数学·高二选修4-5(人教a版)练习：第一讲1.2-1.2.1绝对值三角不等式 含解析

和． 若不等式 |x − 4| + |x − 3| > a 对一切实数 x 恒成立，则 (|x − 4| + |x − 3|)min > a ，因为 (|x − 4| + |x − 3|)min = 1 ，所以 a < 1．
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高中数学选修4-5(人教A版)知识点总结含同步绝对值不等式
一、知识清单
绝对值不等式的解法
二、知识讲解
1.绝对值不等式的解法 描述： 绝对值不等式的解法 解含绝对值的不等式主要依据绝对值的定义、几何意义及不等式的基本性质． （1）|f (x)| > |g(x)| ⇔ f 2 (x) > g 2 (x)； （2）|f (x)| > g(x)(g(x) > 0) ⇔ f (x) > g(x) 或 f (x) < −g(x)； （3）|f (x)| < g(x)(g(x) > 0) ⇔ −g(x) < f (x) < g(x)； （4）含两个及两个以上绝对值符号的不等式可用零点分段法求解，也可用图象法去求解． 例题： 解不等式 1 < |x + 1| < 3 ． 解：原不等式等价于
x − 3 < 2x − 1 < 3 − x,
解得 −2 < x <
4 ，故原不等式的解集为 3 4 ∣ {x ∣ − 2 < x < } . ∣ 3
解不等式 |x − 1| + |x + 2| ⩾ 5 ． 解：当 x < −2 时，原不等式化为 1 − x − x − 2 ⩾ 5 ，解得 x ⩽ −3； 当 −2 ⩽ x ⩽ 1 时，原不等式化为 1 − x + x + 2 ⩾ 5 ，不等式无解； 当 x > 1 时，原不等式化为 x − 1 + x + 2 ⩾ 5 ，解得 x ⩾ 2． 综上，原不等式的解集为 {x | x ⩽ −3或x ⩾ 2}． 若不等式 |x − 4| + |x − 3| > a 对一切实数 x 恒成立，求实数 a 的取值范围． 解：由绝对值的几何意义可知，|x − 4| + |x − 3| 表示的是数轴上点 x 到 3 和 4 的距离之

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第一讲 不等式和绝对值不等式综合测试一、选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的）1．若,a b R ∈，且0ab >，则下列不等式中，恒成立的是（ ）A ．222a b ab +>B ．a b +≥C ．11a b +> D ．2b a a b +≥1．答案：D 选项A ，当a b =是不满足；选项B 和选项C ，当0,0a b <<时不满足． 2．不等式123x x -++≥的解集为（ )A ．(,2][2,)-∞-+∞B ．(,1][2,)-∞-+∞C ．(,2][3,)-∞-+∞D ．(,2][1,)-∞-+∞2．答案：D 12(1)(2)3x x x x -++≥--+=，当且仅当2x ≤-或1x ≥时成立．3．设610,2,,2aa b a c a b <<≤≤=+那么c 的取值范围是( ）A ．930c <<B ．018c ≤≤C ．030c ≤≤D ．1530c << 3．答案：A 因为32,3,22a a b a a b a ≤≤∴≤+≤又因为610,a <<所以39,330,2a a ><所以393302aa b a <≤+≤<，即930c << 4．设集合{}{}1,,2,.A x x a x R B x x b x R =-<∈=->∈若A B ⊆，则实数,a b 必满足( ） A ．3a b +≤ B ．3a b +≥ C ．3a b -≤ D ．3a b -≥4．答案：D {}{|11,,|2A x a x a x R B x x b =-<<+∈=>+或}2,x b x R <-∈,若A B ⊆，则需满足12a b +≤-或12a b -≥+，即3a b -≤-或3,3a b a b -≥∴-≥5．已知x a b -<的解集为{}24x x <<，则实数a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 5．答案：C 由x a b -<,得a b x a b -<<+，由已知得24a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得31a b =⎧⎨=⎩6．若a b 、为实数，则“01ab <<”是“1a b <或1b a>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．答案:A “01ab <<”则,a b 同号,若0,0a b >>，由1ab <，得1a b<；若0,0a b <<，由1ab <，得1b a >，故“01ab <<”⇒ “1a b <或1b a>” 当1a b <时，110ab a b b--=<,若0b >，则1ab <，但ab 不一定满足0ab >； 若0b <，则1ab >，故“1a b <或1b a>”⇒/“01ab <<” 7．不等式(1)(1||)0x x -->的解集是( ）A ．{|01}x x ≤<B ．{|0x x <且1}x ≠-C ．{|11}x x -<<D ．{|1x x <且1}x ≠- 7．答案：D 当0x <时，(1)(1)0x x ++>，∴0x <且1x ≠-；当0x ≥时，2(1)(1)0,1,11,01x x x x x +-><-<<∴≤<；∴1x <且1x ≠- 8．若正数,a b 满足4ab a b =+,则ab 的取值范围为（ )A ．[6,)+∞B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ D ．(,0]-∞8．答案：B 由4ab a b =+≥，得14ab ≥9．已知,,x y z 是正实数,且10x y z ++-=，则111x y z++的最小值为（ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 9．答案：C 方法一：基本不等式1113x y z x y z x y zx y z x z y x y z x y z y x x z y z ⎛⎫⎛⎫++++++⎛⎫++=++=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32229≥+++=方法二：柯西不等式2111111()9x y z x y z x y z ⎛⎫++=++++≥= ⎪⎝⎭ 10．