狭义相对论几个公式公
式推导
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狭义相对论几个公式公式推导
福建省永春县东关中心小学 陈金江
运动物体的长度缩率公式和不同点上的时刻公式推导 爱因斯坦曾假设：“在真空中，光的传播速度相对任何参照系都一样：不论发光体的运动速度如何，也不论光接受体的运动速度如何，光波相对它们的传播速度都是一样的。”否则，我们观察到遥远的恒星（特别是双星）将会发生十分混乱的现象。
根据这个假设，可以推导出：运动方向上长度的缩率和另参照系看我参照系同时事件的情况的规律。
设在S 系中看到两条等长线段AB 和A ’B ’，它们分别在S 参照系和S ’参照系。S 和S ’相对运动速度为v 光秒/秒。并且在S 参照系看来：AB=A ’B ’
=a 光秒。如图所示：
图1
V 光秒/秒
A （0秒）
B （0秒）
Q
V 光秒/秒
A
B
Q
S ’系 S 系
S’系 S 系
B ’
3
A （0秒）
B （t
2
21c
v 秒）
设A 和A ’相遇时，A 和A ’会发出闪光，或B 和B ’相遇时，B 和B ’也会发出闪光。
我们在S 系看来，由于AB=A ’B ’,所以A 和A ’与B 和B ’是同时相遇的，所以它们同时发出闪光。光波将在AB 中点Q 相遇，在S ’系中光波也必在相应点Q ’相遇（因为光波对S ’系的传播速度和S ’运动无关）。
由于Q ’点不在A ’B ’的中间，所以在S ’系看来，两次闪光不是同时的。因为B ’发出的光波走的距离B ’Q ’比A ’发出的光波走的距离A ’Q ’ 多。因而是B ’先闪光，A ’后闪光。也就是B 和B ’先相遇，A 和A ’后相遇。A ’和B ’的时刻在S ’系看来是不同时的，而是B ’早，A ’迟。
在S ’系中，由于A 、A ’和B 、B ’不同时相遇，所以S ’系看到的两条段AB 和A ’B ’也不相等。因为B 、B ’先相遇，所以必是A ’B ’>AB 。情况如图2所示：
t 秒后
A （ 秒）
B （0秒）
V 光秒/秒
S’系 S 系
A ’（0秒）
B ’（0秒）
V 光秒/秒
A ’
B ’（t 秒）
P ’
4
发出闪光时，A 、A ’的时刻数，B 、B ’的时刻数与在S 系中看到的是一样的。光波相遇点Q 在AB 中的位置比例，Q ’在A ’B ’中的位置比例和在S 系中看到的一样，所以并不矛盾。
综上所述，在S 系看来是同时的事件，相等的线段，而在S ’系中看来却是不同时，不相等的。那它们有什么规律呢
在S 系看来AB 的长度为a 光秒，而在S ’系看来则缩短了，小于a 光秒。同样，在S 系看来A ’B ’也是a 光秒，其实也是缩小了的，在S ’系中看到的A ’B ’实际长度要大于a 光秒。它们的缩率是相等的，设为n 。
由图1得，在S 系中，从AB 发光到光波相遇，两系已相对运
动了
c av 2光秒。也就是AB 与A ’B ’的中点错开的距离P ’Q ’=c
av
2。（见图1）由于S 系系已把这距离缩短了，在S ’系看来应是P ’Q ’=cn
av
2。所以在S ’
系看来B ’发出的光波比A ’发出的光波多走了cn
av
光秒。
V 光秒/秒 S’系 S 系
Q
图2
假设S ’系中看到B 、B ’相遇发出闪光后，再经过t 秒，A 、A ’才相遇发出闪光。则在S 系看到的A ’的时刻数应比B ’的时刻数多t 秒。因此S ’系认为B ’发出的光波比A ’发出的 光波多ct 光秒。联
系上面可列出方程：
cn
av
=ct (1) 由于运动方向上长度缩短，所以在S 系中看到的AB= A ’B ’=a 光秒，而在S ’系中则看到AB=na 光秒，A ’B ’
=n
a 光秒。 由图2可得：n
a -an=vt (2) 联立（1）（2）可得方程组：
cn av
=ct （1） n
a
-an=vt （2） 化成： av=c 2nt （3） a-an 2=vnt （4）
)3()
4(得：v n 21-=2c
v
得到长度缩率公式：
代入（1）得到不同点上的时刻公式（和运动方向相反，越往后时刻数越多）：
6
运动物体上时间缩率公式公式推导
