2018届高考理科数学第二轮限时规范训练14

[限时规范训练] 单独成册A 组——高考热点强化练一、选择题 1．(log 32－log 318)÷＝( )A ．－32 B ．－6 C.32D ．6 解析：原式＝(log 32－log 318)÷＝log 3218÷＝log 319÷3＝－2÷13＝－6，故选B.答案：B2．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝ln(x 2－2x －8)的单调递增区间是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－∞，1) C ．(1，＋∞)D ．(4，＋∞)解析：由x 2－2x －8＞0，得x ＞4或x ＜－2. 设t ＝x 2－2x －8，则y ＝ln t 为增函数．要求函数f (x )的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间． ∵函数t ＝x 2－2x －8的单调递增区间为(4，＋∞)， ∴函数f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D. 答案：D3．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则log 2f (2)的值为( )A.12 B ．－12 C ．－1D ．1解析：由幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，α＝12，则幂函数f (x )＝x 12，∴f (2)＝，∴log 2f (2)＝12.故选A.答案：A4．(2016·高考北京卷)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0 B ．sin x －sin y >0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y <0 D ．ln x ＋ln y >0解析：利用函数的单调性进行判断．A ．考查的是反比例函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以1x －1y <0，所以A 错误；B.考查的是三角函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上的单调性，y ＝sin x 在(0，＋∞)上不是单调的，所以不一定有sin x >sin y ，所以B 错误；C.考查的是指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上单调递减，因为x >y >0，所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，所以C 正确；D.考查的是对数函数y ＝ln x 的性质，ln x ＋ln y＝ln xy ，当x >y >0时，xy >0，不一定有ln xy >0，所以D 错误． 答案：C5．函数f (x )＝ln x ＋x －12，则其零点所在区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 D ．(1,2)解析：∵函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上是连续的，且函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上是增函数，∴函数f (x )＝ln x ＋x －12在(0，＋∞)上至多只有一个零点．又由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝ln 34＋14＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫344e <ln 1＝0，f (1)＝12>0，所以函数的零点所在区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1，故选C.答案：C6．已知函数f (x )＝ln x －2[x ]＋3，其中[x ]表示不大于x 的最大整数(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，则函数f (x )的零点个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：设g (x )＝ln x ，h (x )＝2[x ]－3，当0＜x ＜1时，h (x )＝－3，作出图象(图略)，两函数有一个交点即一个零点；当2≤x ＜3时，h (x )＝1，ln 2≤g (x )＜ln 3，此时两函数有一交点，即有一零点，共2个零点． 答案：B7．(2017·唐山模拟)若函数f (x )＝x lg(mx ＋x 2＋1)为偶函数，则m ＝( ) A ．－1B ．1C ．－1或1D ．0解析：因为函数f (x )为偶函数，则x lg(mx ＋x 2＋1)＝－x lg(－mx ＋x 2＋1)，即mx ＋x 2＋1＝1－mx ＋x 2＋1，整理得x 2＝m 2x 2，所以m 2＝1，所以m ＝±1，故选C. 答案：C8．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( ) A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3]D ．(1,3)解析：由题意可知，f (x )＝e x －1>－1，g (x )＝－x 2＋4x －3＝－(x －2)2＋1≤1.若f (a )＝g (b )，则g (b )∈(－1,1]，即－b 2＋4b －3>－1.解得2－2<b <2＋ 2. 答案：B9．函数f (x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(1,2) C ．(0,3)D ．(0,2)解析：因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3，故选C. 答案：C10．若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过14，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝4x －1 B ．f (x )＝(x －1)2 C ．f (x )＝e x－1D ．f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12解析：g (x )＝4x ＋2x －2在R 上连续，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝2＋12－2<0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋1－2>0.设g (x )＝4x ＋2x －2的零点为x 0，则14<x 0<12.f (x )＝4x －1的零点为x ＝14，f (x )＝(x －1)2的零点为x ＝1， f (x )＝e x －1的零点为x ＝0，f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12的零点为x ＝32.∵0<x 0－14<14，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 0－14<14.故选A.答案：A11．已知a >0且a ≠1，若函数f (x )＝log a (ax 2－x )在[3,4]上是增函数，则a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14∪(1，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，14∪(1，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，14 解析：f (x )的定义域为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞，因而1a <3，所以12a <32.此时t ＝ax 2－x 在[3,4]上为增函数，故需y ＝log a t 为增函数，所以a >1.故选A. 答案：A12．(2017·广西模拟)若关于x 的方程2x 3－3x 2＋a ＝0在区间[－2,2]上仅有一个实根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－4,0]∪[1,28) B ．[－4,28] C ．[－4,0)∪(1,28]D ．(－4,28)解析：设函数f (x )＝2x 3－3x 2＋a ，f ′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，x ∈[－2,2]．令f ′(x )>0，则x ∈[－2,0)∪(1,2]，令f ′(x )<0，则x ∈(0,1)，∴f (x )在(0,1)上单调递减，在[－2,0)，(1,2]上单调递增，又f (－2)＝－28＋a ，f (0)＝a ，f (1)＝－1＋a ，f (2)＝4＋a ，∴－28＋a ≤0<－1＋a 或a <0≤4＋a ，即a ∈[－4,0)∪(1,28]． 答案：C 二、填空题13．已知函数f (x )＝a log 2x ＋b log 3x ＋2 016，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＝4，则f (2 017)＝________.解析：设F (x )＝f (x )－2 016，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝a log 21x ＋b log 31x ＝－(a log 2x ＋b log 3x )＝－F (x )，所以F (2 017)＝－F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 017＝－(4－2 016)＝2 012，f (2 017)＝F (2 017)＋2 016＝4 028. 答案：4 02814．(2017·枣庄模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.40－y40，解得y 解析：设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S max ＝400. 答案：2015．某生产厂商更新设备，已知在未来x (x >0)年内，此设备所花费的各种费用总和y (万元)与x 满足函数关系y ＝4x 2＋64，欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为________． 解析：y x ＝4x ＋64x ≥24x ·64x ＝32，当且仅当4x ＝64x，即x ＝4时等号成立．答案：416．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析：若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，即y ＝f (x )与y ＝m 有3个不同的交点，作出f (x )的图象和y ＝m 的图象，可得出m 的取值范围是[0,1)．答案：[0,1)B 组——12＋4高考提速练一、选择题1．已知a ，b ∈R ，则“log 3a >log 3b ”是“⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由log 3a >log 3b ，得a >b ，从而⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，故为充分条件；又由⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ，得a >b ，但当a <0，b <0时，log 3a ，log 3b 无意义，因此不是必要条件．故选A. 答案：A2．(2017·高考北京卷)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080，则下列各数中与MN 最接近的是( ) (参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033 B ．1053 C ．1073D ．1093解析：由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80 lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28. 又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与MN 最接近的是1093. 故选D. 答案：D3．(2017·甘肃模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( )A.14 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋log25 C.12D.120解析：∵2<log 25<3，∴3<1＋log 25<4，则4<2＋log 25<5，则f (1＋log 25)＝f (1＋1＋log 25)＝f (2＋log 25)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋log 25＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 25＝14×15＝120，故选D. 答案：D4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A ．f (x )在(0,2)单调递增 B ．f (x )在(0,2)单调递减C ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称 解析：f (x )的定义域为(0,2)．f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝ln[x (2－x )]＝ln(－x 2＋2x )．设u ＝－x 2＋2x ，x ∈(0,2)，则u ＝－x 2＋2x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． 又y ＝ln u 在其定义域上单调递增，∴f (x )＝ln(－x 2＋2x )在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减． ∴选项A ，B 错误．∵f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴选项C 正确．∵f (2－x )＋f (x )＝[ln(2－x )＋ln x ]＋[ln x ＋ln(2－x )]＝2[ln x ＋ln(2－x )]，不恒为0， ∴f (x )的图象不关于点(1,0)对称，∴选项D 错误． 故选C. 答案：C5．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( ) A ．－1 B ．2 C ．3D ．－1或2解析：由题知⎩⎨⎧m 2－m －1＝1，m >0，解得m ＝2.故选B.答案：B6．已知对任意的a ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 的值总大于0，则x 的取值范围是( ) A ．(1,3) B ．(－∞，1)∪(3，＋∞) C ．(1,2)D ．(－∞，2)∪(3，＋∞)解析：x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4.令g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由题知，当a ∈[－1,1]时，g (a )>0恒成立，则须⎩⎨⎧g (－1)>0，g (1)>0，即⎩⎨⎧x 2－5x ＋6>0，x 2－3x ＋2>0，解得x <1或x >3.故选B. 答案：B7．直线y ＝x 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－1,2) B ．[－1,2] C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：根据题意，直线y ＝x 与射线y ＝2(x >m )有一个交点A (2,2)，并且与抛物线y ＝x 2＋4x ＋2在(－∞，m ]上有两个交点B ，C .由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x 2＋4x ＋2，解得B (－1，－1)，C (－2，－2)．∵抛物线y ＝x 2＋4x ＋2在(－∞，m ]上的部分必须包含B ，C 两点，且点A (2,2)一定在射线y ＝2(x >m )上，才能使y ＝f (x )图象与y ＝x 有3个交点，∴实数m 的取值范围是－1≤m <2，故选A.答案：A8．(2017·高考天津卷)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：∵f (x )在R 上是奇函数，∴a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 215＝f (log 25)．又f (x )在R 上是增函数，且log 25＞log 24.1＞log 24＝2＞20.8， ∴f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.8)，∴a ＞b ＞c . 故选C. 答案：C9．某种动物繁殖量y 只与时间x 年的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到( ) A ．200只 B ．300只 C ．400只D ．500只解析：∵繁殖数量y 只与时间x 年的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，这种动物第2年有100只， ∴100＝a log 3(2＋1)，∴a ＝100， ∴y ＝100log 3(x ＋1)，∴当x ＝8时，y ＝100log 3(8＋1)＝100×2＝200.故选A. 答案：A10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤0，x 2－2x ＋1，x >0，若关于x 的方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的实数解，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2)D ．(0,3)解析：设t ＝f (x )，则方程为t 2－at ＝0，解得t ＝0或t ＝a ，即f (x )＝0或f (x )＝a .如图所示，作出函数f (x )的图象，由函数图象，可知f (x )＝0的解有2个，故要使方程f 2(x )－af (x )＝0恰有5个不同的解，则方程f (x )＝a 的解必有3个，此时0<a <1，故选A.答案：A11．(2017·高考山东卷)已知当x ∈[0,1]时，函数y ＝(mx －1)2的图象与y ＝x ＋m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[23，＋∞) B ．(0,1]∪[3，＋∞) C ．(0，2]∪[23，＋∞) D ．(0，2]∪[3，＋∞)解析：在同一直角坐标系中，分别作出函数f (x )＝(mx －1)2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1m 2与g (x )＝x ＋m 的大致图象． 分两种情形：(1)当0＜m ≤1时，1m ≥1，如图①，当x ∈[0,1]时，f (x )与g (x )的图象有一个交点，符合题意；(2)当m ＞1时，0＜1m ＜1，如图②，要使f (x )与g (x )的图象在[0,1]上只有一个交点，只需g (1)≤f (1)，即1＋m ≤(m －1)2，解得m ≥3或m ≤0(舍去)． 综上所述，m ∈(0,1]∪[3，＋∞)． 故选B. 答案：B12．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( ) A ．－12 B.13 C.12D ．1解析：法一：f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝(x －1)2＋a [e x －1＋e －(x －1)]－1， 令t ＝x －1，则g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋a (e t ＋e －t )－1. ∵g (－t )＝(－t )2＋a (e －t ＋e t )－1＝g (t )， ∴函数g (t )为偶函数．∵f (x )有唯一零点，∴g (t )也有唯一零点． 又g (t )为偶函数，由偶函数的性质知g (0)＝0， ∴2a －1＝0，解得a ＝12. 故选C.法二：f (x )＝0⇔a (e x －1＋e －x ＋1)＝－x 2＋2x . e x －1＋e －x ＋1≥2e x －1·e －x ＋1＝2， 当且仅当x ＝1时取“＝”．－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1≤1，当且仅当x ＝1时取“＝”． 若a ＞0，则a (e x －1＋e －x ＋1)≥2a ，要使f (x )有唯一零点，则必有2a ＝1，则a ＝12. 若a ≤0，则f (x )的零点不唯一． 故选C. 答案：C 二、填空题13．(2017·西安八校联考)已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为________．解析：函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x 的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x 有2个零点．答案：214．已知x ∈R ，若f (x )＝⎩⎨⎧2sin x ，0≤x ≤π，x 2，x <0，则方程f (x )＝1的所有解之和等于________．解析：f (x )＝⎩⎨⎧ 2sin x ，0≤x ≤π，x 2，x <0⇔⎩⎨⎧ 0≤x ≤π，2sin x ＝1或⎩⎨⎧x <0，x 2＝1.解得x ＝π6或x ＝5π6或x ＝－1，则其所有解的和为π－1. 答案：π－115．如图所示，在第一象限内，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22x ，y ＝x 12，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 的图象上，且矩形的边分别平行两坐标轴．若点A 的纵坐标是2，则点D 的坐标是________．解析：由2＝log 22x 得点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，由2＝x 12得点B (4,2)．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫324＝916，即点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，916，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，916.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，916 16．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，则实数a 的取值范围为________．解析：∵函数f (x )＝(x －a )2＋5－a 2在(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2，|a －1|≥|(a ＋1)－a |＝1，因此要使x 1，x 2∈[1，a ＋1]时，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，只要|f (a )－f (1)|≤4即可，即|(a 2－2a 2＋5)－(1－2a ＋5)|＝(a －1)2≤4，解得－1≤a ≤3.又∵a ≥2，∴2≤a ≤3.答案：[2,3]。

