第2章 平稳随机过程
2．1 平稳随机过程的基本概念
引言
“平稳”的中文含意：平坦、稳定。不大起大落。
随机过程)(t X ，当t 变化时，得一系列随机变量：)(1t X ，)(2t X ，……)(n t X 。 )(t X 具有“平稳”性，是指)(i t X 的变化稳定，不“大起大落”，各)(i t X 具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。
在统计学中，)(1t X ，)(2t X ，……)(n t X 往往假设满足“独立同分布”（iid ）。“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。
2．1．1 严平稳过程及其数字特征
一、定义
随机过程)(t X 的n 维概率密度（或n 维分布函数）),,,(2121n n X t t t x x x p 不随时间起点选择不同而改变。即：对任何n 和ε，过程)(t X 的概率密度满足：
),,,(),,,(21212121εεε+++=n n X n n X t t t x x x p t t t x x x p
则称)(t X 为严平稳过程。
二、严平稳过程的一、二维概率密度
结论：严平稳过程)(t X 的一维概率密度与时间无关；严平稳过程)(t X 的二维概率密度只与
1t 、2t 时间间隔12t t -=τ有关。
证明：当n ＝1时，对任何ε，有),(),(1111ε+=t x p t x p X X 。
取1t -=ε，则有)()0,(),(),(),(111111111x p x p t t x p t x p t x p X X X X X ==-=+=ε。 当n ＝2时，对任何ε，有),,,(),,,(21212121εε++=t t x x p t t x x p X X 。
取1t -=ε，12t t -=τ，则),,(),0,,(),,,(2112212121τx x p t t x x p t t x x p X X X =-=。 三、严平稳过程的数字特征
（1）若)(t X 是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。
证明：X X X X m dx x xp dx t x xp t X E t m ===
=⎰⎰
+∞
∞
-+∞
∞
-)(),())(()(
222
2
)(),())((X
X X dx x p x dx t x p x t X E α===⎰⎰+∞∞
-+∞
∞
- 2
2)()())((X
X X dx x p m x t X D σ=-=⎰+∞
∞- （2）若)(t X 是严平稳过程，则它的自相关函数),(21t t R X 只是间间隔12t t -=τ的单变量的函数。
证明：
212121212121),,,())()((),(dx dx t t x x p x x t X t X E t t R X X ⎰
⎰
+∞∞-+∞
∞
-=⋅=
＝
)(),,(212121ττX X R dx dx x x p x x =⎰⎰
+∞∞-+∞
∞
-
2．1．2 宽平稳过程
引言：要证明一个过程是来平稳过程往往较困难。在理论和应用中，只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。所以，严平稳过程的要求可适当放宽。 一、 定义
若随机过程)(t X 的数学期望为一常数，其自相关函数),(21t t R X 只与时间间隔12t t -=τ有关，且它的均方值有限，即：
X m t X E =))((
)())()((),(2121τX X R t X t X E t t R =⋅=
∞<))((2t X E
则称)(t X 为宽平稳过程（或广义平稳过程）。 二、举例：
例1 设随机过程)cos()(0Φ+=t a t X ω，a 与0ω为常数，Φ为在)2.0(π上均匀分布的随机变量，证明)(t X 是平稳过程。
证明：))(()(t X E t m X =＝φφφωωπ
d p t a t a E )()cos()]cos([20
00Φ⎰
+=
Φ+
＝
021
)
cos(20
0=+⎰
φπ
φωπ
d t a ))()((),(),(21ττ+⋅=+=t X t X E t t R t t R X X
＝
φπ
φτωφωπ
d t a t a 21
)
)(cos()cos(020
0+++⎰
＝
)()cos(2)2)2cos(21)cos(2
02
20
0002ττωφφτωωπτωπ
X R a
d t a ==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+++⎰
∞<=⋅==2
)0cos(2),())((2
022
a a t t R t X E X ω
可见，)(t X 是宽平稳过程。
例2，设Y t X =)(1，tY t X =)(2，式中Y 是随机变量，讨论)(1t X 、)(2t X 的平稳性。 解：)(1t X 是平稳过程，因为：Y X m Y E Y E t X E t m ====)()())(()(11
2
221)(),(1Y
X Y E t t R α==
)(2t X 不是平稳过程，因为：Y X m t Y tE tY E t X E t m ⋅====)()())(()(22
2
212212121)()(),(2Y
X t t Y E t t Y t Y t E t t R α==⋅⋅⋅= 例3 设随机过程)2cos()(At t X π=，A 是在)1.0(上均匀分布的随机变量，t 只能取整数，证明)(t X 是平稳过程。
证明：))(()(t X E t m X =＝da a p
at At E A
)()2sin()]2[sin(1
⎰=
ππ
＝
da at ⎰1
)2sin(π＝0
))()((),(),(21ττ+⋅=+=t X t X E t t R t t R X X
＝
da t a at ))(2sin()2sin(1
τππ+⎰
＝⎩⎨⎧≠==+-⎰0
,5.0))]2(2cos()2[cos(211
0τττπτπda t a a 2．2 遍历性过程
引言：在实用中，如何求)(t X 的数字特征？以t 为自变量，)(t X 是一曲线族。对)(t X 的测量（考查）时，严格意义上讲，无法同时得到多条曲线。
问题：只获得一条曲线时，能否准确得到)(t X 的数字特征？
2..2.1 遍历性过程定义
一、随机过程的时间均值、时间自相关函数
