安徽省六校教育研究会2021届高三联考
数学能力测试(理)
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.设全集为实数集R,集合P={x|2,x∈R},集合Q={1,2,3,4},则
图中阴影部分表示的集合为
A.{4}
B.{3,4}
C.{2,3,4}
D.{1,2,3,4}
2.已知复数z与(z+2)2-8i均是纯虚数,则z的虚部为()
A.-2
B.2
C.-2i
D.-2i
3.实数x,y满足不等式组
240
220
330
x y
x y
x y
-+≥
?
?
+-≥
?
?--≤
?
,则x2+y2的最小值为()
A.254
5
D.2
4.不定方程的整数解问题是数论中一个古老的分支,其内容极为丰富,西方最早研究不定方程的人是希腊数学家丢番图。请研究下面一道不定方程整数解的问题:已知x2020+y2=2y,(x∈Z,y ∈Z)则该方程的整数解有()组。
5.已知向量b=(1,3).向量a在向量b方向上的投影为-6,若(λa+b)⊥b,则实数入的值为()
A.1
3
B. -
1
3
C.
2
3
D.3
6.直线1:2x+y+3=0倾斜角为α,则sin2α+cos2α的值为()
A.4
5
B. -
4
5
C.
3
5
D.-
3
5
7.已知点M(2,y0)为抛物线y2=2px,(p>0)上-点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,若8|MF|=7|MO|..则p的值为()
A.1或5
4
B.
5
2
或3 C.3或
5
4
D.1或
5
2
8.函数f(x)=sinx+x3+x,则a>-1是f(a+1)+f(2a)>0的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
9.已知数列{a n}的前n项和S n=n2,将数列{a n}依原顺序按照第n组有2”项的要求分组,则2021在第几组
A.8
B.9
C.10
D.11
10.已知三棱锥A-BCD满足:AB=AC=AD,ΔBCD是边长为2的等边三角形。其外接球的球心O满足:0
OB OC OD
++=,则该三棱谁的体积为()
A. 16
B. 13
C.
2
3
D.1 11.圆O 半径为1,PA,PB 为圆O 的两条切线,A,B 为切点,设∠APO=α,则2tan 2PAB
S α
?最小值为()
2 22 212.已知数列{a n }是公比为q 的等比数列,且首项a 1>0,给出下列命题:p 1:若34
12a a a e
a e =,则
(a 3-1)(q-1)≤0;p 2:若a 1+a 2=34a a e e +,则22(,0)(0,).33
q ∈-?则下列说法正确的是(
A.p 1为真命题,p 2为假命题
B.p 1,p2都为真命题
C.p 1为假命题,p 2为真命题
D.p 1,p 2都为假命题
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题卡的相应位置。
13.从编号为1,2,3,..,88的88个网站中采用系统抽样抽取容量为8的样本,若所抽样本中有编号为53的网站,则样本中网站最小编号为 . 14.若3
()n x x x
+
的展开式常数项为84,则n= .
15.双曲线mx 2-ny 2=1左右焦点分别为F 1,F 2,左右顶点分别为A,B, P 为双曲线渐近线上一点,若
以F 1F 2为直径的圆经过P 点,且∠APB=3
π
.则该双曲线的渐近线方程为 . 16.A,B,C,D.四人之间进行投票,各人投自己以外的人1票的概率都是1
3
(个人不投自己的票),
则仅A 一人是最高得票者的概率为 .
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共60分.
17.在ΔABC 中,D 是BC 的中点,3(I)求ΔABC 的面积;
(II)若E 为BC 上一点,且(
)||||
AB AC
AE AB AC λ=+,求λ的值。 18.如图,在四棱台ABCD-A 1B 1C 1D 1中,底面四边形ABCD 为菱形,AA 1=A 1B 1=1
2
AB, ∠ABC=60°.AA 1⊥平面ABCD.
(I)若点M 是AD 的中点,求证:C 1M ⊥A 1C;
(II)棱BC 上是否存在一点E,使得二面角E-AD 1-D 的余弦值为13
?
若存在,求线段CE 的长;若不存在,请说明理由。
19.农业是国民经济的基础,农业防害是科技工作者时时关注的事情,棉铃虫是棉花的主要害虫之一,夏季尤甚,据农业专家调查统计知道每只棉铃虫的平均产卵数y 和平均温度x 有关。现截取7组统计数据,并计算部分统计量值和作散点图如下:
(I)根据散点图判断,y=bx+a 与y=ce dx (e 为自然对数的底数)哪一一个更适宜作为平均产卵款y 关于平均温度x 的回归方程类型?据判断结果和所给数据求出相应的回归方程(计算结果精确到小数产后第三位)
(II)根据以往数据统计,该地区每年平均温度达28°
C 以上时棉铃虫会造成严重危害,需人工防治,其他情况可以自然生长,记该地区每年平均温度达28°
C 以上的概率为p(0
(ii)当f (p)取最大值时,记今后5年中需要人工防治的次数为X,求X 的数学期望和方差。 附:对于一组数据(x 1,z 1),(x 2,z 2), …,(x 7,z 7),其回归直线z=a+bx 的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:
20.已知圆O::x 2+y 2=5,椭圆τ:22221(0)x y
a b a b
+=>>的左右焦点为F 1,F 2,过F 1且垂直于x 轴
的直线被椭圆和圆所截得弦长分别为1和2
(I)求椭圆的标准方程;
(II 如图P 为圆上任意一点,过P 分别作椭圆两条切线切椭圆于A,B 两点.
(i)若直线PA 的斜率为2,求直线PB 的斜率;
(ii)作PQ ⊥AB 于点Q,求证:|QF 1|+|QF 2|是定值.
21.已知函数f(x)= 21
(),.x
x kx f x k R e
++=∈ (1)讨论f (x)的单调性;
(11)若k ∈(-1,0),证明:对任意的x 1,x 2∈[1,1-k],有4f (x 1)+x 2<5.
(二)选考题:共10分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中,已知曲线C 1:x+y=1与曲线C 2: 22cos 2sin x t
y t
=+??=? (t 为参数)以坐
标原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。 (I)写出曲线C 1,C 2的极坐标方程;
(II)在极坐标系中,已知l : θ=α(ρ>0)与C 1,C 2的公共点分别为A,B,α∈(0,
2
π).
当||
||
OB
OA
=4时,求α的值.
22.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知f(x)=|ax+1|+|x-1|
(I)当a=2时,求不等式f(x)<2的解集:
(I1)若x∈(1,2)时不等式f(x)