[限时规范训练] 单独成册 一、选择题1．(2017·高考浙江卷)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( ) A.133 B.53 C.23D.59解析：∵椭圆方程为x 29＋y 24＝1， ∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴e ＝c a ＝53. 故选B. 答案：B2．(2017·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，△OAF 是边长为2的等边三角形(O 为原点)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 2＝1D ．x 2－y 23＝1解析：根据题意画出草图如图所示⎝⎛不妨设点A⎭⎪⎫在渐近线y ＝b a x 上.由△AOF 是边长为2的等边三角形得到∠AOF ＝60°，c ＝|OF |＝2. 又点A 在双曲线的渐近线y ＝b a x 上，∴ba ＝tan 60°＝ 3. 又a 2＋b 2＝4，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y23＝1. 故选D. 答案：D3．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y 23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1解析：由y ＝52x 可得b a ＝52.①由椭圆x 212＋y 23＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)， 可得a 2＋b 2＝9.② 由①②可得a 2＝4，b 2＝5. 所以C 的方程为x 24－y 25＝1. 故选B. 答案：B4．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( ) A ．(1，5) B ．(1，5] C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a >2，∴e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2>1＋4＝ 5.答案：C5．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点， PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( ) A.36 B.13 C.12D.33解析：在Rt △PF 2F 1中，令|PF 2|＝1，因为∠PF 1F 2＝30°，所以|PF 1|＝2，|F 1F 2|＝ 3.所以e ＝2c2a ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝33.故选D.答案：D6．(2017·高考天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，离心率为 2.若经过F 和P (0，4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 24＝1 B.x 28－y 28＝1 C.x 24－y 28＝1D.x 28－y 24＝1解析：由题意可得ca ＝2，即c ＝2a . 又左焦点F (－c,0)，P (0,4)， 则直线PF 的方程为y －04－0＝x ＋c0＋c ，化简即得y ＝4c x ＋4.结合已知条件和图象易知直线PF 与y ＝ba x 平行， 则4c ＝ba ，即4a ＝bc .故⎩⎨⎧c ＝2a ，4a ＝bc ，a 2＋b 2＝c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝8，b 2＝8，故双曲线方程为x 28－y 28＝1. 故选B. 答案：B7．设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( )A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1)解析：设直线AB 与抛物线的准线x ＝－1交于点C .分别过A 、B 作AA 1垂直准线于A 1，BB 1垂直准线于B 1，由抛物线的定义可设|BF |＝|BB 1|＝t ，|AF |＝|AA 1|＝3t .由三角形的相似得|BC ||AB |＝|BC |4t ＝12，∴|BC |＝2t ， ∴∠B 1CB ＝π6，∴直线的倾斜角α＝π3或23π.又F (1,0)，∴直线AB 的方程为y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1)．故选C.答案：C8．(2017·高考全国卷Ⅱ)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，且斜率为3的直线交C 于点M (M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上，且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为( ) A. 5 B ．2 2 C ．2 3D ．3 3解析：抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF 的方程为y ＝3(x －1)． 联立得方程组 ⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝－233或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2 3.∵点M 在x 轴的上方， ∴M (3,23)． ∵MN ⊥l ， ∴N (－1,23)．∴|NF |＝(1＋1)2＋(0－23)2＝4， |MF |＝|MN |＝(3＋1)2＋(23－23)2＝4.∴△MNF 是边长为4的等边三角形． ∴点M 到直线NF 的距离为2 3. 故选C. 答案：C 二、填空题9．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________.解析：对椭圆的焦点位置进行讨论．由椭圆的焦距为4得c ＝2，当2<a <6时，椭圆的焦点在x 轴上，则10－a －(a －2)＝4，解得a ＝4；当6<a <10时，椭圆的焦点在y 轴上，则a －2－(10－a )＝4，解得a ＝8.故a ＝4或a ＝8. 答案：4或810．(2017·山西四校联考)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，则弦长|AB |为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易得抛物线的焦点是F (1,0)，所以直线AB 的方程是y ＝x －1，联立⎩⎨⎧y 2＝4x ，y ＝x －1，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，所以x 1＋x 2＝6，所以|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝6＋2＝8. 答案：811．已知抛物线y 2＝8x 的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为____________．解析：由抛物线y 2＝8x 可知准线方程为x ＝－2，所以双曲线的左焦点为(－2,0)，即c ＝2；又因为双曲线的离心率为2，所以e ＝ca ＝2，故a ＝1，由a 2＋b 2＝c 2知b 2＝3，所以该双曲线的方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝112．(2016·高考山东卷)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________． 解析：由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c,2b 2＝3ac ，2b 2a 2＝3e,2(e 2－1)＝3e,2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2，或e＝－12(舍去)． 答案：2 三、解答题13．已知点M (6，2)在椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，且椭圆的离心率为63. (1)求椭圆C 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△P AB 的面积．解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧6a 2＋2b 2＝1，c a ＝63，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a 2＝12，b 2＝4.故椭圆C 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为D (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1，消去y ，整理得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0，则x 0＝x 1＋x 22＝－34m ，y 0＝x 0＋m ＝14m ， 即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34m ，14m .因为AB 是等腰三角形P AB 的底边，所以PD ⊥AB ，即PD 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2. 此时x 1＋x 2＝－3，x 1x 2＝0，则|AB |＝2|x 1－x 2|＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝32，又点P 到直线l ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝32， 所以△P AB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝92.14．已知P 是圆C ：x 2＋y 2＝4上的动点，P 在x 轴上的射影为P ′，点M 满足PM →＝MP →′，当P在圆C 上运动时，点M 形成的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程；(2)经过点A (0,2)的直线l 与曲线E 相交于点C ，D ，并且AC →＝35AD →，求直线l 的方程． 解析：(1)设M (x ，y )，则P (x,2y )在圆C ：x 2＋y 2＝4上．所以x 2＋4y 2＝4，即曲线E 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)经检验，当直线l ⊥x 轴时，题目条件不成立，所以直线l 的斜率存在．设直线l ：y ＝kx ＋2，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2⇒(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0.Δ＝(16k )2－4(1＋4k 2)·12>0，得k 2>34. x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2， ①x 1x 2＝121＋4k 2. ②又由AC →＝35AD →，得x 1＝35x 2，将它代入①，②得k 2＝1，k ＝±1(满足k 2>34)． 所以直线l 的斜率为k ＝±1. 所以直线l 的方程为y ＝±x ＋2.15．(2017·江西师大附中期末)已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点F (1,0)，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . (1)证明：点F 在直线BD 上；(2)设F A →·FB →＝89，求△BDK 内切圆M 的方程．解析：(1)证明：由题可知K (－1,0)，抛物线的方程为y 2＝4x ，则可设直线l 的方程为x ＝my －1， A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 1，－y 1)，故⎩⎨⎧ x ＝my －1，y 2＝4x 整理得y 2－4my ＋4＝0，故⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4， 则直线BD 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)，即y －y 2＝4y 2－y 1⎝⎛⎭⎪⎫x －y 224， 令y ＝0，得x ＝y 1y 24＝1，所以F (1,0)在直线BD 上． (2)由(1)可知⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝4，所以x 1＋x 2＝(my 1－1)＋(my 2－1)＝4m 2－2， x 1x 2＝(my 1－1)(my 2－1)＝1，又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，故F A →·FB →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋5＝8－4m 2， 则8－4m 2＝89，∴m ＝±43，故直线l 的方程为3x ＋4y ＋3＝0或3x －4y ＋3＝0， y 2－y 1＝±(y 2＋y 1)2－4y 1y 2＝±16m 2－16＝±473， 故直线BD 的方程为3x ＋7y －3＝0或3x －7y －3＝0， 又KF 为∠BKD 的平分线， 故可设圆心M (t,0)(－1<t <1)， M (t,0)到直线l 及BD 的距离分别为3|t ＋1|5，3|t －1|4，由3|t ＋1|5＝3|t －1|4得t ＝19或t ＝9(舍去)． 故圆M 的半径为r ＝3|t ＋1|5＝23，所以圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －192＋y 2＝49.【…、￥。

