人教版高中数学数列专题经典案例解读(附练习答案)

高二数学数列专题练习题(含答案)高中数学《数列》专题练1.数列基本概念已知数列的前n项和S_n和第n项a_n之间的关系为：a_n=S_n-S_{n-1} (n>1)，当n=1时，a_1=S_1.通过这个关系式可以求出任意一项的值。

2.等差数列和等比数列等差数列和等比数列是两种常见的数列类型。

对于等差数列，有通项公式a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。

对于等比数列，有通项公式a_n=a_1*q^{n-1}，其中q为公比。

如果a、G、b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项。

如果a、A、b、B成等差数列，那么A、B叫做a、b的等差中项。

3.求和公式对于等差数列，前n项和S_n=n(a_1+a_n)/2.对于等比数列，前n项和S_n=a_1(1-q^n)/(1-q)，其中q不等于1.另外，对于等差数列，S_n、S_{2n}-S_n、S_{3n}-S_{2n}构成等差数列；对于等比数列，S_n、S_{2n}/S_n、S_{3n}/S_{2n}构成等比数列。

4.数列的函数看法数列可以看作是一个函数，通常有以下几种形式：a_n=dn+(a_1-d)，a_n=An^2+Bn+C，a_n=a_1q^n，a_n=k*n+b。

5.判定方法对于数列的常数项，可以使用定义法证明；对于等差中项，可以证明2a_n=a_{n-1}+a_{n+1}；对于等比中项，可以证明2a_n=a_{n-1}*a_{n+1}。

最后，对于数列的通项公式，可以使用数学归纳法证明。

1.数列基本概念和通项公式数列是按照一定规律排列的一列数，通常用{ }表示。

其中，第n项表示为an，公差为d，公比为q。

常用的数列有等差数列和等比数列。

等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

等比数列的通项公式为an = a1q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。

2.数列求和公式数列求和是指将数列中的所有项加起来的操作。

强力推荐人教版数学高中必修5习题第二章数列1. ｛a n｝是首项a1=1,公差为d=3的等差数列,如果a n=2 005,那么序号n等于()•A. 667B. 668C. 669D. 6702.在各项都为正数的等比数列｛a n｝中,首项a i=3,前三项和为21,那么a3 + a4 + a5=(A. 33B. 72C. 84D. 1893.如果a1, a2, …,a8为各项都大于零的等差数列,公差dw0,A. a i a8>34a5B. a i a8< a4a5C. a i + a8 v a4 + a5D. a i a8= a4a54.方程(x2— 2x+m)( x2—2x+ n) = 0的四个根组成一个首项为的等差数列,那么I m— nI等于()•C. 12 D.5. 等比数列｛a n｝中,a2=9, a5=243,那么｛ a n｝的前 4 项和为().81 B. 120 C. 168 D. 1926. 假设数列｛a n｝是等差数列,首项a1>0,a2 003 + a2 004>0, a2 003 , a2 004< 0,那么使前n项和S n>0成立的最大自然数)•4 005 B. 4 006 C. 4 007 D. 4 0087. 等差数列｛a n｝的公差为2,假设a1, a3, a4成等比数列,那么a2 = (B. - 6C. - 8D. -108. 设S n是等差数列｛a n｝的前n项和, a5a35 ,那么呈 =(S5B. C. D.9. 数列一—4成等差数列,—1, b1, b2, b3, —4成等比数列,那么a2 a1b2的值是( )•B. C. D.-4210.在等差数列｛a n｝中,a nW0, a n-1—a n+ a n+1 = 0( n>2),右S2n 1 = 38,那么n =( )•、填空题+ f( 6)的值为 ________________________12 .等比数列｛a n ｝中,(1)假设 a 3 • a 4 • a 5 = 8,贝U a 2 • a 3 • a 4 • a 5 • a 6 =. (2)假设 a 1 + a 2= 324, a 3+a 4=36,贝U a 5+a 6=. (3)假设 S 4=2, S e= 6, 那么 a 〔7 +a 〔8+a 〔9+a 20=.13 .在8和27之间插入三个数,使这五个数成等比数列,那么插入的三个数的乘积为 3 2 14 .在等差数列｛a n ｝中,3(a 3+a 5)+2(a 7+a 10+a 〔3) =24,那么此数列前 13项之和为 . 15 .在等差数列｛a n ｝中,a 5= 3, a 6= —2,那么 a 4+a5+…+ a 〔0=.16 .设平面内有n 条直线(n>3),其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.假设用 f(n)表示这n 条直线交点的个数,那么 f(4) =;当n>4时,f(n)=.三、解做题17 . (1)数列｛a n ｝的前n 项和S n=3n 2-2n,求证数列｛ a n ｝成等差数列.(2)1 , 1 , 1成等差数列,求证 b —c , c —a , b 也成等差数列.a b c a b c 18 .设｛a n ｝是公比为q 的等比数列,且 a i, a 3, a 2成等差数列. (1)求q 的值；(2)设｛b n ｝是以2为首项,q 为公差的等差数列,其前 n 项和为S n,当n>2时,比拟S n 与b n 的大小,并说明理由.A. 38B. 20C. 10D. 911 .设 f( x)= —一,利用课本中推导等差数列前2x 、,2n 项和公式的方法, 可求得f( —5) +f( —4) +…+ f(0) +…+ f(5)19 .数列｛ a n｝的前n 项和记为Si,a i=1, a n+i= —~- S n( n = 1, 2, 3…). n求证：数列｛ S n｝是等比数列.n20 .数列｛a n｝是首项为a且公比不等于1的等比数列,S n为其前n项和,a1,2a7, 3a4成等差数列,求证：12S3, S6, S12—S6成等比数列.第二章数列一、选择题1. C解析：由题设,代入通项公式an=ai + (n-1)d,即2 005= 1+3(n—1),n= 699.2. C解析：此题考查等比数列的相关概念,及其有关计算水平.设等比数列｛a n｝的公比为q(q>0),由题意得a i+a2+ 83 = 21,即a i( 1 + q + q2) = 21,又a〔= 3, ,1 + q+q2= 7.解得q = 2或q = —3(不合题意,舍去),• •a3+a4+a5=a1q2(1 + q + q2) =3 X 22 X 7= 84.3. B.解析：由a1+a8=a4+a5,排除C.又a1 , a8= 81( a1 + 7d) = a12+ 7a1d,a4 • a5= ( a1+ 3d)( a1 + 4d) =a12+ 7a1d + 12d2>a1 - a8.4. C解析：1 1 1 1解法 1 :设81= 一, a2= - +d, 83= - + 2d, 84= —+ 3d,而方程x2—2x+ m= 0 中两根之和为2, x2—2x+ n= 0 中4 4 4 4两根之和也为2,• • 81 + 82 + 83 + 84= 1 + 6d = 4 ,. .d= 1 , 81= 1 , 84= 7是一个方程的两个根,81=3, 83=夕是另一个方程的两个根.2 4 4 4 4••• —, 15分别为m或n,16 16| m— n I = 1 ,应选C.2解法2:设方程的四个根为x1,x2, x3, x4,且x1 + x2= x3+x4= 2, x1 • x2= m, x3 • x4=n.由等差数列的性质：假设+s= p+q,那么a +a s= a p+a q,假设设x i为第一项,X2必为第四项, 那么X2=1,于是可得等差4数列为1, 3, 5, 7,4 4 4 4一m=5. B解析：= a2=9, a5= 243, a5 = q3 = 3^L = 27,a2 9• • q = 3, aiq=9, ai=3,3- 35240 …S4= --------------- =------------ = i20.i-3 26. B解析:解法i：由a2 003 + a2 004>0, a2 003 , a2 004V 0,知a2 003和a2 004两项中有一■正数一■负数,又ai>0,那么公差为负数,否那么各项总为正数,故a2 003 > a2 004, 即a2 003> 0, a2 004c 0.4 006 a1 + a, } 4 00a a… nn+ a… …).•・ S4 006=———__i^ =———-^003__2^1 >0,c 4 007 , 4 007 c• • S4 007= -------------- , (a i + a4 007) = ----------------------- • 2a2 004<0,故4 006为S n>0的最大自然数.选B.解法2：由ai>0, a2 003+22 004>0, a2 003 , a2 004c 0,同解法i的分析得a2 003>0,a2 004V 0,• • S2 003为Sn中的最大值..「S n是关于n的二次函数,如草图所示,2 003到对称轴的距离比2 004到对称轴的距离小,生^07在对称轴的右侧.2 〔第6题〕根据条件及图象的对称性可得 4 006在图象中右侧零点B的左侧,4 007,4 008 都在其右侧,S n>0的最大自然数是4 006 .7. B解析：・•・ ｛a n ｝是等差数列,a 3=a i + 4, a 4=a i+6, 又由a 1,a 3, a 4成等比数列, (a i+ 4) 2= a i ( a i + 6),解得 a i = —8, ••a2=— 8 + 2= — 6. 8. A9(a 〔 a g )解析：— = ------- 2 ----- = a 5 = 9- _5=1, 「•选 A.& 5(a i a 5) 5 a 3 5 92 9. A解析：设d 和q 分别为公差和公比,那么— 4= — 1 + 3d 且—4= ( — 1)q 4, d= - 1, q 2= 2,- a 2 a i - d - 1• •2 .b 2q 210. C解析：｛a n ｝为等差数列,, a2 = a n-1 +a n+1, a2 =2a n又a nW 0,a n=2, ｛a n ｝为常数数列,n= 10. 二、填空题 11. 3& . 解析：= f(x) =设 S=f( —5)+f(—4)+…+ f(0) +…+ f(5) + f(6), 那么 S=f(6) +f(5)+…+ f(0) +…+ f( —4)+f( —5),• .2S=[f(6)+f( —5)] + [f(5)+f( —4)] + …+ [f( —5) + f(6)] = 6 <2 ,而 an= _SU ,2n 1 即 2n-1= 38 = 19,2••f(1-x)= - 22x2 2 2x•• 1• ・f(x)+f(1 —x) = 丁—2 22x12(2 泊；2 2x・•.S= f( —5)+f(—4) +…+ f(0) +…+ f(5)+f(6) = 32 .12. (1) 32; (2) 4; (3) 32.5cca4 • a5 • a6= a 4=32. a 2 324212 qa 2)q 2369• ・ a 5+ a 6= ( ai+ a 2)q 4=4.a 17+ a 〔8 + a 19 + a 20= S 4q 16= 32 • 13. 216.解析：此题考查等比数列的性质及计算,由插入三个数后成等比数列,因而中间数必与中间数为J 8 27=6,插入的三个数之积为 8X 27X6=216.3 2'3 214. 26.解析：a 3+a 5=2a 4, a 7+a 13=2a 1o, • • 6( a 4+a 10)= 24, a 4+a 1o=4,• S 13= 13a 1+a 13)= 13(%+包.)=13 4 = 26.215. — 49.解析：d = a6—a5=—5,a4+ a5+…+ a107( a 4 a 10) =2_ 7(a 5-d + a 5 + 5d) —2=7( a5+2d)解析: (1)(3)S4=a1+ a2+ a3+ a4=2S8= a 〔+a2+ + a 8= S 4+ S 4q q 4=2 ,(2)a i 8,2同号,由等比中项的3 216. 5, 1 (n+ 1)( n- 2).2解析：同一平面内两条直线假设不平行那么一定相交, 故每增加一条直线一定与前面已有的每条直线都相交, —1) +(k —1).由 f(3) =2,f(4) =f(3) +3 = 2+3=5, f(5) =f(4) +4 = 2+3+4 = 9,f(n) =f(n —1) +(n —1),相加得 f(n) = 2+3 + 4+…+ (n-1)= l(n+1)( n-2).2 三、解做题17.分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第 证实：(1) n=1 时,a 1=S 1=3 —2=1,当 n>2 时,a n = S n —S n 1 = 3n 2—2n — [ 3( n —1) 2—2(n —1)] = 6n —5, n=1 时,亦满足,an= 6n —5( n C N* ).首项 a 〔=1, a n-a n 1=6n-5-[6(n- 1) -5] =6(常数)(nCN*), ,数列｛a n ｝成等差数列且a 1=1,公差为6. (2) •「I, 1,1成等差数列, a b c211,,化间得 2ac= b( a+ c).b a c• a1W0, ••• 2q 2-q - 1 = 0,(2)假设 q= 1,那么 S n= 2n+ n(n-1) =b + c+ a+ bbc+c 2+a 2+ab Ha+c)+a 2+ c 2 (a+c)2 (a+c)2 0 a + c2 b( a + c) b2acacacc+a b史也也成等差数列. c18.解: (1)由题设 2a 3=a 〔 + a 2,即 2a 1q 2= a 〔+ aq.•.f( k) = f(k2项开始每项与其前一项差为常数.2 _n + 3nS-b n=S n 1=(nT )(n + 2) >0,故 S n>b n.2 .那么 S=2n+ n(nT) (_1)=-n+9n 22 4S n>b n;当 n=10 时,S n=b n;当 n>11 时,S nV b n.19 .证实：= a n+1= S n+1 — Si ,. . ( n + 2) S n= n( S n+1 — S n ) ,整理得 nS n+1=2(n+1) S, 所以 SU = 2S. .n + 1 n故｛ S n ｝是以2为公比的等比数列. n20 .证实：由 a 1,2a 7, 3a 4成等差数列,得 4a 7=a I+3a 4,即 4 a 〔q 6= a 〔+3a 〔q 3,变形得(4q 3+1)( q 3—1) = 0, /. q 3= — 1 或 q 3= 1(舍).4a41 q 6)一 ：3由三 ='^ =心=上； 12$ 12a 1(1 q )12161 q12、 国(1 q )S-S^ = SL _ 1 = _1 q 6 -1=1+q 6-1= ±； S 6 S 6 a 1(1 q )161 q得生=星上 12S 3 S 12S 3, S 6, S 12— S 6 成等比数列.当n>2时, 当n>2时,S n _b n =S n1=(n-1)(10- n)故对于nCN +,当2W nW 9时, n + 2 an +1 = ------------ Sn ,n。