函数914()242y x x x =->-的最小值是（ ）A ．8B ．6C ．9D ．4 10．答案：A ()99944422244242y x x x x x x =-=+=-++---,∵12x >，∴420x ->，∴28y ≥=11．若(,1)x ∈-∞,则函数22222x x y x -+=-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值1-D ．最小值1-11．答案：C 2(1)11112(1)22(1)x x y x x -+-==+≤-=---12．设,N a b c n >>∈,且11na b b c a c+≥---恒成立,则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 12．答案：C()()()()24a c a c a b b c a b b c b c a ba b b c a b b c a b b c---+--+---+=+=++≥------ 所以114a b b c a c +≥---，而11n a b b c a c+≥---恒成立,得4n ≤ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在题中横线上）13．不等式112x x ->+的解集是 ． 13．答案：1(,2)2,2⎛⎫-∞--- ⎪⎝⎭解析：原不等式等价于112x x ->+ ①或112x x -<-+ ② 由①得:112310,0222x x x x x x ------>=>+++，即2;x <- 由②得：110,2x x -+>+即210,2x x +<+即(21)(2)0x x ++<，解得122x -<<-． 综合①②,得1(,2)2,2x ⎛⎫∈-∞--- ⎪⎝⎭14．定义运算,,x x yx y y x y ≤⎧⊗=⎨>⎩，若11m m m -⊗=-，则m 的取值范围是 ．14．答案：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭解析：由题意，有1112m m m m m m -≤⇔-≤-≤⇔≥15．已知集合{}1349,46,(0,)A x R x x B x R x t t t ⎧⎫=∈++-≤=∈=+-∈+∞⎨⎬⎩⎭，则集合A B = ．15．答案：{|25}x x -≤≤解析：由集合{}349A x R x x =∈++-≤解出{|45}A x x =-≤≤. 146,(0,){|2}B x R x t t x x t ⎧⎫=∈=+-∈+∞=≥-⎨⎬⎩⎭，故AB ={|25}x x -≤≤16．若,,x y z 是正数，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为 ． 16．答案:2解析：2()()()2x y y z xy y yz zx y x y z zx ++=+++=+++≥=三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．（本小题满分10分）解不等式232x x ++≥。

第一讲 不等式和绝对值不等式1.1 不等式 1.1.2 基本不等式A 级 基础巩固一、选择题1．已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2abB.a b ＋b a≥2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D ．a 2＋b 2＞2ab解析：当a ，b 都是负数时，A 不成立； 当a ，b 一正一负时，B 不成立；当a ＝b 时，D 不成立，因此只有C 是正确的． 答案：C2．下列各式中，最小值等于2的是( ) A.x y ＋y xB.x 2＋5x 2＋4C ．tan θ＋1tan θD ．2x ＋2－x解析：因为2x ＞0，2－x ＞0， 所以2x ＋2－x ≥22x 2－x ＝2.当且仅当2x ＝2－x ，即x ＝0时，等号成立． 答案：D3．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是( ) A ．10 B ．6 3 C ．4 6 D ．18 3解析：3x ＋3y ≥23x ·3y ＝23x ＋y ＝235＝183，当且仅当x ＝y ＝52时，等号成立．答案：D4．设x ，y 为正数，则(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y 的最小值为( )A ．6B ．9C ．12D ．15解析：x ，y 为正数，(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y ≥9，当且仅当y x ＝4x y ，即y＝2x 时，等号成立，选B.答案：B5．(2015·福建卷)若直线x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)过点(1，1)，则a ＋b 的最小值等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：因为直线x a ＋yb ＝1过点(1，1)，所以1a ＋1b ＝1.又a ，b 均大于0，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝1＋1＋b a ＋ab ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4，当且仅当a＝b 时，等号成立．答案：C 二、填空题6．设x ＞0，则函数y ＝3－3x －1x的最大值是________．解析：y ＝3－⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23，当且仅当3x ＝1x ，即x ＝33时，等号成立．所以y max ＝3－2 3. 答案：3－237．已知函数f (x )＝2x ，点P (a ，b )在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，那么f (a )·f (b )的最小值是________．