第十一章 梁弯曲时的变形
习 题
11−1 用积分法求下列简支梁A 、B 截面的转角和跨中截面C 点的挠度。
解：（a ）取坐标系如图所示。弯矩方程为：x l M M e
= 挠曲线近似微分方程为:x l
M y EI e
-
='' 积分一次和两次分别得：C x l
M y EI e +-
='2
2，
（a ） D Cx x l
M EIy e ++-
=3
6 (b) 边界条件为：ｘ=0时,y =0,x =l 时，y =0， 代入(ａ）、(b)式,得:0,6
==
D l M C e
梁的转角和挠度方程式分别为:
)62(12l M x l M EI y e e +-=
'，)6
6(13lx M x l M EI y e e +-= 所以：EI
l M y l EI M θEI l M θe C e B e A 16,3,62
=
-==
（b)取坐标系如图所示。
A Ｃ段弯矩方程为：)2
0(11
l
x x l
M
M e ≤≤=
BC
段弯矩方程为：
)2
(22l x l
M x l M M e e
≤≤-=
两段的挠曲线近似微分方程及其积分分别为：
(a)
(b)
习题11−1图
x
ＡC 段：11x l
M y EI e
-='' 12
112C x l
M y EI e +-=', (a ） 1113
116D x C x l
M EIy e ++-
= (b ） ＢC 段:e e
M x l
M y EI +-=''22 22
222C M x l
M y EI e e ++-='， （c ） 22223
226D x C x M x l
M EIy e e +++-
= （d) 边界条件为：x 1=0时,y 1=0,x 2=l 时,y ２=0, 变形连续条件为：21
21212
y y y y l
x x '='===，时， 代
入
（
a)、（ｂ)式、(
ｃ
)
、
(d)
式
,
得:,8
D 0,2411,24
22121l M
D l M C l M C e e e
==-
==， 梁的转角和挠度方程式分别为:AC 段:
)242(121l M x l M EI y e e +-=
'，)24
6(1
1311lx M x l M EI y e e +-= B Ｃ段:
)24112(12222l M x M x l M EI y e e e -+-=',)8241126(12222322l M lx M x M x l M EI y e e e e +-+-=
所以:0,24,24===C e
B e A y l EI
M θEI l M θ
1１−2 用积分法求下列悬臂梁自由端截面的转角和挠度。
解:(a)取坐标系如图所示。弯矩方程为：
22
x q M -
= 习题11−2图
B A （a ）
B
挠曲线近似微分方程为:22
x q y EI ='' 积分一次和两次分别得:C x q y EI +=
'3
6
， （a ） D Cx x q EIy ++=
4
24
(b) 边界条件为：x ＝l 时，y =０,ｙ＇=0,
代入（ａ)、(b)式，得:438
1,
6
ql D l q
C =-=
梁的转角和挠度方程式分别为:
)66(133l q x q EI y -=
'，)8
1624(1434ql x l q x q EI y +-= 所以:EI
ql y EI
ql θA A 8,
64
3
=
-=
(b ）取坐标系如图所示。弯矩方程为:e M M = 挠曲线近似微分方程为:e M y EI -=''
积分一次和两次分别得：C x M y EI e +-=' （a ）
D Cx x M EIy e ++-
=2
2
(b) 边界条件为:x =l 时,y =0，y'＝0， 代入(a)、(b)式，得:22
1
,
l M D l M C e e -==
梁的转角和挠度方程式分别为：
)(1
l M x M EI
y e e +-=
')2
1
2(122l M lx M x M EI y e e e -+-=
所以:EI
l M y EI
l
M θe A e A 2,
2
-
==
11−3 一悬臂梁在B Ｃ段受均布荷载作用，如图所示,试用积分法求梁自由端截面C 的转角和挠度。
q
A C
q
