万有引力场

万有引力场中的“高斯定理”及其应用众所周知，库仑定律是用于描述带电体之间的相互作用的重要定律，其数学表达式为F = k221 r qq^r（1）而万有引力定律是用来描述物体之间的相互吸引的基本定律，其数学表达式为F = -G221 r mm^r（2）比较（1）、（2）两式，我们不难发现，两者有着极其相似的特点。

它们都服从平方反比定律，库仑定律中的q和万有引力定律中的m相当，库仑定律中的k与万有引力定律中的G相当。

静电力是一种保守力，同样万有引力也是保守力。

但它们也有各自的特殊性，万有引力总是引力，库仑力既可以是引力，也可以是斥力；库仑力存在于两带电体之间，而万有引力存在于任何两物体之间。

那么我们能否将静电场的有关知识移植于万有引力场中去呢？在这方面已有不少人做过研究，我们可以将有关静电场的研究方法运用于万有引力场中，以新的视觉来重新认识万有引力定律的深刻内涵。

那么，我们还是首先来回顾一下静电场的有关内容。

1．静电场库仑定律描述了两个相距一段距离的带电体之间存在着相互作用力，两者之间的相互作用力式怎样传递的呢？通过研究探索，人们终于认识到任何带电体的周围都存在着由电荷激发的电场，相互作用力正是通过这种场来传递的。

电荷⇔电场⇔电荷为了描述电场本身的性质，我们引入一个物理量——电场强度EE = F／q若要描述点电荷组产生的电场强度，则可利用场强叠加原理E = ∑E i为直观、形象地了解电场中电场强度地空间分布情况，在电场中可以画出一系列的曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的电场强度的方向一致，这些曲线称为电场的电场线。

正负点电荷的电场线如下图所示：图1 图2电场线图既能反映电场强度方向的分布情况，又能根据电场线密度的大小反映出电场强度在各处的强弱情况。

电场中的一个闭合曲面S的电通量，可表示为Φe = ⎰SE·d S对于真空中的任何静电场，通过电场中任何闭合曲面S的电通量Φe，等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和∑q的1/ε0倍，与闭合曲面外的电荷无关。

即Φe = ⎰S E·d S =1ε∑q i（3）电场的这个规律称为电场的高斯定理。

从中我们可以发现静电场的一个基本性质，那就是任何静电场都是有源场。

静电场的另一个基本性质可由其环路定理来描述⎰E·d l = 0L即任何静电场都是无旋场。

静电场的“高斯定理”和“环路定理”是静电场必须遵守的两条基本规律。

由静电场的环路定理可知静电场力是保守力，它所做的功与路径无关，只决定于受力电荷q的起点P和终点Q的位置。

保守力场中的物体是有势能的，q从P点移到Q点的势能为W = W（P）- W（Q）= q⎰Q P E·d l取q在无限远处的电势能W（∞）= 0 ，则q在P点的电势能为W（P）= q⎰∞P E·d l定义电势为U （P ）=qP W ）（ = ⎰∞P E ·d l点电荷组的电场电势满足电势叠加原理U （r ） = ∑U i (r)对于点电荷，电场强度E 、电势U 分别为 E =41πε2r Q ^r U =041πεrQ 2． 万有引力场从近代物理学的观点看，自然界物质的4种相互作用，即引力相互作用、电荷相互作用、弱相互作用和强相互作用，都是通过物体周围的空间中存在的场对对方作用的。

物体与物体之间的万有引力也正是通过引力场来传递的。

万有引力⇔引力场⇔万有引力2．1引力场强度为了定量地讨论引力场在空间的分布和传播，我们引入引力场强度的概念。

引力场的基本性质是它对物体施加作用力，为此我们与电场强度的定义类比来定义引力场强度。

先引入一试探质点到引力场中以测量它受到引力场给它的作用力，按万有引力定律，试探质点在引力场中任一点P所受的力F与其质量m成正比，但比值F/m是一个与试探质点质量无关的矢量，它反映着引力场本身的性质，我们把它定义为该点的引力场强度，用g来表示，所以g=F/m，与电场强度E = F/ q类同。

既然引力场强度是一个矢量，它也满足矢量叠加原理。

合引力场强度等于各个质点单独存在时在空间P点的引力场强度的矢量和，即g = g 1+ g 2+ g 3+……=∑g i 点质量在其周围产生的引力场强度为g = F /m = - 2rGM ^r （4）与点电荷产生的电场强度E =041 2rQ ^r 类同。

2．2引力线与质通量从场的观点来看，任何物体在其周围的空间激发了一个“引力场”，并对处于其中的任何物体有力的作用。

亦即万有引力是通过引力场来传递的。

为了形象的描绘引力场的分布，我们引入引力线的概念。

引力线是许多带箭头的连续曲线，在场中任一处沿引力线并指向场源的方向为该处场强的方向。

我们已经由（4）式知道，引力场强度的方向与场源到场点的矢径方向相反，故引力场强度的方向始终指向场源，如图3所示比较图1、2、3，我们可以看出，引力场中点质量的引力线图与静电场中负点电荷的电场线图完全类似。

同理，我们也可以定义质通量这一物理量，对引力场中一个闭合曲面S的质通量为g·d S (5) 图3Φm =S2.3高斯定理万有引力场与静电场如此相似，是否可以得到一个形如（3）式的等式作为万有引力场中的“高斯定理”呢？如果存在，表达式会是怎样呢？下面具体来推导。

