初二数学反证法学案

反证法(1)反证法的定义是什么？有什么特点？(2)利用反证法证题的关键是什么？步骤是什么？1．反证法的定义及证题的关键[点睛]对反证法概念的理解(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．第一个否定是指“否定结论(假设)”；第二个否定是指“逻辑推理结果否定”．(2)反证法属“间接解题方法”．2．“反证法”和“证逆否命题”的区别与联系(1)联系：通过证明逆否命题成立来证明原命题成立和通过反证法说明原命题成立属于间接证明，都是很好的证明方法．(2)区别：证明逆否命题实际上就是从结论的反面出发，推出条件的反面成立．而反证法一般是假设结论的反面成立，然后通过推理导出矛盾．用反证法证明否定性命题[典例] 直线y ＝kx ＋m (m ≠0)与椭圆W ：x 24＋y 2＝1相交于A ，C 两点，O 是坐标原点．当点B 在W 上且不是W 的顶点时，求证：四边形OABC 不可能为菱形．[证明] 假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且AC ⊥OB ，所以k ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m消去y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0.设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m 1＋4k 2， 设AC 的中点为M ，则M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 1＋4k 2，m 1＋4k 2，因为M 为AC 和OB 的交点，且m ≠0，k ≠0， 所以直线OB 的斜率为－14k. 因为k ·⎝⎛⎭⎪⎫－14k≠－1， 所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾． 所以四边形OABC 不可能是菱形．1．用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．用反证法证明数学命题的步骤用反证法证明“至多”“至少”问题，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实数解．[证明] 假设三个方程都没有实根，则三个方程中：它们的判别式都小于0，即：⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)＜0，(a －1)2－4a 2＜0，(2a )2＋4×2a ＜0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，⇒－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.这与已知a ≥－1矛盾，所以假设不成立，故三个方程中至少有一个方程有实数解．[一题多变]1．[变条件，变设问]将本例改为：已知下列三个方程x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0至少有一个方程有实数根，求实数a 的取值范围．解：若方程没有一个有实根，则⎩⎪⎨⎪⎧16a 2－4(3－4a )＜0，(a －1)2－4a 2＜0，4a 2＋8a ＜0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，即－32＜a ＜－1，－2＜a ＜0.故三个方程至少有一个方程有实根，实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪[－1，＋∞)．2．[变条件，变设问]将本例条件改为三个方程中至多有2个方程有实数根，求实数a 的取值范围．解：假设三个方程都有实数根，则⎩⎪⎨⎪⎧(4a )2－4(－4a ＋3)≥0，(a －1)2－4a 2≥0，(2a )2＋4×2a ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＋4a －3≥0，3a 2＋2a －1≤0，a 2＋2a ≥0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－32或a ≥12，－1≤a ≤13，a ≤－2或a ≥0.即a ∈∅.所以实数a 的取值范围为实数R.3．[变条件，变设问]已知a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．证明：假设a ≥0，b ≥0，c ≥0，d ≥0. ∵a ＋b ＝c ＋d ＝1， ∴(a ＋b )(c ＋d )＝1， ∴ac ＋bd ＋bc ＋ad ＝1.而ac ＋bd ＋bc ＋ad ＞ac ＋bd ＞1，与上式矛盾， ∴假设不成立，∴a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．用反证法证明“至多”“至少”等问题的两个关注点(1)反设情况要全面，在使用反证法时，必须在假设中罗列出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．(2)常用题型：对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．用反证法证明唯一性命题[典例] 设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a .证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．[证明]因为a>1，所以f(0)＝1－a<0，f(ln a)＝(1＋ln2a)e ln a－a＝a ln2a>0，所以f(0)·f(ln a)<0，由零点存在性定理可知f(x)在(0，ln a)内存在零点．假设至少有2个零点，则f(x)在(－∞，＋∞)上不单调．由已知得f′(x)＝(1＋x2)′e x＋(1＋x2)(e x)′＝(1＋x)2e x≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，矛盾，∴假设不成立，则f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．巧用反证法证明唯一性命题(1)当证明结论有以“有且只有”“当且仅当”“唯一存在”“只有一个”等形式出现的命题时，由于反设结论易于推出矛盾，故常用反证法证明．(2)用反证法证题时，如果欲证明命题的反面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以；若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．(3)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．。

