高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用1练习含解析

1.6 三角函数模型的简单应用考试标准课标要点学考要求高考要求三角函数模型的实际应用c c知识导图学法指导1.应用三角函数模型解决问题，首先要把实际问题抽象为数学问题，通过分析它的变化趋势，确定它的周期，从而建立适当的三角函数模型．2．在建立三角函数模型时，要注意从数据的周而复始的特点以及数据的变化趋势这两个方面来考虑.1.三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，做出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．状元随笔解答三角函数应用题应注意四点(1)三角函数应用题的语言形式多为“文字语言、图形语言、符号语言”并用，阅读理解中要读懂题目所要反映的实际问题的背景，领悟其中的数学本质，列出等量或不等量的关系．(2)在建立变量关系这一关键步骤上，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号语言并用的思维方式来打开思想解决问题．(3)实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问题．(4)实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用到计算机或计算器．[小试身手]1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”)(1)解答三角函数应用题的一般步骤：审题、建模、求解、检验、还原．( ) (2)在解决实际问题时，利用收集的数据作散点图，可精确估计函数模型．( ) (3)若函数y ＝a sin x ＋1在x ∈[0,2π]上有两个不同零点，则实数a 的取值范围是[－1,1]．( )(4)已知某地区某一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －54π＋20，x ∈[4,16]，则该地区在这一时段的温差为20 ℃.( )答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F (t )＝50＋4sin t2(t ≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A ．[0,5]B ．[5,10]C ．[10,15]D ．[15,20]解析：由2k π－π2≤t 2≤2k π＋π2，k ∈Z ，知函数F (t )的增区间为[4k π－π，4k π＋π]，k ∈Z .当k ＝1时，t ∈[3π，5π]，而[10,15]⊆[3π，5π]，故选C.答案：C3．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M 1和M 2的小球，它们做上下自由振动，已知它们在时间t (s)时离开平衡位置的位移s 1(cm)和s 2(cm)分别由下列两式确定：s 1＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π6，s 2＝5cos ⎝⎛⎭⎪⎫2t －π3. 则在时间t ＝2π3时，s 1与s 2的大小关系是( )A ．s 1>s 2B ．s 1<s 2C ．s 1＝s 2D ．不能确定解析：当t ＝2π3时，s 1＝－5，s 2＝－5，所以s 1＝s 2.答案：C4．如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过12周期后，乙的位置将传播至( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁解析：相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期，故选C. 答案：C类型一 三角函数在物理中的应用例1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h (cm)与时间t (s)的函数关系式为：h ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π4.(1)求小球开始振动的位置；(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点的时间； (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？【解析】 (1)令t ＝0，得h ＝3sin π4＝322，所以开始振动的位置为平衡位置上方距离平衡位置322cm 处．(2)由题意知，当h ＝3时，t 的最小值为π8，即小球第一次上升到最高点的时间为π8 s.当h ＝－3时，t 的最小值为5π8，即小球第一次下降到最低点的时间为5π8s.(3)T ＝2π2＝π，即经过约π s 小球往返振动一次．(4)f ＝1T ＝1π，即每秒内小球往返振动1π次.令t ＝0解1→令h ＝±3解2→问题3即求周期T→问题4即求频率f T的倒数方法归纳处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．跟踪训练1 已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s (cm)随时间t (s)的变化规律为s ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，t ∈[0，＋∞)．用“五点法”做出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t ＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ (3)经过多长时间小球往复振动一次？ 解析：列表如下，t－π6 π12 π3 7π12 5π6 2t ＋π30 π2 π 3π2 2π sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3 0 1 0 －1 0 s4－4描点、连线，图象如图所示．(1)将t ＝0代入s ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π3，得s ＝4sin π3＝23，所以小球开始振动时的位移是2 3 cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4 cm 和－4 cm. (3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.解决此类问题的关键在于明确各个参数的物理意义，易出现的问题是混淆彼此之间的对应关系．类型二 三角函数在实际生活中的应用例2 已知某海滨浴场的海浪高度是时间t (h)的函数，记作y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据.t (h) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (m)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T 、振幅A 及函数表达式； (2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8时到晚上20时之间，有多长时间可供冲浪者进行运动？【解析】 (1)依题意，得T ＝12，A ＝y max －y min2＝0.5，b ＝y max ＋y min 2＝1，所以ω＝2π12＝π6，故y ＝12cos π6t ＋1.(2)令y ＝12cos π6t ＋1>1，则2k π－π2<π6t <2k π＋π2(k ∈Z )，所以12k －3<t <12k ＋3(k ∈Z )，又因为8<t <20，所以令k ＝1，可得9<t <15, 所以从9点到15点适合对冲浪爱好者开放，一共有6个小时.