随机过程复习要点
第一章 概率论知识补充
1.随机事件体有样本空间的全体子集总共2n
个组成。 1.特征函数：
随机变量X 的分布函数为F(x),称()()(),itX itx
g t E e e dF x t ∞
-∞==-∞<<∞⎰为X 的特
征函数。()()ln X X t g t ψ=，此为第二特征函数。 离散型：()1k
itx k k g t e
p ∞
==∑；
连续型：()()itx g t e f x dx ∞
-∞
=
⎰
2特征函数的性质：注：特征函数为虚函数。
()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()2
'"'12n 12n 12101,1,.2-30=-0.
-0;00.
4....
5n k k k
k k k n g g t g t g t g t X g t n k n g i EX EX i g EX i g DX g g X g t g t g t g t =≤-=∞∞≤===-+==第二项为取模，第三项为取共轭。在，一致连续；
若随机变量X 的n 阶矩EX 存在，则的特征函数阶可导，
且当时，有；若X X ...X 相互独立，则X +X +...+X 的特征函数为随机变量的分布函数由其特征函数唯一确定。两者是一一对应的。
3随机变量的分布函数()F x 与特征函数g(t)是一一对应的且相互唯一确定。 如果
X
为连续型且特征函数
g(t)j
绝对可积则有：
()()()()()()()()1;
2.
itx X itx X X X f x e g t dt g t e f x dx g t f x f x g t π
∞
--∞
∞
-∞
=
=⎰
⎰是的相差一个负号的傅氏变换；是的相差一个负号的傅氏逆变换。
4n 维正态分布：
()()()1212,,..,
...n n i ij
ij n n
n X
N a B X X X a a a a a B b b ⨯==维正态分布：其中 X=为均值，为正定矩阵，为协方差。
性质：(),,,X
X a B Y XA =若
若()'
',.A BA Y
N aA A BA 正定，则即正态随机变量的线性变换仍为正态随机变量.
5条件期望：
<1>离散型随机变量:
（1）设X,Y 是离散型随机变量，对一切是()0p Y y =>的y ，定义
（2）给定Y y =时，X 的条件概率为：()()
()
,/P X x Y y P X x Y y P Y y ======；
（3）给定Y y =时，X 的条件分布函数为：()()//F x y P X x Y y =≤=; （4）给定Y y =时,X 的条件期望为：()()()E X Y y xdF x y xP X x Y y ===
==∑⎰
<2>连续型随机变量：
（1）设X,Y 是连续型随机变量，其联合概率密度为(),f x y ，则对一切使()0Y f y ≤的y ，定义
（2）给定Y y =时，X 的条件概率概率为：()()
()
,Y f x y f x y f y =
；
（3）给定Y y =时，X 的条件分布函数为：()()()x
F x y P X x Y y f x y dx -∞
=≤==⎰；
（4）给定Y y =时,X 的条件期望为：
()()(),E X Y y xdF x y xf x y dx ===⎰⎰；
（5）()E X y =是y 的函数，y 是Y 的一个可能值，若在已知的Y 情况下全面的考虑X 的均值，需要以Y 代替y ，而()E X 是随机变量Y 的函数，也是随机变量，称为X 在Y 下的条件期望。 6条件期望的性质：
（1）若随机变量X,Y 的期望存在，则 （2）
第二章 随机过程的一般概念
随机过程为一个在随机变量的基础上加上特殊的常数t 的随机变量族。 3.根据参数T 及状态空间I 的可列性分类： T,I 均可列，即为：离散随机序列，（离散时间）链； T 不可列，I 可列：离散型随机过程，（连续时间）链； T 可列，I 不可列：连续随机序列，随机序列； T,I 均不可列，连续随机过程，随机过程。
T 的可列性决定了是随机过程还是随机序列；I 的可列性决定了是连续性还是离散型。 4随机过程分布函数的性质： （1）对称性：
{}{}
()()
12121
2
1
2
12,,..,12,,..,,,..,,,..,,,,..,,,..,;
n n i i
i i i i n
n
n i i i t t t n t t t t t t t t t t t t F x x x F x x
x =对于的任意排列（2）相容性：当n()()1212,,,..,12,,.,...,12,,..,,,.,,...,m m n t t t m t t t t m F x x x F x x x =∞∞
6.随机变量的分布函数中只有随机变量；随机过程的分布函数中除了含有随机变量以外还有特殊常数t
.()()()()()()()()()(){}12
12121212121212121212,,...,,,...,,,,..,,,...,,,,..,,,...,,,,..,,,...,,,,..,,n
n n n x x x n n n n n
n n X t X t X t f t t t x x x F t t t x x x f t t t x x x dx dx dx f t t t x x x X t t T n f -∞-∞
-∞
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈⎰⎰
⎰
若是n 维连续型随机变向量，存在非负可积函数使得：
成立，则是随机过程的维概率密度函数。此时有：()()()
1212121212,,...,,,,..,,,...,,,,..,=
...n n n n n n
F t t t x x x t t t x x x x x x ∂∂∂∂
10.随机过程的数字特征:均为t 的函数此处应特别与随机变量相区分
<1>T X 均值函数：设(){}
,T X X t t T =∈是随机过程，若对任意的t T ∈,()EX t 存在，则称函数()()X m t EX t =为T X 的均值函数. <2>若对任意的t T ∈,()
()
2
E X t 存在，则称T X 为二阶矩过程。
<3>T X 的协方差函数：()()()(
)()()(),,,X X X
B s t E X s m s X t m t s t T ⎡⎤=--∈⎣⎦;此处为同
一随机过程的不同时刻，
<4>T X 方差函数：()()()()
()
2
,,X X X D t B t t E X t m t t T ==-∈；
<5>T X 的相关函数：()()(),,,X R s t E X s X t s t T =∈⎡⎤⎣⎦;此处为同一随机过程的不同时刻。 <6>二阶矩过程的协方差和相关函数一定存在：
()()()(),,X X X X B s t R s t m s m t =-
当()()()=0,,T X X X X m t B s t R s t =的均值函数时，； <7>相关系数：此处为同一随机过程的不同时刻。
()
,X s t ρ=
<8>互协方差函数：此处为不同随机过程
设(){}(){}
,,X t t T Y t t T ∈∈和是两个二阶矩过程，则称: ()()()
(
)()()(),,,XY X Y
B s t E X s m s Y t m t s t T ⎡⎤=--∈⎣⎦
