福建省漳州市2014-2015学年高一上学期期末质量检测数学试题 扫描版含答案

2014-2015学年福建省漳州市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分，每小题只有一个正确的选项，请将正确选项填入相应的表格内）1．（2分）下列四个实数中，是无理数的为（）A．0B．﹣3C．D．2．（2分）无理数的整数部分是（）A．1B．2C．3D．43．（2分）下列计算正确的是（）A．（x3）3=x6B．a6•a4=a24C．（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2D．3a+2a=5a24．（2分）观察下列各组数：①9，16，25；②8，15，17；③7，24，25；④12，15，20．其中能作为直角三角形边长的组数为（）A．①②B．②③C．③④D．①④5．（2分）下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角相等6．（2分）计算（18x4﹣48x3+6x）÷6x的结果为（）A．3x3﹣13x2B．3x3﹣8x2C．3x3﹣8x2+6x D．3x3﹣8x2+1 7．（2分）若等腰三角形的周长为20，有一边长为4，则它的腰长为（）A．4B．8C．10D．4或88．（2分）要直观反映我市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（）A．折线统计图B．条形统计图C．频数分布统计图D．扇形统计图9．（2分）如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高5m，两树相距12m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）A．5m B．10m C．13m D．17m10．（2分）如图（1）所示在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把拿下的部分剪拼成一个矩形如图（2）所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2 11．（2分）如图，AE于BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（）A．AE、BF是△ABC的内角平分线B．点O到△ABC三边的距离相等C．CG也是△ABC的一条内角平分线D．AO=BO=CO12．（2分）如图，已知S△ABC=12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC 的值是（）A．10B．8C．6D．4二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）9的平方根是．14．（3分）计算（2m+n）（2m﹣n）=．15．（3分）计算：﹣8x3y2÷2xy=．16．（3分）若+（b﹣3）2=0，则a+b=．17．（3分）测量某班40名学生的身高，得身高在1.60m以下的频率是0.4，则该班身高在1.60m以下的学生有人．18．（3分）如图，∠A=∠D=90°，要使△ABC≌△DCB，只需再添加一个条件即可．19．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC 于E，若CE=1，∠AEC=45°，则BE的长是．20．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是．三、解答题（共7题，满分52分）21．（6分）计算：++（﹣1）2015+|4﹣π|．（结果保留π）22．（8分）（1）9x2﹣4y2；（2）2x2+4x+2．23．（6分）如图，已知B，F，E，D在同一条直线上，AB=CD，AB∥CD，BF=DE，求证：AE=CF．24．（6分）近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题倍受关注，某中学八年级学生就此问题对市民进行了随机问卷调查，问卷内容有以下四种：A．有一定影响，要控制好音量；B．影响很大，建议取缔；C．没影响；D．其它根据调查结果，制作了如图两幅不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）本次调查的人数是人．（2）将两幅统计图补充完整．25．（8分）先化简，再求值：[（x﹣y）2]﹣x（x+y）+4xy÷y，其中x=﹣1，y=2．26．（8分）如图，在海上观察所A处，我边防海警发现正北60海里的B处，有一可疑船只正在往正东方向80海里的C处行驶，速度为40海里/小时，我边防海警立即派海警船从A处出发，沿AC方向行驶前往C处拦截，当可疑船只行驶到C处时，海警船也同时到达并将其截住，求海警船的速度．27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30cm，AC=40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．（1）AB=cm，AB边上的高为cm；（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．2014-2015学年福建省漳州市八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题2分，满分24分，每小题只有一个正确的选项，请将正确选项填入相应的表格内）1．（2分）下列四个实数中，是无理数的为（）A．0B．﹣3C．D．【解答】解：A、0是整数，是有理数，故A选项错误；B、﹣3是整数，是有理数，故B选项错误；C、=2是无理数，故C选项正确；D、是无限循环小数，是有理数，故D选项错误．故选：C．2．（2分）无理数的整数部分是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵，∴2＜＜3，∴的整数部分为2，故选：B．3．（2分）下列计算正确的是（）A．（x3）3=x6B．a6•a4=a24C．（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2D．3a+2a=5a2【解答】解：A、（x3）3=x3×3=x9，故本选项错误；B、a6•a4=a6+4=a10，故本选项错误；C、（﹣mn）4÷（﹣mn）2=m2n2，故本选项正确；D、3a+2a=5a，故本选项错误．故选：C．4．