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线性代数综合练习题及答案3

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线性代数综合练习题（三）
一、选择题
1. 设A 是n m ⨯矩阵，B 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AB C =的秩为1r ，则（ ）.
（A ）1r r > （B ）1r r < （C ）1r r = （D ）1r r 与的关系依B 而定 2. 若A 为正交阵，则下列矩阵中不是正交阵的是（ ）.
（A ） 1-A （B ） A 2 （C ） 4A （D ） T
A
3. 值不为零的n 阶行列式，经过若干次矩阵的初等变换，则行列式的值（ ）. （A ） 保持不变 （B ） 保持不为零 （C ） 保持有相同的正负号 （D ） 可以变为任何值
4. 设A 和B 都是n 阶方阵，下列各项中，只有（ ）正确. （A ） 若A 和B 都是对称阵，则AB 也是对称阵 （B ） 若0≠A ，且0≠B ，则0≠AB
（C ） 若AB 是奇异阵，则A 和B 都是奇异阵 （D ） 若AB 是可逆阵，则A 和B 都是可逆阵 5. 向量组s ααα,,,21 线性相关的充要条件是（ ）. （A ）s ααα,,,21 中有一个零向量 （B ）s ααα,,,21 中任意向量的分量成比例
（C ）s ααα,,,21 中有一个向量是其余向量的线性组合 （D ）s ααα,,,21 中任意一个向量是其余向量的线性组合
6. 设方阵B A ,的秩分别为21,r r ，则分块矩阵),(B A 的秩r 与21,r r 的关系是（ ）. （A ）21r r r +≤ （B ）21r r r +≥ （C ）21r r r += （D ）不能确定 二、 填空题
1. 设三阶方阵A 的特征值为1，2，3，则=A .
2. 设3231212
3222132122222),,(x tx x x x x x x x x x x f +++++=为正定二次型，则t 的取值
范围为 .
3. 设⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=210011000012
0025
A ，则=-1
A .
4. n 阶行列式==
b
a a a
b a b a b D n
00000000000
00000 .
5. 设n 阶方阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值为 .
6. 设s ηηη,,,21 是非齐次线性方程组b AX =的s 个解，若s s k k k ηηη+++ 2211也是它的解，则=+++s k k k 21 . 三、计算题
1. 解矩阵方程B AX X +=，其中⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=101111010A ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=350211B .
2. 求下列矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把其他向量用最大无关组线性表示：
⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛---=14011313021512012
2
11
A
3. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=200012021A ，求10
A .
4. 向量组,)1,5,2(,)6,,1(,)10,1,(,)1,2,1(121T
T T T =--=-==βλαλαα讨论λ取何值
时，（1）β能由321,,ααα线性表示，且表示式唯一，（2）β能由321,,ααα线性表示，且表示式不唯一，（3）β不能由321,,ααα线性表示. 四、证明题
1. 设21,λλ是n 阶方阵A 的两个特征值，21λλ≠，21,p p 是对应的特征向量，证明21p p +不是A 的特征向量.
2. 设A 是n 阶方阵，若存在正整数k ，使线性方程组0=X A k
有解向量α，且01
≠-αk A ，
证明向量组αααα12
1,,,,-k A A A 是线性无关的.
线性代数综合练习题（三）参考答案
一、选择题
1. C
2. B
3. B
4. D
5. C
6. A 二、填空题
1. 6 ；
2. 20<<t ；
3. ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----=-11001
200005200211A ； 4. n
n n n a b D 1)1(+-+=； 5. 0,,0,0 （1-n 个），n ； 6. 1 . 三、 计算题
1. 解：由B AX X +=，得
B X A E =-)(
B A E X 1)(--=，
为此对矩阵),(B A E -施行初等行变换化为行最简形矩阵，
),(B A E -⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----=352010*********
−→−r
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----111001********* −→−r
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--111000*********
所以 B A E X 1)(--=⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--=110213.
2. 解：对A 施行初等行变换变成行最简形，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛---=1401131302151
2012
211
A −→−r ⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--0000011100
15
1
20
12
211
−→−r
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--0000
0111001301001001 所以3)(=A R ，A 的前三列321,,ααα是A 的列向量组的最大无关组，且
32143αααα-+=，
325ααα+-=.
3. 解：先求A 的特征值，
λ
λλ
λ---=
-20
012
21E A =)1)(3)(2(λλλ+--- 1,3,2321-===λλλ ，
当21=λ时，由0)2(=-X E A 得，A 的对应于2的特征向量是⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=1001ξ，
当32=λ时，有0)3(=-X E A 得，A 的对应于3的特征向量是⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=0112ξ，
当12-=λ时，有0)(=+X E A 得，A 的对应于1-的特征向量是⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-=0113ξ，
取⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001η⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01121,0112132ηη.
令()321,,ηηη=P ，则⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-==-1321AP P AP P T
，所以 T P P A 10
10132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+--+=1010
10
1010
2000)13(2
1)
13(210)13(21)13(21.
4. 解：()⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---=16101512211,,,321λλβααα
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛---+---→1510012210211λλλλr
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛--+---→033901221021
1λλλλλr （1）当3=λ时，2),,,(),,(321321==βααααααR R ，β可由321,,ααα线性表示，且表示式不唯一； （2）当3≠λ，且
3
2
3921-+=---λλλλ，即5-=λ时，3),,,(,2),,(321321==βααααααR R ，
β不能由321,,ααα线性表示；
（3）当3≠λ且5-≠λ时，3),,,(),,(321321==βααααααR R ，β能由321,,ααα线性表示，但表示式唯一.
四、证明题
1. 证：假设21P P +是A 的对应于λ的特征向量，则)()(2121P P P P A +=+λ
因为222111,
P AP P AP λλ==, 所以0)()(2211=-+-P P λλλλ， 由于21,P P 是对
应于不同特征值的特征向量，所以它们线性无关，从而
2121,0λλλλλλ==-=-，矛盾！
2. 证：因为α是线性方程组0=X A k 的解向量，所以0=αk A .从而0=αs
A （k s >），
又由01
≠-αk A
知0≠l A （11-≤≤k l ）.
设012321=++++-ααααk k A x A x A x x ， （1） 以1
-k A 左乘上式两边，得01
1=-αk A
x ，因而必有01=x ，
以2
-k A
左乘（1）式两边，得01
2=-αk A x ，因而必有02=x ，
类似地，可以证明必有043====k x x x ，故αααα12
1,,,,-k A A A 是线性无关的.。

