高等数学第四章复习题

第四章总练习题000000001..()()[()()].()(),[0,].()()(),(0)0.L ag ran g e ,(0,1)()(0)(),f x h f x h f x h f x h h f x x f x x x h g g x f x x f x x g g h g g h h θθθθθθ''+--=++-+--∈'''=++-=∈'-=00设y =f (x )在[x -h ,x +h ](h >0)内可导证明存在,0<<1使得令g (x )=(x )在[0,h ]内可导,根据公式存在使得证00000()()[()()].2.:0,()1/4()1/2lim ()1/4,lim ()1/2.4(())211()(124x x f x h f x h f x h f x h h x x x x x x x x x x θθθθθθθθ→→+∞''+--=++-≥=≤≤=====+=++=+-即证明当时等式中的满足且证).11()(12),44111()(12)(1(1)2).44211lim ()lim(12).441lim ()lim(12)41lim4x x x x x xx x x x x x x x x x θθθθ→→→+∞→+∞→+∞≥+=-=+-≤+++-==+==+=由算术几何平均不等式得22111limlim.4423,0123.()()[0,2]1, 1,01(2)(0)1().120, 1x xxx f x f x x x x x f f f x x x →+∞→+∞====⎧-≤≤⎪⎪=⎨⎪<<+∞⎪⎩-≤≤⎧-⎪'==⎨--<<+∞⎪⎩设求在闭区间上的微分中值定理的中间值.解2/23/21.221111,;,()[0,2]222x x x f x x-=--=-=-=-=1在闭区间上的微分中值定理的中间值为或22324.[1,1]C au ch y ()()()30(1,1),C au ch y (1)(1)()()0,()200,(0)0,.(1)(1)()()5.()[,],(,f x x g x x g x x f f f c f c f c c c g g g g c g c f x a b a -=='=∈-''--''======''--在闭区间上中值定理对于函数与是否成立?并说明理由.由于有零点中值定理的条件不满足.其实其结论也不成立.因为若，但无意义设在上连续在解2121212),()0,(,)()()0,(,)()0.(,),()0,R o lle (,),(,)()()0.()[,](,),()0,()0,(,).(b f x x a b f a f b x a b f x c a b f c a c c c b f c f c f x c c c c f f x x a b f ξξ''≠∈==∈≠∈=∈∈''=='''''∈=≠∈''上有二阶导数且又证明当时若存在则由定理存在使得对于在应用定理,存在使得此与条件矛盾由假设1证一,c 证二,00)0,(,),,().()(,())(,0)(,())(,0),()0,(,).6.()[,],()()0,(,)()0.:(,)()0.x x a b D a rb o u x f x f x a f a a b f b b f x x a b f x a b f a f b c a b f c a b x f x ''''≠∈==<∈==∈>''<根据定理恒正或恒负不妨设恒正,于是f 下凸,曲线严格在连结的弦下方故设在上有二阶导数且又存在使证明在内至少存在一点使由公式存在证一,c 12121221021()()()(,),()0,()()()(,),()0.()[,]L ag ran g e (,),()()()0.,()0,(,),[,],(,(f c f a f c a c f c c a c af b f c f c c b f c b cc af x c c c c f c f c f x c c f x x a b f a b a f a -'∈==>----'∈==<--'∈''-''=<-''≥∈0满足存在满足对于在应用公式,存在x 使得若不然在下凸曲线在连结12c 证二))(,0)(,())(,0),()0,(,).a b f b b f x x a b ==≤∈的弦下方故1201120121100112121201120127.1-12101.(),1111-121()1-12n n n n n n n nn n n n n n n n n a a a a a a x a xa xa n nn a xa xa a a a x a xa a f x x n nn n n n a a a a f x a x a x a x a n n n ---+-----++++=++++++⎛⎫=++++-+++++ ⎪+-+⎝⎭'=++++-++++++ 证明方程在与之间有一个根考虑函数证1201120121(0)(1)0.,(0,1),()0,1-12101.n nn n n n n a f f R o lle c f c c a a a a a a x a xa xa n nn ---⎛⎫ ⎪⎝⎭'==∈=++++=++++++ 由定理存在即是在与之间的一个根00000008.()(,),,().?L ag ran g e ,()()()(),|()||()()()||()||()||()||(f x a b f x f x f x f c x x f x f x f c x x f x f c x x f x ''∈∈'-=-''=+-≤+-≤0设函数在有限区间内可导但无界证明在(a ,b )内也无界逆命题是否成立试举例说明.若不然设f (x )在(a ,b )内有界M ,取定x (a ,b ),则对于任意 x (a ,b ),根据 公式证,)|||().