2009年高考数学理科(全国卷1)

绝密★启用前2009年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学（理科）参考公式：样本数据12,,,n x x x 的方差221111(),n n i i i i s x x x x n n ===-=∑∑其中一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．. 1.若复数12429,69z i z i=+=+，其中i 是虚数单位，则复数12()z z i -的实部为★.【答案】20- 【解析】略2.已知向量a 和向量b 的夹角为30，||2,||==a b a 和向量b 的数量积= a b ★ .【答案】3 【解析】232== a b 。

3.函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 ★ .【答案】(1,11)- 【解析】2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+，由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。

4.函数sin()(,,y A x A ωϕωϕ=+为常数，0,0)A ω>>在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= ★. 【答案】3 【解析】32T π=，23T π=，所以3ω=， 5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 ★ . 【答案】0.2 【解析】略6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：则以上两组数据的方差中较小的一个为s =★ .【答案】25【解析】略7.右图是一个算法的流程图，最后输出的W = ★ .【答案】22 【解析】略8.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ★ . 【答案】1：8 【解析】略9.在平面直角坐标系xoy 中，点P 在曲线3:103C y x x =-+上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为 ★ . 【答案】(2,15)- 【解析】略 10.已知12a-=，函数()xf x a =，若实数,m n 满足()()f m f n >，则,m n 的大小关系为 ★ . 【答案】m n < 【解析】略 11.已知集合{}2|log 2A x x =≤，(,)B a =-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =★ .【答案】4【解析】由2log 2x ≤得04x <≤，(0,4]A =；由A B ⊆知4a >，所以c =4。

2009年普通高等学校招生考试新课标理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其他题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：样本数据x 1,x 2,…,x n 的标准差])()()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=Λ 其中x 为样本平均数柱体体积公式V ＝Sh,其中S 为底面面积,h 为高 锥体体积公式Sh V 31=,其中S 为底面面积,h 为高球的表面积、体积公式S ＝4πR 2,334R V π=,其中R 为球的半径第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ＝{1,3,5,7,9},B ＝{0,3,6,9,12},则A ∩B 等于( ) A.{1,5,7} B.{3,5,7} C.{1,3,9} D.{1,2,3}2.复数iii i 32233223+---+等于 ……( ) A.0 B.2 C.－2i D.2i 3.对变量x,y 有观测数据(x i ,y i )(i ＝1,2,…,10),得散点图1;对变量u,v 有观测数据(u i ,v i )(i ＝1,2,…,10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )图1 图2A.变量x 与y 正相关,u 与v 正相关B.变量x 与y 正相关,u 与v 负相关C.变量x 与y 负相关,u 与v 正相关D.变量x 与y 负相关,u 与v 负相关4.双曲线112422=-y x 的焦点到渐近线的距离为（ ）A.32B.2C.3D.15.有四个关于三角函数的命题: p 1:∃x ∈R,212cos 2sin 22=+x x p 2:∃x,y ∈R,sin(x －y)＝sinx －siny p 3:∀x ∈［0,π］,x xsin 22cos 1=- p 4:sinx ＝cosy 2π=+⇒y x其中的假命题是( )A.p 1,p 4B.p 2,p 4C.p 1,p 3D.p 2,p 36.设x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+,22,1,42y x y x y x 则z ＝x+y( )A.有最小值2,最大值3B.有最小值2,无最大值C.有最大值3,无最小值D.既无最小值,也无最大值7.等比数列{a n }的前n 项和为S n ,且4a 1,2a 2,a 3成等差数列.若a 1＝1,则S 4等于( )A.7B.8C.15D.168.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且22=EF ，则下列结论中错误的是（ ）A.AC ⊥BEB.EF ∥平面ABCDC.三棱锥A —BEF 的体积为定值D.异面直线AE ，BF 所成的角为定值9.已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内,且||||||==， 0||||||=++，||||||||||||•=•=•，则点O,N,P 依次是△ABC 的（ ） A.重心、外心、垂心 B.重心、外心、内心 C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心(注:三角形的三条高线交于一点,此点称为三角形的垂心)10.如果执行下边的程序框图,输入x＝－2,h＝0.5,那么输出的各个数的和等于（）A.3B.3.5C.4D.4.511.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:cm2)为（）A.22448+ 48+ B. 2 12C. 236+24 1236+ D. 2 12.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)＝min{2x,x+2,10－x}(x≥0),则f(x)的最大值为（）A.4B.5C.6D.7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为_________________.14.已知函数y＝sin(ωx+φ)(ω＞0,－π≤φ＜π)的图像如图所示,则φ＝_______.15. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动.若每天安排3人,则不同的安排方案共有__________种(用数字作答). 16.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m－1+a m+1－a m2＝0,S2m－1＝38,则m＝________________.:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量.A,B,M,N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离.请设计一个方案,包括:①指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤..18.(本小题满分12分)某工厂有工人1 000名,其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人),另外750名工人参加过长期培训(称为B 类工人).现用分层抽样方法(按A类,B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人,调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数).(1)求甲、乙两工人都被抽到的概率,其中甲为A类工人,乙为B类工人;(2)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2.表1:表2:①先确定x,y,再在答题纸上完成下列频率分布直方图.就生产能力而言,A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算,可通过观察直方图直接回答结论)图1 A类工人生产能力的频率分布直方图图2 B类工人生产能力的频率分布直方图②分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数,并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表) 19.(本小题满分12分)如图,四棱锥S—ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P为侧棱SD上的点.(1)求证:AC⊥SD.(2)若SD ⊥平面PAC,求二面角PACD 的大小.(3)在(2)的条件下,侧棱SC 上是否存在一点E,使得BE ∥平面PAC?若存在,求SE ∶EC 的值;若不存在,试说明理由.20.(本小题满分12分)已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点,焦点在x 轴上,它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1. (1)求椭圆C 的方程;(2)若P 为椭圆C 上的动点,M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点,λ=||||OM OP ,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线 . 21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝(x 3+3x 2+ax+b)e －x . (1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β,+∞)单调减少,证明β－α＞6.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,已知△ABC 的两条角平分线AD 和CE 相交于H,∠B ＝60°,F 在AC 上,且AE ＝AF.(1)证明B,D,H,E 四点共圆; (2)证明CE 平分∠DEF.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C 1:⎩⎨⎧+=+-=t y t x sin 3,cos 4(t 为参数),C 2:⎩⎨⎧==θθsin 3,cos 8y x (θ为参数).(1)化C 1,C 2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C 1上的点P 对应的参数为2π=t ,Q 为C 2上的动点,求PQ 中点M 到直线C 3:⎩⎨⎧+-=+=ty t x 2,23(t 为参数)距离的最小值..24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲如图,O 为数轴的原点,A,B,M 为数轴上三点,C 为线段OM 上的动点.设x 表示C 与原点的距离,y 表示C 到A 距离的4倍与C 到B 距离的6倍的和.(1)将y 表示为x 的函数;(2)要使y 的值不超过70,x 应该在什么范围内取值?。

