广东省陆丰市东海中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学(理)试题(word版含答案)

高 中 学 生 学 科 素 质 训 练高二 上 学 期 数学期末测试题题号一 二三总分171819202122得分一、选择题（本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）1．设会合 A{ x | x 2 10}, B { x | log 2 x 0 |}, 则 AB 等于（）A ． { x | x 1}B ． { x | x 0}C ． { x | x1}D ． { x | x1或 x 1}2．若不等式 | ax2 | 6 的解集为（－ 1， 2），则实数 a 等于（）A ． 8B ． 2C ．－ 4D ．－ 83．若点（ a ， b ）是直线 x +2y+1=0 上的一个动点，则 ab 的最大值是（）A ．11C ．1 D ．12B ．81644．求过直线 2x － y － 10=0 和直线 x+y+1=0 的交点且平行于3x － 2y+4=0 的直线方程（）A ． 2x+3y+6=0B ． 3x － 2y － 17=0C ． 2x －3y － 18=0D ． 3x － 2y －1=05．圆 (x1)2y21的圆心到直线 y3x 的距离是（）3A ．13C ． 1D ．32B ．26．假如双曲线的实半轴长为2，焦距为 6，那么该双曲线的离心率为 （）A ． 36C ． 3D ． 7B ．2 227．过椭圆x2y21的焦点且垂直于x 轴的直线 l 被此椭圆截得的弦长为（）43A ．3B ．3C． 3D．223 x 4 5cos ,8．椭圆3sin (为参数）的焦点坐标为（）yA ．（ 0， 0），（ 0，－ 8）B．（0， 0），（－ 8， 0）C．（ 0， 0），（ 0， 8）D．（ 0， 0），（ 8， 0）9．点P(1,0)到曲线x t 2（此中参数 t R ）上的点的最短距离为（）y2tA ．0B ．1C．2D．210．抛物线的极点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线3x 4 y12 0 上，则抛物线的方程为（）A ．y216x B．x212 yC．y216x或 x 212 y D．以上均不对11．在同一坐标系中，方程a2 x2b2 y 21与 ax by 20(a b0) 的曲线大概是（）12．在直角坐标系 xOy 中，已知△ AOB 三边所在直线的方程分别为x 0, y 0,2 x 3 y30 ，则△ AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．95B．91C．88D． 75二、填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）13．椭圆5x2ky 2 5 的一个焦点是(0,2) ，那么k．14．已知直线 x =a (a>0) 和圆（ x -1）2+ y 2 = 4 相切，那么 a 的值是15．如图， F1，F2分别为椭圆x2y21的左、右焦点，点 P 在椭圆上，△ POF2是面积为3 a 2b2的正三角形，则b2的值是．16．函数y lg(| x |x)的定义域是__．1x 2三、解答题（本大题共 6 小题，共74 分）17．解对于x的不等式：log a(4 3x x2) log a(2x 1) log a2,(a0,a 1) ．(12分) 18．设A( c,0), B(c,0)(c0) 为两定点，动点P到A点的距离与到 B 点的距离的比为定值a(a 0) ，求P点的轨迹．（12分）19．某厂用甲、乙两种原料生产 A 、 B 两种产品，已知生产1t A 产品， 1t B 产品分别需要的甲、乙原料数，可获取的收益数及该厂现有原料数以下表所示．问：在现有原料下， A 、B产品应各生产多少才能使收益总数最大？列产品和原料关系表以下：产品所需原料原料甲原料（ t）乙原料（ t）收益（万元）(12 分)A 产品 B 产品总原料（ 1t）（ 1t）（ t）2510 5318 43知抛物线的极点在原点，它的准线经过曲线x2y2x 轴垂直，a1 的右焦点，且与2b2抛物线与此双曲线交于点（3,6 ），求抛物线与双曲线的方程．（12分）221．已知点P到两个定点M ( 1,0) 、N (1,0) 距离的比为 2 ，点N到直线PM的距离为1，求直线 PN 的方程．（12分）y22．已知某椭圆的焦点是F1 ( 4,0) 、 F2 (4,0) ，过并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B，F1O A点 F2 BC且F2x|F1B||F2B| 10，椭圆上不一样的两点B'A( x1 , y1 ) 、 C (x2 , y2 ) 知足条件： | F2 A |、 | F2 B | 、 | F2 C | 成等差数列．（I ）求该椭圆的方程；（II ）求弦 AC 中点的横坐标．（ 14 分）参照答案一．选择题（本大题共12 小题，每题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案A C C B A C C D B C D B 二．填空题（本大题共 4 小题，每题 4 分，共 16 分）13． 114． 315．2316．（－１，０）三．解答题（本大题共 6 小题，共 74分）17． (12分 )[ 分析 ] ：原不等式可化为log a( 4 3 x x2 ) log a 2(2x1)2x10x 1 2当 a>1 时有43x x20141x2x43x x22(2x1)3x22（中间一个不等式可省）2 x10x 1 2当 0<a<1 时有43x x201x42x 443x x 22(2 x1)x或x23∴当 a>1 时不等式的解集为12；x2当 0<a<1 时不等式的解集为2x4 18．（ 12 分）[分析 ]：设动点 P 的坐标为（ x， y）．由 |PA|a(a0)，得(x c)2y2．|PB|( x c)2a y 2化简得(1a 2)x22 (1a2)x c2(1a2)(1a2)y20.c22c(1a2)221 2a2( 2ac2当a 1时,得x x c y0 ，整理得( x)2．1a2c)2y 2a1 a 1当 a=1 时，化简得 x=0．因此当 a1时，P点的轨迹是以(a21c,0)为圆心，|22ac|为半径的圆；2a1a1当 a=1 时， P 点的轨迹为y 轴．19．（ 12 分）[分析 ]：设生产 A 、B 两种产品分别为xt，yt，其收益总数依据题意，可得拘束条件为2x5y10 6x3y18作出可行域如图：x0, y0为 z 万元 ,y25P( -,1)2352x+5y=10 x 6x+3y=18目标函数z=4x+3y，作直线 l0：4x+3y=0，再作一组平行于 l0的直线 l ： 4x+3 y =z ，当直线 l 经过 P 点时 z=4x+3y 获得最大值，由2x 5 y 10，解得交点 P (5,1) 6x3y182因此有z P53113(万元 )42因此生产 A 产品 2． 5t， B 产品 1t 时，总收益最大，为13 万元．12 分）[ 分析 ] ：由题意可知抛物线的焦点到准线间的距离为2C（即双曲线的焦距）．设抛物线的方程为y24cx.∵抛物线过点(3, 6 )64c3c1即a 2 b 2 1①22又知(3) 2( 6)213 2196 1②由①②可得a 2, b 2a 2b 24a 2 b 244∴所求抛物线的方程为y 24x ，双曲线的方程为 4 x24y21321．（ 12 分）[ 分析 ] ：设点P的坐标为( x, y)，由题设有| PM |2 |PN |即(x 1)2y 22(x 1) 2y 2整理得 x2y 26x10 ①由于点 N 到 PM 的距离为1，|MN |2因此∠ PMN30 ，直线PM的斜率为33直线 PM 的方程为y3( x 1)②3将②式代入①式整理得x 24x10解得 x 2 3 ， x23代入②式得点P 的坐标为( 23,13)或 (23,13)；(23,13)或 (23,13)直线 PN 的方程为y x1或 y x122．（ 14 分）[分析 ]：（ I）由椭圆定义及条件知2a|F1B| |F2B|10(完好word 版)高二上学期数学期末测试题.doc得 a 5，又 c4 ，因此 b a 2 c 2 3y故椭圆方程为x 2 y 2 1A B259C（ II ）由点 B (4, y B ) 在椭圆上，得OFF 12| F 2 B | | y B |9B'5解法一：x由于椭圆右准线方程为x 25 ，离心率为 4 ．4 54 25 依据椭圆定义，有 | F 24 25x 1 ) ， | F 2C |A | (5 (5 44由 | F 2A |， | F 2B |， | F 2C |成等差数列，得4 25x 1 ) (45由此得出 x 1x 2 8．设弦 AC 的中点为 P (x 0 , y 0 ) ，x 1 x 28 4 ．则 x 022解法二：x 2 )4 25 x 29 ，5() 245由 | F 2A |，| F 2B |， ||F 2C 成等差数列，得(x 1 4) 2y 12( x 24)2 y 222 9 ，5由 A ( x 1 , y 1 ) 在椭圆x 2y 21上，得 y 129(25 x 12 )25 925因此( x 1 2228x 1 1692)(54 214)y 1x 1(25x 1x 1 )( 25 4x 1 )2555同理可得 (x 2 4)2y 221(25 4x 2 )5将代入式，得 1(25 4 x 1 )1(25 4 x 2 )18 ． 5 55因此 x 1 x 2 8 设弦 AC 的中点为 P (x 0 , y 0 )则x ax 1 x 2824 ．2。