(0,1),01,(0,1)M b a +-<<=逆命题不成立.例内有界但是内无界.(1)(1)00002009.()[,](),(),()[,].(:()()()()()0,()).()[,]2,()()()()0,()n n kf x a b n k k f x fx a b f x f x x x g x g x x f x k n f x a b x f x x x g x g x f x --=-≠'=-≠若函数在区间上有个根一个重根算作个根且存在证明在至少有一个根注意若可以表示成且则称为的重根我们对于作归纳法证明函数在区间上有2个根.如果是重根则且则证.2000121212012001002()()()(),().()[,],,,[,]R o lle ,(,),()0..()[,]11,()()()()0,()(n x x g x x x g x f x x f x a b x x x x x x x x x f x n f x a b n f n x f x x x g x g x f x +''=-+-<'∈=++=-≠'=有根如果在区间上有2个不同的根在应用定理存在使得设结论对于个根的情况成立现在假定在区间上有个根.如果有重根重根则且则10000011000111211121)()()()()()((1)()()()),(1)()()()(),()(1)()0,().1,,[,],,[,]R o lle ,(,),,(n n nn n n n n n n x x g x x x g x x x n g x x x g x n g x x x g x g x g x n g x f x x f n x x x x x x c x x c x x ++++'+-+-=-++-'++-==+≠+∈∈ 有n 重根如果如果有个单重根在区间上应用定理存在,11112111121111])()()0,().,,,,,,11, 1.[,],,[,]R o lle ,(,),,()()()0.()1(1)n kk k i i k k k kk ii f c f c f x n f x n n n k n n x x x x c x x c f c f c f x k nn =---='''===+>>=+∈∈''''===-+-=∑∑ 1k -1k 使得至少有个根如果有不同的根x 重数分别为在上应用定理存在x ,x 使得至少有根个.对f (x )()(1)(())().n n f x fx +'=用归纳假设,至少有一个根22111111112111110.:L eren d re ()[(1)](1,1).2!1()(1)],(1)(1)0,[ 1.1]R o lle 2!(1,1),()0.(1)(1)0(1),1)(,1)R o lle 1),n nn nnnndP x x n n d xf x x f f f n c f c f f n f c c c c =---=-=-''''∈-=-==>-∈-证明多项式在内有个根对于在应用定理，存在使得当时对于在（，应用定理，存在（，证=2122211211(-1)(-1)111111121()12,1)()()0.()(1,1),,(1)(1)0R o lle ,,,(1,1)()()0.()n n n n n n n n n n n n n n c c f c f c x c c ffc c c c x x f x P x P x --------''∈==--==∈-== (n -1)1（使得如此下去，f 在有零点，，在（-1,）,(,),,(,1)应用定理, 得到x 使得是n 次多项式，至多有n 个零点()n P x n ，故恰有个零点.00011.(,),lim ()lim ().:(,),()0.()lim ()lim ().(,),(,),()0.(),().,,(,),()(x x x x f f x f x c f c f x f x f x A x c f c f x A f x A a b x a b f a f x →-∞→+∞→-∞→+∞-∞+∞='∈-∞+∞=≡==∈-∞+∞∈-∞+∞'=≠><∈<设函数在内可导且证明必存在一点使得证若取任意一点都有设存在不妨设根据极限不等式存在a ,b ,满足:000000),()().[,],[,]()()(),()()(),(,),,F erm at ,()0.()()lim ()0lim0.lim ()0x x x f b f x f a b c a b f c f x f a f c f x f b x a b x f c f x f x f x xf x x →+∞→+∞→+∞<∈≥>≥>∈'='∞=='=0在连续必在一点取最大值. 故为极大值点根据引理12.设函数在无穷区间(x ,+)可导,且,证明证由于,根据极限定义,存在正数101111111111,|()|()()()()()())|()|()|()||()||()||()|.,.m ax {,},()(),2,lim0.x x f x f x f x f x f c x x f x f x f x x x x x f x f x f x f x x X x xx f x f x x X xxεεεεεεε→+∞'>'-+-++==≤<+<>=><=11使得x >x 时<.(x -x 为使只需令当时必有故13.()[,),()0,()()0,,()0.()0,()()()()()()0,(),,,,f x a f x l f a f a a a l f x f a f a f a f a a f a f c f a l l l l f a f a a l a a '+∞>>⎛⎫<-⎪⎝⎭=<⎛⎫⎛⎫⎛⎫'-=+->+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤-⎢⎥⎣⎦设函数在无穷区间内连续且当x >a 时其中l 为常数.