§11.6 反证法教师寄语：伟大的成功源于小小的决定学习目标：1掌握反证法的特点及证明步骤。

2能用反证法进行推理证明。

3学会反面说理的方法，培养从正反两方面进行说理的能力。

学习重难点：反证法的应用学习过程：一、快乐预习：1. 先提出与命题的结论的假设，推出，从而证明命题成立，这种证明方法叫做反证法。

2.用反证法证明一个命题，一般有下面三个步骤：（1）（2）(3)二、合作探究:1.已知：如图，直线a∥c，b∥c，求证：a∥b，2.已知：m是整数，且m2是偶数，求证：m一定是偶数bcaP三、拓展提高:1求证：两条直线相交，只能有一个交点，2 已知：如图，在同一平面内，直线a⊥直线c，直线b与直线c相交，但不垂直，求证：a与b必定相交。

2、系统总结：四、感恩达标：（共10分）1下列命题宜用反证法证明的是（）A、等腰三角形两腰上的高相等，B、有一个外角是1200的等腰三角形是等边三角形C、两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行D、全等三角形的面积相等2用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于600，”先假设这个三角中（）A、有一个内角小于600B、每一个内角都小于60 0C、有一个内角大于600D、每个内角都大于6003用反证法证明“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角的第一步假设4在锐角三角形△ABC中，∠A＞∠B＞∠C,则下列结论错误的是（）A、∠A=600B、∠B=450C、∠C=600D、∠B+∠C<9005在证明“在△ABC中至少有一个角是直角和钝角”时，的一步应假设（）A、三角形至少有一个角是直角或钝角B、三角形中至少有两个直角或钝角C、三角形中没有直角或钝角D、三角形中三个角都是直角或钝角6、求证：在一个三角形中至少有两个内角是锐角。