2016-2017学年高二上学期期末考试数学文试卷试卷满分：150分考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“x ∃∈R ，使得2250x x ++=”的否定是______________________.10. 如果直线032=-+y ax 与20x y -=垂直，那么a 等于_______.11. 已知双曲线2213y x -=，则双曲线的离心率为______；渐近线方程为_____________ .12. 一个直三棱柱的三视图如图所示，则该三棱柱的体积为_________.13. 如图，在四边形ABCD 中，1AD DC CB ===， AB =，对角线AC 将ACD △沿AC 所在直线翻折，当AD BC ⊥时，线段BD 的长度 为______.ABCD正（主）视图 侧（左）视图14. 学完解析几何和立体几何后，某同学发现自己家碗的侧面可以看做抛物线的一部分曲线围绕其对称轴旋转而成，他很想知道抛物线的方程，决定把抛物线的顶点确定为原点，对称轴确定为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，但是他无法确定碗底中心到原点的距离，请你通过对碗的相关数据的测量以及进一步的计算，帮助他求出抛物线的方程.你需要测量的数据是_________________________（所有测量数据用小写英文字母表示），算出的抛物线标准方程为___________． 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分）如图，四棱锥P ABCD -的底面是正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，E 是PA 的中点. (Ⅰ)求证：//PC 平面BDE ； (Ⅱ)证明：BD CE ⊥.16．（本小题满分13分）已知圆C 经过)1,1(),3,1(-B A 两点，且圆心在直线x y =上. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)设直线l 经过点)2,2(-，且与圆C 相交所得弦长为32，求直线l 的方程.17．（本小题满分13分）如图，在平面ABCD 中，⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ，ADE △是等边三角形，22AD DC AB ===，,F G 分别为,AD DE 的中点. (Ⅰ)求证: EF ⊥平面ABCD ； (Ⅱ)求四棱锥E ABCD -的体积；(Ⅲ)判断直线AG 与平面BCE 的位置关系，并加以证明.A BCDPE EDAB CGF18．（本小题满分13分）过椭圆2212x y +=右焦点F 的直线l 与椭圆交于两点,C D ，与直线2=x 交于点E .(Ⅰ)若直线l 的斜率为2，求||CD ；(Ⅱ)设O 为坐标原点，若:1:3ODE OCE S S ∆∆=，求直线l 的方程． 19．（本小题满分14分）如图,在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，1AA =,M N 分别为BC 和1AA 的中点，P 为侧棱1BB 上的动点.(Ⅰ)求证:平面APM ⊥平面11BBC C ；(Ⅱ)若P 为线段1BB 的中点，求证://CN 平面AMP ； (Ⅲ)试判断直线1BC 与PA 能否垂直. 若能垂直，求出PB 的值；若不能垂直，请说明理由.20．（本小题满分14分）已知抛物线22y x =，两点(1,0)M ，(3,0)N . （Ⅰ）求点M 到抛物线准线的距离；（Ⅱ）过点M 的直线l 交抛物线于两点,A B ，若抛物线上存在一点R ，使得,,,A B N R 四点构成平行四边形，求直线l 的斜率.NA MPCBA 1 C 1B 1北京市西城区2016 — 2017学年度第一学期期末试卷高二数学（文科）参考答案及评分标准2017.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A ；2.D ；3. C ；4. C ；5. D ；6. A ；7. B ；8. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 对任意x ∈R ,都有0522≠++x x ； 10. 1； 11. 2；y =； 12. 4；14. 碗底的直径m ，碗口的直径n ，碗的高度h ；2224n my x h-=.注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15.（本小题满分13分）解: (Ⅰ)连结AC 交BD 于O ，连结OE ，因为四边形ABCD 是正方形，所以O 为AC 中点. 又因为E 是PA 的中点，所以//PC OE ， ………3分 因为PC ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//PC 平面BDE . ……………6分 (Ⅱ)因为四边形ABCD 是正方形，所以BD AC ⊥. ……8分因为PA ⊥底面ABCD ，且BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. ……………10分又因为AC PA A =I ，所以BD ⊥平面PAC ， ……………12分 又CE ⊂平面PAC ，所以BD CE ⊥. ……………13分16.（本小题满分13分）ABCDPE O解：(Ⅰ)设圆C 的圆心坐标为),(a a ，依题意，有2222)1()1()3()1(-++=-+-a a a a ， ……………2分即22451a a a -+=+,解得1=a ， ……………4分所以222(11)(31)4r =-+-=， ……………5分 所以圆C 的方程为4)1()1(22=-+-y x . ……………6分 (Ⅱ)依题意，圆C 的圆心到直线l 的距离为1. ……………8分所以直线2x =符合题意. ……………9分 当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为)2(2-=+x k y ， 即022=---k y kx ， 则11|3|2=++k k ， ……………11分解得43k =-， ……………12分 所以直线l 的方程为)2(342--=+x y ，即0234=-+y x ， ……………13分综上，直线l 的方程为2x = 或0234=-+y x .17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明：因为F 为等边ADE △的边AD 的中点，所以 EF AD ⊥. ……………2分 因为⊥AB 平面ADE ，⊂AB 平面ABCD 所以平面ADE ⊥平面ABCD . ……………4分 所以EF ⊥平面ABCD . ……………5分 (Ⅱ)解：因为⊥AB 平面ADE ，CD ⊥平面ADE ， 所以//AB CD ，90ADC ∠=，四边形ABCD 是直角梯形， ……………7分 又22AD DC AB ===， 所以1(21)232ABCD S =⋅+⋅=梯形，……………8分又EF =所以13E ABCDABCD V S EF -=⋅=……………9分 (Ⅲ)结论: 直线//AG 平面BCE .证明: 取CE 的中点H ，连结,GH BH ， 因为G 是DE 的中点，所以//GH DC ，且 GH =12DC . ……………11分 DABCGFHE所以//GH AB ，且1GH AB ==，所以四边形ABHG 为平行四边形，//AG BH ， ……………12分 又⊄AG 平面BCE ，⊂BH 平面BCE .所以//AG 平面BCE . ……………13分18.（本小题满分13分）解：(Ⅰ)由已知，1=c ，)0,1(F ，直线l 的方程为22-=x y . ……………1分设11(,)C x y ，22(,)D x y ，联立⎩⎨⎧-==+222222x y y x ，消y 得291660x x -+=， ……………3分91621=+x x ，9621=x x ， ……………4分 所以||CD = ……………5分9==. ……………6分 (Ⅱ)依题意，设直线l 的斜率为k （0≠k ），则直线l 的方程为)1(-=x k y ，联立⎩⎨⎧-==+kkx y y x 2222，消y 得0)22(4)212222=-+-+k x k x k （， ……………7分2221214k k x x +=+……①， 22212122k k x x +-=……②……………8分 因为:1:3ODE OCE S S =△△，所以 :1:3DE CE =， 3CE DE =，所以 1223(2)x x -=-，整理得 2134x x -=……③ ……………10分由①③得 212121k x k -=+，2223121k x k +=+， ……………11分 代入②，解得1±=k ， ……………12分 所以直线l 的方程为1y x =-或1y x =-+. ……………13分19.