解析：点P (a ，b )在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，所以有ab ＝1.因为a ＞0，b ＞0，所以f (a )·f (b )＝2a ·2b ＝2a ＋b ≥22ab＝4，当且仅当a ＝b ＝1时，等号成立． 答案：48．当x ＞0时，f (x )＝2xx 2＋1的值域是________．解析：因为x ＞0，所以x ＋1x ≥2，所以0＜1x ＋1x ≤12.所以0＜2x ＋1x≤1. 又因为f (x )＝2xx 2＋1＝2x ＋1x，所以0＜f (x )≤1，当且仅当x ＝1时，等号成立．故f (x )的值域是(0，1]． 答案：(0，1] 三、解答题9．已知x ＜0，求2x ＋1x 的最大值．解：由x ＜0，得－x ＞0， 得－2x ＋1－x≥2（－2x ）⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x ＝22，所以2x ＋1x ≤－22，当且仅当－2x ＝1－x ，即x ＝－22时等号成立． 故2x ＋1x取得最大值－2 2.10．若a ，b ，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1，求证：8abc ≤(1－a )·(1－b )(1－c )． 证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以1－a ＝b ＋c ＞0，1－b ＝a ＋c ＞0，1－c ＝a ＋b ＞0. 所以(1－a )(1－b )(1－c )＝(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )．因为a ＋b ≥2ab ＞0，b ＋c ≥2bc ＞0，a ＋c ≥2ac ＞0， 三式相乘，得(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )≥2ab ·2bc ·2ca ＝8abc ， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以8abc ≤(1－a )(1－b )(1－c )．B 级 能力提升1．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1≥9，所以a ≥2或a ≤－4(舍去)． 所以正实数a 的最小值为4. 答案：B2．(2015·山东卷)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y＞0时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值为________．解析：因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy，所以x ⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋（2y ）2－x 22yx ＝x 2＋2y 22xy ≥2x 2·2y 22xy ＝22xy2xy ＝ 2.其中x ＞0，y ＞0，当且仅当x 2＝2y 2，即x ＝2y 时等号成立． 答案： 23．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年法国欧洲杯期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每个促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 解：(1)由题意可设3－x ＝kt ＋1，将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2.所以x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，年生产成本为32x ＋3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2t ＋1＋3， 当销售x 万件时，年销售收入为150%×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完， 得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352（t ＋1）＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤50－2t ＋12·32t ＋1＝50－216＝42， 当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42，所以当促销费定在7万元时，年利润最大．。

第一讲 不等式和绝对值不等式1.2 绝对值不等式1.2.2 绝对不等式的解法A 级　基础巩固一、选择题1．不等式|3x －2|＞4的解集是( )A. B. {x |x ＞2}{x |x ＜－23)}C. D. {x |x ＜－23或x ＞2)}{x |－23＜x ＜2)}解析：由|3x －2|＞4得3x －2＞4或3x －2＜－4所以x ＞2或x ＜－. 23答案：C2．(2015·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|＜2的解集是( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，1)C ．(1，4)D ．(1，5)解析：法一：当x ＜1时，原不等式化为1－x －(5－x )＜2即－4＜2，不等式恒成立；当1≤x ＜5时，原不等式即x －1－(5－x )＜2，解得x ＜4；当x ≥5时，原不等式化为x －1－(x －5)＜2即4＜2，显然不成立，综上可得不等式的解集为(－∞，4)．法二：由绝对值的几何意义可得数轴上的点x 到1，5两点(距离为4)的距离之差小于2的点满足x ＜4，所求不等式的解集为(－∞，4)．答案：A3．(2015·天津卷)设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为|x－2|＜1等价于1＜x＜3，x2＋x－2＞0等价于x＜－2或x＞1，所以“|x－2|＜1”是“x2＋x－2＞0”的充分不必要条件．答案：A4．