2.2.2 反证法学习目标1.了解反证法是间接证明的一种基本方法(重点)．2.理解反证法的思考过程、特点，会用反证法证明数学问题(重点、难点)．知识提炼1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．2．反证法常见矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．温馨提示反证法不是通过证明逆否命题来证明原命题．反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确.思考尝试1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)反证法属于间接证明问题的方法．()(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．()(3)反证法的实质是否定结论导出矛盾．()(4)反证法是通过证明逆否命题来证明原命题．()2．用反证法证明命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2”时，假设的内容应是()A．a2＝b2B．a2＜b2C．a2≤b2D．a2＜b2，且a2＝b23．应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用()①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原命题的结论．A．①②B．①②④C．①②③D．②③4．将“函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上至少存在一个实数c，使f(c)＞0”反设，所得命题为“_______________________________________”．5．命题“a，b∈R，若|a－1|＋|b－1|＝0，则a＝b＝1”用反证法证明时应假设为______________．核心突破类型1用反证法证明否定性命题(自主研析)典例1已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：a，b，c不成等差数列．归纳升华1．用反证法证明否定性命题的适用类型．结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法．2．反证法证明问题的一般步骤．变式训练如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分．类型2用反证法证明“至多”“至少”等存在性问题典例2用反证法证明：如果函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．(不考虑重根)归纳升华1．反证法是利用原命题的否定不成立则原命题成立来进行证明的．在使用反证法时，必须在假设中罗列出所有与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完全的．2．对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能”等字样时，常用反证法．变式训练已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数．类型3用反证法证明唯一性问题典例3已知一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．归纳升华(1)当证明结论以“有且只有”“只有一个”“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．(2)若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．变式训练已知a与b是异面直线．求证：过a且平行于b的平面只有一个．类型4 用反证法证明不等式成立问题(误区警示)典例4已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ca＞0，abc＞0，求证：a＞0，b＞0，c＞0.易错提示：本题易出现如下错误：假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0，与题设条件a＋b＋c＞0，abc＞0矛盾，所以假设不成立，所以原命题成立．防范措施：(1)错解没有弄清原题待证的结论是什么，导致反设错误．“求证：a＞0，b＞0，c＞0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0”．(2)含“至多”“至少”“唯一”等的结论，或以否定形式给出的结论，常用反证法证明．证明的第一步是写出结论的否定，否定一定要准确，证明时要将全部可能情形一一推证．类题尝试已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．课堂小结1．反证法证题的原理与实质．(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反证法证题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．2．反证法的适用对象．作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)结论是含有“至多”“至少”等词语的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．参考答案思考尝试1．【答案】(1)√(2)×(3)√(4)×【解析】(1)对，反证法是间接证明问题的方法．(2)错，反证法是演绎推理，不是合情推理．(3)对，根据反证法的概念知说法正确．(4)错，2．【答案】C【解析】将结论否定，即为a2≤b2.3．【答案】C4．【答案】函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1，1]上恒小于等于0【解析】将命题反设，意思是“对区间[－1，1]上的任何x，都有f(x)≤0”．5．【答案】a≠1或b≠1【解析】“a＝b＝1”的反面是“a≠1或b≠1”，所以假设为a≠1或b≠1.核心突破类型1用反证法证明否定性命题(自主研析)典例1证明：假设a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，即a＋c＋2ac＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．即b＝ac，所以a＋c＋2ac＝4ac，所以a＋c－2ac＝0，即(a－c)2＝0，所以a＝c，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”相矛盾．原假设错误，故a，b，c不成等差数列．变式训练证明：连接AC，CB，BD，DA，假设AB，CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，所以∠ACB＝∠ADB，∠CAD＝∠CBD.因为四边形ACBD为圆的内接四边形，所以∠ACB＋∠ADB＝180°，∠CAD＋∠CBD＝180°，所以∠ACB＝90°，∠CAD＝90°，所以对角线AB，CD均为圆的直径，与已知条件矛盾，假设错误，所以AB，CD不能互相平分.类型2用反证法证明“至多”“至少”等存在性问题典例2证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个实数根，设α，β为它的两个实数根，则f(α)＝f(β)＝0.因为α≠β，不妨设α<β，又因为函数f(x)在[a，b]上是增函数，所以f(α)<f(β)，这与f(α)＝f(β)＝0矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多有一个实数根．变式训练证明：假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又因为(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1.这与已知ac＋bd＞1矛盾，所以a，b，c，d中至少有一个是负数．类型3用反证法证明唯一性问题典例3证明：根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图①所示，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图②所示，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C 为垂足)那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂平面α，所以AB⊥BC，AC⊥BC，在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线．图①图②变式训练证明：假设过直线a且平行于直线b的平面有两个，分别为α和β，在直线a上取点A，过b和A确定一个平面γ，且γ与α、β分别交于过点A的直线c、d，由b∥α，知b∥c，同理b∥d，故c∥d，这与c、d相交于点A矛盾，故假设不成立，原结论成立．类型4 用反证法证明不等式成立问题(误区警示)典例4解：假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0，若a＜0，则由abc＞0，得bc＜0，由a＋b＋c＞0得，b＋c＞－a＞0，所以ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc＜0，这与已知ab＋bc＋ca＞0矛盾．又若a＝0，则abc＝0与abc＞0矛盾．故“a≤0”不成立，所以a＞0，同理可证b＞0，c＞0.类题尝试已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．证明：因为a∥b，所以过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α，又A∈m，B∈m，所以m⊂α.即过a、b、m有一个平面α.假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α，则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．。

•他是如何推断该命题的正确性的?
•在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举 一至两个例子.
•试一试
•已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
•求证：a∥b
•证明：假设结论不成立，则a∥b •∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) •这与已知的∠1≠∠2矛盾 •∴假设不成立 •∴a∥b
•延伸拓 •你能用反证法证明以下命题吗？ 展•如图，在△ABC中,若∠C是直角，
•这种证明方法叫做反证法.
•反证法的一般步骤:
•假设
•假设命题 结论反面成 立 •假设命题 结论不成立
•推理得 出的结论
•与已知 条件矛盾
•与定理，定义 ，公理矛盾
•假设不 成立
•所证命 题成立
布置作业:
•(1)课本第87页作业题 •(2)见作业本.
•∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
学以致用:
•已知:如图,直线l与l1,l2,l3 都相交,且 l1∥l2,l2∥l3,
•求证:∠1=∠2
•l
•1
•l1
•2
•l2
•l3
•发生在身边的例子:
•妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外地旅 游.
•小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈
•妈上呢述! 对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么 ?•小芳全家没外出旅游.
3
•l
•P
1
•l2
•因为已知___•l_1_∥_l2___,
•所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
•这与“__经__过_直__线_外__一__点_,_有_且__只_有__一_条__
_直_线__平_行__于_已__知__直_线”矛盾.
•所以假设不成立,即求证的命题正 •所以 l3与l2相交.