高中数学典型例题解析---- 数列§4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….3.通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．8.等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝2b a +．我们把Ａ＝2ba +叫做ａ和ｂ的等差中项．二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，…，n ｝)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：⎩⎨⎧≥-==-).2(),1(11n S S n S a n n n 若a 1适合a n (n>2),则n a 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为n d a n d S n )2(212-+=，若令A ＝2d ，B ＝a 1－2d，则n S ＝An 2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。

数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明：312n n a -=. 解：（1）21231,314,3413a a a =∴=+==+=Q .（2）证明：由已知113--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ1213133312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -=.例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列∴13n n a -=（Ⅱ）设{}n b 的公比为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2(51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d ==∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d =∴2(1)3222n n n T n n n -=+⨯=+例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且212322...a a a +++128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{}n n b b -+1是等差数列.⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；⑵是否存在N k *∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由.点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=.（2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况.解：（1）已知212322a a a +++…12n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2)128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②①－②得，128n n a -=，求得42n n a -=，在①中令1n =，可得得41182a -==，所以42nn a -=(n ∈N*）. 由题意18b =，24b =，32b =，所以214b b -=-，322b b -=-，∴数列}{1n n b b -+的公差为2)4(2=---， ∴1n nb b +-=2)1(4⨯-+-n 26n =-，121321()()()n n n b b b b b b b b -=+-+-++-L(4)(2)(28)n =-+-++-L 2714n n =-+(n ∈*N ）.（2）k k b a -=2714k k -+-42k-，当4k ≥时，277()()24f k k =-+-42k-单调递增，且(4)1f =， 所以4k ≥时，2()714f k k k =-+-421k-≥， 又(1)(2)(3)0f f f ===，所以，不存在k ∈*N ，使得(0,1)k k b a -∈.例题4. 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n 、b n 、a n+1成等差数列，b n 、a n+1、b n+1成等比数列，且a 1 = 1， b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，求通项a n ，b n 解： 依题意得：2b n+1 = a n+1 + a n+2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ②∵ a n 、b n 为正数， 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ， 代入①并同除以1+n b 得：212+++=n n n b b b ， ∴}{n b 为等差数列∵ b 1 = 2 ， a 2 = 3 ，29,22122==b b b a 则 ，∴ 2)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ，∴当n ≥2时，2)1(1+==-n n b b a n n n ， 又a 1 = 1，当n = 1时成立， ∴2)1(+=n n a n2. 研究前n 项和的性质例题5. 已知等比数列}{n a 的前n 项和为2nn S a b =⋅+，且13a =.（1）求a 、b 的值及数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n b a =，求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：（1）2≥n 时，a S S a n n n n ⋅=-=--112.而}{n a 为等比数列，得a a a =⋅=-1112， 又31=a ，得3=a ，从而123-⋅=n n a .又123,3a a b b =+=∴=-Q .（2）132n n n n n b a -==⋅， 21123(1)3222n n n T -=++++L231111231(2322222n n n n n T --=+++++L ） ，得2111111(1)232222n n n nT -=++++-L ， 111(1)2412[](1)13232212n n n n n n n T +⋅-=-=---.例题6. 数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k =+++L*()N k ∈， （1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n 项和n S '.解：（1）由题意：410nn a -=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列，∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-L ，∴1(1)7[3]22n n n nb n n --=-=由100n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==.（2）由（1）当7n ≤时，0n b ≥，当7n >时，0n b <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n -+'=+++==-+L当7n >时，12789n n S b b b b b b '=+++----L L 27121132()2144n S b b b n n =-+++=-+L∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩.例题7. 已知递增的等比数列{n a }满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求{n a }的通项公式n a ；（2）若12log n n nb a a =，12n n S b b b =+++L 求使1230n n S n ++⋅>成立的n 的最小值.解：（1）设等比数列的公比为q （q ＞1），由a 1q +a 1q 2+a 1q 3=28，a 1q +a 1q 3=2（a 1q 2+2），得：a 1=2，q =2或a 1=32，q =12（舍）∴a n =2·2（n －1）=2n（2） ∵12log 2nn n n b a a n ==-⋅，∴S n =－（1·2+2·22+3·23+…+n ·2n ） ∴2S n =－（1·22+2·23+…+n ·2n +1），∴S n =2+22+23+…+2n －n ·2n +1=－（n －1）·2n +1－2， 若S n +n ·2n +1＞30成立，则2n +1＞32，故n ＞4，∴n 的最小值为5.例题8. 已知数列}{n a 的前n 项和为S n ，且11,,n n S a +-成等差数列，*1,1N n a ∈=. 函数3()log f x x =.（I ）求数列}{n a 的通项公式； （II ）设数列{}n b 满足1(3)[()2]n n b n f a =++，记数列{}n b 的前n 项和为T n ，试比较52512312n n T +-与的大小. 解：（I ）11,,n n S a +-Q 成等差数列，121n n S a +∴=-① 当2n ≥时，121n n S a -=-②. ①－②得：112()n n n n S S a a -+-=-，13+=∴n n a a ，13.n na a +∴=当n =1时，由①得112221S a a ∴==-， 又11,a =2213,3,a a a ∴=∴={}n a ∴是以1为首项3为公比的等比数列，13.n n a -∴=（II ）∵()x log x f 3=，133()log log 31n n n f a a n -∴===-， 11111()(3)[()2](1)(3)213n n b n f a n n n n ===-++++++，1111111111111()224354657213n T n n n n ∴=-+-+-+-++-+-+++L11111()22323n n =+--++525,122(2)(3)n n n +=-++比较52512312n n T +-与的大小，只需比较2(2)(3)n n ++与312 的大小即可. 222(2)(3)3122(56156)2(5150)n n n n n n ++-=++-=+-又2(15)(10)n n =+-∵*,N n ∈∴当*19N n n ≤≤∈且时，5252(2)(3)312,;12312nn n n T +++<<-即当10n =时，5252(2)(3)312,;12312n n n n T +++==-即当*10N n n >∈且时，5252(2)(3)312,12312n n n n T +++>>-即.3. 研究生成数列的性质例题9. （I ） 已知数列{}n c ，其中nn n c 32+=，且数列{}n n pc c -+1为等比数列，求常数p ；（II ） 设{}n a 、{}n b 是公比不相等的两个等比数列，n n n b a c +=，证明数列{}n c 不是等比数列.解：（Ⅰ）因为{c n +1－pc n }是等比数列，故有 （c n +1－pc n ）2=（ c n +2－pc n+1）（c n －pc n －1）， 将c n =2n ＋3n 代入上式，得 [2n ＋1+3n ＋1－p （2n ＋3n ）]2=[2n ＋2+3n ＋2－p （2n +1＋3n +1）]·[2n +3n －p （2n －1＋3n －1）]， 即[（2－p ）2n +（3－p ）3n ]2=[（2－p ）2n+1+（3－p ）3n+1][ （2－p ）2n －1+（3－p ）3n －1]，整理得61（2－p ）（3－p ）·2n ·3n =0，解得p =2或p =3. （Ⅱ）设{a n }、{b n }的公比分别为p 、q ，p ≠q ，c n =a n +b n . 为证{c n }不是等比数列只需证22c ≠c 1·c 3.事实上，22c =（a 1p ＋b 1q ）2=21a p 2＋21b q 2＋2a 1b 1pq ， c 1·c 3=（a 1＋b 1）（a 1 p 2＋b 1q 2）=21a p 2＋21b q 2＋a 1b 1（p 2＋q 2）.由于p ≠q ，p 2＋q 2>2pq ，又a 1、b 1不为零，因此≠22c c 1·c 3，故{c n }不是等比数列.例题10. n 2（ n ≥4）个正数排成n 行n 列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a 24=1，163,814342==a a 求S=a 11 + a 22 + a 33 + … + a nn解： 设数列{1k a }的公差为d ， 数列{ik a }（i=1，2，3，…，n ）的公比为q则1k a = a 11 + （k －1）d ， a kk = [a 11 + （k －1）d]q k －1依题意得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==+==+=163)2(81)(1)3(31143311421124q d a a q d a a q d a a ，解得：a 11 = d = q = ±21 又n 2个数都是正数，∴a 11 = d = q = 21 ， ∴a kk = kk2nn S 212132122132⨯++⨯+⨯+=Λ，1432212132122121+⨯++⨯+⨯+=n n S Λ，两式相减得：n n n S 22121--=-例题11. 已知函数3()log ()f x ax b =+的图象经过点)1,2(A 和)2,5(B ，记()*3,.f n n a n N =∈（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n n nn b b b T a b +++==Λ21,2，若)(Z m m T n ∈<，求m 的最小值；（3）求使不等式12)11()11)(11(21+≥+++n p a a a nΛ对一切*N n ∈均成立的最大实数p .解：（1）由题意得⎩⎨⎧=+=+2)5(log 1)2(log 33b a b a ，解得⎩⎨⎧-==12b a ，)12(log )(3-=∴x x f *)12(log ,1233N n n a n n ∈-==- （2）由（1）得n n n b 212-=， nn n n n T 2122322523211321-+-++++=∴-Λ ① 1132212232252232121+--+-+-+++=n n n n n n n T Λ ② ①－②得)21212121(2121n 22222222221T 211n 2n 2111n n 1n 321n --+-+++++=--+++++=ΛΛ1n 1n 1n 21n 2212321n 2+-+---=--.n n 2n n 23n 2321n 2213T +-=---=∴-， 设*,232)(N n n n f n ∈+=，则由 1512132121)32(252232252)()1(1<+≤++=++=++=++n n n n n n f n f n n 得*,232)(Nn n n f n ∈+=随n 的增大而减小 +∞→∴n 当时，3→n T 又)(Z m m T n ∈<恒成立，3min =∴m（3）由题意得*21)11()11)(11(121N n a a a n p n ∈++++≤对Λ恒成立记)11()11)(11(121)(21n a a a n n F ++++=Λ，则()()11n 21n 2)1n ()1n (4)1n (2)3n 2)(1n 2(2n 2)a 11()a 11)(a 11(1n 21)a 11)(a 11()a 11)(a 11(3n 21)n (F )1n (F 2n 211n n 21=++>+-++=+++=+++++++++=++ΛΛ)(),()1(,0)(n F n F n F n F 即>+∴>Θ是随n 的增大而增大)(n F 的最小值为332)1(=F ，332≤∴p ，即332max =p .（二）证明等差与等比数列 1. 转化为等差等比数列.例题12. 数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122，*N n ∈. ⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；⑶设n b =1(12)n n a -**12(),()N N n n n T b b b n ∈=+++∈L ，是否存在最大的整数m ，使得对任意*N n ∈，均有>n T 32m成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.解：（1）由题意，n n n n a a a a -=-+++112，}{n a ∴为等差数列，设公差为d ， 由题意得2832d d =+⇒=-，82(1)102n a n n ∴=--=-. （2）若50210≤≥-n n 则，||||||,521n n a a a S n +++=≤Λ时21281029,2n na a a n n n +-=+++=⨯=-L6n ≥时，n n a a a a a a S ---+++=ΛΛ765212555()2940n n S S S S S n n =--=-=-+故⎪⎩⎪⎨⎧+--=40n 9n n n 9S 22n 56n n ≤≥ （3）11111()(12)2(1)21n n b n a n n n n ===--++Q ， ∴n T 1111111111[(1)()()()()]22233411n n n n =-+-+-++-+--+L .2(1)n n =+ 若32n m T >对任意*N n ∈成立，即116n m n >+对任意*N n ∈成立， *()1N n n n ∈+Q 的最小值是21，1,162m ∴<m ∴的最大整数值是7.即存在最大整数,7=m 使对任意*N n ∈，均有.32n m T >例题13. 已知等比数列{}n b 与数列{}n a 满足3,n an b n =∈N *.（1）判断{}n a 是何种数列，并给出证明； （2）若8131220,a a m b b b +=L 求.解：（1）设{}n b 的公比为q ，∵3n an b =，∴()q log 1n a a 3q 331n a 1n a n 1-+=⇒=⋅-。