（1） 包围点质量M 的闭合曲面S 的质通量点质量M 在S 1面上dS 面元处的引力场强度为 ng = F /m = - 2rGM ^r 由(5)式可得闭合曲面S 的质通量Φm 为 S Φm =⎰Sg ·d S = ⎰S- 2rGM ^r n⋅dS 4 = -⎰S2r GMdS ┻ = -GM ⎰Sd Ω = - 4πGM （6） (2) 不包围点质量M 的闭合曲面S 1的质通量Φm =⎰Sg ·d S = ⎰S- 2rGM ^r n ⋅dS n从图中可以看出，闭合曲面S 上的每个面元 S 2 dS 对应一个面元dS ’，它们相对于点质量M 有相同的立体角，不过dS 的位矢的单位矢量^r 与其外 n'法线n方向的夹角大于π/2，而dS ’的位矢的单位 O 图5 矢量^r ’与其外法线n’方向的夹角小于π/2，故有21r^r n ⋅dS = d Ω = d Ω’= -2,1r ^r ’n⋅’dS ’ 即 21r^r n ⋅dS +2,1r ^r ’n⋅’dS ’ = 0所以 GM -[21r^r n ⋅dS +2,1r ^r ’n⋅’dS ’] = g ·d S + g’·d S ’= 0Φm =⎰Sg ·d S = ⎰S- 2rGM ^r n⋅dS = 0 （7）综合（6）、（7）两式，可以得出结论：在万有引力场中，任何一个包围该点质量的闭合曲面，不管其形状、大小如何，其质通量都等于所包围点质量m的（-4πG）倍，任何不包围该点质量的闭合曲面，不管其形状、大小如何，其质通量均等于零。

由此我们也可以得到万有引力场中的“高斯定理”的数学表达式g·d S = -4πG∑m iΦm =S其中∑m i是任一闭合曲面内所有的点质量之和。

2．4环路定理和引力势电荷在电场中运动时要做功，同样物体在引力场中运动时也要做功。

如图6，先讨论点质量M的引力场，设点质量m从场中一点P沿某一路径移到另一点Q，任取一元位移d l，设m在位移前后与M的距离分别为r和r’，场力F在这一元位移上所做的元功为m dldA=Fdl cos α P r r ’ Q r 1 r 2其中α是F 与d l 的夹角，由图知dl cos α= dr由万有引力定律知 MF= - G 2rMm ^rαd l故 dA= - G2rMmdr万有引力在把m 从P 点移到Q 点的过程中所做的 r r ’总功为 M 图6 A =⎰21r r - G2r Mm dr = GMm -(11r - 21r )此式说明，当质点m 在点质量M 的场中运动时，引力所做的功只取决于运动质点的始末位置，而与路径无关。

与静电场中的电势相类比，我们把单位质量的物体从P 点移到参考点Q 时所做的功，叫做P 点的引力势，记作U ，故U= m A =m1⎰QPF ·d l = ⎰QPg ·d l对于点质量U= -⎰QP2rGMdr若把参考点选在无限远，则点质量M 所激发的引力场中P 点的引力势就是 U = - ⎰∞Pr 2r GM dr = - Pr GM设单位点质量在引力场中沿某闭合曲线L 移动一周，万有引力做功的数值应为⎰Lg ·d l ，在 L 上任取两点A 和B 把L 分成两部分L 1和L 2，有⎰Lg ·d l =1L ⎰BAg ·d l +2L ⎰ABg ·d l A =1L ⎰BAg ·d l -2L ⎰BAg ·d L 2由以上证明可知 L1L ⎰BAg ·d l =2L ⎰BAg ·d l故g·d l = 0 （L为任意闭合曲线） BL图7 可见，引力场沿任一闭合曲线的环路积分为零，上式称为万有引力场中的“环路定理”。

由此可见，高斯定理和环路定理在万有引力场中仍然适用，万有引力场也是有源无旋场。

3．引力场与静电场类比通过对比，我们发现万有引力产关于静电场有着高度的相似性，在此作一对照：静电场万有引力场电荷周围空间存在电场质点周围空间存在万有引力场电荷在电场中受到电场力作用 质点在引力场中受到引力场作用库仑定律F =k 221rq q ^r k=1/4πε万有引力定律F = -G 221rm m ^r电场强度E = F ／q 引力场强度g = F /m点电荷的场强公式 E =41 2r Q ^r 点质量的场强公式g = - 2r GM ^r（负号表示g 与径向^r 反向） 电场可用电场线来描述，一个电 万有引力场可用引力线来描述， 荷激发N 条电场线，n 个电荷激 一个质元激发N 条引力线，n 个 发nN 条电场线 质元激发nN 条万有引力线 电通量：穿过某一面的电场线的 质通量：穿过某一面的引力线的条数Φe =∫E·d S 条数Φm = ∫g·d S 电场中的高斯定理万有引力场中的高斯定理Φe = ⎰S E·d S =1ε∑q iΦm = ⎰Sg·d S = -4πG∑m i（∑q i为S面内电荷）（∑m i为S面内质元，负号表示m i的引力线穿进S面）环路定理环路定理⎰L E·d l =0 ⎰Lg·d l = 0电势U= ⎰Q P E·d l引力势U= ⎰Q P g·d l选参考点在∞处，点电荷的电势选参考点在∞处，点质量的电势U=041rQ U= - G r M从上表我们清楚地了解了万有引力场中的一些基本公式及定理，下面就来具 体运用这些公式、定理求解具体的问题。