2013数学建模-古塔的变形

第 1 页 共 40 页 专题十 经典模型

模型53 “胡不归”模型

模型故事

从前,有个小伙子外出务工,某天不幸得知老父亲病危的消息,便立即启程赶路.由于思乡心切,他只考虑了两点之间线段最短的原理,所以选择了路径AB,但他忽略了走砂砾地带速度变慢的因素.当他赶到家时,老人刚刚咽气.邻居告诉说,老头弥留之际不断念叨着“胡不归?胡不?.…”

而如果先沿着驿道AC走一段,再走砂砾地,会不会更早些到家?在这个问题中,由于这个小伙子在驿道和砂砾地带上前行的速度不同,那么这个小伙子有没有可能先在驿道上行走一段路程后,再走砂砾地带?虽然走的路多了,但总用时变少了,如果真有这种情况,那么在驿道和砂砾地带之间的拐点就尤为重要了,请问如何确定这个点呢?

模型展现

基础模型

已知:点A为直线l上一定点,点B为直线外一定点,点P在直线l上运动

问题:如何确定点P,使得kAP+BP(0

怎么用?

1．找模型

直线上一定点A ,一动点P，B为直线外一点,求 kAP+BP的最小值

2.用模型

构造直角三角形,利用三角函数将含系数的线段进行转换,再根据垂线段最短化折为直,从而得 第 2 页 共 40 页 到线段和最小值,最后运用锐角三角函数求解即可

模型分析

如图,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解，

该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下:

一找:找带有系数k的线段kAP;

二构:在点B异侧,构造以线段AP为斜边的直角三角形;

①以定点A为顶点作①CAP ,使得sin①PAC=h;

①过动点P作垂线构造Rt①PAC;

三转化:化折为直,将kAP转化为PC;

四求解:使得hAP+BP=PC+BP,利用“垂线段最短”转化为求BD的长度.

拓展延伸

熟记特殊角的锐角三角函数值，kAP+BP中系数k发生变化时,所构造的直角三角形也会

发生变化,同学们需要牢记特殊角度的正弦值：01sin30 =2，03sin60 =2，02sin45 =2，03sin37 5，04sin53 5

2023刘徽杯数学竞赛试题解答与评注

题目：

已知函数f(x) = _ax^2 + bx + c（a ≠ 0），其图象过点(1, 0)，且在点(0, 1)处的切线方程为y = -x + 1。

(1)求函数f(x)的表达式；

(2)若函数g(x) = _ln x + k（k为常数），设h(x)=f(x) g(x)，求h(x)的极值。

解析：

(1)

因为函数f(x)=ax^2+bx + c的图象过点(1,0)，所以将x = 1，y = 0代入函数可得：

a×1^2 + b×1 + c=0，即a + b + c = 0。

又因为函数在点(0,1)处的切线方程为y=-x + 1，切线斜率为1。

对f(x)求导得f^′(x)=2ax + b，将x = 0代入f^′(x)可得f^′(0)=b，所以b=-1。

把b = 1代入a + b + c = 0，得a + c = 1。

因为点(0,1)在函数图象上，所以将x = 0，y = 1代入f(x)得c = 1。

再把c = 1代入a + c = 1得a = 0（舍去，因为已知a≠0），重新计算可得a=1。

所以函数f(x)=x^2 x + 1。

(2)

由(1)知f(x)=x^2 x + 1，又g(x)=ln x + k，则h(x)=x^2 x + 1-(ln x + k)=x^2 x ln x+1

k。

对h(x)求导得h^′(x)=2x 1-(1)/(x)=(2x^2 x 1)/(x)=((2x + 1)(x 1))/(x)（x>0）。 令h^′(x)=0，即((2x + 1)(x 1))/(x)=0（x>0），解得x = 1。

当0时，h^′(x)<0，h(x)单调递减；当x > 1时，h^′(x)>0，h(x)单调递增。

所以h(x)在x = 1处取得极小值，极小值为h(1)=1^2 1-ln1+1 k = 1 k。无极大值。

数学建模课后答案

数学建模课后答案

【篇一：《数学模型》习题解答】

t>1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们要

组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分

较大者; （2）. 1中的q值方法；

（3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表：

将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍

分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？

如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将

3种方法两次分配的结果列表比较.

解：先考虑n=10的分配方案，

p1?235,p2?333,p3?432,方法一（按比例分配）

第二章(1)（2008年9月16日）

p

i?1

3

i

1000.

q1?

p1n

p

i?1

3 2.35,q2?

p2n

i

p

i?1

3

3.33, q3?

p3n

i

p

i?1

3

4.32

i

分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法）

9个席位的分配结果（可用按比例分配）为：

n1?2,n2?3, n3?4

第10个席位：计算q值为

235233324322

q1??9204.17, q2??9240.75, q3??9331.2

2?33?44?5

q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5

方法三（d’hondt方法）

此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5

此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）.

pi

是ni

每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的

pip 中选较大者，可使对所有的i,i尽量接近. nini

2013-2020陕西中考数学分类汇编之相似三角形测高

陕西中考数学分类汇编之相似三角形测高

1.2013年的一天晚上，___和___利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度。当___走到点A处时，___测得___直立身高AM与其影子长AE相等。接着___沿AC方向继续向前走，走到点B处时，___直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25m。已知___直立时的身高为1.75m，求路灯的高CD的长度（结果精确到0.1m）。

2.2014年的某一天，___和___来到一条河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度。两人确保无安全隐患后，在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）。

①___在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处。这时___测得___眼睛距地面的距离AB=1.7米。 ②___站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变）。这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时___测得BE=9.6米，___的眼睛距地面的距离CB=1.2米。

根据以上测量过程和测量数据，请求出河宽BD是多少米？

3.2015年晚饭后，___和小军在社区广场散步。小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞。小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高。于是，两人在灯下沿直线NQ移动。当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长。当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长。已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，___⊥___，AC⊥NQ，BE⊥NQ。请根据以上信息，求出小军身高BE的长度（结果精确到0.01米）。

4.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园。___、___等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力。他们经过观察发现，观测点与“望月阁”的顶点处于同一水平线上。