限时规范训练九 三角恒等变换与解三角形限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分) 1．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则sin αcos α＝( )A ．－34B ．－310C ．－43D.43解析：选B.解法一：由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，得2(sin α＋cos α)＝sin α－cos α，即tan α＝－3.又sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－310，故选B. 解法二：由题意得1＋2sin αcos α1－2sin αcos α＝14，即4＋8sin αcos α＝1－2sin αcos α ∴10sin αcos α＝－3 即sin αcos α＝－310，故选B.2．已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6，1，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝( ) A ．－34B ．－14C.34 D.14解析：选B.∵a ⊥b ，∴a·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－ 3 ＝43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14. 3．在△ABC 中，若3cos 2A －B2＋5sin2A ＋B2＝4，则tan A ·tan B ＝( )A ．4B.14C ．－4D ．－14解析：选B.由条件得3×cos A －B ＋12＋5×cos C ＋12＝4，即3cos(A －B )＋5cos C ＝0，所以3cos(A －B )－5cos(A ＋B )＝0，所以3cos A cos B ＋3sin A sin B －5cos A cos B ＋5sin A sinB ＝0，即cos A cos B ＝4sin A sin B ，所以tan A ·tan B ＝sin A sin B cos A cos B ＝14.4．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝13，则cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α的值是( ) A.79 B.13 C ．－13D ．－79解析：选D.cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α－1＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α－1＝2×19－1＝－79.5．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( )A.32B.34C.36D.38解析：选B.由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝π3，所以△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．已知△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，若a ＝1，3c －2b ＝1，则角B 为( )A.π4B.π6C.π3D.π12解析：选B.因为a cos C ＋32c ＝b ，所以sin A cos C ＋32·sin C ＝sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ，所以32sin C ＝cos A sin C ，因为sin C ≠0，所以cos A ＝32，因为A 为△ABC 的内角，所以A ＝π6，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，知1＝b 2＋c 2－3bc ，联立⎩⎨⎧1＝b 2＋c 2－3bc ，3c －2b ＝1，解得c ＝3，b ＝1，由a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa ＝1×121＝12，∵b ＜c ，∴B ＜C ，则B ＝π6，故选B. 二、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为334，a ＝3，B ＝π3，则b ＝________.解析：由题意可得S ＝12ac sin B ，解得c ＝1，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－3＝7，故b ＝7.答案：78．已知tan(3π－x )＝2，则2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝________.解析：∵tan(3π－x )＝tan(π－x )＝－tan x ＝2，故tan x ＝－2. 所以2cos 2x2－sin x －1sin x ＋cos x ＝cos x －sin x sin x ＋cos x ＝1－tan xtan x ＋1＝－3.答案：－39．已知π2＜β＜α＜3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，则sin α＋cos α的值为________．解析：由π2＜β＜α＜3π4知π＜α＋β＜3π2，⎩⎪⎨⎪⎧－3π4＜－β＜－π2π2＜α＜3π4⇒⎩⎪⎨⎪⎧－π4＜α－β＜π4α－β＞0⇒0＜α－β＜π4.根据已知得sin(α－β)＝513，cos(α＋β)＝－45，所以sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝－35×1213＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×513＝－5665，所以(sinα＋cos α)2＝1＋sin 2α＝1－5665＝965.因为π2＜α＜3π4，所以sin α＋cos α＞0，所以sin α＋cos α＝36565.答案：36565三、解答题(本题共3小题，每小题12分，共36分)10．已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－25，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值． 解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1. (2)由(1)得f (x )＝－12sin 4x ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4＝－12sin α＝－25， 即sin α＝45，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3 ＝45×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×32＝4－3310. 11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6的值．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C ，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c . 由a －c ＝66b ，得a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104. 于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154.所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.12．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1, CD ＝3，cos B ＝33.(1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长． 解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos B ＝33， 所以cos D ＝cos 2B ＝2cos 2B －1＝－13.因为D ∈(0，π)， 所以sin D ＝1－cos 2D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin D ＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos D ＝12， 所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin B ＝ABsin∠ACB， 所以23sin B ＝AB sin π－2B ＝AB sin 2B ＝AB 2sin B cos B ＝AB 233sin B ，所以AB ＝4.。