（本小题满分14分）(Ⅰ)证明：由已知，M 为BC 中点，且AB AC =，所以AM BC ⊥. ……………1分又因为11//BB AA ，且1AA⊥底面ABC ， 所以1BB ⊥底面ABC .NA MPCBA 1 C 1B 1 Q所以1BB AM ⊥， ……………3分 所以AM ⊥平面11BBC C .所以平面AMP ⊥平面11BBC C .……………5分 (Ⅱ)证明：连结BN ，交AP 于Q ，连结MQ ,NP .因为,N P 分别为11,AA BB 中点，所以//AN BP ，且AN BP =.所以四边形ANPB 为平行四边形， ……………7分Q 为BN 中点，所以MQ 为CBN △的中位线，所以//CN MQ . ……………8分 又CN ⊄平面AMP ，MQ ⊂平面AMP ，所以//CN 平面AMP . ……………9分 (Ⅲ) 解：假设直线1BC 与直线PA 能够垂直，又因为1BC AM ⊥，所以⊥1BC 平面APM ，所以1BC PM ⊥. ……………10分 设PB x =，x ∈.当1BC PM ⊥时，11BPM BC B ∠=∠，所以Rt PBM △∽11Rt B C B △，所以111C B PB MB BB =. ……………12分因为111MB C B BB ===，解得3x =. ……………13分 因此直线1BC 与直线PA 不可能垂直. ……………14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由已知，抛物线22y x =的准线方程为12x =-. ……………2分 所以，点M 到抛物线准线的距离为131()22--=. ……………4分（Ⅱ）设直线:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2(1),2y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(22)0k x k x k -++=， ……………5分 所以212222k x x k++=，121x x =. ……………6分 ①,N R 在直线AB 异侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AB NR 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，22223R k x k +=+，222R k x k-=. 12122(2)R y y y k x x k=+=+-=. ……………8分将(,)R R x y 代入抛物线方程，得22R R y x =，即222422k k k -=⨯，解得0k =，不符合题意. ……………10分 ②若,N R 在直线AB 同侧，,,,A B N R 四点构成平行四边形，则,AR BN 互相平分. 所以，12R N x x x x +=+，12R N y y y y +=+，所以，213R x x x =-+，21R y y y =-. ……………12分 代入抛物线方程，得22121()2(3)y y x x -=-+，又2112y x =，2222y x =，所以2222121()2(3)22y y y y -=-+，注意到212y y =-=-，解得211y =，11y =±. ……………13分当11y =时，112x =，2k =-；当11y =-时，112x =，2k =.所以2k =±. ……………14分。

2016-2017学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∃x0∈A，2x0∈B B．￢p：∃x0∉A，2x0∈BC．￢p：∃x0∈A，2x0∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B2．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．命题p：∃x0∈R，使得sinx0＞1，则￢p“∀x∈R，均有sinx≤1D．“x＞2”是“＜”的充分不必要条件3．（5分）已知，，若，则常数m=（）A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．94．（5分）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，则a2+a8=（）A．40 B．80 C．160 D．3205．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）设两点A、B的坐标为A（﹣1，0）、B（1，0），若动点M满足直线AM与BM的斜率之积为﹣2，则动点M的轨迹方程为（）A．x2﹣=1 B．x2﹣=1（x≠±1）C．x2+=1 D．x2+=1（x≠±1）7．（5分）在等比数列{a n}中，若a6=6，a9=9，则a3为（）A．2 B．C．D．48．（5分）《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．++…+＜1C．++…+=1 D．++…+＞19．（5分）若m＜n，p＜q，且（p﹣m）（p﹣n）＜0，（q﹣m）（q﹣n）＜0，则m，n，p，q从小到大排列顺序是（）A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜q＜n C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜n＜q10．（5分）△ABC的三边长分别是a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC 的外接圆的面积为（）A．25πB．5πC．D．11．（5分）已知lg（x+y）=lgx+lgy，则x+y的取值范围是（）A．（0，1]B．[2，+∞）C．（0，4]D．[4，+∞）12．（5分）已知P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+S△IF1F2成立，则该双曲线的离心率为（）A．4 B．C．2 D．2二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）13．（5分）已知抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），则焦点坐标为．14．（5分）已知关于x的不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为．15．（5分）如图，某农户计划在自家后院，背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地用来养鸡，所需篱笆总长度最小为m．16．（5分）若命题：“∀x∈R，ax2﹣ax﹣1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是．17．（5分）已知点P在圆x2+y2=1运动，点M的坐标为M（2，0），Q为线段PM 的中点，则点Q的轨迹方程为．18．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为．19．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG=2GD，=，=，=，用基底{，，}表示向量=．20．（5分）定义：为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}通项公式为a n=．三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分）21．（10分）已知△ABC中，点D为BC中点，AB=2，AC=4．（1）若B=，求sinA；（2）若AD=，求BC．22．（10分）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？营运成本最小为多少元？23．（10分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（1）求c的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）设数列的前n项之和为T n，求T n．24．