根据已知数据，借助散点图草图，确定解析式，利用三角不等式求范围，确定时间． 方法归纳解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2 如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y 与时间t 的函数关系式； (2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？解析：(1)由已知可设y ＝40.5－40cos ωt (t ≥0)，由已知周期为12分钟，可知ω＝2π12，即ω＝π6.所以y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0)．(2)令y ＝40.5－40cos π6t ＝60.5，得cos π6t ＝－12，所以π6t ＝23π或π6t ＝43π，解得t ＝4或t ＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．(1)由已知可得解析式． (2)利用y ＝60.5解t. 类型三 根据数据拟合函数例3 某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日水深的数据.t /小时 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y /米10.013.09.97.010.013.09.97.010.0(1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似解析式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?【解析】 (1)由已知数据，描出曲线如图：易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10， ∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝3sin π6t ＋10.(0≤t ≤24)(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米， 由y ≥11.5，得3sin π6t ＋10≥11.5，∴sin π6t ≥12.①∵0≤t ≤24，∴0≤π6t ≤4π.②由①②得π6≤π6t ≤5π6或13π6≤π6t ≤17π6.化简得1≤t ≤5或13≤t ≤17.∴该船最早能在凌晨1时进港，下午17时出港，在港内最多可停留16小时. 由表格画出曲线图，由图可求A ，b ，由周期T 可求ω，即求y ＝A sin ωt＋b. 方法归纳在处理曲线拟合和预测的问题时，通常需以下几个步骤 (1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过散点图，做出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线； (3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，以便为决策和管理提供依据．跟踪训练3 已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24，记y ＝f (t )，下表是某日各时的浪高数据：t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y ＝f (x )的图象可近似地看成是函数y ＝A cos ωt ＋b 的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期、振幅及函数解析式；(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？解析：(1)由表中数据可知，T ＝12，所以ω＝π6.又t ＝0时，y ＝1.5，所以A ＋b ＝1.5；t ＝3时，y ＝1.0，得b ＝1.0，所以振幅A 为12，函数解析式为y ＝12cos π6t ＋1(0≤t ≤24)．(2)因为y >1时，才对冲浪爱好者开放，所以y ＝12cos π6t ＋1>1，cos π6t >0,2k π－π2<π6t <2k π＋π2(k ∈Z )，即12k －3<t <12k ＋3(k ∈Z )．又0≤t ≤24.所以0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，所以在规定时间内只有6个小时可供冲浪爱好者进行活动，即9<t <15.根据表格，确立y ＝A cos ωt＋b 的模型，求出A ，T ，b ，推出ω，利用t ＝0时，y 为1.5，t ＝3，y ＝1.0，求出b ，即可求出拟合模型的解析式．1.6[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝3sin 100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )A.150B ．50 C.1100D ．100 解析：T ＝2π100π＝150.答案：A2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10解析：由图可知－3＋k ＝2，则k ＝5，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，∴y max＝3＋5＝8.答案：C3．某市某房地产中介对某楼群在今年的房价作了统计与预测，发现每个季度的平均单价y (每平方米的价格，单位：元)与第x 季度之间近似满足y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第1季度和第2季度的平均单价如下表所示.x 1 2 y10 0009 500则此楼群在第3季度的平均单价大约是( ) A ．10 000元 B ．9 500元 C ．9 000元 D ．8 500元解析：因为y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x ＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x ＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，即⎩⎪⎨⎪⎧sin 2ω＋φ＝0，sin ω＋φ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝m π，m ∈Z ，ω＋φ＝π2＋2n π，n ∈Z .易得3ω＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z .又当x ＝3时，y ＝500sin(3ω＋φ)＋9 500，所以y ＝9 000. 答案：C4．如图，单摆离开平衡位置O 的位移s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，则单摆在摆动时，从最右边到最左边的时间为( ) A ．2 s B ．1 s C.12 s D.14s 解析：由题意，知周期T ＝2π2π＝1(s)，从最右边到最左边的时间是半个周期，为12s.答案：C5．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *)C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)解析：令x ＝3可排除D ，令x ＝7可排除B ，由A ＝9－52＝2可排除C ；或由题意，可得A ＝9－52＝2，b ＝7，周期T ＝2πω＝2×(7－3)＝8，∴ω＝π4. ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋7.