12认识无理数(第2课时)教学设计

第二章 实数

1. 认识无理数（第2课时）

教学目标是:

1．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，借助计算器进行估算，培养学生的估算能力，发展学生的抽象概括能力，并从中体会无限逼近的思想.

2．探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力.

3．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力.

4.充分调动学生参与数学问题的积极性，培养学生的合作精神，提高他们的辨识能力.

教学环节:

第一环节：新课引入

内容:想一想：

1. 有理数是如何分类的？

整数（如1-，0，2，3，…) 有理数

分数(如31，52-，11

9

，0.5，… )

2. 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数? 如圆周率π，0.020020002…上节课又了解到一些数，如22=a ，25=b 中的a ，b 不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目.

意图：通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目.

效果：激发学生的好奇心和求知欲，引出本节课题“数不够用了（2）”.

第二个环节：活动与探究

1. 探索无理数的小数表示

内容：借助计算器以小组讨论的形式对面积为2的正方形的边长a和面积为5的正方形的边长b进行估计.

请看图，判断下面3个正方形的边长之间有怎样的大小关系？边长a的取值范围大致是多少?如何估算的？是否存在一个小数的平方等于2?说说你的理由.

边长a面积s

1

1.4

2.25

1.41

2.0164

1.414

2.002225

1.4142

2.00024449

归纳总结:a是介于1和2之间的一个数，既不是整数，也不是分数，则a 一定不是有理数.如果写成小数形式，它们是无限不循环小数.

请大家用上面的方法估计面积为5的正方形的边长b的值.

目的：让学生有充分的时间进行思考和交流，逐渐地缩小范围，借助计算器探索出a=1.41421356…，b=2.2360679…，是无限不循环小数的过程，体会无限逼近的思想.

效果：学生感受到无理数确实是无限不循环的，为后续定义无理数打下基础.

2. 探索有理数的小数表示，明确无理数的概念

内容：请同学们以学习小组的形式活动：一同学举出任意一分数，另一同学将此分数表示成小数，并总结此小数的形式.

议一议：分数化成小数，最终此小数的形式有哪几种情况？

探究结论：分数只能化成有限小数或无限循环小数.

即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.

强调：像0.585885888588885…，1.41421356…，－2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的，并且不是循环的，它们都是无限不循环小数.

我们把无限不循环小数叫做无理数.(圆周率π=3.14159265…也是一个无限不循环小数，故π是无理数).

目的：通过学生的活动与探究，得出无理数的概念.

效果：通过师生互动的教学活动，既培养学生独立思考与小组合作讨论的能力，又感受到无理数存在的必然性，建立了无理数的概念.

第三个环节：知识分类整理

内容：到目前为止我们所学过的数可以分为几类？(按小数的形式来分).

强调“无限不循环小数”与“无限循环小数”的联系和区别.无理数还可以进行怎样的分类?

目的：培养学生总结归纳的能力，把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解.

效果：通过师生的共同探究，形成对中学现阶段数的系统认识，提高了总结归纳能力.

第四个环节：知识运用与巩固

内容：认识一个数是无理数还是有理数. 例1填空:

0.351，

4.96••

-，32-， 3.14159， 6， －5.2323332…，3

π

，1234567891011…(由相继的正整数组成).

有理数：有限小数或无限循环小数

无理数：无限不循环小数

数

整数

分数

…

…

例2 判断下列说法是否正确

(1)有限小数是有理数; （ ） (2)无限小数都是无理数; （ ） (3)无理数都是无限小数; （ ） (4)有理数是有限数. （ ）

例3以下各正方形的边长是无理数的是（ ） (A ）面积为25的正方形； (B ） 面积为

25

4

的正方形； (C ） 面积为8的正方形；

(D ） 面积为1.44的正方形.

例4一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5，则斜边a 是有理数吗?

解:由勾股定理得: 22235a =+，即2=34a .因为34不是完全平方数，所以a 不是有理数.

强调:

1. 无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数.

2. 任何一个有理数都可以化成分数q

p

形式（q ≠0， p ，q 为整数且互质），而无理数则不能.

练一练：

1.课本P 23 随堂练习.

2.已知：在数4

3-，5， 1.42••

-，π，3.1416，32

，0，24，2n (1)- ，

－1.424224222…中， （1）写出所有有理数； （2）写出所有无理数；

（3）把这些数按由小到大的顺序排列起来，并用符号“<”连接.

目的：通过例题的讲解、练习，让学生充分理解无理数、有理数的概念、区别，感受数的分类.

有理数集合

无理数集合

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