限时规范训练十三空间中的平行与垂直一、选择题(本题共小题，每小题分，共分)．(·高考山东卷)已知直线，分别在两个不同的平面α，β内，则“直线和直线相交”是“平面α和平面β相交”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件解析：选.因为直线和直线相交，所以直线与直线有一个公共点，而直线，分别在平面α、β内，所以平面α与β必有公共点，从而平面α与β相交；反之，若平面α与β相交，则直线与直线可能相交、平行、异面．故选.．(·高考全国卷Ⅲ)在正方体­中，为棱的中点，则( )．⊥．⊥．⊥．⊥解析：选.根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，项，若⊥，那么⊥，很显然不成立；项，若⊥，那么⊥，显然不成立；项，若⊥，那么⊥，成立，反过来⊥时，也能推出⊥，所以成立，项，若⊥，则⊥，显然不成立，故选.．设α，β是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且⊂α，⊂β( )．若⊥β，则α⊥β．若α⊥β，则⊥．若∥β，则α∥β．若α∥β，则∥解析：选.选项中，由平面与平面垂直的判定定理可知正确；选项中，当α⊥β时，，可以垂直，也可以平行，也可以异面；选项中，∥β时，α，β可以相交；选项中，α∥β时，，也可以异面．．已知α，β为两个平面，为直线，若α⊥β，α∩β＝，则( )．垂直于平面β的平面一定平行于平面α．垂直于直线的直线一定垂直于平面α．垂直于平面β的平面一定平行于直线．垂直于直线的平面一定与平面α，β都垂直解析：选.由α⊥β，α∩β＝，知：垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故不正确；垂直于直线的直线若在平面β内，则一定垂直于平面α，否则不一定，故不正确；垂直于平面β的平面与的关系有⊂β，∥β，与β相交，故不正确；由平面垂直的判定定理知：垂直于直线的平面一定与平面α，β都垂直，故正确．．设，，表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题中逆命题不成立的是( ) ．⊥α，若⊥β，则α∥β．⊂α，⊄α，若∥α，则∥．⊂β，若⊥α，则β⊥α．，⊂α，∩＝，⊥，⊥，若α⊥β，则⊂β解析：选.利用排除法求解．的逆命题为：⊥α，若α∥β，则⊥β，成立；的逆命题为：⊂α，⊄α，若∥，则∥α，成立；的逆命题为：⊂β，若β⊥α，则⊥α，不成立；的逆命题为：，⊂α，∩＝，⊥，⊥，若⊂β，则α⊥β，成立，故选.．(·江西六校联考)已知，是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若⊥α，⊥β，⊥，则α⊥β；②若∥α，∥β，⊥，则α∥β；③若⊥α，∥β，⊥，则α∥β；④若⊥α，∥β，α∥β，则⊥.其中所有正确命题的序号是( )．①④．②④．①．④解析：选.借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，故①正确；对于②，平面α，β可能垂直，如图()所示，故②不正确；对于③，平面α，β可能垂直，如图()所示，故③不正确；对于④，由⊥α，α∥β可得⊥β，因为∥β，所以过作平面γ，且γ∩β＝，如图()所示，所以与交线平行，因为⊥，所以⊥，故④正确．综上，选.二、填空题(本题共小题，每小题分，共分)．如图，四棱锥­的底面是直角梯形，∥，⊥，＝，⊥底面，为的中点，则与平面的位置关系为．解析：取的中点，连接，，在△中，.又因为∥且＝，所以，所以四边形是平行四边形，所以∥.又因为⊄平面，⊂平面，所以∥平面.答案：平行．(·山师大附中模拟)若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为．(写出所有真命题的序号)①若直线⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线平行的直线；②若直线⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线垂直；③若直线⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线垂直的直线；④若直线⊂α，则在平面β内，一定存在与直线垂直的直线．解析：对于①，若直线⊥α如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线平行的直线，故①错误；对于②，若直线⊥α，则直线垂直于平面α内的所有直线，在平面β内存在无数条与交线平行的直线，这无数条直线均与直线垂直，故②正确；对于③，④，若直线⊂α，则在平面β内，一定存在与直线垂直的直线，故③错误，④正确．答案：②④．(·沈阳三模)如图，已知四边形为矩形，⊥平面，下列结论中正确的是．(把正确结论的序号都填上)①⊥；②⊥平面；③⊥；④∥平面.解析：对于①，因为⊥，⊥，∩＝，所以⊥平面，所以⊥，则①正确；对于②，⊥，当⊥时，⊥平面，但与不一定垂直，故②不正确；对于③，因为⊥，⊥，∩＝，所以⊥平面，所以⊥，则③正确；对于④，因为∥，⊄平面，⊂平面，所以∥平面，则④正确．故填①③④.答案：①③④三、解答题(本题共小题，每小题分，共分)．(·高考全国卷Ⅱ)如图，四棱锥­中，侧面为等边三角形且垂直于底面，＝＝，∠＝∠＝°.()证明：直线∥平面；()若△的面积为，求四棱锥­的体积．解：()证明：在平面内，因为∠＝∠＝°，所以∥.又⊄平面，⊂平面，故∥平面.()如图，取的中点，连接，.由＝＝及∥，∠＝°得四边形为正方形，则⊥.因为侧面为等边三角形且垂直于底面，平面∩平面＝，所以⊥，⊥底面.因为⊂底面，所以⊥.设＝，则＝，＝，＝＝，＝＝＝.如图，取的中点，连接，则⊥，所以＝＝＝.因为△的面积为，所以××＝，解得＝－(舍去)或＝.于是＝＝，＝，＝.所以四棱锥­的体积＝××＝.．(·山东潍坊模拟)如图，在四棱台­中，⊥平面，底面是平行四边形，＝，＝，∠＝°.()证明：⊥；()证明：∥平面.证明：()因为⊥平面，且⊂平面，所以⊥.又因为＝，∠＝°，在△中，由余弦定理得＝°)＝＝，所以＋＝，即⊥.又∩＝，所以⊥平面.又⊂平面，所以⊥.()连接，.设∩＝，连接，因为四边形为平行四边形，所以＝.由棱台定义及＝＝知，∥且＝，所以四边形为平行四边形，因此∥.又因为⊂平面，⊄平面.所以∥平面.．(·吉林调研)如图①，在直角梯形中，∥，∠＝，＝＝＝，是的中点，是与的交点．将△沿折起到图②中△的位置，得到四棱锥­.()证明：⊥平面；()当平面⊥平面时，四棱锥­的体积为，求的值．解：()证明：在题图①中，因为＝＝＝，是的中点，∠＝，所以⊥.即在题图②中，⊥，⊥，从而⊥平面，又∥，所以⊥平面.()由已知，平面⊥平面，且平面∩平面＝，又由()，⊥，所以⊥平面，即是四棱锥­的高．由题图①知，＝＝，平行四边形的面积＝·＝.从而四棱锥­的体积为＝××＝××＝，由＝，得＝.。