证明:若则在区间内方程有唯一实根证在连续由连续怀念书函数的中间值定理在区间()()0.,()R o lle ,(),,()0.14.()(,)lim ()0.()(1)(),lim ()0.lim ()lim ((1)())lim (x x x x x f a f x l f a f x a a f x l l f x f x g x f x f x g x g x f x f x f →∞→∞→∞→∞→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎛⎫''->> ⎪⎝⎭'-∞+∞==+-='=+-=内方程至少有一实根若有两个实根根据定理将在有一零点这与条件矛盾设函数在上可导，且现令证明证)(01)0.x θθ+<<=12121215.()[,]L ip sch iz ,0,,[,],|()()|||.(1)()[,],()[,]L ip sch iz (2)(1)?(3)[,]L ip sch iz (1)()[,]0,f x a b L x x a b f x f x L x x f x a b f x a b a b f x a b L >∈-≤-''>称函数在满足条件若存在常数使对于任意都有若在连续则在满足条件中所述事实的逆命题是否成立举一个在上连续但不满足条件的函数.解在连续,存在常数12121212122121|()|.[,].,[,],,[,],|()()||()()||()|()().(2).()[,]L ip sch iz ()[,]()||[1,1]L ip sch iz f x L x a b x x a b x x c x x f x f x f c x x f c x x L x x f x a b f x a b f x x '≤∈∈<∈''-=-=-≤-'=-使得根据中值公式,对于任意存在使得否在满足条件,未必处处可导,更谈不到在连续.例如,在 满足条件111111(3)()[0,1],L ip sch iz ()(0,1].16.()[,],()()[,],()()().()()(()())()()()()b annii i i i i i ni i i i f x f x F x a b F x f x a b f x d x F b F a F b F a F x F xF x x f x x ξξ--==-=='='==-'-=-=--→⎰∑∑∑,但在0不可导.连续但不满足条件,因其导函数无界设在可导且其导函数在上可积证明证1()(()0).{}[,].17.()(),(,),()()(),1,,b ai n f x d x x a b P x a P x b c a b P x c P x n P x x x n λ∆→--∈-∈<<+⎰为的分割设多项式与的全部根都是单实根证明对于任意实数多项式的根也全都是单实根.证不妨设a =0,b >0,c (0,b ),是次多项式,且首项系数为正.有单实根则这些根把实轴分为个区间每个区间保持固定正负号且正负相间.否则某个根将为极值点,导数为111232322212221222lim ().0(),,(,),,,(,),(,),().nx k k k k k k i n k P x b P x b x x x x x x x x x x x x x x P x b →∞----=''∞>=<<'''''''<∈∈∈+∞= 零,此与单实根矛盾.在两个无穷区间保持正号,且严格单调递增或递减,在每个有穷区间有一个最值点,且在其两侧分别递增和递减,设为偶数,则=+设且有n 个单实根.必有根据连续函数的中间值定1122233322222*********,(0,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),().,k k k k k k k k i i c b c x c x x c x x c x x c x x c x P c c P n c ------'∈∈-∞∈'''∈∈∈+∞∈+∞=理对于存在使得为次多项式是P (x )=c 的所有单实根.。

• 方法：利用构造法构造出1/n、i/n;(1/n为dx,i/n为x)
• 注意：将极限问题转化为求积分问题时，要注意积 分区间；
•
勿将其与夹逼准则弄混；
• 例题：用定积分求极限：
• 会对变限积分求导； • 会使用牛顿-莱布尼兹公式求定积分； • 会利用换元法和分部积分求定积分(注意变限)； • 会利用奇偶函数在对称区间的对称性求定积分(偶倍奇零) • 会证明定积分不等式和等式(P371)
• 会利用定积分求曲线围成面积； • 会求曲线绕X轴、Y轴围成体积； • 会利用两个弧长公式求弧长；
例题：
• 求由抛物线y²=x与y²=-x+4所围成图形的面积
• 求曲线y=sinx(0≤x≤Π)绕Y轴所产生旋转体体积
2x
e cos3xdx
有理函数积分
• 会利用待定系数法求有理函数积分
• 步骤：通过观察将分母进行因式分解，最高次幂较高无法观察的 利用多项式除法分解因式
•
将得到的结果进行部分分式，巧设分子，利用待定系数法
列出非齐次线性方程组求解，进而转化为基本积分问题求解
例：
二、定积分
• 要求：会用定积分的定义求极限
第四章总复习
一、不定积分
• 1、利用基本积分表求不定积分(P366) • 2、换元积分法 • (1)第一类换元法(凑微法P367-P368) • (2)第二类换元法(P368)
第一类换元法（P288)
对 形 如 sin n x cos m xdx的 积 分
（1） ： 当 n ,m 至 少 有 一 个 为 奇 数 （2） ： 当 n,m全 为 偶 数
d x x 4 (1 x 2 )
1 dx 1 ex
根式代换和万能代换

(1)
n 1

n
( x a)n 在 x 0 时发散，在 x 0 处收敛，则常数 a （ n
（C）2
n
）.