（10分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．（1）求证：A1D⊥DC；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．25．（10分）过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（3）当点P异于点B时，求证：•为定值．2016-2017学年广东省珠海市高二（上）期末数学试卷（理科）（A卷）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若命题p：∀x∈A，2x∈B，则（）A．￢p：∃x0∈A，2x0∈B B．￢p：∃x0∉A，2x0∈BC．￢p：∃x0∈A，2x0∉B D．￢p：∀x∉A，2x∉B【解答】解：命题p∈A，2x∈B是全称命题，否定时将量词对任意的x变为∃x，再将不等号∈变为∉即可，即为：￢p：∃x0∈A，2x0∉B，故选：C2．（5分）下列命题错误的是（）A．命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠0”B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题C．命题p：∃x0∈R，使得sinx0＞1，则￢p“∀x∈R，均有sinx≤1D．“x＞2”是“＜”的充分不必要条件【解答】解：命题“若lgx=0，则x=0”的逆否命题为“若x≠0，则lgx≠0”，故A正确；若p∧q为假命题，则p，q存在假命题，但不一定均为假命题，故B错误；命题p：∃x0∈R，使得sinx0＞1，则￢p“∀x∈R，均有sinx≤1，故C正确；“＜”⇔“x＞2，或x＜0”，故“x＞2”是“＜”的充分不必要条件，故D正确；故选：B3．（5分）已知，，若，则常数m=（）A．﹣6 B．6 C．﹣9 D．9【解答】解：，，当时，•=0，即﹣3×1+2m+5×3=0，解得m=﹣6．故选：A．4．（5分）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，则a2+a8=（）A．40 B．80 C．160 D．320【解答】解：在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=400，由a3+a7=a2+a8=2a5，可得5a5=400，a5=80，则a2+a8=160，故选：C．5．（5分）如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，B1E1=D1F1=，则BE1与DF1所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．【解答】解：如图先将F1D平移到AF，再平移到E1E，∠EE1B为BE1与DF1所成的角设边长为4则，E1E=E1B=，BE=2cos∠EE1B=，故选A6．（5分）设两点A、B的坐标为A（﹣1，0）、B（1，0），若动点M满足直线AM与BM的斜率之积为﹣2，则动点M的轨迹方程为（）A．x2﹣=1 B．x2﹣=1（x≠±1）C．x2+=1 D．x2+=1（x≠±1）【解答】解：由题意可得：设M（x，y），所以直线AM与直线BM的斜率分别为，，x≠±1．因为直线AM与直线BM的斜率之积为﹣2，所以•=﹣2，化简得：x2+=1．x≠±1所以动点M的轨迹E的方程为x2+=1（x≠±1）．故选：D．7．（5分）在等比数列{a n}中，若a6=6，a9=9，则a3为（）A．2 B．C．D．4【解答】解：在等比数列{a n}中，由a6=6，a9=9，得．故选：D．8．（5分）《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）A．1+++…+=2﹣B．++…+＜1C．++…+=1 D．++…+＞1【解答】解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，∵++…+=1﹣＜1，故反映这个命题本质的式子是++…+＜1，故选：B．9．（5分）若m＜n，p＜q，且（p﹣m）（p﹣n）＜0，（q﹣m）（q﹣n）＜0，则m，n，p，q从小到大排列顺序是（）A．m＜p＜q＜n B．p＜m＜q＜n C．m＜p＜n＜q D．p＜m＜n＜q【解答】解：∵（q﹣m）（q﹣n）＜0，∴m，n一个大于q，一个小于q．∵m＜n，∴m＜q＜n．∵（p﹣m）（p﹣n）＞0，∴m，n一个大于p，一个小于p．∵m＜n，∴m＜p＜n．∵p＜q，∴m＜p＜q＜n．故选：A．10．（5分）△ABC的三边长分别是a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC 的外接圆的面积为（）A．25πB．5πC．D．=2，a=1，B=45°，【解答】解：∵S△ABC∴acsinB==2，解得：c=4，∴由余弦定理可得：b===5，∴2R=，=πR2=．∴S外接圆故选：C．11．（5分）已知lg（x+y）=lgx+lgy，则x+y的取值范围是（）A．（0，1]B．[2，+∞）C．（0，4]D．[4，+∞）【解答】解：由题意，lg（x+y）=lgx+lgy，得lg（x+y）=lg（xy）∴x+y=xy，且x ＞0，y＞0．∴y=＞0，∴x＞1那么：x+y=x+=（x﹣1）++2≥=4当且仅当x=2时取等号．∴x+y的取值范围是[4，+∞），故选：D．12．（5分）已知P是双曲线=1（a＞0，b＞0）右支上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1=S△IPF2+S△IF1F2成立，则该双曲线的离心率为（）A．4 B．C．2 D．2【解答】解：如图，设圆I与△PF1F2的三边F1F2、PF1、PF2分别相切于点E、F、G，连接IE、IF、IG，则IE⊥F1F2，IF⊥PF1，IG⊥PF2，它们分别是△IF1F2，△IPF1，△IPF2的高，∴S△IPF1=|PF1|•|IF|=|PF1|r，S△IPF2=|PF2|•|IG|=|PF2|r，S△IF1F2=|F1F2|•|IE|=|F1F2|r，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．=S△IPF1﹣S△IF1F2，∵S△IPF2∴|PF2|=|PF1|﹣|F1F2|，两边约去得：|PF2|=|PF1|﹣|F1F2|，∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=c⇒离心率为e==．故选B．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分）13．（5分）已知抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），则焦点坐标为（0，）．【解答】解：抛物线的方程为y=ax2，且经过点（1，4），可得a=4，抛物线的标准方程为：x2=y，则焦点坐标为：（0，）．故答案为：（0，）．14．（5分）已知关于x的不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集为P，若1∉P，则实数a的取值范围为（1，2）．【解答】解：不等式（x﹣a）（x+1﹣a）≥0的解集为P，当1∉P时，（1﹣a）（1+1﹣a）＜0，即（a﹣1）（a﹣2）＜0，解得1＜a＜2；所以实数a的取值范围是（1，2）．故答案为：（1，2）．15．（5分）如图，某农户计划在自家后院，背靠院墙用篱笆围出一块约8m2的矩形空地用来养鸡，所需篱笆总长度最小为8m．【解答】解：设矩形的长为：x，宽为：y，则xy=8，且x＞0，y＞0，篱笆总长度为L=x+2y≥2=8，当且仅当x=2y=4时取等号；篱笆总长度最小为：8m．故答案为：8．16．（5分）若命题：“∀x∈R，ax2﹣ax﹣1≤0”是真命题，则实数a的取值范围是[﹣4，0] ．【解答】解：当a=0时，﹣1≤0 成立；当a≠0时，则⇒﹣4≤a＜0综上：实数a的取值范围是[﹣4，0]故答案为：[﹣4，0]．17．（5分）已知点P在圆x2+y2=1运动，点M的坐标为M（2，0），Q为线段PM 的中点，则点Q的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=．【解答】解：设Q（x，y），P（a，b）由M（2，0），Q为线段PM的中点故有a=2x﹣2，b=2y又P为圆x2+y2=1上一动点，∴（2x﹣2）2+（2y）2=16，整理得（x﹣1）2+y2=，故Q的轨迹方程是（x﹣1）2+y2=．故答案为：（x﹣1）2+y2=．18．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的焦点到其渐近线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为y=±2x．【解答】解：∵焦点F（c，0）到渐近线y=x的距离等于实轴长，∴=2a，∴b=2a，即有双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故答案为：y=±2x．