3 3
C． 2
【答案】D 【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、 直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念、 属于基础知识、基本运算的考查. 依题意， B1 AB 60 ，如图，

（第 4 题解答图）
BB1 1 tan 60 3 ，故选 D.
5． “

6
2k (k Z ) ”是“ cos 2
）
A．45 B．55 C．70 D．80 【答案】C 【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式、属于基础知识、基本运算的考查. ∵
1 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2 C 2
5 0 5 0 1 5 1 2 5 2 3 5 3 4 5 4 5 5
x3 的图像，只需把函数 y lg x 的图像上所有的点 10
（
D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 【答案】C 【解析】本题主要考查函数图象的平移变换、属于基础知识、基本运算的考查、 A． y lg x 3 1 lg10 x 3 ， B． y lg x 3 1 lg10 x 3 ，
1 时，有 2 2k k k Z ， 2 3 6
反之，当 cos 2
或 2 2k

3
k

6
k Z ，故应选 A.
6．若 (1 2) a b 2( a, b 为有理数） ，则 a b
5
（
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. ∵ z i (1 2i ) i 2i 2 i ，∴复数 z 所对应的点为 2,1 ，故选 B. 2．已知向量 a、b 不共线，c k a b ( k R),d a b,如果 c // d，那么 ） A． k 1 且 c 与 d 同向 B． k 1 且 c 与 d 反向 C． k 1 且 c 与 d 同向 D． k 1 且 c 与 d 反向 【答案】D 【解析】本题主要考查向量的共线（平行） 、向量的加减法、属于基础知识、基本运算的考 查. 取 a 1, 0 ，b 0,1 ，若 k 1 ，则 c a b 1,1 ，d a b 1, 1 ， 显然，a 与 b 不平行，排除 A、B、 若 k 1 ，则 c a b 1,1 ，d a b 1,1 ， 即 c // d 且 c 与 d 反向，排除 C，故选 D. 3．为了得到函数 y lg ） A．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 （

2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类）参考公式：。

如果事件A ，B 互相排斥，那么P （AUB ）=P （A ）+P(B)。

棱柱的体积公式V=sh 。

其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） i 是虚数单位，52i i-= （A ）1+2i （B ）-1-2i （C ）1-2i （D ）-1+2i（2）设变量x ，y 满足约束条件：3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为（A ）6 （B ）7 （C ）8 （D ）23（3）命题“存在0x ∈R ，02x ≤0”的否定是 （A ）不存在0x ∈R, 02x >0 （B ）存在0x ∈R, 02x ≥0（C ）对任意的x ∈R, 2x ≤0 （D ）对任意的x ∈R, 2x >0（4）设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A 在区间1(,1),(1,)e e内均有零点。

B 在区间1(,1),(1,)e e内均无零点。

C 在区间1(,1)e内有零点，在区间(1,)e 内无零点。

D 在区间1(,1)e 内无零点，在区间(1,)e 内有零点。

（5）阅读右图的程序框图，则输出的S=A 26B 35C 40D 57(6）设0,0.a b >>1133a b a b +与的等比中项，则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D14 （7）已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数 ()c o s g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象A 向左平移8π个单位长度B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度（8）已知函数{224,0,4,0,()x x x x x x f x +≥-<=若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是A (,1)(2,)-∞-⋃+∞B (1,2)-C (2,1)-D (,2)(1,)-∞-⋃+∞（9）．设抛物线2y =2x 的焦点为F ，过点M，0）的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF =2，则∆BCF 与∆ACF 的成面积之比BCF ACFS S ∆∆= （A ）45 （B ）23 （C ）47 （D ）12 （10）.0＜b ＜1+a,若关于x 的不等式2()x b -＞2()ax 的解集中的整数恰有3个，则（A ）-1＜a ＜0 （B ）0＜a ＜1 （C ）1＜a ＜3 （D ）3＜a ＜6二．填空题：（6小题，每题4分，共24分）（11）某学院的A ，B ，C 三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。