BF ，交AC 于M ，可得FM=CM ，FM=AF ，则有AF=FC 21方法二：分析结论，作出辅助线例2：如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径， 求证：AB ·AC=AE ·AD分析：要证AB ·AC=AE ·AD ，需证ACAEAD AB =（或AC AD AE AB =），需证△ABE ∽△ADC （或△ABD ∽△AEC ）， 这就需要连结BE （或CE ），形成所需要的三角形，同时得∠ABE=∠ADC=900(或∠ADB=∠ACE=900)又∠E=∠C （或∠B=∠E ） 因而得证。
方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线例3：过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ； 求证：AE ∶ED=2AF ∶FB分析：已知D 是BC 中点，那么在 三角形中可过中点作平行线得中位线；若要出现结论中的AE ∶ED ，则应有一条与EF 平行的直线。
所以，过D 点作DM ∥EF 交AB 于M ，可得FMAFFM AF ED AE 22==，再证BF=2FM 即可。
方法四：找出辅助线的一般规律，将对证题时能准确地作出所需辅助线有很大帮助。
一、和平行四边形有关的辅助线作法1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1 如图1，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形. 求证:OE与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.2．利用两组对边平行构造平行四边形例2 如图2，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证:ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问题.3．利用对角线互相平分构造平行四边形例3 如图3，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.图3 图4说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.二、和菱形有关的辅助线的作法和菱形有关的辅助线的作法主要是连接菱形的对角线，借助菱形的判定定理或性质定定理解决问题.例4 如图5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE=AC，EF//BC交AD于点F，求证：四边形CDEF是菱形.例5 如图6，四边形ABCD是菱形，E为边AB上一个定点，F是AC上一个动点，求证EF+BF 的最小值等于DE长.图6说明：菱形是一种特殊的平行四边形，和菱形的有关证明题或计算题作辅助线的不是很多，常见的几种辅助线的方法有：（1）作菱形的高；（2）连结菱形的对角线.三、 与矩形有辅助线作法和矩形有关的题型一般有两种：（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.和矩形有关的试题的辅助线的作法较少.例6 如图7，已知矩形ABCD 内一点，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD 的长.图7四、与正方形有关辅助线的作法正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.例7如图8，过正方形ABCD 的顶点B 作BE//AC ，且AE=AC ，又CF//AE.求证：∠BCF=21∠AEB.说明：本题是一道综合题，既涉及正方形的性质，又涉及到菱形的性质.通过连接正方形的对角线构造正方形AHBO ，进一步得到菱形，借助菱形的性质解决问题.与中点有关的辅助线作法一、有中线时可倍长中线，构造全等三角形或平行四边形．例1．已知：如图，AD 为ABC ∆中线，求证：AD AC AB 2>+.类题1．已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AE=EF.求证：BF=AC.二、有以线段中点为端点的线段时，常加倍此线段，构造全等三角形或平行四边形. 例2．已知：如图，在ABC ∆中，︒=∠90C ，M 为AB 中点，P 、Q 分别在AC 、BC 上，且QM PM ⊥于M.求证：222BQ AP PQ +=.类题2．已知：ABC ∆的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.三、有中点时，可连结中位线．例3．如图，ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 上点，且BD=CE ，M 、N 为BE 、CD 中点，连MNCCM交AB 、AC 于P 、Q ，求证：AP=AQ ．类题3．已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：()CD AB EF ->21.类题4．如图，ABC ∆中，AD 是高，CE 为中线，CE DG ⊥，G 为垂足，DC=BE.求证：（1）G 是CE 的中点；（2）BCE B ∠=∠2.四、有底边中点，连中线，利用等腰三角形“三线合一”性质证题例4．已知：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90BAC ，AB=AC ，D 为BC 边中点，P 为BC上一A D P BCQ EM NAD FE BC点，AB PF ⊥于F ，AC PE ⊥于E.求证：DF=DE.类题5．