6.数列递推公式与通项公式基础过关练 ......................................................................................................................... 1 能力提升练 ......................................................................................................................... 4 培优拔尖练 . (9)基础过关练1．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记其前n 项和为n S ，则22S =（ ）A ．361B ．374C ．385D ．395【答案】B【分析】将数列的前22项写出来，再进行求和即可.【详解】根据杨辉三角的特征可以将数列继续写出到第22项：1，3，3，4，6，5，10，6，15，7，21，8，28，9，36，10，45，11，55，12，66，13， 所以()()221361015212836455566345678910111213S =+++++++++++++++++++++()313112863742+⨯=+=2．若数列{}n a 满足132n n a a +=+，则称{}n a 为“梦想数列”，已知正项数列{}1n b -为“梦想数列”，且12b =，则n b =（ ） A ．n b =23n ⨯ B ．n b =213n -⨯ C ．n b =23n ⨯+1 D ．n b =213n -⨯+1【答案】B【分析】将1n b - 作为整体代入，即可求解.【详解】依题意，()()111312,3n n n n b b b b ++-=-+∴= ，即{}n b 是首项为2，公比为3的等比数列，123n n b -=⨯ ；3．已知数列{}n a 的首项11a =，若向量()11,n n a a a +=+，向量()1,1b =，且满足a b ∥，则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．1n a = B ．1,2,n n a n ⎧=⎨-⎩是奇数是偶数C ．n a n =-D ．n a n =【答案】D【分析】根据题目所给的条件，求出数列的递推关系，再根据递推关系求出通项公式. 【详解】由题意，//a b 1111n n a a ++∴= ，即11n n a a +=+ ， 数列{}n a 是首项为1，公差d =1的等差数列，()1111n a a n d n n =+-=+-= ； 4．已知等比数列{}n a 满足112(,2)n n n a a a n N n +-=⋅∈≥，则2n a = A ．1 B ．2C ．nD ．2n【答案】B【分析】由等比中项性质知211n n n a a a +-=，而112(,2)n n n a a a n N n +-=⋅∈≥，即有22n n a a =进而可得n a 的通项，即可求2n a【详解】等比中项的性质得：22n n a a =∴2(,2)n a n N n =∈≥，其中0n a =舍去 ∴22n a =5．数列2，22，222，2222，的一个通项公式an 是（ ） A ．nn a 108=- B ．n n 101a 9-=C ．nn a 21=-D ．()n n 2101a 9-=【答案】D【分析】根据所给的这个数列的特点，先写出数列{c n }:9，99，999，9999的通项是10n﹣1，而要求数列的每一项均是数列{c n }的29，即可得答案． 【详解】根据题意，数列{c n }：9，99，999，9999的通项是10n ﹣1， 数列2，22，222，2222，…的每一项均是数列{c n }的29， 则数列2，22，222，2222，的一个通项公式是a n ()n 21019-=；6．已知{a n }是等差数列，满足：对∀n ∈N*，a n +a n+1＝2n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝（ ） A ．nB ．n ﹣1C ．n ﹣12D ．n+12【答案】C【分析】由12n n a a n ++=得1222n n a a n +++=+，两式相减得22n n a a +-=，可得d 的值，可得答案.【详解】解：由12n n a a n ++=得1222n n a a n +++=+， 两式相减得2221n n a a d d +-==⇒=， 故122n n n a a d n a n ++=⇒=-.7．设数列{}n a 满足1a a =，2121n n n a a a +-=+（*N n ∈），若数列{}n a 是常数列，则=a ( )A ．-2B ．-1C ．0D ．(1)n -【答案】A【分析】因为数列{}n a 是常数列，所以2a a =，再由递推公式可得2221a a a -=+，联立求解即可.【详解】解：因为数列{}n a 是常数列，所以221212211a a a a a a --===++， 即2(1)2a a a +=-，解得2a =-.8．在数列{}n a 中，114a =-，*111(2,)n n a n n N a -=-≥∈，则2016a 的值为 A ．14-B ．5C ．45 D ．54【答案】C【分析】利用数列的周期性即可求解.【详解】解：由题意，可得114a =-，2145a =+=，314155a =-=，4151144a a =-=-=， 所以数列{}n a 是以3为周期的周期数列， 所以2016345a a ==， 9．在数列{}n a 中，若12a =，1132n n n a a ++=+，则n a =（ ） A ．2n n ⋅ B ．5122n -C ．1232n n +⋅-D ．11432n n -+⋅-【答案】C【分析】根据题干条件构造等比数列，进行求解.【详解】令22n n n a b =+，则11111322232222222n n n n n n n n n n n a a b a a b ++++++++===++， 又11232a b =+=，所以{}n b 是以3为首项，32为公比的等比数列， 所以132322n n n n a b -⎛⎫=+=⨯ ⎪⎝⎭，得1232n n n a +=⋅-．10．已知数列{}n a 满足2123n a a a a n =，其中1,2,3,n =，则数列{}n a （ ）A ．有最大项，有最小项B ．有最大项，无最小项C ．无最大项，有最小项D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】求得数列{}n a 的通项公式，再分析数列的单调性即可 【详解】依题意，因为2123n a a a a n =，其中1,2,3,n =，当1n =时，2111a ==，当2n ≥时，21231(1)n a a a a n -=-，2123n a a a a n =，两式相除有22211,2(1)1n n a n n n ⎛⎫=+≥ ⎪--⎝⎭=，易得n a 随着n 的增大而减小，故24n a a ≤=，且11n a a >=，故最小项为11a =，最大项为24a =能力提升练1．已知数列{}n a 满足1211n n a a n +-=-，且110a =，则n a 的最小值是（ ） A ．-15 B ．-14C ．-11D ．-6【答案】A【分析】根据已知条件得出最小项为6a ，利用迭代的思想即可求得6a .【详解】∵1211n n a a n +-=-，∴当5n ≤时，10n n a a +-<，当5n >时，10n n a a +->，∴12345678a a a a a a a a >>>>><<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又1211n n a a n +-=-，∴()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+- ()()()()()109753115=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是15-.2．若数列{}n a 和{}n b 满足12a =，10b =，1232n n n a a b +=++，1232n n n b a b +=+-，则20222021a b +=（ ） A ．2020231⋅+B ．2020321⋅-C ．2020321⋅+D ．2021321⋅-【答案】C【分析】依题意可得{}n n a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，即可求出{}n n a b +的通项公式，再根据1232n n n a a b +=++，得到131122n n n a a b +=++，即可得到{}1n n a b ++的通项公式，最后代入即可； 【详解】解：因为1232n n n a a b +=++， 1232n n n b a b +=+-，所以()112232324n n n n n n n n a b a b a b a b ++-+=++++=+，即()112n n n n a b a b +++=+， 又112a b +=， 所以{}nn a b +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2nn n a b +=，又1232n n n a a b +=++，即131122n n n a a b +=++， 所以()1313112223212n n n n n n n n a b a b b a b +===⨯+++++++ 所以20212002222200213213212a b +=⨯+=⨯+； 3．已知n a 为数列{}n b 的前n 项积，若121n nb a -=，则数列{}n a 的通项公式n a =（ ） A ．32n - B ．32n -+C ．34n -D ．12n -【答案】D【分析】先求出11a =-，再根据题意可得111221n nn n n n a a a a a a ---=-=,化简为12n n a a --=-，由此求得答案.【详解】当1n = 时，111121,1a a a -==-， 当2n ≥ 时，111221n n n n n n a a a a a a ---=-=，即12n n a a --=-， 故数列{}n a 为首项为1- ，公差为2- 的等差数列， 故1(1)(2)12n a n n =-+--=- ，4．已知数列{n a }满足2112333...3n n a a a a -++++=3n（n ∈N *），则n a =（ ） A ．13nB ．-113n C ．13nD ．113n +【答案】C【分析】根据已知条件，应用作差法可得1133n n a -=，进而求得数列{n a }的通项公式，注意验证1a 是否满足通项公式.【详解】由题设，2112333...3n n a a a a -++++=3n ①，则221231133 (33)n n n a a a a ---++++=(2)n ≥②，①-②得：1113333n n n n a --=-=(2)n ≥， 所以13n n a =(2)n ≥，由①知113a =也满足上式，故13n n a =（n ∈N *）. 5．已知数列{}n a 满足22a =，2212nn n a a -=+（n *∈N ），()2121n n n a a +=+-（n *∈N ），则数列{}n a 第2022项为（ ） A ．101222- B ．101223- C ．101122- D ．101121-【答案】A【分析】先通过条件得到12222(1)n n n n a a --=++-，再利用累加法即可求解.【详解】由()2121n n n a a +=+-得()()12122,21n n n a n n a -*--=+-∈≥N ，又2212n nn aa -=+，可得12222(1)n n n n a a --=++-，所以()()223426421,21a a a a =++-=++-，()()3101041011862022202021,,21a a a a =++-=++-，将上式相加得()()()12101023101120222111222a a =+-+-+-++++101010124(12)22212⋅-=+=--.6．已知数列{}n a 满足：①先单调递减后单调递增：②当3n =时取得最小值．写出一个满足条件的数列{}n a 的通项公式n a =_________．【答案】()()2*3N n n a n =-∈【分析】利用数列单调性的定义进行判断，从而得到数列的最值.【详解】设()()2*3N n a n n =-∈，则()212n a n +=-，()()2122325n n a a n n n +-=---=-，当120152,n n n n a a +-=-≤<≤，数列单调递减，当1503,2n n n a a n +-=->≥，数列单调递增，即1234a a a a >><<⋅⋅⋅， 可得当3n =时数列取得最小值，故答案为：()()2*3N n n a n =-∈7．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，12n n a S +=（n 为正整数），则数列{}n a 的通项公式为________．【答案】21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩【分析】当2n ≥时，12n n a S -=，所以两式相减得()112n n n n a a S S +--=-，所以化简有13n na a +=，又因为212a a =，可得数列{}n a 是以22a =为首项，公比为3的等比数列，即可求出数列{}n a 的通项公式.【详解】因为11a =，12n n a S +=， 所以当1n =时，211222a S a ===，当2n ≥时，12n n a S -=，所以两式相减得：()112n n n n a a S S +--=-， 则12n n n a a a +=-，所以13n n a a +=，又因为 212aa =， 所以数列{}n a 是以22a =为首项，公比为3的等比数列.所以当2n ≥时，223n n a -=⋅.所以数列{}n a 的通项公式为：21,123,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩8．已知等差数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和n S 满足211nn S n a n +=+，则其通项n a =______． 【答案】2n 【分析】设出首项和公差，根据1n =和2n =得到方程组，变形后得到()1123223a d d a d +=+，从而求出公差，进一步求出首项，求出通项公式.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，令1n =得： 12212a a =，即2212a a =，令2n =得：则122323a a a +=，由212212342332a a a a a ⎧=⎨+=⎩，两式相减得：()()21323232a a a a a a -=+-，即()1123223a d d a d +=+，因为等差数列{}n a 的各项均为正数，所以1230a d +>，解得：12d =，代入2212a a =中，解得：112a =， 所以()111222=+-=n n a n .故答案为：2n 9．已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1125n n n S S a +=++，则数列{}n a 的通项公式为n a =___________. 【答案】1165121111n -⋅- 【分析】利用n S 与n a 的关系，得到1125n n a a +=+，再利用待定系数法，进行构造数列，得到511n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，进而利用等比通项公式即可求解.【详解】由题意得，1125n n a a +=+，设()112n n a a λλ++=+，故11211n n a a λ+=+，则115λ=，故511λ=，则155121111n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，即151112511n n a a ++=+，则数列511n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1611，公比为12的等比数列，故1516121111n n a -+=⋅，故1165121111n n a -=⋅-. 10．已知数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，且()12n n nS n S +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =___________. 【答案】n【分析】先利用累乘法将n S 的通项公式求出，再利用n S 与n a 的关系，求出{}n a 的通项公式即可.【详解】解：∵1(2)n n nS n S +=+，∴12n n S n S n++= 当2n ≥时，121121n n n n n S S S S S S S S ---=⨯⨯⨯⨯， 1126543112344321n n n n n n n n +--=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯---- (1)2n n +=当1n =时，111212S a ⨯===成立， ∴(1)2n n n S +=， 当2n ≥时，1(1)(1)22n n n n n n na S S n -+-=-=-=， 当1n =时，11a =满足上式， ∴n a n =.培优拔尖练1．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足①0n a ≥恒成立，②12n S ≤≤，③{}n a 是一个递减数列，写出一个满足以上条件的数列{}n a ：___________. 【答案】2441n a n =-（答案不唯一）【分析】由已知可知数列{}n a 每一项均非负，且为递减数列，前n 项和大于等于1且小于等于2，所以对于2441n a n =-逐个验证即可【详解】易知24041n a n =>-恒成立，满足条件①；24112412121n a n n n ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭， 则12n n S a a a =+++=111112212335212121n n n ⎛⎫=⨯-+-++-=- ⎪-++⎝⎭. 又20121n <<+，所以12n S <<，满足条件②； 由2441n a n =-易知{}n a 是递减数列，满足条件③.2．在数列{}n a 中，11a =，213a =，且满足1112(3)n n n n n a a a a a +-+=-(2)n ≥，则n a =___________. 【答案】121n- 【分析】由递推公式两边同除11n n n a a a -+得到11231n n n a a a -+=-，即可得到1111112n n n na a a a -+⎛⎫-=⎪- ⎝⎭，即可得到111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项、2为公比的等比数列，则1112n n na a +-=，再利用累加法求出1na ，即可得到数列{}n a 的通项公式； 【详解】解：因为11a =，213a =，()11123n n n n n a a a a a +-+=-，显然0n a ≠，所以111123n n n n n n a a a a a a ++--=-，同除11n n n a a a -+得11231n n n a a a -+=-，所以1111112nn n n a a a a -+⎛⎫-=⎪- ⎝⎭，所以1111211n nn n a a a a +--=-，所以111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以2为首项、2为公比的等比数列，所以1111222n n n n a a -+-=⨯=，所以132212111111111111n n n n n a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1211222212112nn n n ---=++++==--所以121n n a =- 3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意*n ∈N ，函数2()cos 21n n f x x S x a =-+-在定义域内有唯一的零点，则数列{}n a 的通项公式________．【答案】12n n a -=【分析】根据偶函数的对称性可以判定函数为唯一零点的横坐标必然为0，进而得到数列的和与项的关系式，利用作差法消和得到项的递推关系，结合首项的求解结果，可以判定此数列是等比数列，然后写出通项公式即可.【详解】函数2()cos 21n n f x x S x a =-+-在定义域内有唯一的零点，结合余弦函数和二次函数的对称性，2()cos 21n n f x x S x a =-+-为偶函数，其图象关于y 轴对称可知这个公共点的横坐标一定是0，（否则公共点则成对出现），即21n n S a =-,取1n =得11121a S a ==-,s 所以11a =,当2n ≥时得到1121n n S a --=-,122n n n a a a -∴=-,即12n n a a -=,∴数列{}n a 为首项为1，公比为2的等比数列，∴12n n a -=,4．已知数列{}n a 满足()1111n n a n N a *+=-∈+，11a =.若从四个条件：①A ；②2ωπ=；③3πϕ=；④12B =中，选择一个作为条件补充到题目中，将数列{}n a 的通项n a 表示为sin()0,||2A n B πωϕωϕ⎛⎫++>< ⎪⎝⎭的形式，则n a =___________.134n ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭或134n ππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 【分析】由递推关系推出n a 的通项公式，发现n a 周期为2，求出w π=，则排除②，再根据，1a ，2a 的取值，求出14B =，排除④，分别讨论①和③作为条件时是否成立，得到最终的表达式.【详解】解：因为()1111n n a n N a *+=-∈+，11a =，则212a =-，31a =，412a =-，51a =，612a =-，L ，所以数列{}n a 周期为2，即22T wπ==，解得w π=，则②不能作为条件，此时sin()n a A n B πϕ=++，有sin()11sin(2)2A B A B πϕπϕ++=⎧⎪⎨++=-⎪⎩ 解得：14B =，则④不能作为条件，此时1sin()4n a A n πϕ=++，当①作为条件时，1)4n a n πϕ++，11)14a πϕ=++=，此时sin ϕ=，3πϕ=-，代入n a成立，故①可作为条件，此时1)34n a n ππ=-+ 当③作为条件时，1sin()34n a A n ππ=++，则11s i n ()134a A n ππ=++=，此时A =，代入na成立，故③可作为条件，此时1)34n a n ππ=++. 5．在数列{}n a 中，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，则n a =___________.【答案】()2211nn -+【分析】根据已知条件求得()2122111n nn a a n +⎡⎤-+⎣⎦+=，用累乘法求得n a . 【详解】依题意，()()22112,1222n n a n a n n a +=+=-+，即()()()2221121,2111211n n n n n a n a n a a n ++⎡⎤-+⎣⎦⎡⎤+=+=-⎣⎦+， 所以13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅ ()()()()22222222211201222212311121111n n n n ⎡⎤⎡⎤-+-+⎣⎦⎣⎦-+-+⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=⋅⋅⋅⋅⋅++()2211n n =-+.故答案为：()2211n n -+ 6．已知数列{}n a 中，11511,2n n a a a +==-，若12n n b a =-，则数列{}n b 的前n 项和n S =_______. 【答案】4619n n +--【分析】根据条件，先构造等比数列求出n a ，再由12n n b a =-得n b ，从而可求和. 【详解】由1512+=-n n a a ，有11112222n n n na a a a +--=-=⋅，12111222n n n n a a a a +--=-=⋅；两式相除得到1122111422n n n n a a a a ++--=⋅--，所以212n n a a ⎧⎫⎪⎪-⎨⎬⎪⎪-⎩⎭是以14为公比，112212a a -=--为首项的等比数列，所以，1212142n n n a a --⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭-，13224n n a -=-+，从而12433n n b -=--. 所以2141241461333399n n n n n n n S --+-=--⨯=--=-. 7．已知数列{}n a 满足11a =，195n n n a a a +-=-，则n a =______. 【答案】23n-【解析】由已知数列递推式可得数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭以12-为首项,以12-为公差的等差数列,求出等差数列的通项公式后可得n a . 【详解】由195n n n a a a +-=-得()()()()1115903323230n n n n n n n n a a a a a a a a +++∴--+=∴---++-=，， 1111332n n a a +∴=---，又11113132a ==---，所以数列13n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭以12-为首项,以12-为公差的等差数列,111(1)3222n n n a ⎛⎫∴=-+--=- ⎪-⎝⎭，23n a n ∴-=-，所以23n a n=-， 8．已知递增数列{}n b 的前n 项和为n S ，11b =，若141n n n b b S +=-，则n b =________. 【答案】21n -【分析】由条件可得()11411n n n b b S n --=->与141n n n b b S +=-两式相减可得{}n b 的关系，从而得到答案.【详解】当1n =时，121141=41b b S b =--，得23b =. 由141n n n b b S +=-………① 当1n >时，1141n n n b b S --=-……②由①－②得: ()11144n n n n n n n b b b b S b S +--==-- 又数列{}n b 为递增数列且11b =，所以1n b ≥ 所以得到114n n b b +--=所以数列{}n b 的奇数项是以11b =为首项，4为公差的等差数列, 设21,*n k k N =-∈,则()211414321n k b b k k n -==+-=-=-. 数列{}n b 的偶数项是以23b =为首项，4为公差的等差数列,设2,*n k k N =∈,则()23414121n k b b k k n ==+-=-=- 所以21n b n =-9．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2119*2n n n nS S n N +-+=∈，若24a <-，则n S 取最小值时n =__________. 【答案】10【分析】由题意结合递推关系可得21(2)n n a a n +-=≥，即数列为隔项等差数列，结合数列的性质可得n S 取最小值时n 的值.【详解】由21192n n n nS S +-+=，()21(1)1912n n n n S S ----+=，两式作差可得：1110(2)n n S S n n +--=-≥，即110(2)n n a a n n ++=-≥，由110n na a n ++=-，219n n a a n +++=-，两式作差可得：21(2)n n a a n +-=≥， 则328a a +=-，24a <-，故234a a <-<，进一步可得：4567891011,,,a a a a a a a a <<<<，又10110a a +=，则10110a a <<，且111212130a a a a <+<+<，则n S 取最小值时10n =.10．已知数列{}n a 满足121,3a a ==，()1N,3n n a a n n n --=∈≥，{}21n a -是递增数列，{}2n a 是递减数列，则2018a =__________． 【答案】1005-【分析】先判断()21201n n a a n +->≥，()222101n n a a n ++-<≥，可得()21222212122n n n n a a n a a n +++-=+⎧⎨-=-+⎩，相加得到2221n n a a +-=-，根据等差数列的通项公式可得结果.【详解】{}21n a -是递增数列，21210n n a a +-∴->，()()2122210n n n n a a a a +-∴-+->， 212221212,n n n n n n a a a a +-+>∴->-， ()21202n n a a n +∴->≥，∵1n n a a n --=，∴当3n =时，323a a -=， ∵23a =，∴333a -=，解得：36a =或0， ∵{}21n a -是递增数列， ∴310a a >>， ∴36a =， ∴230,a a ->()21201n n a a n +∴->≥成立，由{}2n a 是递减数列，2220n n a a +∴-<， 同理可得()222101n n a a n ++-<≥，()21222212122n n n n a a n a a n +++-=+⎧∴⎨-=-+⎩， 2221n n a a +∴-=-，{}2n a ∴是首项为3，公差为1-的等差数列，故()()201831009111005a =+-⋅-=-.。

