专题二 规范答题2 解三角形

只运算结果错误扣1分；
④求出sinB，得1分；
⑤利用面积公式及已知，求出ac得2分；
只运算结果错误扣1分；
⑥利用余弦定理求出b得3分；
只运算结果错误扣1分．
■核心素养
解三角形问题是高考的必考问题，解三角形与三角函数的结合是高考的常见题型；本题型重点考查灵活运用公式并通过“数学运算”解决问题的能力．
■解题引领
(1)要善于抓解题关键点，解题步骤中明显呈现得分点，如本题(1)中cosB与sin2 的关系的呈现．
(2)中利用余弦定理体a＋c与ac的关系等.
又S△ABC＝2，则ac＝ ，9分
由余弦定理及a＋c＝6得
b2＝a2＋c2－2accosB
＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)
＝36－2× × ＝4，
所以b＝2.12分
■评分细则
①将sin(A＋C)转化为sinB得2分；
②会利用降幂公式将2sin2 转化为1－cosB得2分；
③利用平方关系转化为关于cosB的方程，并求得正确结果得2分；
规范答题示范(二)高考解答题——解三角形
真题展示
解题思路
(12分)(2017·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ❶
(1)求cosB.
(2)若 ❷求b.
❶看到sin(A＋C)＝8sin2 ，想到A＋C＝π－B.
❷看到a＋c＝6，△ABC的面积为2，想到由cosB可求得sinB，为此可以利用三角形面积公式求出ac，再利用余弦定理，结合a＋c＝6，求b.
■标准答案(规范答题 分步得分)
(1)由题设及A＋B＋C＝π得
sinB＝8sin2 ，2分
故sinB＝4(1－cosB)，4分
上式两边平方，整理得

第2讲 三角恒等变换与解三角形一、选择题1．(2021·全国甲卷)在△ABC 中，已知B ＝120°，AC ＝19，AB ＝2，则BC 等于( )A ．1 B. 2 C. 5 D ．32．(2021·全国乙卷)cos 2π12－cos 25π12等于( ) A.12 B.33 C.22 D.323．(2022·榆林模拟)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为3154，b －c ＝1，cos A ＝14，则a 等于( ) A ．10 B ．3 C.10 D. 34．已知cos α＝55，sin(β－α)＝－1010，α，β均为锐角，则β等于( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π35．设角α，β的终边均不在坐标轴上，且tan(α－β)＋tan β＝tan α，则下列结论正确的是( )A ．sin(α＋β)＝0B ．cos(α－β)＝1C ．sin 2α＋sin 2β＝1D ．sin 2α＋cos 2β＝16．(2022·张家口质检)下列命题中，不正确的是( )A ．在△ABC 中，若A >B ，则sin A >sin BB ．在锐角△ABC 中，不等式sin A >cos B 恒成立C ．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ，则△ABC 是等腰直角三角形D ．在△ABC 中，若B ＝π3，b 2＝ac ，则△ABC 必是等边三角形 7．故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴．已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°.图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB 的长度(单位：米)约为( )A ．3米B ．4米C ．6(3－1)米D ．3(3＋1)米8．(2022·济宁模拟)已知sin α－cos β＝3cos α－3sin β，且sin(α＋β)≠1，则sin(α－β)的值为( )A ．－35 B.35 C ．－45 D.45二、填空题9．(2022·烟台模拟)若sin α＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6，则tan 2α的值为________． 10．(2022·泰安模拟)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝14，则sin ⎝⎛⎭⎫π6－2α＝________. 11.(2022·开封模拟)如图，某直径为5 5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B 与小岛C 相距5海里，cos ∠BAD ＝－45.则小岛B 与小岛D 之间的距离为________海里；小岛B ，C ，D 所形成的三角形海域BCD 的面积为________平方海里．12．(2022·汝州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝2，cos 2C ＝ cos 2A ＋4sin 2B ，则△ABC 面积的最大值为________．三、解答题13．(2022·新高考全国Ⅱ)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，分别以a ，b ，c 为边长的三个正三角形的面积依次为S 1，S 2，S 3.已知S 1－S 2＋S 3＝32，sin B ＝13. (1)求△ABC 的面积；(2)若sin A sin C ＝23，求b .14．(2022·抚顺模拟)在①(2c－a)sin C＝(b2＋c2－a2)sin Bb；②cos2A－C2－cos A cos C＝34；③3cb cos A＝tan A＋tan B这三个条件中，任选一个，补充在下面问题中．问题：在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b＝23，________.(1)求角B；(2)求2a－c的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．。