∵当x ＝3时，y ＝9， ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＋7＝9， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1.∵|φ|<π2，∴φ＝－π4.∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)．答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )的血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．解析：T ＝2π160π＝180(分)，f ＝1T ＝80(次/分)．答案：807．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (单位：cm)关于时间t (单位：s)的函数解析式是s ＝A sin(ωt ＋φ)，0<φ<π2，函数图象如图所示，则φ＝________.解析：根据图象，知⎝ ⎛⎭⎪⎫16，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1112，0两点的距离刚好是34个周期，所以34T ＝1112－16＝34. 所以T ＝1，则ω＝2πT＝2π.因为当t ＝16时，函数取得最大值，所以2π×16＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又0<φ<π2，所以φ＝π6.答案：π68．某城市一年中12个月的月平均气温y 与月份x 的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6(x ＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28 °C,12月份的月平均气温最低，为18 °C，则10月份的月平均气温为________ °C.解析：根据题意得28＝a ＋A,18＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π612－6＝a －A ，解得a ＝23，A ＝5，所以函数y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －6，令x ＝10，得y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π610－6＝23＋5cos 2π3＝20.5.答案：20.5三、解答题(每小题10分，共20分)9．弹簧振子以O 为平衡位置，在B ，C 两点间做简谐运动，B ，C 相距20 cm ，某时刻振子处在B 点，经0.5 s 振子首次到达C 点，求：(1)振动的振幅、周期和频率；(2)弹簧振子在5 s 内通过的路程及位移． 解析：(1)设振幅为A ，则2A ＝20 cm ， 所以A ＝10 cm.设周期为T ，则T2＝0.5 s ，所以T ＝1 s ，所以f ＝1 Hz.(2)振子在1 s 内通过的距离为4A ，故在5 s 内通过的路程s ＝5×4A ＝20A ＝20×10＝200(cm)．5 s 末物体处在B 点，所以它的位移为0 cm.10．交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin (100πt ＋π6)来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间． 解析：(1)当t ＝0时，E ＝1103(V)， 即开始时的电压为1103V.(2)T ＝2π100π＝150(s)，即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为2203V ，当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300s 时第一次取得最大值．[能力提升](20分钟，40分)11．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针位置为P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，当秒针从P 0(注：此时t ＝0)开始走时，点P 的纵坐标y 与时间t 的函数解析式可以是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t ＋π6B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π60t －π6C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t －π3 解析：由题意知，函数的周期为T ＝60，∴|ω|＝2π60＝π30.设函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π30t ＋φ.∵初始位置为P 0⎝⎛⎭⎪⎫32，12，∴t ＝0时，y ＝12，∴sin φ＝12，∴φ可取π6，∴函数解析式可以是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫±π30t ＋π6.又由秒针顺时针转动可知，y 的值从t ＝0开始要先逐渐减小，故y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π30t ＋π6，故选C.答案：C12．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O 距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．解析：过O 作水平面的垂线，垂足为Q ，如图所示由已知可得OQ ＝3，OP ＝6， 则cos∠POQ ＝12，即∠POQ ＝60°，则水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即13个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故水轮上点P 从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为5秒． 答案：513．心脏跳动时，血压在增加或减少，血压的最大值、最小值分别称为收缩压、舒张压，血压计上的读数就是收缩压、舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值，设某人的血压满足方程式P (t )＝115＋25sin(160πt )，其中P (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数P (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数P (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数，并与标准值进行比较．解析：(1)由于ω＝160π代入周期公式T ＝2πω，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数P (t )的周期为180min.(2)函数P (t )的频率f ＝1T＝80(次/分)，即此人每分钟心跳的次数为80.(3)列表：t /min 0 1320 1160 3320 180 P (t )/mmHg11514011590115描点、连线并左右扩展得到函数P (t )的简图如图所示．(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg 相比较，此人血压偏高．14．