[限时规范训练] 单独成册1．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，且椭圆C 上的点到一个焦点的距离的最小值为3－ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，若在x 轴上存在一点E ，使∠AEB ＝90°，求直线l 的斜率k 的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c ，则由题设有：⎩⎨⎧c a ＝63，a －c ＝3－2，解得：a ＝3，c ＝2，∴b 2＝1， 故椭圆C 的方程为y 23＋x 2＝1.(2)由已知可得，以AB 为直径的圆与x 轴有公共点． 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，AB 中点为M (x 0，y 0)，将直线l ：y ＝kx ＋2代入y 23＋x 2＝1，得(3＋k 2)x 2＋4kx ＋1＝0，Δ＝12k 2－12， ∴x 0＝x 1＋x 22＝－2k 3＋k 2，y 0＝kx 0＋2＝63＋k 2， |AB |＝1＋k212k 2－123＋k 2＝23k 4－13＋k 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝12k 2－12>0，63＋k 2≤12|AB |.解得：k 4≥13，即k ≥413或k ≤－413.2．已知动点P 到直线l ：x ＝－1的距离等于它到圆C ：x 2＋y 2－4x ＋1＝0的切线长(P 到切点的距离)．记动点P 的轨迹为曲线E . (1)求曲线E 的方程．(2)点Q 是直线l 上的动点，过圆心C 作QC 的垂线交曲线E 于A ，B 两点，问是否存在常数λ，使得|AC |·|BC |＝λ|QC |2？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解析：(1)由已知得圆心为C (2,0)，半径r ＝ 3.设P (x ，y )，依题意可得|x ＋1|＝(x －2)2＋y 2－3，整理得y 2＝6x .故曲线E 的方程为y 2＝6x . (2)设直线AB 的方程为my ＝x －2，则直线CQ 的方程为y ＝－m (x －2)，可得Q (－1,3m )． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将my ＝x －2代入y 2＝6x 并整理得y 2－6my －12＝0，那么y 1y 2＝－12，则|AC |·|BC |＝(1＋m 2)|y 1y 2|＝12(1＋m 2)，|QC |2＝9(1＋m 2)，即|AC |·|BC |＝43|QC |2，所以λ＝43. 3．如图所示，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆上，A ，B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点，当A ，B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由． 解析：(1)设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． ∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x 2＝8y 的准线y ＝－2上， ∴－b ＝－2，解得b ＝2. 又c a ＝32，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝4，c ＝2 3.可得椭圆C 的标准方程为x 216＋y 24＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵∠APQ ＝∠BPQ ，则P A ，PB 的斜率互为相反数， 可设直线P A 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ， 直线P A 的方程为：y －3＝k (x －2)， 联立⎩⎨⎧y －3＝k (x －2)，x 2＋4y 2＝16，化为(1＋4k 2)x 2＋8k (3－2k )x ＋4(3－2k )2－16＝0，∴x 1＋2＝8k (2k －3)1＋4k 2.同理可得：x 2＋2＝－8k (－2k －3)1＋4k 2＝8k (2k ＋3)1＋4k 2，∴x 1＋x 2＝16k 2－41＋4k 2，x 1－x 2＝－163k1＋4k 2， k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋x 2)－4k x 1－x 2＝36. ∴直线AB 的斜率为定值36.4．如图，设P 是抛物线C 1：x 2＝y 上的动点，过点P 作圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝1的两条切线，交直线l ：y ＝－3于A ，B 两点．(1)求圆C 2的圆心M 到抛物线C 1准线的距离．(2)是否存在点P ，使线段AB 被抛物线C 1在点P 处的切线平分？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)因为抛物线C 1的准线方程为y ＝－14，所以圆心M 到抛物线C 1准线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14－(－3)＝114.(2)设存在满足题意的点P ，其坐标为(x 0，x 20)，抛物线C 1在点P 处的切线交直线l 于点D . 再设A ，B ，D 的横坐标分别为x A ，x B ，x D ，过点P (x 0，x 20)的抛物线C 1的切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．①当x 0＝1时，过点P (1,1)的圆C 2的切线P A 为 y －1＝158(x －1)，可得x A ＝－1715，x B ＝1，x D ＝－1，x A ＋x B ≠2x D . 当x 0＝－1时，过点P (－1,1)的圆C 2的切线PB 为y －1＝－158(x ＋1)，可得x A ＝－1，x B ＝1715，x D ＝1，x A ＋x B ≠2x D .所以x 20－1≠0，设切线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则 P A ：y －x 20＝k 1(x －x 0)，② PB ：y －x 20＝k 2(x －x 0)．③ 将y ＝－3分别代入①②③得x D ＝x 20－32x 0(x 0≠0)；x A ＝x 0－x 20＋3k 1；x B ＝x 0－x 20＋3k 2(k 1，k 2≠0)．从而x A ＋x B ＝2x 0－(x 20＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2，又|－x 0k 1＋x 20＋3|k 21＋1＝1， 即(x 20－1)k 21－2(x 20＋3)x 0k 1＋(x 20＋3)2－1＝0， 同理，(x 20－1)k 22－2(x 20＋3)x 0k 2＋(x 20＋3)2－1＝0.所以k 1，k 2是方程(x 20－1)k 2－2(x 20＋3)x 0k ＋(x 20＋3)2－1＝0的两个不相等的根，从而k 1＋k 2＝2(3＋x 20)x 0x 20－1， k 1·k 2＝(3＋x 20)2－1x 20－1.因为x A ＋x B ＝2x D ， 所以2x 0－(3＋x 20)⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 1＋1k 2＝x 20－3x 0，即1k 1＋1k 2＝1x 0.从而2(3＋x 20)x 0(x 20＋3)2－1＝1x 0， 进而得x 40＝8，x 0＝±48.综上所述，存在点P 满足题意，点P 的坐标为(±48，22)．5．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点为A ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，b 3是C 上的一点，以AP 为直径的圆经过椭圆C的右焦点F .(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，问：在x 轴上是否存在两个定点，它们到直线l 的距离之积等于1？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由． 解析：(1)F (c,0)，A (0，b )，由题设可知F A →·FP →＝0， ∴c 2－43c ＋b 23＝0. ①又点P 在椭圆C 上，∴169a 2＋b 29b 2＝1，∴a 2＝2. ② 又b 2＋c 2＝a 2＝2， ③ 联立①③，解得c ＝1，b 2＝1， 故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆方程，消去y 整理得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，(*) 方程(*)有且只有一个实根，又2k 2＋1>0， 所以Δ＝0，得m 2＝2k 2＋1，假设存在M 1(λ1,0)，M 2(λ2,0)满足题设， 则d 1·d 2＝|(λ1k ＋m )(λ2k ＋m )|k 2＋1＝|λ1λ2k 2＋(λ1＋λ2)km ＋2k 2＋1|k 2＋1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(λ1λ2＋2)k 2＋(λ1＋λ2)km ＋1k 2＋1＝1对任意的实数k 恒成立． 所以⎩⎨⎧ λ1λ2＝－1，λ1＋λ2＝0，解得⎩⎨⎧λ1＝1，λ2＝－1或⎩⎨⎧λ1＝－1，λ2＝1.当直线l 的斜率不存在时，经检验符合题意．综上所述，存在两个定点M 1(1,0)，M 2(－1，0)，使它们到直线l 的距离之积等于1.6．(2017·湖北黄冈模拟)如图，已知点F 1，F 2是椭圆C 1：x 22＋y 2＝1的两个焦点，椭圆C 2：x 22＋y 2＝λ经过点F 1，F 2，点P 是椭圆C 2上异于F 1，F 2的任意一点，直线PF 1和PF 2与椭圆C 1的交点分别是A ，B 和C ，D .设AB ，CD 的斜率分别为k ，k ′.(1)求证：k ·k ′为定值； (2)求|AB |·|CD |的最大值．解析：(1)证明：因为点F 1，F 2是椭圆C 1的两个焦点，故F 1，F 2的坐标是F 1(－1,0)，F 2(1,0)． 而点F 1，F 2是椭圆C 2上的点，将F 1，F 2的坐标代入C 2的方程得，λ＝12. 设点P 的坐标是(x 0，y 0)，∵直线PF 1和PF 2的斜率分别是k ，k ′(k ≠0，k ′≠0) ∴kk ′＝y 0x 0＋1·y 0x 0－1＝y 20x 20－1，①又点P 是椭圆C 2上的点，故x 202＋y 20＝12，② 联立①②两式可得kk ′＝－12，即k ·k ′为定值． (2)直线PF 1的方程可表示为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)， 与椭圆C 1的方程联立， 得到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，由方程组得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 22(1＋k 2)1＋2k 2.同理可求得|CD |＝2(1＋4k 2)1＋2k 2，则|AB |·|CD |＝4(4k 4＋5k 2＋1)(1＋2k 2)2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋11k 2＋4k 2＋4≤92， 当且仅当k ＝±22时等号成立． 故|AB |·|CD |的最大值等于92.微课视频 免费观看[内容包括：整个专题重点内容]。

