三角函数高考题及练习题（含答案）
1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象；掌握函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及性质．
2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现，因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等)．
3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易．这几年的高考加强了对三角函数定义、图象和性质的考查．在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等．
1. 函数y ＝2sin 2⎝
⎛⎭⎫x －π
4－1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)
函数．
答案：π 奇
解析：y ＝－cos ⎝
⎛⎭⎫2x －π
2＝－sin2x.
2. 函数f(x)＝lgx －sinx 的零点个数为________． 答案：3
解析：在(0，＋∞)内作出函数y ＝lgx 、y ＝sinx 的图象，即可得到答案．
3. 函数y ＝2sin(3x ＋φ)，⎝
⎛⎭⎫|φ|<π
2的一条对称轴为x ＝π12，则φ＝________．
答案：π4
解析：由已知可得3×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π＋π4，k ∈Z .因为|φ|<π
2
，所
以φ＝π4
.
4. 若f(x)＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣
⎡⎦⎤0，π
3上的最大值是2，则ω＝________．
答案：34
解析：由0≤x ≤π3，得0≤ωx ≤ωπ3<π3，则f(x)在⎣
⎡⎦⎤0，π
3上单调递增，且在这个区间
上的最大值是2，所以2sin ωπ3＝2，且0<ωπ3<π3，所以ωπ3＝π4，解得ω＝3
4
.
题型二 三角函数定义及应用问题
例1 设函数f(θ)＝3sin θ＋cos θ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P(x ，y)，且0≤θ≤π.
(1) 若点P 的坐标是⎝⎛⎭
⎫12，3
2，求f(θ)的值；
(2) 若点P(x ，y)为平面区域⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋y ≥1，
x ≤1，
y ≤1
上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求
函数f(θ)的最小值和最大值．
解：(1) 根据三角函数定义得sin θ＝
32，cos θ＝1
2
，∴ f (θ)＝2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ＝π
3
，从而求出 f(θ)＝2)．
(2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤π2，又f(θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝
⎛⎭⎫θ＋π
6，
∴ 当θ＝0，f (θ)min ＝1；当θ＝π
3
，f (θ)max ＝2.
(注： 注意条件，使用三角函数的定义， 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y ＝Asin (ωx ＋φ)的形式)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别
与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为210、25
5
.求：
(1) tan (α＋β)的值； (2) α＋2β的值．
解：由题意得cos α＝210，cos β＝25
5，α、β∈⎝
⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2α
＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55
， 因此tan α＝7，tan β＝1
2
.
(1) tan (α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝7＋121－7×
12
＝－3.
(2) tan (α＋2β)＝tan [(α＋β)＋β]＝－3＋
12
1－（－3）×
1
2
＝－1.
又α＋2β∈⎝
⎛⎭⎫0，3π
2，所以α＋2β＝3π4.
题型二 三角函数的图象与解析式问题
例2 函数f(x)＝Asin (ωx ＋φ)(A 、ω、φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示． (1) 求f(0)的值；
(2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间⎣
⎡⎦⎤0，π
3上的取值范围．
解：(1)由题图可知A ＝2，
∵ T 4＝7π12－π3＝π
4，∴ ω＝2.又2×7π12＋φ＝2k π＋3π2
，
∴ φ＝2k π＋π
3
(k ∈Z )，
∴ f(0)＝2sin ⎝
⎛⎭⎫2k π＋π3＝6
2.
(2) φ＝π3，f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
3.因为0≤x ≤π3，所以π3≤2x ＋π3≤π，所以
0≤sin ⎝
⎛⎭⎫2x ＋π
3≤1，即f(x)的取值范围为[0，2]．
(注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题)
已知函数f(x)＝Asin ωx ＋Bcos ωx(A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝1
3
时，f(x)max ＝2.
(1) 求f(x)的解析式；
(2) 在闭区间⎣⎡⎦⎤
214，234上是否存在f(x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．
解：(1) 因为f(x)＝A 2＋B 2sin (ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2π
ω
＝2，ω＝π.