一．选择题（共11小题）1．（2014•天津模拟）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围（）A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）2．（2014•天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2 C．D．﹣3．（2014•河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）A．1B．﹣1 C．2D．4．（2014•河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5B．6C．7D．85．（2014•河西区三模）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）A．11 B．5C．﹣8 D．﹣116．（2014•河西区二模）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（）C．6D．﹣6A．B．﹣A．9B．12 C．14 D．188．（2013•南开区一模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）A．47 B．45 C．38 D．549．（2013•天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（）A．±9 B．9C．±3 D．310．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8B．18 C．26 D．8011．（2012•天津模拟）在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）A．20 B．21 C．42 D．84二．填空题（共7小题）12．（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_________．13．（2014•红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数1 5 7 772 12 8 963 21 12 1924 32 16 3205 45 32 11526 60 48 2496则等级为50级需要的天数a50=_________．14．（2014•郑州模拟）数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=_________．15．（2014•厦门一模）已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于_________．17．（2014•天津模拟）记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=_________．18．（2014•北京模拟）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=_________．三．解答题（共12小题）19．（2014•濮阳二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．20．（2014•天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．21．（2014•天津模拟）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．22．（2009•河西区二模）已知等差数列{a n}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{b n}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=S n，其中S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．（1）求a n的表达式；（2）若c n=﹣a n b n，试问数列{c n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立？并证明你的结论．23．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．24．已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*（I）求q的值；（Ⅱ）若a3=8，数列{b n}}满足a n=4log2b n，求数列{b n}的前n项和．25．已知数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a n＞0，a1=3，a3=27．（1）求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；（2）设b n=2log3a n+1，求数列{b n}的前项和T n．26．已知等差数列{a n} 的前n项和为S n，a2=9，S5=65．（I）求{a n} 的通项公式：（II）令，求数列{b n}的前n项和T n．27．已知等比数列{a n}满足a2=2，且2a3+a4=a5，a n＞0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n3a n+2n+1，数列{b n}的前项和为T n，求T n．28．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．（1）求q3的值；（2）求证：a2，a8，a5成等差数列．29．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，，．（I）求a n；（II）若，求数列{b n}的前n项和T n．30．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a2=8，S10=185．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n=log2b n（n=1，2，3…），证明{b n}是等比数列，并求数列{b n}的前n项和T n．高一数列专项典型练习题参考答案与试题解析一．选择题（共11小题）1．（2014•天津模拟）已知函数f（x）=（a＞0，a≠1），数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围（）A．[7，8）B．（1，8）C．（4，8）D．（4，7）考点：数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：利用一次函数和指数函数的单调性即可得出．解答：解：∵{a n}是单调递增数列，∴，解得7≤a＜8．故选：A．点评：本题考查了分段函数的意义、一次函数和指数函数的单调性，属于中档题．2．（2014•天津）设{a n}的首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1=（）A．2B．﹣2 C．D．﹣考点：等比数列的性质；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的前n项和求出S1，S2，S4，然后再由S1，S2，S4成等比数列列式求解a1．解答：解：∵{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，∴S1=a1，S2=2a1﹣1，S4=4a1﹣6，由S1，S2，S4成等比数列，得：，即，解得：．故选：D．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．3．（2014•河南一模）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若，则=（）考点：等差数列的前n项和．分析：由等差数列的求和公式和性质可得=，代入已知可得．解答：解：由题意可得====1故选A点评：本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属基础题．4．（2014•河东区一模）阅读图的程序框图，该程序运行后输出的k的值为（）A．5B．6C．7D．8考点：等比数列的前n项和；循环结构．专题：计算题．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量s，k的值，最后输出k的值，列举出循环的各个情况，不难得到输出结果．解答：解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：循环前：k=0，s=0，每次循环s，k的值及是否循环分别如下第一圈：S=2°＜100，k=1；是第二圈：S=2°+21＜100，k=2；是第三圈：S=2°+21+22＜100，k=3；是第四圈：S=2°+21+22+23＜100，k=4；是第五圈：S=2°+21+22+23+24＜100，k=5；是第六圈：S=2°+21+22+23+24+25＜100，k=6：是第七圈：S=2°+21+22+23+24+25+26＞100，k=6：否满足S＞100，退出循环，此时k值为7一模块最重要的题型，5．（2014•河西区三模）设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于（）A．11 B．5C．﹣8 D．﹣11考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得数列的公比q，代入求和公式化简可得．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，（q≠0）由题意可得8a2+a5=8a1q+a1q4=0，解得q=﹣2，故====﹣11故选D点评：本题考查等比数列的性质，涉及等比数列的求和公式，属中档题．6．（2014•河西区二模）数列{a n}满足a1=2，a n=，其前n项积为T n，则T2014=（）C．6D．﹣6A．B．﹣考点：数列递推式．专题：计算题；点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列{a n}满足a1=2，a n=，可得数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，即可得出结论．解答：解：∵a n=，∴a n+1=，∵a1=2，∴a2=﹣3，a3=﹣，a4=，a5=2，…，∴数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1，∵2014=4×503+2，∴T2014=﹣6．故选：D．点评：本题考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，确定数列{a n}是周期为4的周期数列，且a1a2a3a4=1是关键．7．（2014•河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=（）考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：直接由数列递推式得到数列为等差数列，再由等差数列的性质结合a6=4﹣a4得到a5的值，然后直接代入前n项和得答案．解答：解：∵a n+2=2a n+1﹣a n，∴2a n+1=a n+a n+2∴数列{a n}是等差数列．又a6=4﹣a4，∴a4+a6=4，由等差数列的性质知：2a5=a4+a6=4，得a5=2．∴S9=9a5=9×2=18．故选：D．点评：本题考查数列递推式，考查了等差关系得确定，考查了等差数列的性质及前n项和，是中档题．8．（2013•南开区一模）已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S7=28，S11=66，则S9的值为（）A．47 B．45 C．38 D．54考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：设公差为d，利用等差数列前n项和列关于a1、d的方程组，解出a1，d，再用前n项和公式可得S9的值．解答：解：设公差为d，由S7=28，S11=66得，，即，解得，所以S9=9×1=45．故选B．点评：本题考查等差数列的前n项和公式，考查方程思想，考查学生的运算能力，属基础题．9．（2013•天津一模）在等比数列{a n}中，，则a3=（）A．±9 B．9C．±3 D．3考点：等比数列的前n项和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：设出公比，利用条件，可得=27，=3，两式相除，可得结论．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，则∵，∴=27，=3∴a3=±3故选C．点评：本题考查等比数列的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（2012•天津）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A．8B．18 C．26 D．80考点：数列的求和；循环结构．专题：计算题．分析：根据框图可求得S1=2，S2=8，S3=26，执行完后n已为4，故可得答案．解答：解：由程序框图可知，当n=1，S=0时，S1=0+31﹣30=2；同理可求n=2，S1=2时，S2=8；n=3，S2=8时，S3=26；执行完后n已为4，故输出的结果为26．故选C．点评：本题考查数列的求和，看懂框图循环结构的含义是关键，考查学生推理、运算的能力，属于基础题．11．（2012•天津模拟）在等差数列{a n}中，4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，那么该数列的前14项和为（）A．20 B．21 C．42 D．84考点：等差数列的性质；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：由数列为等差数列，利用等差数列的性质得到a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，化简已知的等式，可得出a4+a11的值，再根据等差数列的性质得到a1+a14=a4+a11，由a4+a11的值得到a1+a14的值，然后利用等差数列的前n 项和公式表示出该数列的前14项之和，将a1+a14的值代入即可求出值．解答：解：∵数列{a n}为等差数列，∴a3+a5=2a4，a8+a14=a6+a16=2a11，又4（a3+a4+a5）+3（a6+a8+a14+a16）=36，∴12a4+12a11=36，即a4+a11=3，∵a1+a14=a4+a11=3，则该数列的前14项和S14==21．故选B点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．二．填空题（共7小题）12．（2014•天津）设{a n}是首项为a1，公差为﹣1的等差数列，S n为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为﹣．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由条件求得，S n=，再根据S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，由此求得a1的值．解答：解：由题意可得，a n=a1+（n﹣1）（﹣1）=a1+1﹣n，S n==，再根据若S1，S2，S4成等比数列，可得=S1•S4，即=a1•（4a1﹣6），解得a1=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，等比数列的定义和性质，属于中档题．13．（2014•红桥区二模）某公司推出了下表所示的QQ在线等级制度，设等级为n级需要的天数为a n（n∈N*），等级等级图标需要天数等级等级图标需要天数1 5 7 772 12 8 963 21 12 1924 32 16 3205 45 32 11526 60 48 2496则等级为50级需要的天数a50=2700．考点：数列的概念及简单表示法；归纳推理．专题：等差数列与等比数列．分析：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3），利用等差数列的前n项和公式即可得出．解答：解：由表格可知：a n=5+7+…+（2n+3）==n（n+4），∴a50=50×54=2700．故答案为：2700．点评：本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、归纳推理等基础知识与基本技能方法，属于基础题．14．（2014•郑州模拟）数列{a n}为等比数列，a2+a3=1，a3+a4=﹣2，则a5+a6+a7=24．考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意，联立两方程a2+a3=1，a3+a4=﹣2解出等比数列的首项与公比，即可求出a5+a6+a7的值．解答：解：由a2+a3=1，a3+a4=﹣2，两式作商得q=﹣2．代入a2+a3=1，得a1（q+q2）=1．解得a1=．所以a5+a6+a7=（24﹣25+26）=24．故答案为：24．点评：本题考查对数计算与等比数列性质的运用，属于基本计算题15．（2014•厦门一模）已知数列{a n}中，a n+1=2a n，a3=8，则数列{log2a n}的前n项和等于．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出{an}是首项和公比都是2的等比数列，从而得到，log2a n=n，由此能求出数列{log2a n}的前n项和．解答：解：∵数列{a n}中，a n+1=2a n，∴=2，∴{a n}是公比为2的等比数列，∵a3=8，∴，解得a1=2，∴，∴log2a n=n，∴数列{log2a n}的前n项和：S n=1+2+3+…+n=．故答案为：．点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的灵活运用．16．（2014•河西区一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，a6=4﹣a4，则S9=18．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件推导出数列{a n}是等差数列，由此利用等差数列性质能求出结果．解答：解：∵数列{a n}的前n项和为S n，并满足a n+2=2a n+1﹣a n，∴数列{a n}是等差数列，∵a6=4﹣a4，∴a6+a4=4，∴=．故答案为：18．点评：本题考查数列的前9项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．17．（2014•天津模拟）记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a2+a4=6，S4=10．则a10=10．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组，求出首项和公差，由此能求出结果．解答：解：等差数列{a n}的前n项和为S n，∵a2+a4=6，S4=10，设公差为d，∴，解得a1=1，d=1，∴a10=1+9=10．故答案为：10．点评：本题考查等差数列中第10项的求法，是基础题，解题时要认真审题，要熟练掌握等差数列的性质．18．（2014•北京模拟）设S n是等比数列{a n}的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2+a5=2a m，则m=8．考点：等差数列的性质；等比数列的通项公式．专题：计算题．分析：由S3，S9，S6成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，利用等比数列的前n项和公式化简，得到关于q的关系式，再利用等比数列的性质化简a2+a5=2a m的左右两边，将得到的关于q的关系式整理后代入，即可得出m的值．解答：解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，且S3，S9，S6成等差数列，∴2S9=S3+S6，即=+，整理得：2（1﹣q9）=1﹣q3+1﹣q6，即1+q3=2q6，又a2+a5=a1q+a1q4=a1q（1+q3）=2a1q7，2a m=2a1q m﹣1，且a2+a5=2a m，∴2a1q7=2a1q m﹣1，即m﹣1=7，则m=8．故答案为：8点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式及求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．三．解答题（共12小题）19．（2014•濮阳二模）设{a n}是等差数列，{b n}是各项都为正数的等比数列，且a1=b1=1，a3+b5=21，a5+b3=13 （Ⅰ）求{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．考点：等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和．专题：计算题；压轴题．分析：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，根据等比数列和等差数列的通项公式，联立方程求得d和q，进而可得{a n}、{b n}的通项公式．（Ⅱ）数列的通项公式由等差和等比数列构成，进而可用错位相减法求得前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q，则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．所以a n=1+（n﹣1）d=2n﹣1，b n=q n﹣1=2n﹣1．（Ⅱ）．，①，②②﹣①得，===．点评：本题主要考查等差数列的通项公式和用错位相减法求和．20．（2014•天津三模）已知数列{a n}的前n项和S n=﹣a n﹣+2（n∈N*），数列{b n}满足b n=2n a n．（1）求证数列{b n}是等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为T n，证明：n∈N*且n≥3时，T n＞；（3）设数列{c n}满足a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn（λ为非零常数，n∈N*），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N*，都有c n+1＞c n．考点：等差数列的性质；数列与不等式的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知条件推导出2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．由此能证明{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．从而求出a n=．（2）由（1）知=（n+1）•（）n，利用错位相减法能求出T n=3﹣．再用数学归纳法能证明n∈N*且n≥3时，T n＞．（3）由a n（c n﹣3n）=（﹣1）n﹣1λn可求得c n，对任意n∈N+，都有c n+1＞c n即c n+1﹣c n＞0恒成立，整理可得（﹣1）n﹣1•λ＜（）n﹣1，分n为奇数、偶数两种情况讨论，分离出参数λ后转化为函数最值即可解决．解答：（1）证明：在S n=﹣a n﹣+2（n∈N*）中，令n=1，得S1=﹣a1﹣1+2=a1，解得a1=，当n≥2时，S n﹣1=﹣a n﹣1﹣（）n﹣2+2，∴a n=S n﹣S n﹣1=﹣a n+a n﹣1+（）n﹣1，∴2a n=a n﹣1+（）n﹣1，即2n a n=2n﹣1a n﹣1+1．∵b n=2n a n，∴b n=b n﹣1+1，即当n≥2时，b n﹣b n﹣1=1，又b1=2a1=1，∴{数列b n}是首项和公差均为1的等差数列．于是b n=1+（n﹣1）•1=n=2n a n，∴a n=．（2）证明：∵，∴=（n+1）•（）n，∴T n=2×+3×（）2+…+（n+1）×（）n，①=2×（）2+3×（）3+…+（n+1）×（）n+1，②①﹣②，得：=1+=1+﹣（n+1）•（）n+1=，∴T n=3﹣．∴T n﹣=3﹣=，∴确定T n与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小．下面用数学归纳法证明n∈N*且n≥3时，T n＞．①当n=3时，23＞2×3+1，成立②假设当n=k（k≥3）时，2k＞2k+1成立，则当n=k+1时，2k+1=2•2k＞2（2k+1）=4k+2=2（k+1）+1+（2k﹣1）＞2（k+1）+1，∴当n=k+1时，也成立．于是，当n≥3，n∈N*时，2n＞2n+1成立∴n∈N*且n≥3时，T n＞．（3）由，得=3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n，∴c n+1﹣c n=[3n+1+（﹣1）n•λ•2n+1]﹣[3n+（﹣1）n﹣1•λ•2n]=2•3n﹣3λ（﹣1）n﹣1•2n＞0，∴，①当n=2k﹣1，k=1，2，3，…时，①式即为λ＜，②依题意，②式对k=1，2，3…都成立，∴λ＜1，当n=2k，k=1，2，3，…时，①式即为③，依题意，③式对k=1，2，3…都成立，∴，∴，又λ≠0，∴存在整数λ=﹣1，使得对任意n∈N*有c n+1＞c n．点评：本题考查数列递推式、等差数列的通项公式、数列求和等知识，考查恒成立问题，考查转化思想，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．21．（2014•天津模拟）在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n．考点：等比数列的通项公式；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据b2+S2=12，{b n}的公比，建立方程组，即可求出a n与b n；（2）由a n=3n，bn=3n﹣1，知c n=a n•b n=n•3n，由此利用错位相减法能求出数列{c n}的前n项和T n．解答：解：（1）∵在等差数列{a n}中，a1=3，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，b1=1，公比为q，且b2+S2=12，．∴b2=b1q=q，，（3分）解方程组得，q=3或q=﹣4（舍去），a2=6（5分）∴a n=3+3（n﹣1）=3n，b n=3n﹣1．（7分）（2）∵a n=3n，b n=3n﹣1，∴c n=a n•b n=n•3n，∴数列{c n}的前n项和T n=1×3+2×32+3×33+…+n×3n，∴3T n=1×32+2×33+3×34+…+n×3n+1，∴﹣2T n=3+32+33+…+3n﹣n×3n+1=﹣n×3n+1=﹣n×3n+1，∴T n=×3n+1﹣．点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和错位相减法的合理运用．22．（2009•河西区二模）已知等差数列{a n}满足a3+a4=9，a2+a6=10；又数列{b n}满足nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=S n，其中S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和．（1）求a n的表达式；（2）若c n=﹣a n b n，试问数列{c n}中是否存在整数k，使得对任意的正整数n都有c n≤c k成立？并证明你的结论．考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用等比数列的通项公式、、分类讨论的思想方法即可得出．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4=9，a2+a6=10，∴，解得，∴a n=2+1×（n﹣1）=n+1．（2）∵S n是首项为1，公比为的等比数列的前n项和，∴nb1+（n﹣1）b2+…+2b n﹣1+b n=，①（n﹣1）b1+（n﹣2）b2+…+2b n﹣2+b n﹣1=…+，②①﹣②得b1+b2+…+b n=，即．当n=1时，b1=T n=1，当n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1==．∴．．于是c n=﹣a n b n．设存在正整数k，使得对∀n∈N*，都有c n≤c k恒成立．当n=1时，，即c2＞c1．当n≥2时，==．∴当n＜7时，c n+1＞c n；当n=7时，c8=c7；当n＞7时，c n+1＜c n．∴存在正整数k=7或8，使得对∀n∈N*，都有c n≤c k恒成立．点评：熟练掌握等差数列的图象公式、分类讨论的思想方法、等比数列的通项公式、、分类讨论的思想方法是解题的关键．23．已知等比数列{a n}中，a1=，公比q=．（Ⅰ）S n为{a n}的前n项和，证明：S n=（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{b n}的通项公式．考点：等比数列的前n项和．专题：综合题．分析：（I）根据数列{a n}是等比数列，a1=，公比q=，求出通项公式a n和前n项和S n，然后经过运算即可证明．（II）根据数列{a n}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b n}的通项公式．解答：证明：（I）∵数列{a n}为等比数列，a1=，q=∴a n=×=，S n=又∵==S n∴S n=（II）∵a n=∴b n=log3a1+log3a2+…+log3a n=﹣log33+（﹣2log33）+…﹣nlog33=﹣（1+2+…+n）=﹣∴数列{b n}的通项公式为：b n=﹣点评：本题主要考查等比数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．24．已知等差数列{a n}的前n项和为s n=pm2﹣2n+q（p，q∈R），n∈N*（I）求q的值；（Ⅱ）若a3=8，数列{b n}}满足a n=4log2b n，求数列{b n}的前n项和．考点：等比数列的前n项和；等差数列的性质．专题：计算题．分析：（I）根据前n项和与通项间的关系，得到a n=2pn﹣p﹣2，再根据{an}是等差数列，a1满足a n，列出方程p﹣2+q=2p﹣p﹣2，即可求解（Ⅱ）由（I）知a n=4n﹣4，再根据a n=4log2b n，得b n=2n﹣1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列，即可求解解答：解：（I）当n=1时，a1=s1=p﹣2+q当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=pn2﹣2n+q﹣p（n﹣1）2+2（n﹣1）﹣q=2pn﹣p﹣2由{an}是等差数列，得p﹣2+q=2p﹣p﹣2，解得q=0．（Ⅱ）由a3=8，a3=6p﹣p﹣2，于是6p﹣p﹣2=8，解得p=2所以a n=4n﹣4又a n=4log2b n，得b n=2n﹣1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．所以数列{b n}的前n项和Tn=．点评：本题考查了数列的前n项和与通项间的关系及等比数列的求和问题，在解题中需注意前n项和与通项间的关系是个分段函数的关系，但最后要验证n=1是否满足n≥2时的情况，属于基础题．25．已知数列{a n}（n∈N*）是等比数列，且a n＞0，a1=3，a3=27．（1）求数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；（2）设b n=2log3a n+1，求数列{b n}的前项和T n．考点：等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：（1）先根据a3=a1•q2=27求出q2，然后根据a n＞0，求出q的值，再由等比数列的公式求出数列{a n}的通项公式a n和前项和S n；（2）由（1）得出数列{b n}是等差数列，然后根据等差数列的前n项和公式得出结果．解答：解：（1）设公比为q，则a3=a1•q2，∴27=3q2，即q2=9∵a n＞0，∴（2）由（1）可知b n=2log33n+1=2n+1，∴b1=3，又b n+1﹣b n=2（n+1）+1﹣（2n+1）=2，故数列{b n}是以3为首项，2为公差的等差数列，∴．点评：本题考查了等差数列和等比数列的前n项和，此题比较容易，只要认真作答就可以保障正确，属于基础题．26．已知等差数列{a n} 的前n项和为S n，a2=9，S5=65．（I）求{a n} 的通项公式：（II）令，求数列{b n}的前n项和T n．考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．专题：计算题．分析：（I）利用等差数列的首项a1及公差d表示已知条件，解出a1，d代入等差数列的通项公式可求（II）由（I）可求，从而可得数列{b n} 是首项为b1=32，公比q=16的等比数列，代入等比数列的前n项和公式可求解答：解：（I）（2分）解得：（4分），所以a n=4n+1（6分）（II）由（I）知（7分）因为，（8分）所以{b n} 是首项为b1=32，公比q=16的等比数列（9分），所以．（12分）点评：在数列的基本量的求解中要求考生熟练掌握基本公式，具备一定的计算能力，本题属于基础试题．27．已知等比数列{a n}满足a2=2，且2a3+a4=a5，a n＞0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=（﹣1）n3a n+2n+1，数列{b n}的前项和为T n，求T n．考点：等比数列的前n项和；数列的求和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则，解方程可求a1，q结合等比数列的通项公式即可求解（Ⅱ）由b n=（﹣1）n3a n+2n+1=﹣3•（﹣2）n﹣1+2n+1，利用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即可求解解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，则…（2分）整理得q2﹣q﹣2=0，即q=﹣1或q=2，∵a n＞0，∴q=2．代入可得a1=1∴．…（6分）（Ⅱ）∵b n=（﹣1）n3a n+2n+1=﹣3•（﹣2）n﹣1+2n+1，…（9分）∴T n=﹣3[1﹣2+4﹣8+…+（﹣2）n﹣1]+（3+5+…+2n+1）=﹣3×=（﹣2）n+n2++2n﹣1．…（12分）点评：本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，分组求和方法的应用，属于数列知识的简单综合28．已知等比数列{a n}的公比为q，前n项的和为S n，且S3，S9，S6成等差数列．（1）求q3的值；（2）求证：a2，a8，a5成等差数列．考点：等比数列的前n项和．专题：综合题；分类讨论．分析：（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，然后考虑当q=1时关系式不成立，所以当q不等于1时，利用等比数列的前n项和的公式化简此等式，根据q不等于1，利用换元法即可求出q3的值；（2）由q3的值分别表示出a8和a5，然后分别求出a8﹣a2和a5﹣a8的值，得到两者的值相等即可得证．解答：解：（1）由S3，S9，S6成等差数列，得S3+S6=2S9，若q=1，则S3+S6=9a1，2S9=18a1，由a1≠0得S3+S6≠2S9，与题意不符，所以q≠1．由S3+S6=2S9，得．整理，得q3+q6=2q9，由q≠0，1，设t=q3，则2t2﹣t﹣1=0，解得t=1（舍去）或t=﹣，所以；（2）由（1）知：，则a8﹣a2=a5﹣a8，所以a2，a8，a5成等差数列．点评：此题考查学生灵活运用等差数列的性质化简求值，灵活运用等比数列的前n项和的公式化简求值，是一道中档题．29．已知S n是等比数列{a n}的前n项和，，．（I）求a n；（II）若，求数列{b n}的前n项和T n．考点：等比数列的前n项和；数列的求和．专题：综合题．分析：（I）由题意可得，公比q≠1，则①②，相除可得公比q，求得首项和公比，即可求出通项公式．（II）首先根据（1）求出数列{b n}的通项公式，然后利用分组法求出前n项和．解答：解：（I）若q=1，则S6=2S3，这与已知矛盾，所以q≠1，（1分）则①②（3分）②式除以①式，得，所以，代入①得a1=2，所以．（7分）（II）因为，（9分）所以T n=（2﹣1+20+21++2n﹣2）+（1+2+3++n）=（12分）==．（14分）点评：本题考查等比数列的前n项和公式和通项公式，（2）问中数列{b n}是等差数列和等比数列和的形式，采取分组法求解．属于中档题．30．已知{a n}是等差数列，其前n项和为S n，已知a2=8，S10=185．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设a n=log2b n（n=1，2，3…），证明{b n}是等比数列，并求数列{b n}的前n项和T n．考点：等比数列的前n项和；等差数列的通项公式；等比关系的确定．专题：计算题．分析：（1）由题意等差数列{a n}中a2=8，S10=185，利用通项公式及前n项和公式建立首项与公差的方程求出即可得到数列{a n}的通项公式a n；（2）把（1）中求出的a n的通项公式代入a n=log2b n中，确定出b n的通项公式，利用等于常数得到数列{b n}是等比数列，求出等比数列的首项和公比，根据首项和公比写出等比数列的前n项和即可．解答：解：（1）解得：d=3，a1=5，∴a n=3n+2（2）b n=∴===23=8（n=1，2，3，…）∴{bn}是公比为8的等比数列∵b1==32∴T n==（8n﹣1）．点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及灵活运用等比数列的前n项和公式化简求值，是一道中档题．。