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线性代数练习题(有答案)

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《线性代数》 练习题一、选择题1、 设A ,B 是n 阶方阵,则必有 ……………………………………………（ A ）A 、|AB |=|BA | B 、2222)(B AB A B A ++=+C 、22))((B A B A B A -=-+D 、BA AB = 2、设A 是奇数阶反对称矩阵，则必有( B ) (A)、1=A (B)、0=A (C)、0≠A (D)、A 的值不确定3、向量组)0,1,1(，)9,0,3(-，)3,2,1(，)6,1,1(--的秩为____2 ________4、向量组)1,3,1,2(-，)4,5,2,4(-，)1,4,1,2(--的秩为______2__ ___.5、设A 是n m ⨯阶矩阵，r A r =)(,则齐次线性方程组O AX =的基础解系中包含解向量的个数为( C )(A)、r (B)、n (C)、r n - (D)、r m - 二、计算与证明题6、设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=020212022A , ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221021132B 求（1）32AB A -，（2）.T B A6、解（1）. A AB 23-2202313212120020122--⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪=-- ⎪⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭2202212020-⎛⎫⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭2223186240-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭2202212020-⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭210612622680-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭（2）. 220231231212120120020122122T A B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭222186240-⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭7、设A ,B 是n 阶方阵满足AB B A =+，证明:E A -可逆. 7、解、1()A E B E --=-8、设方阵A 满足0332=--E A A ，证明:A 可逆,并求1-A .8、解、由2330A A E --=有A (3A E -）=3E ，于是，A [21(3A E -)]=E ,所以A 可逆，且11(3)3A A E -=-.9、计算行列式:1014300211321221---=D9、69D =-.10、计算行列式D =4232002005250230---- 10、解：D =423200200525230----0205252304--=55208---=80-=11、计算n 阶行列式abbb b a bb b a D =11、1[(1)]()n D a n b a b -=+--。