某帆板集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y (米)随着时间t (0≤t ≤24，单位：时)呈周期性变化，每天t 时刻的浪高数据的平均值如下表：t (时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y (米)1.01.41.00.61.01.40.90.51.0(2)从y ＝at ＋b ，y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ；y ＝A tan(ωt ＋φ)中选一个合适的函数模型，并求出该模型的解析式；(3)如果确定在一天内的7时到19时之间，当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排恰当的训练时间．解析：(1)散点图如图所示，(2)由(1)知，选择y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b 较合适． 令A >0，ω>0，|φ|<π.由图知，A ＝0.4，b ＝1，T ＝12，所以ω＝2πT ＝π6.把t ＝0，y ＝1代入y ＝0.4sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋1，得φ＝0.故所求拟合模型的解析式为y ＝0.4sin π6t ＋1(0≤t ≤24)．(3)由y ＝0.4sin π6t ＋1≥0.8，得sin π6t ≥－12，则－π6＋2k π≤π6t ≤7π6＋2k π(k ∈Z )，即12k －1≤t ≤12k ＋7(k ∈Z )，注意到t ∈[0,24]，所以0≤t ≤7，或11≤t ≤19，或23≤t ≤24， 再结合题意可知，应安排在11时到19时训练较恰当．。

1．6 三角函数模型的简单应用[导入新知]1．三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．[化解疑难]三角函数模型应用流程(1)审题：确定选用什么样的函数模型解题．(2)建模：根据题意，列出数量关系，建立三角函数模型．(3)解模：运用三角函数的相关公式进行化简．(4)还原：解模后还要根据实际问题的背景，进行检验，并作答．[例1][答案] C[类题通法]解决函数图象与解析式对应问题的策略(1)解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．(2)利用图象确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A ，ω，φ. 其中A 由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ. [活学活用]函数f (x )＝cos x ·|tan x |在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2上的大致图象为( )答案：C[例2] t (单位：s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6.(1)作出函数的图象．(2)当单摆开始摆动(t ＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？ (3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？ (4)单摆来回摆动一次需多长时间？ [解] (1)利用“五点法”可作出其图象．(2)因为当t ＝0时，s ＝6sin π6＝3，所以此时离开平衡位置3 cm. (3)离开平衡位置6 cm. (4)因为T ＝2π2π＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1 s. [类题通法]三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．[活学活用]交流电的电压E (单位：V)与时间t (单位：s)的关系可用E ＝2203sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．答案：(1)110 3 V (2)0.02 s (3)电压的最大值为220 3 V ；t ＝1300s[例3] 压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg 为标准值．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin 160πt ，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p (t )的周期； (2)求此人每分钟心跳的次数； (3)画出函数p (t )的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数．[解] (1)由于ω＝160π，代入周期公式T ＝2π|ω|，可得T ＝2π160π＝180(min)，所以函数p (t )的周期为180min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f ＝1T＝80(次)．(3)列表：(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg ，舒张压为90 mmHg. [类题通法]解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分，其中心O 距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：(1)求出你与地面的距离y (米)与时间t (分)的函数关系式； (2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？ 答案：(1)y ＝40.5－40cos π6t (t ≥0) (2)20分3.由实际数据拟合函数[典例] (12分)已知某海滨浴场的海浪高度y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：时)的函数，记作：y ＝f (t )．下表是某日各时的浪高数据：(1)根据以上数据，求出函数y ＝A cos ωt ＋b 的最小正周期T ，振幅A 及函数表达式； (2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动．[解题流程][规范解答](1)由表中数据，知周期T ＝12， ∴ω＝2πT ＝π6. (2分)由t ＝0，y ＝1.5， 得A ＋b ＝1.5. (3分) 又由t ＝3，y ＝1.0， 得b ＝1.0， (4分) ∴A ＝0.5，b ＝1.0， 即振幅为12.(5分)∴y ＝12cos π6t ＋1. (6分)(2)由题意知，当y >1时才对冲浪者开放， ∴12cos π6t ＋1>1， ∴cos π6t >0， (7分)∴2k π－π2<π6t <2k π＋π2，即12k －3<t <12k ＋3. (9分) ∵0≤t ≤24， ∴令k 分别为0,1,2，[名师批注]相邻两个最大值或相邻两个最小值之间为一个周期．要求A ，b 应建立关于A ，b 的方程组，本题可通过图象过点(0,1.5)和(3,1.0)建立关于A ，b 的方程组求解．由浪高大于1米建立关于t 的不等式是解决此题的关键.此处易忽视t 的取值范围而导致解题失误.,应根据实际确定k 的取值，此处易忽视k ∈N 导致错误，也常漏解k 的取值情况而造成解题错误.得0≤t <3或9<t <15或21<t ≤24，(11分)∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间有6个小时可供冲浪者进行活动，即上午9：00至下午15：00. (12分)[活学活用]某港口的水深y (单位：m)是时间t (0≤t ≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线可近似地看作函数y ＝A sin ωt ＋b 的图象．