19．（5分）四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC与BD交于点O，点G为BD上一点，BG=2GD，=，=，=，用基底{，，}表示向量=．【解答】解：====+=+=．故答案为：．20．（5分）定义：为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}通项公式为a n=6n﹣4．【解答】解：设数列{a n}的前n项和为s n，由已知可得，∴，当n≥2时，；当n=1时，a1=s1=2适合上式，∴a n=6n﹣4．故答案为：6n﹣4三、解答题（共5小题，每小题10分，共50分）21．（10分）已知△ABC中，点D为BC中点，AB=2，AC=4．（1）若B=，求sinA；（2）若AD=，求BC．【解答】解：（1）由正弦定理，可得sinC==，∵0＜C＜π，∴cosC=，∴sinA=sin（B+C）==；（2）设BC=2x，在△ABD中，由余弦定理可得cos∠ADB=，△ACD中，由余弦定理可得cos∠ADC=，∴=﹣，∴x=，∴BC=2．22．（10分）某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，在甲地和乙地之间往返一次的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天要运送不少于900人从甲地去乙地的旅客，并于当天返回，为使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？营运成本最小为多少元？【解答】解：设应配备A型车、B型车各x辆，y辆，营运成本为z元；则由题意得，；z=1600x+2400y；故作平面区域如下，故联立，解得，x=5，y=12；此时，z=1600x+2400y有最小值1600×5+2400×12=36800元．答：应配备A型车5辆、B型车12辆，营运成本最小，36800元．23．（10分）数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a1，a2，a3成等比数列．（1）求c的值；（2）求{a n}的通项公式；（3）设数列的前n项之和为T n，求T n．【解答】解：（1）a1=2，a2=2+c，a3=2+3c．∵a1，a2，a3成等比数列，∴（2+c）2=2（2+3c），解得c=0或c=2．∵c≠0，∴c=2．（2）当n≥2时，由于a2﹣a1=c，a3﹣a2=2c，a n﹣a n﹣1=（n﹣1）c，∴a n﹣a1=[1+2+…+（n﹣1）]c=．又a1=2，c=2，故有a n=2+n（n﹣1）=n2﹣n+2（n=2，3，）．当n=1时，上式也成立．∴a n=n2﹣n+2（n=1，2）．（3）令．T n=b1+b2+b3+…+b n=0++2×+3×+…+（n﹣1）①T n=0++2×+…+（n﹣2）+（n﹣1）②①﹣②得．24．（10分）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．（1）求证：A1D⊥DC；（2）求二面角E﹣A1B﹣C的余弦值；（3）判断在线段EB上是否存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC？若存在，求出的值，若不存在，说明理由．【解答】证明：（1）∵在边长为4的菱形ABCD中，∠BAD=60°，DE⊥AB于点E，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1E⊥EB．∴由题意知EA1，EB，ED两两垂直，建立空间直角坐标系，由题意得DE=2，从而A1（2，0，0），B（0，2，0），C（0，4，2），D（0，0，2），∴=（﹣2，0，2），=（0，4，0），∵•=0，∴A1D⊥DC．解：（2）平面A1BE的一个向量=（0，0，1），=（2，﹣2，0），=（0，2，2），设平面A1BC的一个法向量为=（x，y，z），则，令z=1，则=（﹣，﹣，1），∴cos＜＞==，∴二面角E﹣A1B﹣C的余弦值为﹣．（3）若存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC，设=λ（0≤λ≤1），===（﹣2，2λ，0），=（﹣2，0，2），设平面A1DP的法向量=（a，b，c），则，令c=λ，则=（），则平面A1BC法向量=（﹣，1），∵平面A1DP⊥平面A1BC，∴=﹣3λ﹣3+λ=0，解得λ=﹣，与0≤λ≤1矛盾，∴在线段EB上存在一点P，使平面A1DP⊥平面A1BC．25．（10分）过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q．（1）求椭圆的方程；（2）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；（3）当点P异于点B时，求证：•为定值．【解答】解：（1）∵过点C（0，）的椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，∴，解得a=2，b=，c=，∴椭圆的方程为．（2）椭圆的右焦点为（，0），此时直线l的方程为y=﹣x+，代入椭圆方程化简，得，解得，代入直线l的方程，得，y 2=﹣，∴|CD|==．证明：（3）当直线l与x轴垂直时，∵椭圆与x轴交于两点A（a，0），B（﹣a，0），∴AC∥BD，与题意不符．设直线l的方程为y=kx+，（k≠0，且k≠），代入椭圆方程，化简得（2k2+1）x2+4=0，解得，代入直线l的方程，得，，∴D（），∴k BD=====，∴直线BD的方程为y=（x+2），又直线AC的方程为，联立，得，∴Q（﹣2，2k+），又由l方程得P（﹣，0），∴=（﹣）•（﹣2，2k+）=4．∴•为定值4．。

广东省肇庆市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．以下四个命题中，其中正确的个数为（ ）①命题“若x 2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2﹣3x+2=0”；②“”是“cos2α=0”的充分不必要条件；③若命题，则¬p：∀x ∈R ，x 2+x+1=0；④若p ∧q 为假，p ∨q 为真，则p ，q 有且仅有一个是真命题． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量=（1，5，﹣2），=（3，1，2），=（x ，﹣3，6）．若DE ∥平面ABC ，则x 的值是（ ） A ．5B ．3C ．2D ．﹣13．在△ABC 中，AB=2BC=2，，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．1D ．4．抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ）A ．（﹣，0） B ．（，0） C ．（0，﹣1） D ．（0，1）5．已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则log （a 5+a 7+a 9）的值是（ ）A ．﹣B ．﹣5C ．5D ．6．若对于任意的x ＞0，不等式≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．a ≥B ．a ＞C ．a ＜D ．a ≤7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ，B ，C 成等差数列，2a ，2b ，2c 成等比数列，则sinAcosBsinC=（ ）A ．B ．C ．D ．8．焦点为F（0，10），渐近线方程为4x±3y=0的双曲线的方程是（）A． =1 B． =1C． =1 D． =19．若不等式（a2﹣3a﹣4）x2﹣（a﹣4）x﹣1＜0的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．（0，4）B．（0，4] C．[0，4）D．[0，4]10．已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．11．已知椭圆+y2=1（m＞1）和双曲线﹣y2=1（n＞0）有相同的焦点F1，F2，P是它们的一个交点，则△F1PF2的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．随m，n的变化而变化12．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为．14．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为．15．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a＞b，则双曲线的离心率e等于．