【高中数学】数学《数列》试卷含答案一、选择题1．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）.A ．1-B ．1C ．3D ．7【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【详解】解：{}n a Q 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=， 13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==， 335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-， 13235439a a d =-=+=， 20139391921a a d ∴=+=-⨯=．故选：B 【点睛】本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得21q >，然后再根据充分条件和必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，若53a a >，则233a q a >，所以21q >，即1q >或1q <-，所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.3．已知椭圆221x y m n+=满足条件：,,m n m n +成等差数列，则椭圆离心率为( )A ．2B ．2C ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】根据满足条件,,m n m n +成等差数列可得椭圆为2212x ym m+=,求出,a c ．再求椭圆的离心率即可. 【详解】()22n m m n n m =++⇒=,∴椭圆为2212x y m m+=,22c m m m =-=,得c =又a =2c e a ∴==.则椭圆离心率为2，故选B. 【点睛】一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63 B ．21C ．63-D ．21【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得21112163S a ==-.【详解】∵261116203a a a a a ---+=，∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.5．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9C ．8或9D ．8.5【答案】C 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12=． ∴a n ＝25611()2n -⨯=29﹣n ．T n ＝28•27•……•29﹣n＝28+7+…+9﹣n()217289[)89242222n n n ⎛⎤--- ⎥+-⎝⎦==．∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192 C ．1119892 D ．1120192 【答案】C 【解析】 【分析】由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】 由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.7．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则106S S 等于（ ） A ．-3 B ．5C ．-31D ．33【答案】D 【解析】 【分析】先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公式，即可求解106S S 的值，得到答案. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，可得313366316(1)1121(1)11181a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以101105105516(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q---===+=---. 故选：D .【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.8．在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n 个三角形数为n a ，则下面结论错误的是（ ） A ．1(1)n n a a n n --=> B ．20210a = C ．1024是三角形数 D ．123111121n n a a a a n +++⋯+=+ 【答案】C 【解析】 【分析】对每一个选项逐一分析得解. 【详解】∵212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，由此可归纳得1(1)n n a a n n --=>，故A 正确；将前面的所有项累加可得1(1)(2)(1)22n n n n n a a -++=+=，∴20210a =，故B 正确； 令(1)10242n n +=，此方程没有正整数解，故C 错误； 1211111111212231n a a a n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L 122111n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭，故D 正确. 故选C 【点睛】本题主要考查累加法求通项，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．已知数列{}n a 的前n 项和()2*23n S n n n N=+∈，则{}na 的通项公式为（ ）A ．21n a n =+B ．21n a n =-C ．41n a n =+D ．41n a n =-【答案】C 【解析】 【分析】首先根据223n S n n =+求出首项1a 的值，然后利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】因为223n S n n =+，所以，当2n ≥时，22123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+，当1n =时，11235==+=a S ，上式也成立， 所以41n a n =+， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后再判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果.10．已知数列{}n a 的奇数项依次成等差数列，偶数项依次成等比数列，且11a =，22a =，347a a +=，5613a a +=，则78a a +=（ ）A．4B ．19 C ．20 D ．23【答案】D 【解析】 【分析】本题首先可以设出奇数项的公差以及偶数项的公比，然后对347a a +=、5613a a +=进行化简，得出公差和公比的数值，然后对78a a +进行化简即可得出结果． 【详解】设奇数项的公差为d ，偶数项的公比为q ，由347a a +=，5613a a +=，得127d q ++=，212213d q ++=， 解得2d =，2q =，所以37813271623a a d q +=++=+=，故选D ．【点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想等，体现基础性与综合性，提升学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．11．已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】 【分析】当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111n n S S +-=--，得出 11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列，从而求出n S 【详解】当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列，11n n S ∴=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.故选：A 【点睛】本题考查数列的综合应用.属于中等题.12．已知数列{}n a 的前n 项和为212343n S n n =++（*N n ∈），则下列结论正确的是( )A ．数列{}n a 是等差数列B ．数列{}n a 是递增数列C ．1a ，5a ，9a 成等差数列D ．63S S -，96S S -，129S S -成等差数列【答案】D 【解析】 【分析】由2*123()43n S n n n N =++∈，2n …时，1n n n a S S -=-．1n =时，11a S =．进而判断出正误． 【详解】解：由2*123()43n S n n n N =++∈，2n ∴…时，2211212153[(1)(1)3]4343212n n n a S S n n n n n -=-=++--+-+=+．1n =时，114712a S ==，1n =时，15212n a n =+，不成立．∴数列{}n a 不是等差数列．21a a <，因此数列{}n a 不是单调递增数列．5191547154322(5)(9)021*******a a a --=⨯⨯+--⨯+=-≠，因此1a ，5a ，9a 不成等差数列．631535(456)32124S S -=⨯+++⨯=．961553(789)32124S S -=⨯+++⨯=．1291571(101112)32124S S -=⨯+++⨯=．Q53235710444⨯--=， 63S S ∴-，96S S -，129S S -成等差数列．故选：D ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1313,,a a a 成等比数列，若11a =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则263n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3C．2D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题意得2(12)112d d +=+，求出公差d 的值，得到数列{}n a 的通项公式，前n 项和，从而可得263n n S a ++，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【详解】解：11a =Q ，1a 、3a 、13a 成等比数列，2(12)112d d ∴+=+． 得2d =或0d =（舍去），21n a n ∴=-，2(121)2n n n S n +-∴==，∴()()22211426263322112n n n n S n n a n n n ++++++===+-+++． 令1t n =+，则2642223n n S t a t +=+-≥=+ 当且仅当2t =，即1n =时，∴263n n S a ++的最小值为2．故选：D ． 【点睛】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．14．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-， 现有下面四个结论①数列{}n S n +为等比数列； ②数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-；③数列{}1n a +为等比数列；④数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---. 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】根据递推关系可得1+12()n n S n S n ++=+，可得①正确，利用等比数列求出2nn S n =-，根据前n 项和求n a ，可判断②③，计算2n S ，并分组求和可判断④. 【详解】因为121n n S S n +=+-， 所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++，又112S +=.所以数列{}n S n +为首项是2，公比是2的等比数列，所以2nn S n +=， 则2nn S n =-.当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-，但11121a -≠-，所以①正确，②③错误，因为1222n n S n +=-，所以{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---， 所以④正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由n S 求数列的通项公式，属于中档题.15．等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S = A ．10 B ．20 C ．20或-10 D ．-20或10【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列即（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20），代入可求． 【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()22020101030S S -=- 解20S =20或-10（舍去） 故选B ． 【点睛】本题主要考查了等比数列的性质（若S n 为等比数列的前n 项和，且S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用16．已知单调递增的等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） A ．2124n -- B ．1122n -- C ．21n - D ．122n +-【答案】B 【解析】 【分析】由等比数列的性质，可得到35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，求得1,a q ，再结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，等比数列{}n a 中，2616a a ⋅=，3510a a +=，根据等比数列的性质，可得3516a a ⋅=，3510a a +=，所以35,a a 是方程210160x x -+=的实数根，解得352,8a a ==或358,2a a ==， 又因为等比数列{}n a 为单调递增数列，所以352,8a a ==， 设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为(1)q q >可得214128a q a q ⎧=⎨=⎩，解得11,22a q ==，所以数列{}n a 的前n 项和11(12)122122nn n S --==--. 故选：B . 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式的基本量的运算，以及等比数列的前n 项和公式的应用，着重考查了推理与运算能力.17．已知数列{}n a的首项112,9n n a a a +==+，则27a =（ ） A ．7268 B ．5068C ．6398D ．4028【答案】C 【解析】 【分析】由19n n a a +=+得2123)n a ++=，所以构造数列为等差数列，算出22(31)n a n +=-，求出27a . 【详解】易知0n a >，因为19n n a a +=+，所以2123)n a ++=，3，是以3为公差，以2为首项的等差数列.231,2(31)n n a n =-+=-，即2278026398a =-=. 故选 ：C 【点睛】本题主要考查由递推公式求解通项公式，等差数列的通项公式，考查了学生的运算求解能力.18．已知{}n a 是各项都为正数的等比数列，n S 是它的前n 项和，若47S =，821S =，则16S =（ ）A ．48B ．90C ．105D ．106【答案】C 【解析】【分析】根据4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列即可求出16S . 【详解】由等比数列的性质得4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列， 所以1216127,14,21,S S S --成等比数列，所以121216162128,49,4956,105S S S S -=∴=∴-=∴=. 故选：C 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin 372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1，∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调 ∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞． 故答案为 33,42⎛⎤⎥⎝⎦故选D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．20．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.。