若不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是( )A．a≥1 B．a≥3C．a≤1 D．a≤3解析：由题意，可知(0，4)是(－a＋1，a＋1)的子集，由此可推得选B；亦可以用差异代入法(寻求选项的不同点代入)验证排除．答案：B5．如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是( )A．(－∞，3]∪5，＋∞) B．－5，－3]C．3，5] D．(－∞，－5]∪－3，＋∞)解析：利用数轴，结合绝对值的几何意义可知a≤－5或a≥－3.答案：D二、填空题6．若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝______．解析：法一：由|kx－4|≤2可得－2≤kx－4≤2，即2≤kx ≤6，又1≤x ≤3，所以k ＝2.法二：由题意可知x ＝1，x ＝3是|kx －4|＝2的两根，则解得k ＝2. {|k －4|＝2，|3k －4|＝2，)答案：27．若不等式|x ＋1|＋|x －3|≥a ＋对任意的实数x 恒成立，则实4a数a 的取值范围是________．解析：当a ＜0时，显然成立；因为|x ＋1|＋|x －3|的最小值为4，所以a ＋≤4.所以a ＝2， 4a综上可知a ∈(－∞，0)∪{2}．答案：(－∞，0)∪{2}8．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集是∅，则a 的取值范围是________．解析：|x ＋2|＋|x －1|≥|(x ＋2)－(x －1)|＝3，所以a ＜3.答案：a ＜3三、解答题9．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f (x )＝|2x －a |∈a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设f (x )＝|2x －1|，当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3.因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋1|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a .所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.①当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是2，＋∞)．10．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若f (x )≤m 的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a ，m 的值；(2)当a ＝2且t ≥0时，解关于x 的不等式f (x )＋t ≥f (x ＋2t )． 解：(1)由|x －a |≤m 得a －m ≤x ≤a ＋m ，所以解得 {a －m ＝－1，a ＋m ＝5，){a ＝2，m ＝3.)(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，所以f (x )＋t ≥f (x ＋2t )，所以|x －2＋2t |－|x －2|≤t .当t ＝0时，不等式恒成立，即x ∈R ；当t ＞0时，不等式等价于或{x ＜2－2t ，2－2t －x －（2－x ）≤t )或 {2－2t ≤x ＜2，x －2＋2t －（2－x ）≤t ){x ≥2，x －2＋2t －（x －2）≤t ，)解得x ＜2－2t 或2－2t ≤x ≤2－或x ∈∅， t 2即x ≤2－. t 2综上所述，当t ＝0时，原不等式的解集为R ；当t ＞0时，原不等式的解集为. {x |x ≤2－t 2)}B 级　能力提升1．不等式|x ＋3|－|x －1|≤a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A．(－∞，－1]∪4，＋∞) B．(－∞，－2]∪5，＋∞)C．1，2] D．(－∞，1]∪2，＋∞)解析：由绝对值的几何意义得|x＋3|－|x－1|的最大值为4，所以a2－3a≥4恒成立，即a≥4或a≤－1.答案：A2．(2015·重庆卷)若f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a ＝________．解析：当a≤－1时，f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝{－3x＋2a－1，x＜a，x－2a－1，a≤x≤－1，3x－2a＋1，x＞－1，)所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，则f(x)在x＝a处取得最小值f(a)＝－a－1，由－a－1＝5得a＝－6，符合a≤－1；当a＞－1时，f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|＝{－3x＋2a－1，x＜－1，－x＋2a＋1，－1≤x≤a，3x－2a＋1，x＞a.)所以f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增，则f(x)在x＝a处取最小值f(a)＝a＋1，由a＋1＝5，得a＝4，符合a＞－1.综上所述，实数a的值为－6或4.答案：－6或43．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含1，2]，求a的取值范围．解：(1)当a＝－3时，f(x)≥3⇔|x－3|＋|x－2|≥3⇔或{x ≤2，3－x ＋2－x ≥3){2<x <3，3－x ＋x －2≥3)或 {x ≥3，x －3＋x －2≥ 3.)⇔x ≤1或x ∈∅或x ≥4. 故不等式解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)原命题⇔f (x )≤|x －4|在1，2]上恒成立⇔|x ＋a |＋2－x ≤4－x 在1，2]上恒成立⇔－2－x ≤a ≤2－x 在1，2]上恒成立⇔－3≤a ≤0. 故a 的取值范围是－3，0]．。