青岛理工成人教育 线性代数(本科、专升本)综合练习题及参考答案

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2、设A= (B+E)，则当且仅当B2=(E)时，A2=A。
解：A2=A (B2+2B+E)= (B+E)B2+2B+E=2B+2EB2=E
3、矩阵 的秩为2。
4、若A为n阶可逆矩阵，则R(A)＝n。
5、设A,B是两个三阶矩阵，且|A|=－1，|B|=－2，则 ＝1。
二、单项选择题
1、如果矩阵A,B满足|A|=|B|，则( )
6、n维向量组1，2，…，s(s1)若是线性相关的，则有一组不全为零的数k1，k2，…，ks，使k11+k22+…+kss=0成立。
7、设1，2，…，sRn，该向量组的秩为r，则对于s和r，当r=s时向量组线性无关；当r<s时向量组线性相关。
8、已知向量组1=(1,2,3,4),2=(2,3,4,5),3=(3,4,5,6),4=(4,5,6,7),，则该向量组的秩为(2)
解：(P-1AP)6=(P-1AP)(P-1AP)…(P-1AP)=P-1A6P
A6= , P-1= ,
(P-1AP)6= =
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一、填空题：
1、向量组1=(1,1,1,1),2=(1,0,2,2),3=(2,3,1,1)的线性相关性为线性相关.
2、向量组1=(1,2,0,0),2=(1,2,3,4),3=(3,6,0,0)的极大线性无关组为1,2或2,3
线性代数（1）练习与答案
一、填空题：
1、排列13582467的逆序数为7。
2、若排列21i36j87为偶排列，则i=(4),j=(5)
3、行列式 中，元素a12的代数余子式为15.
4、设行列式 ，则D1与D2的关系为D2=2D1。
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线性代数试题及答案解析一、选择题（每题4分，共40分）1. 矩阵A和矩阵B相乘，得到的结果矩阵的行列数为（）。

A. A的行数乘以B的列数B. A的行数乘以B的行数C. A的列数乘以B的列数D. A的列数乘以B的行数答案：D解析：矩阵乘法中，结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。

2. 向量α和向量β线性相关，则下列说法正确的是（）。

A. α和β可以是零向量B. α和β可以是任意向量C. α和β中至少有一个是零向量D. α和β中至少有一个是另一个的倍数答案：D解析：线性相关意味着存在不全为零的系数，使得这些系数乘以对应的向量和为零向量，因此至少有一个向量是另一个向量的倍数。

3. 对于n阶方阵A，下列说法不正确的是（）。

A. A的行列式可以是0B. A的行列式可以是负数C. A的行列式可以是正数D. A的行列式一定是正数答案：D解析：方阵的行列式可以是正数、负数或0，因此选项D不正确。

4. 矩阵A和矩阵B相等，当且仅当（）。

A. A和B的对应元素相等B. A和B的行数相等C. A和B的列数相等D. A和B的行数和列数都相等答案：A解析：两个矩阵相等，必须满足它们具有相同的行数和列数，并且对应元素相等。

5. 向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是（）。

A. 由这些向量构成的矩阵的行列式不为0B. 这些向量不能构成齐次方程组的非零解C. 这些向量不能构成齐次方程组的非平凡解D. 这些向量可以构成齐次方程组的平凡解答案：C解析：向量组线性无关意味着它们不能构成齐次方程组的非平凡解，即唯一的解是零向量。

6. 矩阵A可逆的充分必要条件是（）。

A. A的行列式不为0B. A的行列式为1C. A的行列式为-1D. A的行列式为任何非零数答案：A解析：矩阵可逆当且仅当其行列式不为0。

7. 矩阵A的特征值是（）。

A. 矩阵A的行数B. 矩阵A的列数C. 矩阵A的对角线元素D. 满足|A-λI|=0的λ值答案：D解析：矩阵的特征值是满足特征方程|A-λI|=0的λ值。

修订版-线性代数习题三答案

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第三章 线性方程组一、温习巩固1. 求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x解： 化系数矩阵为行最简式⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000001001-0215110531631121行变换A因此原方程同解于⎩⎨⎧=+-=023421x x x x 令2412,k x k x ==，可求得原方程的解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001221k k x ，其中21,k k 为任意常数。

2. 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-=-+8311102322421321321x x x x x x x x解：把增广矩阵),(b A 化为阶梯形⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-6-000341110-08-3-318031110213833180311102132124),(21行变换r r b A因此3),(2)(=<=b A R A R ，所以原方程组无解。

3. 设)1,2,1,3(),1,1,2,3(--=--=βα。

求向量γ，使βγα=+32。

解：⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=31,0,35,3)2(31αβγ 4. 求向量组123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14),T T T ααα=-==4(1,1,2,0),T α=-T )6,5,1,2(5=α的秩和一个极大线性无关组。

解：将51,ααΛ作为列向量构成矩阵，做初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4400000000101102130124220101103033021301601424527121103121301A 所以向量组的秩为3，421,,ααα是一个极大线性无关组。

二、练习提高 ⒈ 判断题⑴ 初等变换总是把方程组变成同解方程组，这也是消元法的理论基础。