等比数列的前n 项和公式教学重点： 掌握等比数列前n 项和通项公式及性质，理解等比数列前n 项和公式与函数的关系教学难点： 等比数列前n 项和通项公式的性质的应用1. 等比数列前n 项和通项公式设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12...n n S a a a =+++ （1） 当1q =时，1n S na = （2） 当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==--2. 等比数列前n 项和公式的性质（1） 等比数列中，连续m 项的和（如232,,,...m m m m m S S S S S --）仍组成等比数列（注意：公比1q ≠-）（2）{}n a 是公比不为1的等比数列()0n n S Aq B A B ⇔=++=（3） mn m m n S S q S +=+（q 为公比）（4） 若等比数列的项数为()2k k N +∈，则S S偶/奇q = ；若等比数列的项数为()21k k N ++∈ ，则S aS- 奇/偶q =3. 等比数列前n 项和公式与函数的关系（1） 当 1q =时，1n S na =是关于n 的正比例函数（常数项为0的一次函数）；当1q ≠时，()0n n S Aq A A =-+≠是n 的一个指数式与一个常数的和，其中指数式的系数和常数项互为相反数，且11a A q=- （2） 当1q =时，数列123,,,...,,...n S S S S 的图像是正比例函数1y a x =的图像上的一群孤立的点；当1q ≠时，数列123,,,...,,...n S S S S 的图像是函数()0x y Aq A A =-+≠的图像上的一群孤立的点。