2018年高考试题分项版解析数学（理科）专题14 复数、推理与证明（学生版）一、选择题:1.(2018年高考广东卷理科1)设i 为虚数单位，则复数56ii-=（ ） A 6+5i B 6-5i C -6+5i D -6-5i2．(2018年高考北京卷理科3)设a ，b ∈R,“a=0”是“复数a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3．(2018年高考浙江卷理科2)已知i 是虚数单位，则3+i1i-＝（ ） A ．1－2i B ．2－i C ．2＋i D ．1＋2i 4 . (2018年高考山东卷理科1)若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为（ ） A 3+5i B 3-5i C -3+5i D -3-5i 5.(2018年高考福建卷理科1)若复数z 满足i zi -=1，则z 等于（ ）A ．i --1B ．i -1C ．i +-1D ．i +1 6.(2018年高考辽宁卷理科2)复数22ii-=+（ ） (A)3455i - (B)3455i + (C) 415i - (D) 315i +8.(2018年高考天津卷理科1)i 是虚数单位，复数7=3iz i-+=（ ） （A ）2i + （Ｂ）2i - （Ｃ）2i -+ （Ｄ）2i -- 9．(2018年高考江西卷理科6)观察下列各式：221,3,a b a b +=+=3344554,7,11,a b a b a b +=+=+=则1010a b +=（ ）A ．28B ．76C ．123D ．19910.(2018年高考安徽卷理科1)复数z 满足：()(2)5z i i --=；则z =（ ）()A 22i -- ()B 22i -+()C i 2-2 ()D i 2+211. (2018年高考湖北卷理科1)方程 2x +6x +13 =0的一个根是( ) A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i 12．(2018年高考上海卷理科15)若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）A ．3,2==c bB ．3,2=-=c bC ．1,2-=-=c bD ．1,2-==c b14. (2018年高考陕西卷理科3)设,a b R ∈，i 是虚数单位，则“0ab =”是“复数b a i+为纯虚数”的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件15. (2018年高考四川卷理科2)复数2(1)2i i-=（ ） A 、1 B 、1- C 、i D 、i - 16.(2018年高考全国卷理科1)复数131ii-+=+（ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -二、填空题:1. （2012年高考江苏卷3）设a b ∈R ，，117ii 12ia b -+=-（i 为虚数单位），则a b +的值为 ．2.(2018年高考上海卷理科1)计算：3-i=1+i（i 为虚数单位）.4. (2018年高考福建卷理科14)数列}{n a 的通项公式12cos +=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________。

