Laplace 算子的特征函数系在三个空间中的完备性
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Laplace 算子的特征函数系在三个空间中的完备性n R 表示实n 维Euclid 空间，设Ω是n R 中的有界开集，边界∂Ω适当光滑。
空间()Ω2L 上的内积记为(,)u v uvdxΩ=⎰()2,u v L ∈Ω，范数记为122||||()u u dx Ω=⎰；空间()10H Ω内积记为,u v uvdx u vdx ΩΩ<>=+∇⋅∇⎰⎰()10,u v H ∈Ω，范数记为11222||||(||)H u u dx u dx ΩΩ=+∇⎰⎰；定义5.1 22222212nx ux u x u u ∂∂++∂∂+∂∂=∆ , 称∆为Laplace 算子.定义5.2 如果存在实数λ,和非零函数()()Ω⋂Ω∈12C C u ，使得⎩⎨⎧Ω∂=Ω=∆-上在中在,0,u u u λ ，（5.1）则称λ为算子∆-（或问题（5.1））的特征值,称u 为对应于特征值λ的特征函数.例如),,0(l =Ω⎩⎨⎧==∈=''-.0)()0(),0(,l y y l x y y λ ，(5.2) x l n x y x y l n n n ππλλsin )()(,2==⎪⎭⎫⎝⎛==就是（5.2）的特征值和对应于特征值n λ的特征函数.且有<<<<3210λλλ, +∞=∞→n n λlim ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧x l n πsin在),0(2l L 中正交,任意函数],,0[)(2l L x f ∈)(x f 在],0[2l L 中可用⎭⎬⎫⎩⎨⎧x l n πsin展开成Fourier 级数.1()~sin k k k f x a x l π∞=∑, （未必相等）⎰=l k x l k x f l a 0sin )(2π,令1()sin nnk k k S x a x l π==∑，则有())(,0212∞→→-=-⎰Ωn dxf S f S n n .系数的记法k k l k la llk a dx x l k l k a xdx l k x f 2sinsin sin sin )(200===⎰⎰ππππ. 定义 5.3对实数λ,如果存在函数()0)(,)(1≠Ω∈x u H x u ,使得(),,1Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩH dx u dx u ϕϕλϕ（5.3） 则称为λ为算子∆-的（广义）特征值,称u 为对应于特征值λ的广义特征函数. 显然由定义5.2⇒定义5.3,反之,在一定条件下,定义5.3⇒定义5.2.5.2 特征值的存在性 若u ,λ是（5.3）的特征值与特征函数,则有⎰⎰ΩΩ=∇dx u dx u 22λ,2222uu dxu dxu ∇=∇=⎰⎰ΩΩλ,于是我们引入泛函()0)(,)(,)(122≠Ω∈∇=x u H x u uu u J .由Friedrichs 不等式u d u ∇≤2,2224ud u∇≤,()0,,04110222≠Ω∈∀>≥∇u H u duu . 此式说明泛函)(u J 有正的下界,因此)(u J 有下确界.如果定义()()212211010inf infvuu v H v u H u ∇=∇==Ω∈≠Ω∈λ ,（5.4）则.04121>≥dλ今证明1λ是算子)(∆-的最小特征值.由下确界()21110inf uu H u ∇==Ω∈λ的定义,对任意正整数k,存在(),1,10=Ω∈k k u H u 满足,112ku k+≤∇λ（12λ≥∇ku ）于是得{}k u 在()Ω10H 中有界,由索伯列夫嵌入定理,存在{}k u 的子序列{}ik u 和函数()Ω∈1H u ,使得u u i k →（在()Ω2L 中）,uu i k ==1lim ，u u i k ∇→∇在()Ω2L 中弱收敛,22lim ii k k u u∇≤∇∞→再由,112ik k u i+≤∇λ得12λ≤∇u,又12λ≥∇u,故1,12==∇u uλ,即存在()Ω∈1H u ,1=u ,使得()()2122121010inf infvuu uv H v u H u ∇=∇==∇=Ω∈≠Ω∈λ（条件极值）下面证明u ,1λ就特征值与特征函数.())(inf )(011v J u J v H v ≠Ω∈==λ,,)(22vv v J ∇=对任意()Ω∈10H v 根据上式得出)(inf )(tv u J u J Rt +=∈即)(tv u J +在0=t 处达到最小值.由此知0)(0=∂+∂=t ttv u J22)()(tvu tv u tv u J ++∇=+,),(2),(2222222vt v u t u v t v u t u ++∇+∇∇+∇=()()()(),)),(2(2),(2),(2),(22),(2)(222222222222v t v u t uv t v u vt v u t uvt v u t u v t v u ttv u J +++∇+∇∇+∇-++∇+∇∇=∂+∂得0),(2),(2422=∇-∇∇uv u u uv u ,0),(),(22=∇-∇∇v u u uv u()Ω∈∀=∇=∇∇1122),,(),(),(H v v u v u uu v u λ, 即()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ11,H v dx uv dx v u λ 因此,1λ是算子∆-的特征值,u 为对应于特征值λ的特征函数.再证1λ是最小的特征值,设λ是∆-的任意特征值,即存在()0,1≠Ω∈w H w , 使得()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx wv dx v w λ 在此式中,取wv =,得出22wdx w λ=∇⎰Ω,()1220221infλλ=∇≥∇=≠Ω∈vv ww v H v .这就证明1λ是∆-的最小特征值.5.3算子∆-的所有特征值我们可以采用下列方法依次求出算子∆-的所有特征值.