(1)试根据以上数据，求函数解析式．(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m 时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m ，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？答案：(1)y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24) (2)在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港；停留4小时[随堂即时演练]1．将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速度释放，并同时开始计时，取平衡位置为坐标原点，且向右为正，则下列振动图象中正确的是( )2．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是( )A ．该质点的振动周期为0.7 sB ．该质点的振幅为－5 cmC ．该质点在0.1 s 和0.5 s 时的振动速度最大D ．该质点在0.3 s 和0.7 s 时的加速度为零 答案： D3．某时钟的秒针端点A 到中心点O 的距离为10 cm ，秒针均匀地绕点O 旋转．记钟面上数字12处为B 点，当时间t ＝0时，点A 与钟面上点B 重合，将A ，B 两点的距离d (cm)表示成t (s)的函数，则d ＝________，其中t ∈[0,60]．答案：20sin πt 604.如图，电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数I＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ ωt ＋π6(A >0，ω≠0)的图象，则当t ＝150秒时，电流强度是________安．答案：55．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20，x ∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内的最大温差；(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？答案：(1)20 ℃ (2)83h[课时达标检测]一、选择题1．(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k .据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．102.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系式为s ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A ．2π sB ．π sC ．0.5π sD ．1 s答案：D3．如图为一半径为3 m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (m)与时间x (s)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5答案：A4．动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12 s 旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t (单位：s)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12]答案：D5.如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的A P 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )答案：C 二、填空题6．直线y ＝a 与曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3在(0,2π)内有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1 7．一根长a cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s (cm)和时间t (s)的函数关系式是s ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫g a t ＋π3，t ∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期为________s.答案：2π·ag8．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f (x )的解析式为________．答案：f (x )＝2sin π6x ＋7三、解答题9．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A >0，ω>0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．解：依题意，有A ＝23，T4＝3，即T ＝12.又T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x ，x ∈[0,4]．∴当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3.∴M (4,3)． 又P (8,0)， ∴MP ＝－2＋－2＝42＋32＝5(km)．即M ，P 两点间的距离为5 km.10．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12 h ，低潮时水的深度为8.4 m ，高潮时为16 m ，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d (m)与时间t (h)近似满足关系式d ＝A sin(ωt ＋φ)＋h .(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d (m)和时间t (h)之间的函数关系．(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1 m) (3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3 m? 解：(1)依题意知T ＝2πω＝12，故ω＝π6，h ＝8.4＋162＝12.2，A ＝16－12.2＝3.8，所以d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋12.2.又因为t ＝4时，d ＝16，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π6＋φ＝1，所以φ＝－π6，所以d ＝3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2.(2)t ＝17时，d ＝3.8sin ⎝⎛⎭⎪⎫17π6－π6＋12.2 ＝3.8sin 2π3＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π6＋12.2＜10.3，有sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6t －π6＜－12， 因此2k π＋7π6＜π6t －π6＜2k π＋11π6(k ∈Z)，所以2k π＋4π3＜π6t ＜2k π＋2π，k ∈Z ，所以12k ＋8＜t ＜12k ＋12. 令k ＝0，得t ∈(8,12)； 令k ＝1，得t ∈(20,24)． 故这一天共有8 h 水深低于10.3 m.。