[限时规范训练] 单独成册A 组——高考热点强化练一、选择题1．已知双曲线C ：x 2－y 23＝1，其渐近线上的点到焦点的最小距离为( )A.12 B ．1 C.32D. 3解析：其最小距离是焦点到渐近线的距离为b ＝ 3. 答案：D2．(2017·上海浦东新区模拟)方程kx 2＋4y 2＝4k 表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A ．k >4 B ．k ＝4 C ．k <4D ．0<k <4解析：椭圆方程为x 24＋y 2k ＝1，焦点在x 轴上，∴0<k <4. 答案：D3．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为( ) A ．5 B.41 C.41－2D ．4解析：由题得，圆C 的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F (2,0)．根据抛物线的定义，得m ＋|PC |＝|PF |＋|PC |≥|FC |＝41. 答案：B4．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a 22.所以a 2≥2.所以a ≥ 2. 所以长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点．若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝⎛⎭⎪⎫－223，223 D.⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析：由题意知a 2＝2，b 2＝1，所以c 2＝3，不妨设F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)，所以MF 1→·MF 2→＝x 20－3＋y 20＝3y 2－1<0，所以－33<y 0<33，故选A. 答案：A6．(2017·河南适应性模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，A ，B 是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB 的垂直平分线与x 轴的交点是(4,0)，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．10解析：本题考查直线和抛物线的位置关系以及焦点弦长公式．因为F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (4,0)，由|MA |2＝|MB |2得(4－x 1)2＋y 21＝(4－x 2)2＋y 22 ①，又y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，代入①中并展开得16－8x 1＋x 21＋y 21＝16－8x 2＋x 22＋y 22，即x 21－x 22＝4x 1－4x 2，得x 1＋x 2＝4，所以|AB |≤|AF |＋|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝6，当且仅当A ，B ，F 三点共线时等号成立，所以|AB |max ＝6，故选C. 答案：C7．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A ，B 两点，直线l 2与C 交于D ，E 两点，则|AB |＋|DE |的最小值为( ) A ．16 B ．14 C ．12D ．10解析：因为F 为y 2＝4x 的焦点，所以F (1，0)．由题意直线l 1，l 2的斜率均存在，且不为0，设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k ，故直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k (x －1)，y ＝－1k (x －1)． 由⎩⎨⎧y ＝k (x －1)，y 2＝4x ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1， 所以|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2| ＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 22－4 ＝4(1＋k 2)k 2.同理可得|DE |＝4(1＋k 2)．所以|AB |＋|DE |＝4(1＋k 2)k 2＋4(1＋k 2) ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＋1＋1＋k 2＝8＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2≥8＋4×2＝16.当且仅当k 2＝1k 2，即k ＝±1时，取得等号． 故选A.答案：A8．(2017·高考全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞)解析：法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)． 故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x|y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3.又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2m ， 则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y2＝－ 3. 解得|y |＝2m 3－m. 又0＜|y |≤m ，即0＜2m3－m≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1. 对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.法二：当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥ 3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，则m 3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A. 答案：A 二、填空题9．已知过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右焦点且倾斜角为45°的直线与双曲线右支有两个交点，则双曲线的离心率的取值范围是________．解析：由题意可知双曲线的渐近线y ＝b a x 的倾斜角小于45°，所以0<ba <1，即b 2<a 2，c 2－a 2<a 2，解得1<e < 2. 答案：(1, 2)10．(2017·云南昆明质检)椭圆x 29＋y 225＝1上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，当m 取最大值时，点P 的坐标是________．解析：记椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，有|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 则m ＝|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25， 当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25. ∴点P 的坐标为(－3,0)或(3,0)． 答案：(－3,0)或(3,0)11．(2017·德阳模拟)已知椭圆：x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是________．解析：由椭圆的方程可知a ＝2，由椭圆的定义可知，|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则2b 2a ＝3.所以b 2＝3，即b ＝ 3. 答案： 312．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足F A →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋1k BC ＋1k CA＝________. 解析：由题易知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，由F A →＋FB →＋FC →＝0知，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－p 2，y 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－p 2，y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－p 2，y 3＝(0,0)， 故y 1＋y 2＋y 3＝0，∵1k AB ＝x 2－x 1y 2－y 1＝12p (y 22－y 21)y 2－y 1＝y 1＋y 22p ，同理可知1k BC ＝y 3＋y 22p ，1k CA ＝y 1＋y 32p ，∴1k AB ＋1k BC ＋1k CA ＝2(y 1＋y 2＋y 3)2p ＝0.答案：0 三、解答题13．(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x 2＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32， 94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜x ＜32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．解析：(1)设直线AP 的斜率为k ，k ＝x 2－14x ＋12＝x －12， 因为－12＜x ＜32，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程 ⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋12k ＋14＝0，x ＋ky －94k －32＝0，解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2＋4k ＋32(k 2＋1).因为|P A |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2(k ＋1)，|PQ |＝1＋k 2(x Q －x )＝－(k －1)(k ＋1)2k 2＋1. 所以|P A |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3. 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2，所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，因此当k ＝12时，|P A |·|PQ |取得最大值2716.14．若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，线段F 1F 2被抛物线y 2＝2bx 的焦点F 内分成了3∶1的两段．(1)求椭圆的离心率；(2)过点C (－1,0)的直线l 交椭圆于不同两点A ，B ，且AC →＝2CB →，当△AOB 的面积最大时，求直线l 和椭圆的方程．解析：(1)由题意知c ＋b 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫c －b 2，∴b ＝c ，a 2＝2b 2，e ＝ca ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝22. (2)设直线l ：x ＝ky －1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵AC →＝2CB →，∴(－1－x 1，－y 1)＝2(x 2＋1，y 2)， 即2y 2＋y 1＝0， ①由(1)知a 2＝2b 2，∴椭圆方程为x 2＋2y 2＝2b 2.由⎩⎨⎧x ＝ky －1，x 2＋2y 2＝2b 2消去x 得(k 2＋2)y 2－2ky ＋1－2b 2＝0， ∴y 1＋y 2＝2kk 2＋2， ②y 1y 2＝1－2b 2k 2＋2， ③由①②知y 2＝－2k k 2＋2，y 1＝4kk 2＋2. ∵S △AOB ＝12|y 1|＋12|y 2|＝12|y 1－y 2|， ∴S ＝3·|k |k 2＋2＝3·12|k |＋|k |≤3·12 2|k |·|k |＝324，当且仅当|k |2＝2，即k ＝±2时取等号，此时直线的方程为x ＝2y －1或x ＝－2y －1.又当|k |2＝2时，y 1y 2＝－2k k 2＋2·4k k 2＋2＝－8k2(k 2＋2)2＝－1，∴由y 1y 2＝1－2b 2k 2＋2得b 2＝52，∴椭圆方程为x 25＋y 252＝1.15．(2017·青岛模拟)已知椭圆C 1：x 26＋y 2b 2＝1(b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，点F 2也为抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点，过点F 2的直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点． (1)若点P (8,0)满足|P A |＝|PB |，求直线l 的方程；(2)T 为直线x ＝－3上任意一点，过点F 1作TF 1的垂线交椭圆C 1于M ，N 两点，求|TF 1||MN |的最小值． 答案：(1)y ＝±2(x －2)或x ＝2 (2)33B 组——高考能力提速练一、选择题1．(2017·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2,2)解析：过M 点作左准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)． 答案：D2．(2017·湖南师大附中月考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y 2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1，62B ．(2，＋∞)C ．(1，2) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫62，＋∞ 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝ba x ，消去y 得b 2a 2x 2＝x ，由x 0>1知b 2a 2<1，即c 2－a 2a 2<1，故e 2<2，又e >1，所以1<e <2，故选C. 答案：C3．如图，已知点B 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴位于x 轴下方的端点，过B 作斜率为1的直线交椭圆于点M ，点P 在y 轴上，且PM ∥x 轴，BP →·BM →＝9，若点P 的坐标为(0，t )，则t 的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(0,3] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32 解析：因为P (0，t )，B (0，－b )，所以M (t ＋b ，t )． 所以BP →＝(0，t ＋b )，BM →＝(t ＋b ，t ＋b )． 因为BP →·BM →＝9，所以(t ＋b )2＝9，t ＋b ＝3. 因为0<t <b ，所以0<t <3－t . 所以0<t <32，故选C. 答案：C4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点．若|AF |＋|BF |＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是( ) A ．0，32 B ．0，34 C.32，1D.34，1解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为4a ＝2(|AF |＋|BF |)＝8，所以a ＝2.又d ＝|3×0－4×b |32＋(－4)2≥45，所以1≤b <2，所以e ＝c a ＝1－b 2a 2＝ 1－b 24.因为1≤b <2，所以0<e ≤ 32，故选A. 答案：A5．(2017·南昌调研)已知圆O 1：(x －2)2＋y 2＝16与圆O 2：x 2＋y 2＝r 2(0<r <2)，动圆M 与圆O 1、圆O 2都相切，动圆圆心M 的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e 1、e 2(e 1>e 2)，则e 1＋2e 2的最小值是( ) A.3＋224B.32C. 2D.38解析：①当动圆M 与圆O 1、O 2都相内切时，|MO 2|＋|MO 1|＝4－r ＝2a ，∴e 1＝24－r. ②当动圆M 与圆O 1相内切，与圆O 2相外切时，|MO 1|＋|MO 2|＝4＋r ＝2a ′， ∴e 2＝24＋r， ∴e 1＋2e 2＝24－r ＋44＋r ＝24－2r 16－r 2，令12－r ＝t (10<t <12)，∴e 1＋2e 2＝2×124－t －128t ≥2×124－162＝112－82＝3＋224，故选A. 答案：A6．(2017·浙江六校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为双曲线上任一点，且PF 1→·PF 2→的最小值的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34c 2，－12c 2，则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A ．(1，2] B ．[2，2] C ．(1，2)D ．[2，＋∞)解析：设P (m ，n )，则m 2a 2－n 2b 2＝1，即m 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2，设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则PF 1→＝(－c －m ，－n )，PF 2→＝(c －m ，－n )，则PF 1→·PF 2→＝m 2－c 2＋n 2＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋n 2b 2－c 2＋n 2＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a 2b 2＋a 2－c 2≥a 2－c 2(当n ＝0时取等号)，则PF 1→·PF 2→的最小值为a 2－c 2， 由题意可得－34c 2≤a 2－c 2≤－12c 2， 即14c 2≤a 2≤12c 2，即12c ≤a ≤22c ， 则2≤e ≤2，故选B. 答案：B7．如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为双曲线的右焦点，且满足AF ⊥BF ，设∠ABF ＝α，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，则双曲线的离心率e 的取值范围为( )A ．[3，2＋3]B ．[2，3＋1]C ．[2，2＋3]D ．[3，3＋1]解析：设双曲线的左焦点为F ′，连接AF ′， 令|AF |＝r 1，|AF ′|＝r 2，则|BF |＝|F ′A |＝r 2，∴r 2－r 1＝2a ，∵点A 关于原点O 的对称点为B ，AF ⊥BF ，∴|OA |＝|OB |＝|OF |＝c ，∴r 22＋r 21＝4c 2，∴r 1r 2＝2(c 2－a 2)，∵S △ABF ＝2S △AOF ， ∴12r 1r 2＝2·12c 2·sin 2α，∴r 1r 2＝2c 2sin 2α，∴c 2sin 2α＝c 2－a 2， ∴e 2＝11－sin 2α，∵α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π6，∴sin 2α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32，∴e 2＝11－sin 2α∈[2，(3＋1)2]，∴e ∈[2，3＋1]，故选B.答案：B8．(2017·湖北华师一附中联考)已知F 是抛物线x 2＝4y 的焦点，P 为抛物线上的动点，且A 的坐标为(0，－1)，则|PF ||P A |的最小值是( ) A.14 B.12 C.22D.32解析：抛物线的准线为l ：y ＝－1，过点P 作PD ⊥l 于D ，则|PD |＝|PF |，且点A 在准线上，如图所示，所以|PF ||P A |＝|PD ||P A |＝sin ∠P AD ，当直线P A 与抛物线相切时，|PF ||P A |＝|PD ||P A |＝sin ∠P AD 有最小值，由y ＝x 24得y ′＝x 2，设切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，x 204(x 0>0)，则x 204－(－1)x 0＝x 02，解得x 0＝2，此时∠P AD ＝π4，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|PF ||P A |min ＝sin π4＝22，故选C.答案：C 二、填空题9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：∵双曲线渐近线的斜率为k ＝b a ，直线的斜率为k 1＝tan 60°＝3，故有b a ≥3，∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2≥1＋3＝2，∴所求双曲线离心率的取值范围是e ≥2. 答案：[2，＋∞)10．(2017·湖北七校联考)已知抛物线方程为y 2＝－4x ，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，在抛物线上有一动点A ，点A 到y 轴的距离为m ，到直线l 的距离为n ，则m ＋n 的最小值为________． 解析：如图，过A 作AH ⊥l ，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH |＋|AN |＝m ＋n ＋1，连接AF ，则|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1，由平面几何知识，知当A ，F ，H 三点共线时，|AF |＋|AH |＝m ＋n ＋1取得最小值，最小值为F 到直线l 的距离，即65＝655，即m ＋n 的最小值为655－1.答案：655－111．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，O 是原点，若M 是∠F 1PF 2的角平分线上一点，且F 1M →⊥MP →，则|OM →|的取值范围是________．解析：采用特殊点法，当点P 在椭圆短轴端点，垂足M 与原点重合时，|OM →|最小大于0(x ≠0)．当点P 在椭圆长轴端点，垂足M 与F 1重合时，此时|OM →|最大为|OF 1→|＝c ＝22，但此时∠F 1PF 2＝0°，所以|OM →|∈(0,22)． 答案：(0,22)12．(2017·温州模拟)已知斜率为12的直线l 与抛物线y 2＝2px (p >0)交于x 轴上方的不同两点A 、B ，记直线OA 、OB 的斜率分别为k 1、k 2，则k 1＋k 2的取值范围是________．解析：设直线l 的方程为y ＝12x ＋b (b >0)，即x ＝2y －2b ，代入抛物线方程y 2＝2px ，可得y 2－4py ＋4pb ＝0，由Δ＝16p 2－16pb >0，得p >b ，即pb >1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，得y 1＋y 2＝4p ，y 1y 2＝4pb ， ∴k 1＋k 2＝y 1x 1＋y 2x 2＝y 1x 2＋x 1y 2x 1x 2＝y 1(2y 2－2b )＋(2y 1－2b )y 2(2y 1－2b )(2y 2－2b )＝16pb －8pb 16pb －16pb ＋4b 2＝2pb>2.答案：(2，＋∞) 三、解答题13．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2x 2－y 2＝1.(1)设F 是C 的左焦点，M 是C 右支上一点．若|MF |＝22，求点M 的坐标；(2)过C 的左顶点作C 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； (3)设斜率为k (|k |＜2)的直线l 交C 于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ . 解析：(1)双曲线C ：x 212－y 2＝1，左焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，0.设M (x ，y )，则|MF |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋622＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋222，由M 点是右支上一点，知x ≥22， 所以|MF |＝3x ＋22＝22，得x ＝62. 所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫62，±2.(2)左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程为y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为 y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所求平行四边形的面积为S ＝|OA ||y |＝24.(3)证明：设直线PQ 的方程是y ＝kx ＋b .因直线PQ 与已知圆相切，故|b |k 2＋1＝1， 即b 2＝k 2＋1.(*)由⎩⎨⎧y ＝kx ＋b ，2x 2－y 2＝1得(2－k 2)x 2－2kbx －b 2－1＝0， 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－1－b 22－k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝(1＋k 2)(－1－b 2)2－k 2＋2k 2b 22－k 2＋b 2＝－1＋b 2－k 22－k 2.由(*)知，OP →·OQ →＝0，所以OP ⊥OQ .14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为223，B (0，1)为椭圆的一个顶点，直线l 交椭圆于P ，Q (异于点B )两点，BP ⊥BQ . (1)求椭圆方程；(2)求△BPQ 面积的最大值．解析：(1)依题意b ＝1，c a ＝223，b 2＝a 2－c 2，解得a ＝3， 所以椭圆方程为x 29＋y 2＝1.(2)设l ：y ＝kx ＋m 代入x29＋y 2＝1， 得(9k 2＋1)x 2＋18kmx ＋9m 2－9＝0， 由Δ＝(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9)>0， 得9k 2＋1－m 2>0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， x 1＋x 2＝－18km 9k 2＋1，x 1x 2＝9m 2－99k 2＋1，BP ⊥BQ ⇒BP →·BQ →＝x 1x 2＋(y 1－1)·(y 2－1)＝0， (k 2＋1)x 1x 2＋k (m －1)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＝0， (k 2＋1)9m 2－99k 2＋1＋k (m －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－18km 9k 2＋1＋(m －1)2＝0. 整理得5m 2－m －4＝0，m ＝－45或m ＝1(舍)．直线l ：y ＝kx ＋m 过定点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－45，S ＝12|BM ||x 1－x 2|＝910(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝910·(18km )2－4(9k 2＋1)(9m 2－9)9k 2＋1 ＝275·9k 2＋1－m 29k 2＋1＝275·9k 2＋9259k 2＋1＝2759k 2＋925＋16259k 2＋925≤278.此时9k 2＋925＝16259k 2＋925，k 2＝7225，k ＝±715， △BPQ 面积的最大值为278.15．(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，焦距为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)如图，动直线l ：y ＝k 1x －32交椭圆E 于A ，B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为k 2，且k 1k 2＝24.M 是线段OC 延长线上一点，且|MC |∶|AB |＝2∶3，⊙M 的半径为|MC |，OS ，OT 是⊙M 的两条切线，切点分别为S ，T .求∠SOT 的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率． 解析：(1)由题意知e ＝c a ＝22，2c ＝2，所以a ＝2，b ＝1， 所以椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k 1x －32，得(4k 21＋2)x 2－43k 1x －1＝0.由题意知Δ＞0，且x 1＋x 2＝23k 12k 21＋1，x 1x 2＝－12(2k 21＋1)， 所以|AB |＝1＋k 21|x 1－x 2|＝21＋k 211＋8k 212k 21＋1. 由题意可知圆M 的半径r 为r ＝23|AB |＝2231＋k 211＋8k 212k 21＋1.由题设知k 1k 2＝24，所以k 2＝24k 1，因此直线OC 的方程为y ＝24k 1x .联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝24k 1x ，得x 2＝8k 211＋4k 21，y 2＝11＋4k 21， 因此|OC |＝x 2＋y 2＝1＋8k 211＋4k 21. 由题意可知sin∠SOT 2＝rr ＋|OC |＝11＋|OC |r， 而|OC |r ＝1＋8k 211＋4k 212231＋k 211＋8k 211＋2k 21＝3241＋2k 211＋4k 211＋k 21， 令t ＝1＋2k 21，则t ＞1，1t ∈(0,1)， 因此|OC |r ＝32t 2t 2＋t －1＝3212＋1t －1t2＝321－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t －122＋94≥1，当且仅当1t ＝12，即t ＝2时等号成立，此时k 1＝±22， 所以sin∠SOT 2≤12，因此∠SOT 2≤π6，所以∠SOT 的最大值为π3.综上所述，∠SOT 的最大值为π3，取得最大值时直线l 的斜率为k 1＝±22.。