())(inf 0),(02110v J u v v H v =≠Ω∈=λ,显然210λλ≤<,可以证明,存在()1,2102=Ω∈u H u ,0),(12=u u , 使得())(inf )(0),(022110v J u J u v v H v =≠Ω∈==λ,同上面可证,22,u λ满足()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1222,H v dx v u dx v u λ 即2λ是特征值,2u 为对应于特征值2λ的特征函数.假设我们已经得出算子∆-的1-m 个特征值,121,,,-m λλλ (1≥m ),且121-≤≤≤m λλλ , （5.5）对应于121,,,-m λλλ 的特征函数为121,,,-m u u u , （5.6）且()1,,2,1,1-==m k u k .函数组（5.6）的所有线性组合成为()Ω2L 的一个线性子空间,叫做组（5.6）在()Ω2L 中生成的子空间,记为{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=∈==∑-=--1112111,,2,1,|,,,m i i i i m m m i R c u c u u u span V以⊥-1m V表示1-m V 在()Ω2L 中的正交补空间,即(){}121,0),(|-⊥-∈∀=Ω∈=m m V v L v V ϕϕ.根据泛函241)(d u J ≥有下界性,我们将证明())(inf 0110v J v V H v m m ≠⋂Ω∈⊥-=λ ,（5.7）就是算子∆-的第m 个特征值.重复上面的讨论变分问题（5.4）的步骤可以证明,存在函数⊥-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋂Ω∈110m m V H u ,使得,1=m u ())(inf )(0110v J u J v V H v m m m ≠⋂Ω∈⊥-=λ ,（5.8）()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx v u dx v u m m m λ ,（5.9）m λ是算子∆-的第m 个特征值,m u 为对应于特征值m λ的特征函数.由（5.7）易知1-≥m m λλ.由于()Ω1H 是无限维空间,按（5.7）得出算子∆-的特征值的无限序列≤≤≤≤≤-m m λλλλ121 ,（5.10）相应的的特征函数序列为,,,,,121m m u u u u - ,（5.11）5.3特征值序列{}m λ及对应的特征函数系{}m u 的性质性质1 最小特征值1λ对应的特征函数)(x u 可以取来满足21,1,,0)(uu x x u ∇==Ω∈∀>λ .性质2 对应于不同特征值的特征函数在()Ω2L 中是正交的.证明 设特征值km λλ,对应的特征函数分别为km u u ,,且k m λλ≠()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx v u dx v u m m m λ ()Ω∈∀=∇∇⎰⎰ΩΩ1,H v dx v u dx v u k k k λ ,dx u u dx uu m k k mk⎰⎰ΩΩ=∇∇λ,dx u u dx u um k m k m⎰⎰ΩΩ=∇∇λ(),0=-⎰Ωdx u u m k m k λλ由此知道, 当k m λλ≠时,(),0,==⎰Ωdx u u u u m k m k性质3 特征值序列（5.10）满足lim j j λ→∞=+∞ .证明 由于{}j λ是单调递增的，只须证明{}j λ是无界的。
假若{}j λ有界，由2||||j j ϕλ∇=，||||1,(1,2,)j j ϕ==⋅⋅⋅，于是{}j ϕ在()Ω1H 中有界，利用()Ω10H 紧嵌入2()L Ω，得到 {}j ϕ中存在子列（仍记为{}j ϕ）在2()L Ω中收敛，2,lim ||||0m n m n ϕϕ→∞-=，但当m n ≠时，222||||||||||||2m n m n ϕϕϕϕ-=+=，矛盾，所以{}j λ是无界的。
故有lim j j λ→∞=+∞。
性质4 对应于同一特征值只有有限个线性无关的特征函数,或者说,对应于每一个特征值的特征函数空间是有限维的.性质5 特征函数序列（5.11）是空间()Ω10H 的基底,即（1） 对任意()Ω∈10H v ,∑∞==1),(k kk u u v v 在()Ω10H 中.（2） 若()Ω∈10H v ,,,2,1,0),( ==k u v k 则0=v .众所周知,存在特征值序列{}j λ和相应的特征函数系{}j ϕ，满足,|0.j j j j ϕλϕϕ∂Ω-∆=⎧⎪⎨=⎪⎩ 这里210()()j H H ϕ∈ΩΩ ，||||1,1,2,j j ϕ== , 120λλ<≤≤, ,j λ≤≤ 且lim j j λ→+∞=+∞．可以证明(,)0,i j i j ϕϕ=≠．即{}j ϕ在2()L Ω中是标准正交系.其中||||⋅表示2()L Ω上的范数，(,)⋅⋅表示2()L Ω上的内积. 引理3.1.4 (特征函数的性质)特征值问题,|0.ϕλϕϕ∂Ω-∆=⎧⎨=⎩ 有如下结论：1){}j ϕ是10()H Ω中的一组正交完备基，对10()u H ∀∈Ω，(,)j j a u ϕ=，10()1lim ||||0Nj j H N j a u ϕΩ→+∞=-=∑．2){}j ϕ是2()L Ω中的一组标准正交基．对2(),(,)j j u L a u ϕ∀∈Ω=，1j jj a u ϕ∞==∑在2()L Ω成立．3){}j ϕ是210()()H H ΩΩ 中的一组正交基．对u ∀∈210()()H H ΩΩ ，成立21lim ||||0Nj j H N j a u ϕ→+∞=-=∑．证明 对2(),(,)j j u L a u ϕ∈Ω=，记1nn j jj S a ϕ==∑，显然n u S -与n S 在2()L Ω中正交，()n n u u S S =-+， 于是222||||||||||||n n u u S S =-+， 由此2222||||||||,||||||||n n S u u S u ≤-≤， 而221||||||nn jj S a==∑，所以221||||||j j a u ∞=≤∑ 。
