平稳随机过程

第2章 平稳随机过程2．1 平稳随机过程的基本概念引言“平稳”的中文含意：平坦、稳定。

不大起大落。

随机过程)(t X ，当t 变化时，得一系列随机变量：)(1t X ，)(2t X ，……)(n t X 。

)(t X 具有“平稳”性，是指)(i t X 的变化稳定，不“大起大落”，各)(i t X 具有相同的分布规律、或具有相同的数字特征、或具有相同的概率密度。

在统计学中，)(1t X ，)(2t X ，……)(n t X 往往假设满足“独立同分布”（iid ）。

“独立”性不太容易满足，“同分布”就包含了“平稳性”。

2．1．1 严平稳过程及其数字特征一、定义随机过程)(t X 的n 维概率密度（或n 维分布函数）),,,(2121n n X t t t x x x p 不随时间起点选择不同而改变。

即：对任何n 和ε，过程)(t X 的概率密度满足：),,,(),,,(21212121εεε+++=n n X n n X t t t x x x p t t t x x x p则称)(t X 为严平稳过程。

二、严平稳过程的一、二维概率密度结论：严平稳过程)(t X 的一维概率密度与时间无关；严平稳过程)(t X 的二维概率密度只与1t 、2t 时间间隔12t t -=τ有关。

证明：当n ＝1时，对任何ε，有),(),(1111ε+=t x p t x p X X 。

取1t -=ε，则有)()0,(),(),(),(111111111x p x p t t x p t x p t x p X X X X X ==-=+=ε。

当n ＝2时，对任何ε，有),,,(),,,(21212121εε++=t t x x p t t x x p X X 。

取1t -=ε，12t t -=τ，则),,(),0,,(),,,(2112212121τx x p t t x x p t t x x p X X X =-=。

三、严平稳过程的数字特征（1）若)(t X 是严平稳过程，则它的均值、均方值、方差皆为与时间无关的常数。

证明：X X X X m dx x xp dx t x xp t X E t m ====⎰⎰+∞∞-+∞∞-)(),())(()(2222)(),())((XX X dx x p x dx t x p x t X E α===⎰⎰+∞∞-+∞∞- 22)()())((XX X dx x p m x t X D σ=-=⎰+∞∞- （2）若)(t X 是严平稳过程，则它的自相关函数),(21t t R X 只是间间隔12t t -=τ的单变量的函数。

证明：212121212121),,,())()((),(dx dx t t x x p x x t X t X E t t R X X ⎰⎰+∞∞-+∞∞-=⋅=＝)(),,(212121ττX X R dx dx x x p x x =⎰⎰+∞∞-+∞∞-2．1．2 宽平稳过程引言：要证明一个过程是来平稳过程往往较困难。

在理论和应用中，只须研究随机过程的期望、方差和相关函数、功率谱密度等。

所以，严平稳过程的要求可适当放宽。

一、 定义若随机过程)(t X 的数学期望为一常数，其自相关函数),(21t t R X 只与时间间隔12t t -=τ有关，且它的均方值有限，即：X m t X E =))(()())()((),(2121τX X R t X t X E t t R =⋅=∞<))((2t X E则称)(t X 为宽平稳过程（或广义平稳过程）。

二、举例：例1 设随机过程)cos()(0Φ+=t a t X ω，a 与0ω为常数，Φ为在)2.0(π上均匀分布的随机变量，证明)(t X 是平稳过程。

证明：))(()(t X E t m X =＝φφφωωπd p t a t a E )()cos()]cos([2000Φ⎰+=Φ+＝021)cos(200=+⎰φπφωπd t a ))()((),(),(21ττ+⋅=+=t X t X E t t R t t R X X＝φπφτωφωπd t a t a 21))(cos()cos(0200+++⎰＝)()cos(2)2)2cos(21)cos(202200002ττωφφτωωπτωπX R ad t a ==⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎰∞<=⋅==2)0cos(2),())((2022a a t t R t X E X ω可见，)(t X 是宽平稳过程。

例2，设Y t X =)(1，tY t X =)(2，式中Y 是随机变量，讨论)(1t X 、)(2t X 的平稳性。

解：)(1t X 是平稳过程，因为：Y X m Y E Y E t X E t m ====)()())(()(112221)(),(1YX Y E t t R α==)(2t X 不是平稳过程，因为：Y X m t Y tE tY E t X E t m ⋅====)()())(()(222212212121)()(),(2YX t t Y E t t Y t Y t E t t R α==⋅⋅⋅= 例3 设随机过程)2cos()(At t X π=，A 是在)1.0(上均匀分布的随机变量，t 只能取整数，证明)(t X 是平稳过程。

证明：))(()(t X E t m X =＝da a pat At E A)()2sin()]2[sin(1⎰=ππ＝da at ⎰1)2sin(π＝0))()((),(),(21ττ+⋅=+=t X t X E t t R t t R X X＝da t a at ))(2sin()2sin(1τππ+⎰＝⎩⎨⎧≠==+-⎰0,5.0))]2(2cos()2[cos(2110τττπτπda t a a 2．2 遍历性过程引言：在实用中，如何求)(t X 的数字特征？以t 为自变量，)(t X 是一曲线族。