16．已知实数x，y满足|x|+y≤1，则的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y ﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在等差数列{an }中，a2+a7=﹣23，a3+a8=﹣29．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{an +bn}是首项为1，公比为c的等比数列，求{bn}的前n项和Sn．19．（12分）已知椭圆C的焦点分别为F1（﹣2，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点．求：线段AB的中点坐标．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．21．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且，求a﹣b的取值范围．22．（12分）已知抛物线y2=﹣x与直线y=k（x+1）相交于A、B两点．（1）求证：OA⊥OB；（2）当△OAB的面积等于时，求k的值．广东省肇庆市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．以下四个命题中，其中正确的个数为（）①命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2=0”；②“”是“cos2α=0”的充分不必要条件；③若命题，则¬p：∀x∈R，x2+x+1=0；④若p∧q为假，p∨q为真，则p，q有且仅有一个是真命题．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据命题和它的逆否命题之间的关系，即可判断①错误；根据时cos2α=0成立判断充分性，cos2α=0时α=不成立判断必要性，得出②正确；根据特称命题的否定是全称命题，得出③错误；根据复合命题的真值表判断④正确．【解答】解：对于①，命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故①错误；对于②，时，cos2α=cos=0，充分性成立；cos2α=0时，α=+，k∈Z，必要性不成立，是充分不必要条件，故②正确；对于③，命题，则¬p：∀x∈R，x2+x+1≠0，故③错误；对于④，当p∧q为假命题，p∨q为真命题时，p，q中有且仅有一个是真命题，故④正确．综上，正确的命题序号是②④，共2个．故选：B．【点评】本题考查了命题真假的判断问题，也考查了四种命题，充分与必要条件以及复合命题的真假判断问题，是综合性题目．2．已知向量=（1，5，﹣2），=（3，1，2），=（x，﹣3，6）．若DE∥平面ABC，则x的值是（）A．5 B．3 C．2 D．﹣1【考点】共线向量与共面向量．【分析】设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，由DE∥平面ABC，可得=0，解出即可得出．【解答】解：∵设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则，即，取=（6，﹣4，﹣7）．∵DE∥平面ABC，∴=6x﹣3×（﹣4）+6×（﹣7）=0，解得x=5．故选：A．【点评】本题考查了向量垂直与数量积的关系、线面平行的性质、法向量的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．在△ABC中，AB=2BC=2，，则△ABC的面积为（）A．B． C．1 D．【考点】正弦定理．【分析】由AB=c，BC=a，得出a与c的长，再由cosA的值，利用余弦定理求出b的长，由b，c及sinA的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．【解答】解：∵c=2，a=1，cosA=，∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得：1=b2+4﹣2b，即（b﹣）2=0，解得：b=，则S=bcsinA=．△ABC故选B【点评】此题考查了余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．4．抛物线y=x 2的焦点坐标为（ ）A ．（﹣，0） B ．（，0） C ．（0，﹣1） D ．（0，1）【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线x 2=4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p=4，即可得到抛物线的焦点坐标．【解答】解：抛物线y=x 2，即抛物线x 2=4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p=4，∴ =1∴抛物线y=x 2的焦点坐标为（0，1） 故选：D ．【点评】本题以抛物线的标准方程为载体，考查抛物线的几何性质，解题的关键是定型与定量．5．已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），且a 2+a 4+a 6=9，则log （a 5+a 7+a 9）的值是（ ）A ．﹣B ．﹣5C ．5D ．【考点】数列递推式．【分析】数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *），可得a n+1=3a n ＞0，数列{a n }是等比数列，公比q=3．又a 2+a 4+a 6=9，a 5+a 7+a 9=33×9，再利用对数的运算性质即可得出． 【解答】解：∵数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n+1（n ∈N *）， ∴a n+1=3a n ＞0，∴数列{a n }是等比数列，公比q=3． 又a 2+a 4+a 6=9，∴=a 5+a 7+a 9=33×9=35，则log（a 5+a 7+a 9）==﹣5．故选；B ．【点评】本题考查了对数的运算性质、等比数列的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围为（）A．a≥B．a＞C．a＜D．a≤【考点】基本不等式．【分析】由x＞0，不等式=，运用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范围．【解答】解：由x＞0， =，令t=x+，则t≥2=2当且仅当x=1时，t取得最小值2．取得最大值，所以对于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，则a≥，故选：A．【点评】本题考查函数的恒成立问题的解法，注意运用基本不等式求得最值，考查运算能力，属于中档题．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a，2b，2c 成等比数列，则sinAcosBsinC=（）A．B． C．D．【考点】正弦定理．【分析】由A，B，C成等差数列，可得2B=A+C，结合三角形内角和定理可求B=，由2a，2b，2c成等比数列，得b2=ac，进而利用余弦定理得（a﹣c）2=0，可求A=C=B=，利用特殊角的三角函数值即可计算得解．【解答】解：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C，（1）∵A，B，C为△ABC的内角，∴A+B+C=π，（2）．由（1）（2）得B=．由2a，2b，2c成等比数列，得b2=ac，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB，把B=、b2=ac代入得，a2+c2﹣ac=ac，即（a﹣c）2=0，则a=c，从而A=C=B=，∴sinAcosBsinC==．故选：C．【点评】本题主要考查了等差数列，等比数列的性质，三角形内角和定理，余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．8．焦点为F（0，10），渐近线方程为4x±3y=0的双曲线的方程是（）A． =1 B． =1C． =1 D． =1【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】由题意可得可设双曲线的方程是=1，且c=10， ==，求出b=6，a=8，从而得到答案．【解答】解：由题意可得可设双曲线的方程是=1，且c=10， ==，∴b=6，∴a=8，故双曲线的方程为=1，故选 A．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求出b=6，a=8，是解题的关键．9．若不等式（a2﹣3a﹣4）x2﹣（a﹣4）x﹣1＜0的解集为R，则实数a的取值范围为（）A．（0，4）B．（0，4] C．