（B）-1
（D）2
n ( a ) n ( x a) 收敛，由此知 a 1 .当 1 a 1 时，由于 ( 1) 的收敛半径为 1， n n n 1 n 1 因此该幂级数在区间 (a 1, a 1) 内收敛，特别地，在 (0, a 1) 内收敛，此与幂级数在 x 0 时发散矛盾，
sin t sin x t x n sin(n t ) dx dt (1)n dt ， n 0 0 n t x n t sin t sin t 所以 un ( 1) n dt 是交错级数。由于数列 dt 单调减少收敛于零，所以是 un 收 0 n t 0 n t n 1 n 1 n 1
同步练习
(1) n n (1) n

(1) n (1) n n 1 ， [ n (1) n ] n 1 n 1 n 1
而
(1) n n 1 收敛， 发散，所以原级数发散. n 1 n2 n 1 n2
2. p 1 ， p 1 3.条件收敛
2 3 n 1 1 1 1 x x x x 1 2 x 2 1 x 2 2 2 2 2 2 2. f ( x) sin 2 x 展开成 Maclaurn 级数为（ ）
的，所以
u
n 1

n
条件收敛的。
二、选择题： 1 选（B ）. 对于（B ） ：因为 lim u n
n
1 （A ）为条件收敛； （C） （D）为绝对收敛. 0 而发散； 3

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )(2)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期．( √ )(3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( × ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( × ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( √ ) (6)若sin x >22，则x >π4.( × )1．(教材改编)函数f (x )＝4－2cos 13x 的最小值是______，取得最小值时，x 的取值集合为______________．答案 2 {x |x ＝6k π，k ∈Z }解析 ∵－1≤cos 13x ≤1，∴f (x )min ＝4－2×1＝2，此时的cos 13x ＝1，13x ＝2k π，∴x ＝6k π，k ∈Z .2．函数y ＝lg(sin x －cos x )的定义域为____________________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z解析 sin x －cos x >0，即sin x >cos x .画出y ＝sin x 及y ＝cos x 在[0,2π]上的图象如图．由图象知原函数的定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z .3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝________. 答案 32解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点， ∴当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3， ∴ω＝32.4．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 (x ∈[－π，0])的单调递减区间是______________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－5π6，－π3解析 ∵由题意知2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2 (k ∈Z )，∴k π＋π6≤x ≤k π＋2π3 (k ∈Z )．又x ∈[－π，0]，∴－5π6≤x ≤－π3.5．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－m 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2内有两个不同的零点，则m 的取值范围是__________． 答案 [1,2)解析 令f (x )＝0，则m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，故－π6≤2x －π6≤5π6，设2x －π6＝t ，则m ＝2sin t ，t ∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，根据题意并结合函数图象(图略)可知m 的取值范围是[1,2).题型一 三角函数的定义域和值域例1 (1)函数y ＝2sin x －1的定义域为____________． (2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间[0，π2]上的值域为________． (3)函数y ＝cos 2x ＋sin x (|x |≤π4)的最小值为___________________．答案 (1)⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6(k ∈Z ) (2)⎣⎡⎦⎤－32，3 (3)1－22解析 (1)由2sin x －1≥0，得sin x ≥12，所以2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6(k ∈Z )．(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， 2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6， sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. (3)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22. ∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴t ＝－22时，y min ＝1－22. 思维升华 (1)三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．(2)三角函数值域的不同求法 ①利用sin x 和cos x 的值域直接求；②把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； ③通过换元，转换成二次函数求值域．(1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________________．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为____________． 答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π(k ∈Z )，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1； 当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1. 题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是________________． (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) (2)⎣⎡⎦⎤12，54 解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∈Z )得，k π2－π12＜x ＜k π2＋5π12(k ∈Z )， 所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )． (2)由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4， 又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54.思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间：①求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；②求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．(2)已知三角函数的单调区间求参数．先求出整体函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调减区间为________．(2)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是______________．答案 (1)⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π，k ∈Z (2)⎣⎡⎦⎤32，74 解析 (1)由已知函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝⎛⎭⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ， 得k ＝1，所以ω∈⎣⎡⎦⎤32，74.题型三 三角函数的周期性、对称性命题点1 周期性例3 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为________． 答案 ①②③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2， 故周期为π的有：①②③. 命题点2 求对称轴、对称中心例4 (1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则关于函数f (x )的图象，下列叙述正确的有________(填正确的序号)． ①关于直线x ＝π12对称；②关于直线x ＝5π12对称；③关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称； ④关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称．(2)已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，则x 0＝________. 答案 (1)② (2)－π6解析 (1)由题意知2πω＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴⎪⎪⎪⎪2π3＋k π＜π2， ∴k ＝－1，φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴①、③错误； 当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴②正确，④错误．(2)由题意可知2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，故x 0＝k π2－π6，k ∈Z ，又x 0∈⎣⎡⎦⎤－π2，0， ∴k ＝0时，x 0＝－π6.命题点3 由对称性求参数例5 若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为________． 