已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点，求证：FD BF ⊥.六、与梯形中点有关的辅助线：有腰中点时，常见以下三种引辅助线法例5．已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC AB ⊥，M 为CD 的中点.求证：AM=MB.类题6．已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 为BC 中点，AD EF ⊥于F.求证：F （1）B （2）G B（3）AAD EF S ABCD ⋅=梯形.【作业】1、 已知△ABC 和△DBE 为等腰直角三角形，∠ABC=∠DBE=90°，A 、B 、D 在同一直线上，M 、N 、P 分别是AD 、AC 、DE 边上的中点，试说明MP 与MN 的关系并证明。
专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法一、知识点1．四边形的角和与外角和定理：（1）四边形的角和等于360°；（2）四边形的外角和等于360°.2．多边形的角和与外角和定理：（1）n边形的角和等于(n-2)180°；（2）任意多边形的外角和等于360°.3．平行四边形的性质：四边形ABCD是平行四边形⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧.54321）邻角互补（）对角线互相平分；（）两组对角分别相等；（）两组对边分别相等；（）两组对边分别平行；（4、平行四边形判定方法的选择5、和平行四边形有关的辅助线作法（1）利用一组对边平行且相等构造平行四边形例1、如图，已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点，四边形OCDE是平行四边形.求证: OE与AD互相平分.AB CD1234AB CDA BDOC性质判定说明：当已知条件中涉及到平行，且要求证的结论中和平行四边形的性质有关，可试通过添加辅助线构造平行四边形.（2）利用两组对边平行构造平行四边形例2、如图，在△ABC中，E、F为AB上两点，AE=BF，ED//AC，FG//AC交BC分别为D，G.求证: ED+FG=AC.说明：当图形中涉及到一组对边平行时，可通过作平行线构造另一组对边平行，得到平行四边形解决问（3）利用对角线互相平分构造平行四边形例3、如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求证BF=AC.说明：本题通过利用对角线互相平分构造平行四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边形.当已知中点或中线应思考这种方法.（4）连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例4、如图，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）（5）平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例5、如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值围是（ ）A 、111<<mB 、222<<mC 、1210<<mD 、65<<m（6）过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
例6、已知：如图，四边形ABCD 为平行四边形求证：222222DA CD BC AB BD AC +++=+图2图1OOECCADAB D EF图2OECD 321图图3PEDCAB（7）延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。
例7、已知：如右上图4，在正方形ABCD 中，F E ,分别是CD 、DA 的中点，BE 与CF 交于P 点，求证：AB AP =二、课堂练习：1、如图，E 是平行四边形ABCD 的边AB 的中点，AC 与DE 相交于点F ，若平行四边形ABCD 的面积为S ，则图中面积为S 21的三角形有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个 ___________四边形．3、如图，AD ，BC 垂直相交于点O ，AB ∥CD ，BC=8，AD=6， 则AB+CD 的长=___________。
4、已知等边三角形ABC 的边长为a ， P 是△ABC 一点，PD ∥AB ，PE ∥BC ，PF ∥AC ，点D 、E 、F 分别在 BC 、AC 、AB 上，猜想：PD ＋PE+PF=______，并证明你的猜想．5、平行四边形ABCD 中，H F G E ,,,分别是四条边上的点，且DH BC CF AE ==,,321图4KPF EDCBA试说明：EF 与GH 相互平分．6、如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于O ，E 、F 分别为OB 、OD 的中点，过O 任作一直线分别交AB 、CD 于G 、H ． 试说明：GF ∥EH ．7、如图，已知AC AB =，B 是AD 的中点，E 是AB 的中点． 试说明：CE CD 2=8、如图，E 是梯形ABCD 腰DC 的中点．试说明：ABCD ABE S S 梯形21=∆BDE9、已知六边形ABCDEF的6个角均为120°，CD＝2cm，BC＝8cm，AB＝8cm，AF=5cm，试求此六边形的周长．