由运动上长度缩率公式可推导出时间缩率公式：设S ’系中有一点P ，S 系中有线段AB ，S 、S ’系的相对速度是v 光秒/秒。当P 遇A 时，P 和A 时间的时刻数都是0秒，如图1所示：
在S 系中，看到经过t 秒后，P 从A 运动到B ，AB=vt(光秒)，A 和B 的时刻数都是t 秒，P 的时刻数是t ’秒，如图2所示：
在S ’系看到这一过程又是如何S ’系中看到P 是不动的，A 、B 在向右运动，由于运动方向上的线段长度缩短，所以在S ’系中看到
AB=vt 22
1c
v 光秒。P 在0秒时刻时和A 相遇，A 的时刻数也是0
秒
S’系 P （0
光秒/秒
A （0秒）
S 系
B （0秒）
图1
P （t ’
V 光秒/秒
S’系 S 系 A （t 秒）
B （t 秒） 图2
7
（如图3所示）。经过t ’秒后，P 和B 相遇。P 的时刻数是t ’秒，B 的时刻数是t 秒。（如图4所示）
t ’=v AB =v c v -1vt 2
2
= t 221c
v - 在S
系中，从P 与A 相遇到P 与B 相遇，经过了t 秒钟，而看到S ’系中的P 在0秒时刻与A 相遇，与B 相遇时，P 上的时刻是t ’
秒，即t 221c v -秒，比t 秒钟缩小。所以时间的缩率也是：22
1c
v -
即运动物体上的时间缩率公式是：
P （0
A （0秒）
B （ 秒）
图3
S’系
P （t ’
V 光秒/秒
A （ 秒）
B （t 秒）
图4
8
相对论速度合成公式的推导
由于在高速（与光速相比）运动时，运动物体上的长度与时间发生了变化，因而不同参照系中速度的合成也不是简单的v 1+v 2就可以的。
设有三个个惯性坐标系S 1、S 2、S 3，我们在S 2观察，S 1向右运动，S 3向左运动，速度分别是v 1、v 2。某个时刻，三个系的A 、B 、C 三重合于一点，这三点的时刻数都为0秒，t 秒后，情形如图1 所示。
t 秒后
S 1系 S 2系 S 3系
2
A B （0C （0秒）
S 1系 1
S 2系
S 3系
A （t A 秒）
B （t
C （ 秒）
D （t 秒）
E （t E 秒）
9
此时，t A =t 22
11c
v
-
t E =t 222
1c
v -
+2
2
22
2211)(c v c v t v v -?
+
这个过程，如果我们在S 3系观察，将会看到图2情形。
t E 秒后
开始时，A 、B 、C 重合于一点，时刻数都为0秒。C 点不动，B 点以V 2的速度向右运动，A 点以更快的V 合速度向右运动。
图1
S 1系
S 2系 S 3系
2
A （0
B （0
C （0秒）
S 1系
合
S 2系 S 3系
2 A （t B （ C （t E 秒）
D （t
E （t E 秒）
图2
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t E 秒后，A 点运动到S 3系的E 点处。此时，E 点处的时刻数为t E 秒，而A 点的时刻数为t A 秒。（只有这样，才能和要S 2系中看到的情形相一致。）
根据t A 、t E 和V 合的关系，可列出方程：
22
1c
v 合-
=
E
A
t t =2
2
222
212
2
22
2
11)(11c
v c v
t v v c
v c v t -?++
--
2
2
1c v 合-
=22
2
212222
2
222
1111c
v v v c v c v c v ++--?- 2
2
1c
v 合-
=
2
12
2
22212)
)((v v c v c v c +--
两边平方得到：
1－22
c v 合=22
212
2142
2212222142)(v v c v v c v v c v v c ++++- 2
2
c v 合=
2
221221422
2212212)(2v v c v v c c v v c v v ++++
v 合2
=
4
2
2
2122122
2
121212c v v c v v v v v v +?
+++
v 合
2
=22212
21)
1()(c
v v v v ++
得到速度合成公式：
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