[0，4）D．[0，4]【考点】其他不等式的解法．【分析】根据一元二次不等式的解集为R求解．【解答】解：不等式（a2﹣3a﹣4）（x2﹣（a﹣4）x﹣1＜0的解集为R．可得：a2﹣3a﹣4＜0，且△=b2﹣4ac＜0，得：，解得：0＜a＜4当a2﹣3a﹣4=0时，即a=﹣1或a=4，不等式为﹣1＜0恒成立，此时解集为R．综上可得：实数a的取值范围为（0，4]．故选B【点评】本题考查不等式的解法，主要考查高次不等式的解法注意转化为二次不等式，考查运算能力，属于基础题．10．已知椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，则此椭圆方程为（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质；椭圆的标准方程．【分析】根据题意设椭圆方程为，且，由此能求出椭圆方程．【解答】解：∵椭圆的中心为原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线的焦点重合，∴椭圆的焦点坐标F（0，±），∴设椭圆方程为，且，解得a=2，c=，∴b==1，∴椭圆方程为．故选A ．【点评】本题考查椭圆方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意抛物线性质的合理运用．11．已知椭圆+y 2=1（m ＞1）和双曲线﹣y 2=1（n ＞0）有相同的焦点F 1，F 2，P 是它们的一个交点，则△F 1PF 2的形状是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．随m ，n 的变化而变化 【考点】双曲线的简单性质；椭圆的简单性质．【分析】由双曲线的定义|PF 1|﹣|PF 2|=2，由椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=2，再由|F 1F 2|=2，利用勾股定理能判断△F 1PF 2的形状．【解答】解：由题意设两个圆锥曲线的焦距为2c ，椭圆的长轴长2，双曲线的实轴长为2，不妨令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF 1|﹣|PF 2|=2，①由椭圆的定义|PF 1|+|PF 2|=2，②∵m ﹣n=2，∴n=m ﹣2，①2+②2得|PF 1|2+|PF 2|2=2（m+n ），又∵椭圆+y 2=1（m ＞1）和双曲线﹣y 2=1（n ＞0）有相同的焦点F 1，F 2， ∴m ﹣1=n+1，∴m ﹣n=2，∴|PF 1|2+|PF 2|2=2（m+n ）=4m ﹣4， |F 1F 2|2=（2）2=4m ﹣4，∴|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|， 则△F 1PF 2的形状是直角三角形 故选：B ．【点评】本题考查三角形形状的判断，是中档题，解题时要熟练掌握椭圆和双曲线的简单性质．12．在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a*0=a；（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．则函数f（x）=（e x）*的最小值为（）A．2 B．3 C．6 D．8【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据性质，f（x）=（e x）*=1+e x+，利用基本不等式，即可得出结论．【解答】解：根据性质，f（x）=（e x）*=1+e x+≥1+2=3，当且仅当e x=时，f（x）=（e x）*的最小值为3．故选：B．【点评】本题考查新定义，考查基本不等式的运用，正确理解新定义是关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）13．设抛物线y2=4x上一点P到直线x+2=0的距离是6，则点P到抛物线焦点F的距离为 5 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到直线x+2=0的距离求得点到准线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，从而求得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的准线为x=﹣1，∵点P到直线x+2=0的距离为6，∴点p到准线x=﹣1的距离是6﹣1=5，根据抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是5，故答案为：5．【点评】本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相等这一特性．14．若正数a ，b 满足+=1，则+的最小值为 4 ．【考点】基本不等式．【分析】由+=1得到b=＞0，代入代数式变形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正数a ，b 满足+=1，∴b=＞0，解得a ＞1，同理b ＞1，则+=+=+4（a ﹣1）≥2=4，当且仅当a=时取等号（此时b=3）．∴+的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．15．两个正数a 、b 的等差中项是，一个等比中项是，且a ＞b ，则双曲线的离心率e 等于．【考点】双曲线的简单性质；等差数列的性质．【分析】由题设条件结合数列的性质，可解得a=3，b=2，利用双曲线的几何量之间的关系可求得，故可求离心率．【解答】解：由题设知，解得a=3，b=2，∴，∴．故答案为：．【点评】本题的考点是双曲线的简单性质，解题的关键是借助数列的性质，求出a ，b ，再利用双曲线的简单性质．16．已知实数x，y满足|x|+y≤1，则的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的公式结合数形结合进行求解即可．【解答】解：由|x|+y≤1得y≤1﹣|x|，作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点A（3，5）的斜率，由图象知过A的直线的斜率等于1和﹣1时，直线和区域的边界直线平行，则的取值范围是k＞1或k＜﹣1，即（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）（2016秋•商丘期末）已知命题P：方程表示双曲线，命题q：点（2，a）在圆x2+（y﹣1）2=8的内部．若pΛq为假命题，¬q也为假命题，求实数a的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；点与圆的位置关系；双曲线的定义．【分析】根据双曲线的标准方程的特点把命题p转化为a＞1或a＜﹣3，根据点圆位置关系的判定把命题q转化为﹣1＜a＜3，根据pΛq为假命题，¬q也为假命题，最后取交集即可．【解答】解：∵方程表示双曲线，∴（3+a ）（a ﹣1）＞0，解得：a ＞1或a ＜﹣3， 即命题P ：a ＞1或a ＜﹣3；∵点（2，a ）在圆x 2+（y ﹣1）2=8的内部， ∴4+（a ﹣1）2＜8的内部， 解得：﹣1＜a ＜3， 即命题q ：﹣1＜a ＜3，由p Λq 为假命题，¬q 也为假命题， ∴实数a 的取值范围是﹣1＜a ≤1．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，以及点圆位置关系的判定方法．考查了学生分析问题和解决问题的能力．属中档题．18．（12分）（2016•兰州模拟）在等差数列{a n }中，a 2+a 7=﹣23，a 3+a 8=﹣29． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n +b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求{b n }的前n 项和S n ． 【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）依题意 a 3+a 8﹣（a 2+a 7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．由此能求出数列{a n }的通项公式．（Ⅱ）由数列{a n +b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，得，所以．所以=．由此能求出{b n }的前n 项和S n ．【解答】（Ⅰ）解：设等差数列{a n }的公差是d ． 依题意 a 3+a 8﹣（a 2+a 7）=2d=﹣6，从而d=﹣3． 所以 a 2+a 7=2a 1+7d=﹣23，解得 a 1=﹣1． 所以数列{a n }的通项公式为 a n =﹣3n+2．