（3） 若n S 表示数列{}n a 的前n 项和，且()0,1n n S Aq A Aq q =-≠≠则数列{}n a 是等比数列。

类型一：等比数列前n 项和通项公式例1． 在等比数列{}n a 中，若189,2,96,n n S q a ===求1,a n 解析：由()1111,1n n n n a q S a a q q--==⋅-以及已知条件得()()111121891121111962962192,189211923232,63n n a n n n a a a a a n --=--=⎧⎪∴⋅=∴=-=-∴===∴=⎨⎪⎩答案：13,6an ==练习1. 在等比数列{}n a 中，若1346510,4a a a a +=+=，求4a 和5S 答案：45311,2a S ==练习2. 在等比数列{}n a 中，若42,1,q S ==求8S 答案：817S =例2.等比数列{}n a 中，已知333,9,a S ==求1a 和公比q解析：当1q =时，13313,39a a S a ====符合题意；当1q ≠时，由已知得()2311332191210,a a q a q S qq q ==-==-⎧⎪∴--=⎨⎪⎩ 解得12q =-或1q =（舍）1111121,3;,122a q a q a ∴=∴===-=答案：1111,3;,122q a q a ===-=练习3.已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于 答案：()10313--练习 4.设公比为()0q q >的等比数列{}n a 的前n 项和为n S 若224432,32,S a S a =+=+则q 为____ 答案：32类型二： 等比数列前n 项和公式的性质例3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若102010,30S S ==则30S = ___________ 解析：{}n a 是等比数列，1020103020,,S S S S S ∴--仍成等比数列，又()210203030301010,30,30,7010S S S S -==∴-=∴=答案：70练习5. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知368,7,S S ==则789a a a ++= （） A.18 B.18- C.578 D.558答案：A练习6.已知等比数列的前n 项和13,,n n S a n N ++=+∈则实数a 的值是（）A.-3B.3C.-1D. 1 答案：A类型三： 等比数列前n 项和公式与函数关系例4.若等比数列{}n a 中，前 n 项和2nn S a =+，则a =（）A.-2B.2C.1D.-1解析：由题意知，{}n a 为公比不为1的等比数列，因为2nn S a =+故101a a +=∴=-故选D 答案：D练习7.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知481,17,S S ==求n S 答案：当2q =时，()12115nn S =- 当2q =-时，()12115nn S ⎡⎤=--⎣⎦ 练习8.已知等比数列{}n a 的前n 项和为113,6n n S x -=⋅-则x 的值为_______ 答案：12例5.数列2211,12,122,...,122...2n -+++++++的前 n 项和等于（）A.12n n +- B.2n C.2n n - D.122n n +--解析：不妨设该数列为{}n a ，其前n 项和为n S ，则()()()()2112121231122...221...2121...21222 (22)2n n n n n n nn a S a a a n n-+=++++=-∴=+++=-+-++-=++++-=--答案：D练习9.已知数列{}n a 满足12...21,n n a a a +++=-则22212...n a a a +++= ____________答案：413n -练习10.122133434...344nn n n n ---+⋅+⋅++⋅+= ________________答案：1143n n ++-1. 已知等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( ) A ．514 B ．513 C ．512 D ．510 答案：D2. 等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案：C3. 已知等比数列的前n 项和S n ＝4n ＋a ，则a 的值等于( )A ．－4B ．－1C ．0D ．1 答案：B4．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a ＋b ＋c 的值为( )A ．1 答案：A5. 若S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝n2，则{a n}是()A．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，但也是等比数列D．既不是等差数列，又不是等比数列答案：B6. 设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n取最小值时，n等于()A．6B．7 C．8 D．9答案：A7. 等比数列{a n}的前n项和为S n，且4a1,2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝() A．7B．8 C．15 D．16答案：C8. 设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7等于()A．13B．35 C．49 D．63答案：C_______________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________ __基础巩固1. 在数列{a n }中，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，则a 1，a 3，a 5( )A ．成等差数列B ．成等比数列C ．倒数成等差数列D ．不确定 答案：B2. 等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A ．81B ．120C ．168D ．192 答案：B3. 已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列{1a n }的前5项和为( )A ．158或5B ．3116或5C ．3116D ．158答案：C4. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝27，则S 9＝( ) A ．81 B ．72 C ．63 D ．54 答案：C5. 设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.答案：156. 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______，前n 项和S n ＝______. 答案：2， 2n ＋1－27. 设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________． 答案：－128. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. 答案：249. 已知等差数列{a n }的公差不为0，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋a 10＋…＋a 3n －2. 答案：(1)设公差为d ，由题意，得a 211＝a 1·a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，又a 1＝25，解得d ＝－2或d ＝0(舍去)． ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝25＋(－2)×(n －1)＝27－2n . (2)由(1)知a 3n －2＝31－6n ，∴数列a 1，a 4，a 7，a 10，…，是首项为25，公差为－6的等差数列． 令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2 ＝n (25＋31－6n )2＝－3n 2＋28n .10. 在等比数列{a n }中，已知a 6－a 4＝24，a 3·a 5＝64，求数列{a n }的前8项和．答案：解法一：设数列{a n }的公比为q ，根据通项公式a n ＝a 1q n －1，由已知条件得a 6－a 4＝a 1q 3(q 2－1)＝24，①a 3·a 5＝(a 1q 3)2＝64， ∴a 1q 3＝±8.将a 1q 3＝－8代入①式，得q 2＝－2，没有实数q 满足此式，故舍去． 将a 1q 3＝8代入①式，得q 2＝4，∴q ＝±2. 当q ＝2时，得a 1＝1，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝255；当q ＝－2时，得a 1＝－1，所以S 8＝a 1(1－q 8)1－q ＝85.解法二：因为{a n }是等比数列，所以依题意得 a 24＝a 3·a 5＝64，∴a 4＝±8，a 6＝24＋a 4＝24±8. 因为{a n }是实数列，所以a 6a 4＞0，故舍去a 4＝－8，而a 4＝8，a 6＝32，从而a 5＝±a 4·a 6＝±16. 公比q 的值为q ＝a 5a 4＝±2，当q ＝2时，a 1＝1，a 9＝a 6q 3＝256， ∴S 8＝a 1－a 91－q＝255；当q ＝－2时，a 1＝－1，a 9＝a 6q 3＝－256， ∴S 8＝a 1－a 91－q ＝85.能力提升11. 根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90·(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月 答案：C12. 已知等比数列{a n }满足a n >0，n ＝1,2，…，且a 5·a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋…＋log 2a 2n －1＝( )A ．n (2n －1)B ．(n ＋1)2C ．n 2D ．(n －1)2 答案：C13. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝( )A ．2B ．73C ．83 D ．3答案：B14. 等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12答案： C15. 已知等比数列前20项和是21，前30项和是49，则前10项和是( )A ．7B ．9C ．63D ．7或63 答案：D16. 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝( )A ．16(1－4－n )B ．16(1－2－n )C ．323(1－4－n )D ．323(1－2－n )答案：C17. 等比数列{a n }中，若前n 项的和为S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n＝________. 答案：13(4n －1)18. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 22－S 11＝________. 答案：－6519. 等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1等于( )A ．65B ．56 C ．20 D ．110答案：B20. 已知数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，则a 4为( ) A ．148 B ．149 C ．150 D ．151 答案：B21．已知a ，b ，c 成等比数列，a ，x ，b 成等差数列，b ，y ，c 也成等差数列，则a x ＋cy 的值__________． 答案：222. 将全体正整数排成一个三角形数阵：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10……按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________．答案：n 2－n ＋6223. 设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . 答案：(1)设公比为q (q >0)，∵a 1＝2，a 3＝a 2＋4， ∴a 1q 2－a 1q －4＝0， 即q 2－q －2＝0，解得q ＝2， ∴a n ＝2n .(2)由已知得b n ＝2n －1， ∴a n ＋b n ＝2n ＋(2n －1)，∴S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋2n －1) ＝2(1－2n )1－2＋[1＋(2n －1)]n 2＝2n ＋1－2＋n 2.24. 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1.证明：数列{b n }是等差数列． (2)求数列{a n }的前n 项和．答案：(1)∵a n ＋1＝2a n ＋2n ，∴a n ＋12n ＝a n 2n －1＋1，即b n ＋1＝b n ＋1， ∴b n ＋1－b n ＝1.故数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知b n ＝n ，∴a n ＝n ·2n －1.S n ＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n ·2n －1，2S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ，∴S n ＝(n －1)2n ＋1.25. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列．(1)求{a n }的公比q ；(2)若a 1－a 3＝3，求S n .答案：(1)∵S 1，S 3，S 2成等差数列，2S 3＝S 1＋S 2，∴q ＝1不满足题意．∴2a 1(1－q 3)1－q ＝a 1＋a 1(1－q 2)1－q， 解得q ＝－12. (2)由(1)知q ＝－12， 又a 1－a 3＝a 1－a 1q 2＝34a 1＝3， ∴a 1＝4.∴S n ＝4[1－(－12)n ]1＋12＝83[1－(－12)n ]． 26. 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝72，S 6＝632. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝6n －61＋log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 答案：(1)∵S 6≠2S 3，∴q ≠1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 3)1－q ＝72a 1(1－q 6)1－q ＝632， 解得q ＝2，a 1＝12. ∴a n ＝a 1q n －1＝2n －2.(2)b n ＝6n －61＋log 22n －2＝6n －61＋n －2＝7n －63.b n －b n －1＝7n －63－7n ＋7＋63＝7，∴数列{b n }是等差数列．又b 1＝－56，∴T n ＝nb 1＋12n (n －1)×7 ＝－56n ＋12n (n －1)×7 ＝72n 2－1192n . 27. 设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝1，S 8＝17，求S n . 答案：设{a n }公比为q ，由S 4＝1，S 8＝17，知q ≠1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 4)1－q ＝1a 1(1－q 8)1－q ＝17，两式相除并化简，得q 4＋1＝17，即q 4＝16.∴q ＝±2.∴当q ＝2时，a 1＝115，S n ＝115(1－2n )1－2＝115(2n －1)； 当q ＝－2时，a 1＝－15，S n ＝－15[1－(－2)n ]1＋2＝115[(－2)n －1]． 28. 已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a n a n ＋1，n ＝1,2，…. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n .答案：(1)∵a n ＋1＝2a na n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n ， ∴1a n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎫1a n －1， 又a 1＝23，∴1a 1－1＝12， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知1a n －1＝12·12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，∴n a n ＝n 2n ＋n . 设T n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ， ① 则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， ② ①－②得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1， ∴T n ＝2－12n －1－n 2n .又1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋n (n ＋1)2＝n 2＋n ＋42－n ＋22n .。