答案 2解析 由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，∴ωmin ＝2.思维升华 (1)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断． (2)求三角函数周期的方法： ①利用周期函数的定义．②利用公式：y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.(1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________． (2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为________．答案 (1)2或－2 (2)－33解析 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. (2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3， 解得a ＝－33.4．三角函数的对称性、周期性、单调性典例 (1)(2015·四川改编)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是________(填正确的序号)． ①y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ②y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ③y ＝sin 2x ＋cos 2x ④y ＝sin x ＋cos x(2)(2015·课标全国Ⅰ改编)函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，且|φ|<π2，则f (x )的单调递减区间为________________．(3)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为________．思维点拨 (1)逐个验证所给函数是否满足条件；(2)根据图象先确定函数的周期性，然后先在一个周期内确定f (x )的减区间；(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可．解析 (1)对于①，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意． (2)由图象知，周期T ＝2×⎝⎛⎭⎫54－14＝2， ∴2πω＝2，∴ω＝π. ∴π×14＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫πx ＋π4. 由2k π<πx ＋π4<2k π＋π，k ∈Z ，得2k －14<x <2k ＋34，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z .(3)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3. 答案 (1)① (2)⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z (3)－1或3温馨提醒 (1)研究三角函数的性质时一定要做到心中有图，充分利用数形结合思想； (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象与对称轴的交点是最值点．[方法与技巧]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．3．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解． [失误与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的.A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，下列说法正确的是________(填正确的序号)． ①f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增； ②f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减； ③f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增； ④f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减． 答案 ②解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减． 2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为________． 答案 2－ 3解析 ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.3．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________． 答案 2解析 根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4ω， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2.4．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是___________________． ①是奇函数；②在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减； ③⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心； ④最小正周期为π. 答案 ③解析 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，①错误； 在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，②错误； 最小正周期为π2，④错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝0， ∴⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心，③正确．5．函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是__________． 答案 [0,1]解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2. ∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．6．函数f (x )＝sin(－2x )的单调增区间是________．答案 ⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) 解析 由f (x )＝sin(－2x )＝－sin 2x ， 2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2 (k ∈Z )得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4(k ∈Z )．7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是________． 答案 ⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z ) 解析 由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得，x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象与x 轴交点的坐标是⎝⎛⎭⎫k π2－π8，0(k ∈Z )． 8．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.9．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解 (1)因为0＜α＜π2，sin α＝22，所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2 x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12 ＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以最小正周期T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 10．(2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式； (2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值．解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6.因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.B 组 专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________________．答案 [k π－3π8，k π＋π8]，(k ∈Z )解析 由f (π8)＝－2得，f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2， 所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π，所以φ＝π4.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .12．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于________． 答案 32解析 ∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.13．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 14.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________. 答案3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)，即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3. 15．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b ,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5.(2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1 ＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时， g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z . ∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。