2021-2022年高中数学第一章三角函数1.6三角函数模型的简单应用练习新人教A版(2)若有一种细菌在15 ℃到25 ℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？1．B [解析] 将t ＝1200代入I ＝5sin(100πt＋π3)，得I ＝2.5(A)． 2．D [解析] 当t ＝0时，s ＝2sin(0＋π4)＝2，故①正确；s min ＝－2，故②正确；函数的最小正周期T ＝2π，故③正确．3．D [解析] 根据题意，T ＝ 2×(7－3)＝8，∴ω＝2πT ＝π4，由⎩⎨⎧A ＋B ＝7，－A ＋B ＝3， 得⎩⎨⎧A ＝2，B ＝5， ∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ＋5，当x ＝3时，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4×3＋φ＋5＝7，得φ＝－π4.∴f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x －π4＋5.故选D.4．C [解析] 由图知－3＋k ＝2，k ＝5，∴y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋5，y max ＝3＋5＝8.故选C.5．C [解析] 根据点P 0的坐标可得∠xOP 0＝－π4，故∠xOP ＝t －π4.设点P(x ，y)，则由三角函数的定义，可得sin ∠xOP ＝y 2，即sin⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4＝y 2，故y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，因此点P 到x 轴的距离d ＝|y|＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，据解析式可得C 选项图像符合条件，故选C.6．A [解析] 易知曲线关于直线y ＝2＋（－1）2＝12对称，∴a ＝12，又2A>3，∴A>32.7．①②④ [解析] 由题意知A ＝10，k ＝5，T ＝604＝15，ω＝2πT ＝2π15，所以d ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π15t ＋φ＋5.又当t ＝0时，d ＝0，所以10sin φ＋5＝0，所以sin φ＝－12，又－π2＜φ＜π2，所以φ＝－π6.8．0.8 [解析] 由图像知最小正周期T ＝0.8 s.9．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6 [解析] 不妨设y ＝Asin(ωx＋φ)．由题知A ＝4，T＝π，所以ω＝2πT＝2.当x ＝0时，y ＝2，且小球开始向上运动，所以有φ＝2kπ＋π6，k ∈Z ，不妨取φ＝π6，故所求关系式可以为y ＝4sin(2x ＋π6)．10．y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7t ＋π6，t ∈[0，＋∞) [解析] 由题意得A ＝3，T ＝2π7，φ＝π6，则ω＝2πT＝7. 11．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2t －π2，t ∈[0，＋∞) [解析] 设y ＝Asin(ωt＋φ)＋b ，则A ＝y max －y min 2＝4.0＋4.02＝4.0，b ＝y max ＋y min 2＝0，ω＝2πT ＝2π0.8＝5π2，所以y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2t ＋φ，将(0.4，4.0)代入上式，得φ＝－π2＋2kπ，k ∈Z ，取φ＝－π2，从而可知y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π2t －π2，t ∈[0，＋∞)．12．解：(1)①按五个关键点列表：t －π8 π8 3π8 5π8 7π82t ＋π40 π2π 32π 2π2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋π40 2 0 －2 0②描点并将它们用光滑的曲线连接起来即得h ＝2sin(2t ＋π4)的简图，如图所示．(2)当t ＝0时，h ＝2sin(2×0＋π4)＝2，即小球开始振动时的位置在平衡位置上方的 2 cm 处．(3)由题意易知，最高点的位置在平衡位置上方的2 cm 处，最低点的位置在平衡位置下方的2 cm 处，最高点、最低点到平衡位置的距离均为2 cm.13．解：(1)由函数解析式易知，当x ＝14时，函数取得最大值30，即最高温度为30 ℃，当x ＝6时，函数取得最小值10，即最低温度为10 ℃，所以最大温差为20℃.(2)令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝15，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝－12，而x ∈[4，16]，所以x ＝263. 令10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＋20＝25，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x －5π4＝12，而x ∈[4，16]，所以x ＝343.故该细菌能存活的最长时间为343－263＝83(h)．25592 63F8 揸25145 6239 戹U21211 52DB 勛*23890 5D52 嵒E%363088DD4 跔28186 6E1A 渚31843 7C63 籣 R26931 6933 椳<。

时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
思考1：观察表格中的数据，每天水深 的变化具有什么规律性？
呈周期性变化规律.
时刻 0 3
6
9
12 15 18 21 24
水深/米 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0
Who
代替人 作主语
An architect is a person ______ designs buildings.
Who
m
指人 作宾语
This is the student______ my father taught ten years ago.
Who
m
指人 作宾语
This is the student______ my father taught ten years ago.
6
根据这个函数模型，求出各整点时水深 的近似值吗？（精确到0.001）
时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深 时刻 水深
0：00 1：00 2：00 3：00 4：00 5：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 6：00 7：00 8：00 9：00 10：00 11：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 12：00 13：00 14：00 15：00 16：00 17：00 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 18：00 19：00 20：00 21：00 22：00 23：00 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754