10、已知ABC∆是等腰三角形，AB=AC，D是BC边上的任一点，且,DE⊥AB DF⊥⊥,，垂足分别为E、F、H，ACCHAB求证：CH+DE=DF11、已知：在ABCRt∆中，DEAB=；在ADERt∆中，BCAD=；连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，求证：DMBM⊥；BM=且DM（2）如果将图8-①中的ADE∆绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．MD BACE答案：例4、⑴ 连结BF ⑵DE BF =⑶ 证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==,∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE = ∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =例5、解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中, 12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==∴101221012+<<-m ，即2222<<m 解得111<<m 故选A 例6、证明：过D A ,分别作BC AE ⊥于点E ，BC DF ⊥的延长线于点F∴BC BE BC AB BE BC BE AB CE AE AC ⋅-+=-+-=+=2)(22222222 CF BC BC CD CF BC CF CD BF DF BD ⋅++=++-=+=2)()(22222222图①图-②MDBA CE则BE BC CF BC DA CD BC AB BD AC ⋅-⋅++++=+22222222 ∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴AB ∥CD 且CD AB =,BC AD = ∴DCF ABC ∠=∠ ∵090=∠=∠DFC AEB ∴DCF ABE ∆≅∆ ∴CF BE = ∴222222DA CD BC AB BD AC +++=+ 例7、证明：延长CF 交BA 的延长线于点K∵四边形ABCD 为正方形∴AB ∥CD 且CD AB =,AD CD =,090=∠=∠=∠D BCD BAD∴K ∠=∠1 又∵090=∠=∠DAK D ,AF DF = ∴CDF ∆≌KAF ∆ ∴AB CD AK == ∵AD DF CD CE 21,21==∴DF CE = ∵090=∠=∠D BCD ∴BCE ∆≌CDF ∆ ∴21∠=∠ ∵09031=∠+∠ ∴09032=∠+∠ ∴090=∠CPB ,则090=∠KPB ∴AB AP =二、课堂练习1、 C2、平行3、104、a5、分析：观察图形，EF 与HG 为四边形HEGF 的对角线，若能说明四边形HEGF 是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到EF 与GH 相互平分。
6、分析：观察图形，GF 与EH 为四边形GEHF 的对边，若能说明四边形EHFG 是平行四边形，平行四边形具有对边平行的性质可得GF ∥EH ．7、分析：延长CE 至F ，使EF ＝CE ，连结AF 、BF ，得四边形AFBC 是平行四边形，利用平行四边形的性质证明△DBC ≌△FBC 即可。
8、分析：过点E 作MN ∥AB ，交BC 于N ，交AD 的延长线于M ，则四边形ABNM 是平行四边形，△ABE 与四边形ABNM 等底等高，所以S △ABE ＝21S 平行四边形ABNM ，接下来说明 S 梯形ABCD ＝S 平行四边形ABNM 即可。
9、10、 证明：过D 点作DG ⊥CH 于G 又DE ⊥AB 于E ，CH ⊥AB 于H∴四边形DGHE 为矩形 ∴DE ＝GH EH ∥DG ∴∠B ＝∠GDC又AB ＝AC ∴∠B ＝∠ACB ∴∠GDC ＝∠ACB又∠DGC ＝∠DFC ＝90° CD ＝DC （公共边） ∴△CDG ≌△DCF （AAS ） ∴DF ＝CG又CH＝CG＋GH∴CH＝DF＋DG（等量代换）11、平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。
（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。
例1如左下图1，在平行四边形ABCD 中，点F E ,在对角线AC 上，且CF AE =,请你以F 为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需证明一条线段即可）⑴连结BF ⑵DE BF =⑶证明：连结DF DB ,,设AC DB ,交于点O∵四边形ABCD 为平行四边形 ∴OB DO OC AO ==,∵FC AE = ∴FC OC AE AO -=- 即OF OE =∴四边形EBFD 为平行四边形 ∴DE BF =图2图1E CAAB第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。
例2如右图2，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果12=AC ， 10=BD ，m AB =，那么m 的取值围是（ ）A 111<<mB 222<<mC 1210<<mD 65<<m解：将线段DB 沿DC 方向平移，使得CE DB =,BE DC =,则有四边形CDBE 为平行四边形,∵在ACE ∆中, 12=AC ,10==BD CE ,m AB AE 22==∴101221012+<<-m ，即2222<<m 解得111<<m 故选A第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。