类型三 特殊四边形中有关的证明与计算
【例 3】(2017· 福建)如图，矩形 ABCD 中，AB＝6，AD＝8，P，E 分 别是线段 AC，BC 上的点，且四边形 PEFD 为矩形． (1)若△PCD 是等腰三角形，求 AP 的长； (2)若 AP＝ 2，求 CF 的长．
【分析】(1)先求出 AC， 再分三种情况讨论计算即可得出结论； (2)先判 1 1 断出 OC＝ ED， OC＝ PF， 进而得出 OC＝OP＝OF， 即可得出∠OCF 2 2 ＝∠OFC， ∠OCP＝∠OPC， 最后判断出△ADP∽△CDF， 得出比例式 即可得出结论．
数学
专题二 解答题重难点题型
三角形、四边形中的证明与计算
类型一 与三角形全等有关的证明与计算
【例 1】(2017· 温州 ) 如图 ， 在五边形 ABCDE 中 ， ∠ BCD ＝∠ EDC ＝ 90°，BC＝ED，AC＝AD. (1)求证：△ABC≌△AED； (2)当∠B＝140°时，求∠BAE的度数．
(2)解：由(1)知△ADE∽△ABC， AD AE 3 ∴ ＝ ＝， AB AC 5 又由(1)知△AEF∽△ACG， AF AE AF 3 ∴ ＝ ，即 ＝ . AG AC AG 5
【对应训练】 1．(2017·东营)如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝
2，点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合)，在AC上取一点E，使
类型二 与三角形相似有关的证明与计算
【例 2】(2017· 杭州)如图，在锐角三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 AC，AB 上，AG⊥BC 于点 G，AF⊥DE 于点 F，∠EAF＝∠GAC. (1)求证：△ADE∽△ABC； AF (2)若 AD＝3，AB＝5，求 的值． AG

解三角形的实际应用问题专练一、选择题1．从A处望B处的仰角为，从B处望A的俯角为，则与的关系为（）A ．＞B．=C．+=90°D．+=180°【答案】B【解析】根据仰角和俯角的概念，根据平行线的性质得解.【详解】因为与为两平行线的内错角，所以=.故答案为：B【点睛】本题主要考查仰角和俯角的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.2．有一长为1 km的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则坡底要加长( )A．0.5 km B．1 km C．1.5 km D． km【答案】B【解析】根据题意作图，设出相应参数，根据∠BAC=∠ABD﹣∠C，求得∠BAC=∠C，判断出三角形ABC 为等腰三角形，进而求得BC．【详解】如图设坡顶为A，A到地面的垂足为D，坡底为B，改造后的坡底为C，根据题意要求得BC的长度，∵∠ABD=20°，∠C=10°，∴∠BAC=20°﹣10°=10°．∴AB=BC，∴BC=1，即坡底要加长1km，故选：B．【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生分析问题和解决问题的能力，属于中档题．3．如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S相距20 n mile，随后货轮按北偏西30°的方向航行30 min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为( )A．n mile/h B．n mile/hC．n mile/h D．n mile/h【答案】B【解析】由题意可知：，与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，，中利用正弦定理可得货轮的速度故选4．要测量河岸之间的距离(河的两岸可视为平行)，由于受地理条件和测量工具的限制，可采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A、B两点，观察对岸的点C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，且AB＝120m ，由此可得河宽为(精确到1 cm)()A ．170 mB ．98 mC ．95 mD ．86 m 【答案】C【解析】在△ABC 中，AB ＝120，∠CAB ＝45°，∠CBA ＝75°，则∠ACB ＝60°，由正弦定理，得BC ＝120sin45406sin60︒=︒.设△ABC 中，AB 边上的高为h ，则h 即为河宽，所以h ＝BC ·sin ∠CBA ＝406 ×sin 75°≈95(m)．故选C.【点睛】正弦定理对于任意三角形都成立，它指出三角形三条边与对应角的正弦之间的关系式，描述了任意三角形中边与角的数量关系，主要功能是实现三角形中边角的关系转化.本题的关键是根据正弦定理利用角大小来求出边长大小.5．两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在C 北偏东300，B 在C 南偏东600，则A 、B 之间相距： A ．a km B ．3a km C ．2a km D ．2a km【答案】C【解析】如图，由题意可得90ACB ∠=︒，在Rt ACB ∆中， 22222AB CA CB a a =+=+ 22a =，∴2AB a =。