2013届广东省惠州市高三4月模拟考试理科数学试题及答案

惠州市2013届高三第一次模拟考试数学试题(理科）本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}2 |450 A x x x =--=，{}2 | 1 B x x ==，则A B =（ ）A ．{} 1B ．{} 1 , 1 , 5 -C ． {} 1 -D ．{} 1 , 1 , 5 --2. 已知复数(1)z i i =+ (为虚数单位），则复数z 在复平面上所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3. 设抛物线的顶点在原点,准线方程为-2,x =则抛物线的方程是( ) A.28y x = B. 28y x =- C. 24y x =- D. 24y x =4.如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为 （ ）A. π+B. 2)π+C. D. 2)+5.已知向量(1,1)a =-，(3,)b m =，//()a a b +，则m =（ ）A ．2B ．2-C ．3-D ．3 6.设随机变量ξ服从正态分布(3,4)N ，若(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，则a =（ ）A ．3B ． 53 C ．5 D ．737.已知函数()39x f x x =+-的零点为0x ， 则0x 所在区间为（ ）A.3122⎡⎤--⎢⎥⎣⎦， B. 1122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， C.1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D. 3522⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 8．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则点P 横坐标的取值范围为 ( )A ．11,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．[]1,0-C ．[]0,1D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二．填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答．9．在等差数列{}n a 中，有67812a a a ++=，则此数列的前13项之和为 .10．62)x-展开式中，常数项是 . 11．执行如图的程序框图，那么输出S 的值是 .12.已知集合A B C 、、，A ={直线}，B ={平面}，C A B =．若,,a A b B c C ∈∈∈，给出下列四个命题：①//////a b a c c b ⎧⇒⎨⎩ ②//a b a c c b ⊥⎧⇒⎨⊥⎩ ③//a ba c cb ⎧⇒⊥⎨⊥⎩④//a ba c c b⊥⎧⇒⊥⎨⎩ 其中所有正确命题的序号是 . 13．设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为 .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）若直线的极坐标方程为cos()4πρθ-=，曲线C ：1ρ=上的点到直线的距离为d ，则d 的最大值为 .15.(几何证明选讲选做题) 如图圆O 的直径6AB =,P 是AB 的延长线上一点,过点P 作圆O的切线,切点为C ,连接AC ,若30CPA ∠=︒,则PC = .三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分） 已知()sin()1f x A x ωϕ=++ ，（x R ∈，其中0,0,02A πωϕ>><<）的周期为π，且图像上一个最低点为2(,1)3M π- （1）求()f x 的解析式； （2）当[0,]12x π∈时，求()f x 的值域． 17．(本小题满分12分) 在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。

已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表：科目甲科目乙总计第一小组 1 5 6第二小组 2 4 6 总计 3 9 12现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况.（1）求选出的4 人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．18．(本小题满分14分)如图, 111ABC A B C-中,侧棱与底面垂直, AB AC⊥,12AB AC AA===,点,M N 分别为1A B和11B C的中点.（1）证明: 11//MN A ACC平面;（2）求二面角N MC A--的正弦值.19．（本小题满分14分）已知中心在原点O，焦点在x轴上，离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）设不过原点O的直线与该椭圆交于P、Q两点，满足直线OP，PQ，OQ 的斜率依次成等比数列，求OPQ∆面积的取值范围．B120．（本小题满分14分）已知函数()log m f x x =（m 为常数，01m <<），且数列{}()n f a 是首项为2，公差为2的等差数列. (1) 若()n n n b a f a =⋅，当m ={}n b 的前n 项和n S ；（2）设lg n n n c a a =⋅，如果{}n c 中的每一项恒小于它后面的项，求m 的取值范围.21．（本小题满分14分）已知函数2()1f x a bx x =++在3x =处的切线方程为58y x =-. (1)求函数()f x 的解析式；(2)若关于x 的方程()x f x k e =恰有两个不同的实根，求实数k 的值； (3)数列{}n a 满足12(2)a f =，1(),n n a f a n N *+=∈， 求12320131111S a a a a =+++⋅⋅⋅⋅+的整数部分.惠州市2013届高三第一次模拟考试数学（理科）答案一、选择题．本大题共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题；本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.9. 52 10. 60 111.2 12. ④ 13．-4 14．1+ 15.1.【解析】因为{}2 |450 A x x x =--=={} 1 , 5 -；B ={} 1 , 1 -，A B ={} 1 -故选C .2.【解析】因为(1)1z i i i =+=-+,所以(1)1z i i i =+=-+对应的点在复平面的第二象限. 故选B ．3. 【解析】抛物线的准线方程为-2,x =,∴抛物线的开口向右.设抛物线的标准方程为y 22(0)px p =>,则其准线方程为2px =-, ∴22p -=-,解得4,p = ∴抛物线的标准方程为y 28x =.故选A .4.【解析】由三视图可知几何体是由截面相同的半个圆锥与半个三棱锥组合而成的。