对)(t X 的测量（考查）时，严格意义上讲，无法同时得到多条曲线。

问题：只获得一条曲线时，能否准确得到)(t X 的数字特征？2..2.1 遍历性过程定义一、随机过程的时间均值、时间自相关函数)]([t X E 的含义是：当t 固定时，)]([t X E 是随机变量)(t X 的均值。

当t 变动时，相对于时间t 的均值如何求？ 在时间],[T T -，以NTt 2=∆为时间间隔，等间距的抽取N 个点t i t i ∆-=)1(（N i ,,2,1 =），得)(1t X ，)(2t X ，……)(N t X ，其平均值为⎰∑∑-∞→==−−→−∆=TTN Ni i N i i dt t X T t t X T t X N )(21)(21)(111在随机过程)(t X 沿整个时间轴的两种时间平均⎰-∞→=TT T dt t X Tt X )(21lim)( ⎰-∞→+=+TTT dt t X t X Tt X t X )()(21lim)()(ττ分别称为时间均值和时间自相关函数。

)(t X 与)()(τ+t X t X 都是随机变量。

二、遍历性过程定义设)(t X 是平稳过程，若)(t X 满足：（1）X m t X E t X ==))(()(以概率1成立，则称)(t X 的均值具有各态遍历性。

（2）)())()(()()(τττX R t X t X E t X t X =+=+以概率1成立，则称)(t X 的自相关函数具有各态遍历性。

（3）当0=τ时，)0())()(()()(X R t X t X E t X t X =+=+ττ以概率1成立，则称)(t X 的均方值具有各态遍历性。

如果)(t X 的时间均值、时间自相关函数、时间均方值都具有遍历性，则称)(t X 是遍历过程。

2..2.2 计算举例例4 设随机过程)cos()(0Φ+=t a t X ω，a 与0ω为常数，Φ为在)2.0(π上均匀分布的随机变量，讨论)(t X 的遍历性。

解：)(t X 是遍历过程，因为：)sin(cos lim)cos(21lim)(21lim)(000=Φ=Φ+==∞→-∞→-∞→⎰⎰TT dt t a Tdt t X Tt X T TTT TTT ωωω⎰⎰-∞→-∞→Φ++Φ+=+=+TTT TT T dtt t a Tdt t X t X T t X t X ))(cos()cos(21lim )()(21lim)()(002τωωττ ＝)cos(202τωa 例5 Y t X =)(，Y 是随机变量，讨论)(t X 的遍历性。

解，)(t X 不是遍历过程，因为： Y Ydt Tdt t X Tt X TTT TTT ===⎰⎰-∞→-∞→21lim)(21lim)(，而Y 是随机变量，所以Y t X E ≠))((。

原因分析：Y 的取值与时间无关，当时间变动时，Y 可能取某个随机值1y Y =而变动。

2..2.3、随机过程具备遍历性的条件一、遍历过程必须是平稳的。

（平稳过程不一定是遍历的）。

二、平稳过程)(t X 的均值具备遍历性的充要条件是：0])()[21(1lim 202=--⎰∞→TX X T d m R TTτττ三、平稳过程)(t X 的自相关函数具备遍历性的充要条件是：0)]()()[21(1lim120211=--⎰∞→TX T d R B TT ττττ式中)]()()()([)(111t X t X t X t X E B τττττ++++=四、对于正态平稳过程，若均值为0，自相关函数)(τX R 连续，此过程具备遍历性的一个充要条件是：∞<⎰∞ττd R X 0)(。

2．3 随机过程统计特征的实验研究方法引言：遍历过程的有一个很实际的意义：用时间均值来代替随机变量的均值，即用一个历程（一次样本函数）来获取数学期望、自相关、均方值等数字特征。

在具体的工程应用中，需要等间距离散采样，获取的是离散随机数据，具体如下：以单位时间为时间间隔，等间距的抽取N 个点，得N 个随机变量)1(X ，)2(X ，……)(N X ，或记为1X ，2X ，……N X 。

在工程应用中，得到的是一组样本值1x ，2x ，…, N x .利用1x ，2x ，…, N x 来计算随机过程的统计特征，是工程中常用的方法。

2.3.1、均值估计)(t X 具有遍历性，X m t X E =))((，用时间均值)(t X 来估计X m ：∑=≈=Ni i X x N t X m11)(ˆ X mˆ是X m 的无偏估计，也是极大似然估计。

X Ni i X m x E N mE ==∑=1)(1)ˆ( 2.3.2、方差估计)(t X 具有遍历性，X m t X E =))((已知方差2))((X t X D σ=的估计为：∑=-=Ni X i Xm x N 122][1ˆσ此估计是极大似然估计，是无偏估计。