新数学《数列》复习知识点一、选择题1．等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，200S >，210S <，则当n =（ ）时，n S 最大. A ．8 B ．9C ．10D ．11【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的前n 项和公式与项的性质，得出100a >且110a <，由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 最大时n 的值． 【详解】等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且200S >，210S <， 即()()120201*********a a S a a +==+>，10110a a ∴+>，()1212111212102a a S a +==<，所以，110a <，则100a >，因此，当10n =时，n S 最大. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列的性质和前n 项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题．2．设数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=，76a =.则这个数列的前7项和等于（ ） A ．12 B ．21C ．24D ．36【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得3a ，由等差数列求和公式可得结果. 【详解】因为数列{}n a 是等差数列，1356a a a ++=， 所以336a =，即32a =， 又76a =， 所以73173a a d -==-，1320a a d =-=，故1777()212a a S +== 故选：B 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，性质，等差数列的和，属于中档题.3．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列结论正确的是（ ）A ．201920202S a =+B ．201920212S a =+C ．201920201S a =-D ．201920211S a =-【答案】D 【解析】 【分析】根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，所以201920211S a =-，选D. 【点睛】本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.4．已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892 B ．1020192 C ．1119892 D ．1120192 【答案】C 【解析】 【分析】 由观察可得()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭项数为21,1,2,4,8,...,2,...k -，注意到101110242201922048=<<=，第2019项是第12个括号里的第995项. 【详解】由数列()22333311313571351,,,,,,,...,,,,...2222222222n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，可发现其项数为 21,1,2,4,8,...,2,...k -，则前11个括号里共有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为11212m -， 所以第12个括号里的第995项是1119892. 故选：C. 【点睛】本题考查数列的定义，考查学生观察找出已知数列的特征归纳出其项数、通项，是一道中档题.5．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5 B ．6C ．10D ．11【答案】C 【解析】2525163412132323222log 62n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)011102n n n S n n +-=>⇒<⇒= ，故选C.6．已知椭圆221x y m n+=满足条件：,,m n m n +成等差数列，则椭圆离心率为( )A B C ．12D 【答案】B 【解析】 【分析】根据满足条件,,m n m n +成等差数列可得椭圆为2212x ym m+=,求出,a c ．再求椭圆的离心率即可. 【详解】()22n m m n n m =++⇒=,∴椭圆为2212x y m m+=,22c m m m =-=,得c =又a =2c e a ∴==.则椭圆离心率为2，故选B. 【点睛】一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．7．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 为（ ） A ．3∶4 B ．4∶3 C ．1∶2 D ．2∶1【答案】A 【解析】 【分析】根据在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012S x =，1534S x =，从而得到155:S S 的值． 【详解】解：在等比数列中，每5项的和仍然成等比数列，设5S x =，则由条件可得1012S x =， 1051122S S x x x ∴-=-=-，151014S S x ∴-=，15113244S x x x ∴=+=， 故155334:4xS S x ==， 故选：A ． 【点睛】本题考查等比数列的性质，解题的关键是熟练掌握等比数列的性质k S ，2k k S S -，32k k S S -，成公比为k q 的等比数列，属于中档题.8．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件． A ．必要而不充分 B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要【答案】A 【解析】 【分析】根据递增数列的特点可知10n n a a +->，解得12c n <+，由此得到若{}n a 是递增数列，则32c <，根据推出关系可确定结果. 【详解】 若“{}n a 是递增数列”，则110n n a a n c n c +-=+--->， 即()()221n c n c +->-，化简得：12c n <+， 又n *∈N ，1322n ∴+≥，32c ∴<， 则2c <¿{}n a 是递增数列，{}n a 是递增数列2c ⇒<，∴“2c <”是“{}n a 为递增数列”的必要不充分条件．故选：A . 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，涉及到根据数列的单调性求解参数范围，属于基础题.9．已知各项为正数的等比数列{}n a 满足11a =，2416a a =，则6a =（ ） A ．64 B ．32 C ．16 D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先根据条件求公比，再根据等比数列通项公式求6.a 【详解】由2416a a =得2445516116,1602232.a q q q q a a q ==>∴=∴===Q 选B.【点睛】本题考查等比数列通项公式，考查基本分析求解能力，属基本题.10．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A ．10 B ．7C ．8D ．4【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质可将已知等式变为12332224a a a S a ++==，解方程求得结果. 【详解】由题意得：13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+=== 38S ∴=本题正确选项：C 【点睛】本题考查等比数列性质的应用，关键是能够根据下角标的关系凑出关于3S 的方程，属于基础题.11．已知数列{}n a 满足：()()2*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.设()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则k 的最小整数值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A 【解析】 【分析】当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111n n S S +-=--，得出 11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列，从而求出n S 【详解】当1n ≥时，有条件可得()211n n n nS S S S +--=-，从而111n n nS S S +--=，故111111111n n n n n S S S S S +-=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭是首项、公差均为1的等差数列，11n n S ∴=-，1n n S n+=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭， 依题意知(1)()f n k f n +>， min 2k ∴=.故选：A 【点睛】本题考查数列的综合应用.属于中等题.12．已知函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，若数列()1f n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和为n S ，则2018S 的值为（ ）A ．20152016 B ．20162017C ．20172018D ．20182019【答案】D 【解析】 【分析】求出原函数的导函数，得到()y f x =在1x =时的导数值，进一步求得m ，可得函数解析式，然后利用裂项相消法可计算出2018S 的值． 【详解】由()2f x x mx =+，得()2f x x m '=+，()12f m '∴=+，因为函数()2f x x mx =+图象在点()()1,1A f 处的切线l 与直线320x y ++=垂直，()123f m '∴=+=，解得1m =，()2f x x x ∴=+，则()()21111111f n n n n n n n ===-+++. 因此，20181111112018112232018201920192019S =-+-++-=-=L . 故选：D. 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题．13．执行如图所示的程序框图，若输出的S 为154，则输入的n 为（ ）A ．18B ．19C ．20D ．21【答案】B 【解析】 【分析】找到输出的S 的规律为等差数列求和，即可算出i ，从而求出n . 【详解】由框图可知，()101231154S i =+++++⋯+-= ，即()1231153i +++⋯+-=，所以()11532i i -=，解得18i =，故最后一次对条件进行判断时18119i =+=，所以19n =. 故选：B 【点睛】本题考查程序框图，要理解循环结构的程序框图的运行，考查学生的逻辑推理能力.属于简单题目.14．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>【答案】B 【解析】 ∵等差数列，，，成等比数列，∴，∴，∴，，故选B.考点：1.等差数列的通项公式及其前项和；2.等比数列的概念15．在等比数列{}n a 中，已知259,243a a ==，那么{}n a 的前4项和为（ ）. A ．81 B ．120C ．121D ．192【答案】B 【解析】 【分析】 根据352a q a =求出公比，利用等比数列的前n 项和公式即可求出. 【详解】Q35227a q a ==, ∴ 3q =∴ 4414(1)3(13)120113a q S q --===--.故选：B【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，属于中档题.16．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若12a =，且1564a a ⋅=，则数列1(1)(1)n n n a a a +⎧⎫⎨⎬--⎩⎭的前n 项和是（ ） A ．11121n +--B ．1121n -+ C ．1121n-+ D ．1121n-- 【答案】A 【解析】由等比数列的性质可得：2153364,8a a a a ==∴=，则数列的公比：2q ===， 数列的通项公式：112n nn a a q -==，故：()()()()1112111121212121n n n n n n n n a a a +++==-------，则数列()()111n n n a a a +⎧⎫⎪⎪⎨⎬--⎪⎪⎩⎭的前n 项和是：1223111111111121212121212121n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 本题选择A 选项.点睛：使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．17．已知{}n a 是单调递增的等比数列，满足352616,17a a a a ⋅=+=，则数列{}n a 的前n 项和n S = A ．122n+ B ．122n- C ．1122n -+D ．1122n -- 【答案】D 【解析】 【分析】由等比数列的性质和韦达定理可得26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根，解方程可得q和a 1，代入求和公式计算可得． 【详解】∵352616,17a a a a ⋅=+=，∴由等比数列的性质可得26261617a a a a ⋅=+=， ，26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根解方程可得2626116161a a a a ====，，或， ， ∵等比数列{a n }单调递增，∴26116a a ==，，∴1122q a ，＝= ，∴()1112122122nn n S ----＝＝ 故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和一元二次方程的解法，属中档题．18．根据下面的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．1007B ．1009C ．0D ．-1【答案】A 【解析】 【分析】按照程序框图模拟运行即可得解. 【详解】1i =，1112x ==--，0(1)1S =+-=-；2i =，111(1)2x ==--， 11122S =-+=-；3i =，12112x ==-，13222S =-+=；4i =，1112x ==--，31(1)22S =+-=，…， 由此可知，运行程序过程中，x 呈周期性变化，且周期为3， 所以输出112672110072S ⎛⎫=-++⨯-= ⎪⎝⎭. 故选A 【点睛】本题主要考查程序框图和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，给出下列五个命题： ①公差0d < ②110S < ③120S >④数列{}n S 中的最大项为11S ⑤67a a >其中正确命题的个数是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】 【分析】先由条件确定数列第六项和第七项的正负，进而确定公差的正负，最后11S ，12S 的符号由第六项和第七项的正负判定． 【详解】Q 等差数列{}n a 中，6S 最大，且675S S S >>，∴10a >，0d <，①正确； Q 675S S S >>，∴60a >，70a <，67 0a a +>，∴160a d +<，150a d +>，6S 最大， ∴④不正确；1111115511(5)0S a d a d =+=+>，12111267 126612()12()0S a d a a a a =+=+=+>， ∴③⑤正确，②错误.故选：B ． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.20．执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的S的值是A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】本题首先可以通过程序框图明确输入的数值以及程序框图中所包含的关系式，然后按照程序框图所包含的关系式进行循环运算，即可得出结果．【详解】由程序框图可知，输入，，，第一次运算：，；第二次运算：，；第三次运算：，；第四次运算：，；第五次运算：，；第六次运算：，；第七次运算：，；第八次运算：，；第九次运算：，；第十次运算：，，综上所述，输出的结果为，故选B．【点睛】本题考查程序框图的相关性质，主要考查程序框图的循环结构以及裂项相消法的使用，考查推理能力，提高了学生从题目中获取信息的能力，体现了综合性，提升了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养，是中档题．。