圆椎底面半径为6，椎体底面边长为12，高为1111361262)3232V ππ=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+故选B ．5.【解析】向量(1,1)a =-，(3,)b m =，()(2,1)a b m +=+，因为//()a a b +∴(1)2m -+=，3m =-故选C ．6.【解析】因为ξ服从正态分布(3,4)N ，(23)(2)P a P a ξξ<-=>+，2326,a a ∴-++=7.3a =故选D .7.【解析】因为()3355,()90,902222f x f f ⎛⎫=+-<=+-> ⎪⎝⎭为增函数又.故选D .8.【解析】设00(,)P x y ，倾斜角为α，0tan 1α≤≤，2()23f x x x =++,f'(x)=2x+2，00221x ≤+≤，0112x -≤≤-，故选A .9．【解析】等差数列{}n a 中，有67873a a a a ++=，71374,1352S a a ∴=∴== ，故此数列的前13项之和为52.10．【解析】6332(1)(2)2()rr rr rrCC xT x-+-==-- ，故2r =时，22660(2)C =-. 11.【解析】由框图可知：112,1,,2,1,22S =--，周期为3,T =,20133671=⨯，故输出S 的值是12. 12．【解析】由题意知：C 可以是直线，也可以是平面， 当C 表示平面时，①②③都不对，故选④正确.13.【解析】做出不等式对应的可行域如图，由32z x y =-得322z y x =-，由图象可知当直线322z y x =-经过点(0,2)C 时，直线322z y x =-的截距最大，而此时32z x y =-最小为324z x y =-=-. 14.【解析】直线的直角坐标方程为60x y +-=，曲线C 的方程为221x y +=，为圆；d 的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为max 1d =+15.【解析】连接BC ，设PCB α∠=，则CAP α∠=，三角形CAP 中，(90)30180αα++︒+︒=︒，所以30α=︒，所以132BP CB AB ===，而23927CP BP AP ==⨯=，故CP =三、解答题： 本大题共6小题，共80分． 16. （本小题满分12分）解：（1）由()sin()1f x A x ωϕ=++的周期为π，知2T ππω==，则有2ω=； (1)分所以()sin(2)1f x A x ϕ=++ 因为函数图像有一个最低点2(,1)3M π-，0A >， 所以2A = 且 2sin(2)13πϕ⨯+=-， ………………………… 3分 则有2322()32k k Z ππϕπ⨯+=+∈ …………………………… 4分解得2()6k k Z πϕπ=+∈， 因为02πϕ<<，所以6πϕ=……….6分所以()2sin(2)16f x x π=++ x R ∈ (7)分B 1A 1P C 1N （2）当[0,]12x π∈时，2[,]663x πππ+∈， (8)分 则有1sin(2)[,62x π+∈，所以()2sin(2)1[2,16f x x π=++∈+……11分即()f x 的值域为[2,1。

……………………… 12分 17. （本小题满分12分）解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，“从第二小组选出的2人选科目乙””为事件B .由于事 件A 、B 相互独立，且25262()3C P A C ==, 24262()5C P B C ==.………………………………4分 所以选出的4人均选科目乙的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=…………………………… 6分（2）设ξ可能的取值为0,1,2,3.得4(0)15P ξ==, 21112524542222666622(1)45C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=,15226611(3)45C P C C ξ==⋅=， 2(2)1(0)(1)(3)9P P P P ξξξξ==-=-=-==… 9分ξ∴ξ的数学期望42221012311545945E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= …………12分 18. (本小题满分14分)（本小题主要考查空间线面关系、空间向量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）解 :(1)证法一: 连接1,1AB AC …………1分 由题意知,点,M N 分别为1AB 和11B C 的中点,1//MN AC ∴. …………3分又MN ⊂平面11A ACC ,1AC ⊂平面11A ACC , …………5分//MN ∴平面11A ACC . …………6分证法二:取11A B 中点P ,连,MP NP ,而,M N 分别为1AB 与11B C 的中点,1//MP A A ∴,…………2分11MP A ACC ⊄平面,111AA A ACC ⊂平面, 11//MP A ACC ∴平面,同理可证11//NP A ACC 平面 …………4分 又MP NP P = ∴平面MNP //平面11A ACC . …………5分 MN ⊂平面MNP，//MN ∴平面11A ACC . …………6分证法三(向量法): 以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,如图所示.于是(0,0,0),(2,0,0),A B (1,0,1),(1,1,2)M N 1,AB AC AB AA ⊥⊥,1ACAA A =,11AB A ACC ∴⊥平面B A 1D 1C 1N∴向量(2,0,0)AB 是平面11A ACC 的一个法向量 …………2分 (0,1,1)MN ，2001010AB MN ⋅=⨯+⨯+⨯=AB MN ∴⊥ …………4分又11MN A ACC ⊄平面 …………5分//MN ∴平面11A ACC . ………6分(2)解法一: 以点A 为坐标原点,分别以直线1,,AB AC AA 为x 轴, y 轴, z 轴建立空间直角坐标系A xyz -,如图所示.