2018高考数学（理）二轮专题复习限时规范训练三角函数
及解三角形1
5
c
限时规范训练八三角函数图象与性质限时45分钟，实际用时分值81分，实际得分
一、选择题(本题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2018 高考东卷)函数f(x)＝(3sin x＋cs x)(3cs x－sin x)的最小正周期是( )
Aπ2B．π
c3π2D．2π
解析通解选B由题意得f(x)＝3sin xcs x－3sin2x＋3cs2x－sin xcs x＝sin 2x＋3cs 2x＝2sin2x＋π3故该函数的最小正周期T＝2π2＝π故选B
优解由题意得f(x)＝2sinx＋π6×2csx＋π6＝
2sin2x＋π3故该函数的最小正周期T＝2π2＝π故选B
2．(2018 高考全国卷Ⅰ)函数＝sin 2x1－cs x的部分图象大致为( )
解析选c令f(x)＝sin 2x1－cs x，
∵f(1)＝sin 21－cs 1＞0，f(π)＝sin 2π1－cs π＝0，
∴排除选项A，D
由1－cs x≠0得x≠2π(∈Z)，
故函数f(x)的定义域关于原点对称．
又∵f(－x)＝sin －2x 1－cs －x ＝－sin 2x1－cs x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，∴排除选项B故选c 3．(2018 高考北京卷)将函数＝sin2x－π3图象上的点Pπ4，t 向左平移s(s＞0)个单位长度得到点P′若P′位于函数＝sin 2x的。

高考命题新动向高考数学2018年7—8月

2018王江老辽泣欲守戎况认容（十四）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1. 已知全集U=R,A= {x Ix'

—4x+3,s;;;

0}, B = {

x I log江>I}•则A门B

=(

叶片三1}B.0

C.{x压

<1}

)。D.{xlO2 2."---:+O +i)2

=a +bi(a ,bER,i是虚数

1一

-

1

单位）“是“点(a,b)在第二象限的（

）

。

A. 充分不必

要条件

B. 必要不充分条件

C. 充

要条

件

D. 既不充分也不必要3. 中国古代数学著作《算法统综）〉中有这

样一个问题：＂三百七十八里关，初步健步不

为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还“。其大意

为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，

从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一

半，走了6天后到达目的地

”

。则该人最后一

天走的路程为()。

A.48里

C.12里

B.24里

D.6

里

4. 已知函数f(x) =

A sin

(wx

+

) （其中A>o,I尸

的图像如图1所示，

为了得到g(x) = sin 2x的

图像，

则

只需将f(x)的图

像()。

六A. 向右

平移

－6

个长度单位

B. 向右平移王个长度单位

12

六C. 向左平移—个长度单位

6

D. 向左平移王个长度单位

12

图1X

5. (zx—上）, 01, Ca E Z)的展开式中各项

ax

系数和为1,则展开式中含

x

'项的系数为

）。

6.已知

一

个几何体的三

视图及尺寸如图2所示，则

该几何体的外接球的表面积是（）。

A.

1 681

六36

B. 1 681六

9

C.186六

1 n

A.Cl霜z'010C. —Cl

霜z

1oo, D.Cl8跺2

1oos

二二

丿图2侧（左：视图

D.168六

x—4y冬-3,

7. 已知x,y满足{3rI 5y冬25,若不等x�l, 式ax—y乏1恒成立，则实数a的取值范围