（Ⅱ）解：由数列{a n +b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，得，即，所以．所以=．从而当c=1时，；当c ≠1时，．【点评】本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．19．（12分）（2000•上海）已知椭圆C 的焦点分别为F 1（﹣2，0）和F 2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C 于A 、B 两点．求：线段AB 的中点坐标． 【考点】直线与圆锥曲线的关系．【分析】先求椭圆的方程，设椭圆C 的方程为+=1，根据条件可知a=3，c=2，同时求得b=，得到椭圆方程，由直线y=x+2交椭圆C 于A 、B 两点，两方程联立，由韦达定理求得其中点坐标．【解答】解：设椭圆C 的方程为+=1，由题意a=3，c=2，b==1．∴椭圆C 的方程为+y 2=1．联立方程组，消y 得10x 2+36x+27=0，因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，（9分）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=﹣，故线段AB的中点坐标为（﹣，）．（12分）【点评】本题主要考查椭圆的性质及直线与椭圆的位置关系，要注意通性通法，即联立方程，看判别式，韦达定理的应用，同时也要注意一些细节，如相交与两点，要转化为判别式大于零来反映．20．（12分）（2004•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．（1）证明PA∥平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C﹣PB﹣D的大小．【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】法一：（1）连接AC，AC交BD于O，连接EO要证明PA∥平面EDB，只需证明直线PA 平行平面EDB内的直线EO；（2）要证明PB⊥平面EFD，只需证明PB垂直平面EFD内的两条相交直线DE、EF，即可；（3）必须说明∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角，然后求二面角C﹣PB﹣D的大小．法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．（1）连接AC，AC交BD于G，连接EG，求出，即可证明PA∥平面EDB；（2）证明EF⊥PB，，即可证明PB⊥平面EFD；（3）求出，利用，求二面角C﹣PB﹣D的大小．【解答】解：方法一：（1）证明：连接AC，AC交BD于O，连接EO．∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO而EO⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，所以，PA∥平面EDB（2）证明：∵PD⊥底面ABCD且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC∵PD=DC，可知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC．①同样由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC．∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC．而DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE．②由①和②推得DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF=E，所以PB⊥平面EFD．（3）解：由（2）知，PB⊥DF，故∠EFD是二面角C﹣PB﹣D的平面角．由（2）知，DE⊥EF，PD⊥DB．设正方形ABCD的边长为a，则，．在Rt△PDB中，．在Rt△EFD中，，∴．所以，二面角C﹣PB﹣D的大小为．方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a．（1）证明：连接AC，AC交BD于G，连接EG．依题意得．∵底面ABCD是正方形，∴G是此正方形的中心，故点G的坐标为且．∴，这表明PA ∥EG ．而EG ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB ，∴PA ∥平面EDB ．（2）证明；依题意得B （a ，a ，0），．又，故．∴PB ⊥DE ．由已知EF ⊥PB ，且EF ∩DE=E ，所以PB ⊥平面EFD ．（3）解：设点F 的坐标为（x 0，y 0，z 0），，则（x 0，y 0，z 0﹣a ）=λ（a ，a ，﹣a ）．从而x 0=λa，y 0=λa，z 0=（1﹣λ）a ．所以．由条件EF ⊥PB 知，，即，解得∴点F的坐标为，且，∴即PB ⊥FD ，故∠EFD 是二面角C ﹣PB ﹣D 的平面角．∵，且，，∴．∴．所以，二面角C ﹣PB ﹣D 的大小为．【点评】本小题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，二面角等基础知识，考查空间想象能力和推理论证能力．21．（12分）（2016秋•商丘期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且，求a﹣b的取值范围．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知利用三角函数恒等变换的应用，正弦定理化简已知等式可得c2=a2+b2﹣ab，利用余弦定理可求cosC，结合C角为三角形的内角，可求C的值．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用正弦定理可求a=2sinA，b=2sinB，利用三角函数恒等变换的应用可求a﹣b=2sin（A﹣），可求范围A﹣∈（﹣，），利用正弦函数的性质即可得解a﹣b的范围．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵cos2A+cos2B+2sinAsinB=2coc2C，∴1﹣2sin2A+1﹣2sin2B+2sinAsinB=2（1﹣sin2C），即sin 2C=sin 2A+sin 2B ﹣sinAsinB ，…由正弦定理得：c 2=a 2+b 2﹣ab ，∴，且角C 角为三角形的内角，即．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知…（7分）由得，a=2sinA ，b=2sinB ，，…（10分）∵△ABC 为锐角三角形，，又∵，∴A ∈（，），∴A ﹣∈（﹣，），∴，即a ﹣b 的取值范围为（﹣1，1）．…（12分） 【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．22．（12分）（2015•娄星区模拟）已知抛物线y 2=﹣x 与直线y=k （x+1）相交于A 、B 两点．（1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于时，求k 的值．【考点】直线与圆锥曲线的关系；抛物线的应用．【分析】（1）证明OA ⊥OB 可有两种思路：①证k OA •k OB =﹣1；②取AB 中点M ，证|OM|=|AB|．（2）求k 的值，关键是利用面积建立关于k 的方程，求△AOB 的面积也有两种思路：①利用S△OAB =|AB|•h（h 为O 到AB 的距离）；②设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线和x 轴交点为N ，利用S △OAB =|ON|•|y 1﹣y 2|．【解答】解：（1）由方程y 2=﹣x ，y=k （x+1）消去x 后，整理得ky 2+y ﹣k=0．设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由韦达定理y 1•y 2=﹣1．∵A 、B 在抛物线y 2=﹣x 上，∴y 12=﹣x 1，y 22=﹣x 2，y 12•y 22=x 1x 2．∵k OA •k OB =•===﹣1，∴OA ⊥OB ．（2）设直线与x 轴交于N ，又显然k ≠0，∴令y=0，则x=﹣1，即N （﹣1，0）．∵S △OAB =S △OAN +S △OBN=|ON||y 1|+|ON||y 2|=|ON|•|y 1﹣y 2|，∴S △OAB =•1•=． ∵S △OAB =，∴=．解得k=±． 【点评】本题考查的知识点是直线与圆锥曲线的关系，抛物线的应用，其中联立方程、设而不求、韦达定理三者综合应用是解答此类问题最常用的方法，但在解方程组时，是消去x 还是消去y ，这要根据解题的思路去确定．当然，这里消去x 是最简捷的．。