于是(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0)A B C ,111(0,0,2),(2,0,2),(0,2,2)A B C ,(1,0,1),(1,1,2)M N …………8分由(1)知1MA 是平面MCA 的一个法向量, 1(1,0,1)MA =-. …………10分 设平面NMC 的法向量为(,,)n x y z =,(0,1,1)MN =,(1,2,1)MC =--,002030n MN y z y z x y z x z n MC ⎧⋅=+==-⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨-+-==-⋅=⎩⎩⎪⎩, (3,1,1)n ∴=- …………12分设向量1MA 和向量n 的夹角为θ,则11cos (MA n MA nθ⋅===- …………13分 ∴二面角N MC A --==…………14分 解法二(几何法):如图,将几何体补形成一个正方体,连11DC CD 、交于点O ,连11B A B O 、,显然,11A M C B D O 、、、、、,都在同一平面11ACB D 上. …………7分易证1//B O MC ,11C O CD ⊥,B 1PQHOMD 1CA 11B D ⊥平面11C CDD ,1C O ⊂平面11C CDD ,111C O B D ∴⊥,又1111B D CD D = 1C O ∴⊥平面11ACB D .取1B O 中点H ,连NH ,N H 、分别是111,B O B C 的中点 1//NH C O ∴,NH ∴⊥平面11ACB D , …………9分且H 为垂足,即NH ⊥平面AMC ,过点O 作OP MC ⊥于P , 过H 作//HQ OP 交MC 于Q ,连NQ ,则NQH ∠即是所求二面角N MC A --的补角. …………11分 在Rt MAC ∆中,CM ===,sin AM MCA MC ∠===,sin sin()cos 2OCP MCA MCA π∠=-∠=∠==,在Rt OPC ∆中，sin OCP ∠=,OP ∴==HQ OP ∴==又112MH C O ==∴在Rt NQH ∆中，NQ === …………12分sin NH NQH NQ ∴∠===. …………13分 ∴所求二面角N MC A --………14分19．（本小题满分14分)解：（1）由题意可设椭圆方程为22221x y a b +=(0)a b >>，……………1分则222112c a a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，……………3分 , 解的21a b =⎧⎨=⎩，……………5分所以，椭圆方程为2214x y +=． ……………6分（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0，故可设直线的方程为(0)y kx m m =+≠，1,12,2(),()P x y Q x y ，……………7分由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=，……………8分 则22222226416(14)(1)16(41)0k b k b b k m ∆=-+-=-+>，且122814km x x k -+=+，21224114m x x k-=+．……………9分 故2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++． 因为直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，所以，2221121222112()y y k x x km x x m k x x x x +++⋅==，即22228014k m m k-+=+，……………10分 又0m ≠，所以214k =，即12k =±．……………11分由于直线OP ，OQ 的斜率存在，且△＞0，得202m <<且21m ≠． 设d为点O到直线的距离，则11122OPQ S d PQ m x ∆=⋅=⋅-12分 所以OPQ S ∆的取值范围为(0,1)． ……………… 14分20. (本小题满分1４分)(1) 证：由题意()2(1)22n f n n a =+-⨯=，即log 2m n n a =， ……1分 2n n m a =∴. ……2分 2()2n n n n b a f a n m =⋅=⋅，当m =11()()2n n n n b a f a n -=⋅=⋅. …………3分∴012111111()2()3()()2222n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， ①123111111()2()3()()22222n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ② ……4分 ①－②，得012311111111()()()()()()2222222n n n S n -=+++++-⋅11(1())12()121()2n n n ⨯-=-⋅-……6分 ∴11(2)()42n n S n -=-+⋅+ ……7分(2) 解：由(1)知，2lg 2lg n n n n c a a n m m =⋅=⋅，要使1n n c c +<对一切n N *∈成立，即2lg (1)lg n m n m m <+对一切n N *∈成立. ……8分201,lg 0(1)m m n n m <<∴<∴>+，对一切n N *∈恒成立，只需2min ()1nm n <+，……10分 1111n n n =-++单调递增，∴当1n =时，min1()12n n =+. ……12分 ∴212m <，且01k <<， ∴0m <<. ……13分综上所述，存在实数m ∈满足条件. ……14分21．（本小题满分14分）解: (1) f'(x)=2ax+b ，……………1分依题设，有`(3)5(3)7f f =⎧⎨=⎩，即659317a b a b +=⎧⎨++=⎩，……………2分解得11a b =⎧⎨=-⎩……………3分 2()=1f x x x ∴-+． ……………4分(2)方程()=k x f x e ∴，即21k x x x e -+=，得2k (1)x x x e -=-+， ………5分 记2F(x)(1)x x x e -=-+，则22F'(x)=(21)(1)(32)(1)(2)x x x xx e x x e x x e x x e -------+=--+=---. ……6分令F'(x)=0，得121,2x x == ………7分 当x 变化时，F'(x)、F(x)的变化情况如下表：∴当1x =时，F(x)取极小值1e；当2x =时，F(x)取极大值23e …………8分 作出直线y x =和函数2F(x)(1)x x x e -=-+的大致图象，可知当1k e =或23k e =时， 它们有两个不同的交点，因此方程()x f x k e =恰有两个不同的实根， ………9分(3) 12(2)3a f ==,得1312a >>，又21()1n n n n a f a a a +==-+。