（2分）观察下列各组数：①9，16，25；②8，15，17；③7，24，25；④12，15，20．其中能作为直角三角形边长的组数为（）A．①②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①、错误，∵92+162=337≠252=625，∴不能作为直角三角形边长；②、正确，∵82+152=172=289，∴能作为直角三角形边长；③、正确，∵72+242=252=625，∴能作为直角三角形边长；④、错误，∵122+152=369≠202=400，∴不能作为直角三角形边长．故选：B．5．（2分）下列命题中正确的是（）A．全等三角形的高相等B．全等三角形的中线相等C．全等三角形的角平分线相等D．全等三角形对应角相等【解答】解：A、全等三角形的对应边上的高相等，故错误；B、全等三角形的对应边上的中线相等，故错误；C、全等三角形的对应角的角平分线相等，故错误；D、全等三角形的对应角相等，正确．故选：D．6．（2分）计算（18x4﹣48x3+6x）÷6x的结果为（）A．3x3﹣13x2B．3x3﹣8x2C．3x3﹣8x2+6x D．3x3﹣8x2+1【解答】解：（18x4﹣48x3+6x）÷6x=3x3﹣8x2+1．故选：D．7．（2分）若等腰三角形的周长为20，有一边长为4，则它的腰长为（）A．4B．8C．10D．4或8【解答】解：分情况考虑：当4是腰时，则底边长是20﹣8=12，此时4，4，12不能组成三角形，应舍去；当4是底边时，腰长是（20﹣4）×=8，4，8，8能够组成三角形．此时腰长是8．故选：B．8．（2分）要直观反映我市某一周每天的最高气温的变化趋势，宜采用（）A．折线统计图B．条形统计图C．频数分布统计图D．扇形统计图【解答】解：根据题意，要求直观反映我市一周内每天的最高气温的变化情况，结合统计图各自的特点，应选择折线统计图．故选：A．9．（2分）如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高5m，两树相距12m，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少飞行（）A．5m B．10m C．13m D．17m【解答】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=5m，过C点作CE⊥AB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，∴EB=5m，EC=12m，AE=AB﹣EB=10﹣5=5（m），在Rt△AEC中，AC===13（m）．故小鸟至少飞行13m．故选：C．10．（2分）如图（1）所示在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把拿下的部分剪拼成一个矩形如图（2）所示，通过计算两个图形阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2【解答】解：由题可得：a2﹣b2=（a﹣b）（a+b）．故选：A．11．（2分）如图，AE于BF交于点O，点O在CG上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（）A ．AE 、BF 是△ABC 的内角平分线B ．点O 到△ABC 三边的距离相等C ．CG 也是△ABC 的一条内角平分线D ．AO=BO=CO【解答】解：∵由尺规作图的痕迹可得AE 、BF 是△ABC 的内角平分线， ∴点O 到△ABC 三边的距离相等，CG 也是△ABC 的一条内角平分线， 故D 选项不正确， 故选：D ．12．（2分）如图，已知S △ABC =12，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BD 于点D ，则S △ADC的值是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4【解答】解：如图，延长BD 交AC 于点E ， ∵AD 平分∠BAE ，AD ⊥BD ， ∴∠BAD=∠EAD ，∠ADB=∠ADE ， 在△ABD 和△AED 中，，∴△ABD ≌△AED （ASA ）， ∴BD=DE ，∴S △ABD =S △ADE ，S △BDC =S △CDE ， ∴S △ABD +S △BDC =S △ADE +S △CDE =S △ADC ，∴S△ADC ═S△ABC=×12=6，故选：C．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）13．（3分）9的平方根是±3．【解答】解：∵±3的平方是9，∴9的平方根是±3．故答案为：±3．14．（3分）计算（2m+n）（2m﹣n）=4m2﹣n2．【解答】解：原式=4m2﹣n2．故答案为：4m2﹣n2．15．（3分）计算：﹣8x3y2÷2xy=﹣4x2y．【解答】解：﹣8x3y2÷2xy=﹣4x2y．故答案为：﹣4x2y．16．（3分）若+（b﹣3）2=0，则a+b=2．【解答】解：∵+（b﹣3）2=0，≥0，（b﹣3）2≥0，∴a+1=0，b﹣3=0，解得：a=﹣1，b=3，∴a+b=2，故答案为：2．17．（3分）测量某班40名学生的身高，得身高在1.60m以下的频率是0.4，则该班身高在1.60m以下的学生有16人．【解答】解：∵测量某班40名学生的身高，得身高在1.60m以下的频率是0.4，∴该班身高在1.60m以下的学生有：40×0.4=16（人）．故答案为：16．18．（3分）如图，∠A=∠D=90°，要使△ABC≌△DCB，只需再添加一个条件∠ABC=∠DCB，本题答案不唯一即可．【解答】解：添加的条件是∠ABC=∠DCB，理由是：在△ABC和△DCB中∴△ABC≌△DCB（AAS），故答案为：∠ABC=∠DCB．本题答案不唯一．19．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，若CE=1，∠AEC=45°，则BE的长是．【解答】解：∵∠C=90°，∠AEC=45°，∴∠EAC=45°，∴AE=CE=，∵DE垂直平分AB，∴BE=AE=，故答案为：．20．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是9.6．【解答】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点B作BD⊥AC，垂足为D．∵AC=AC，AE⊥BC，∴BE=EC=6，在Rt△AEB中，==8，由三角形的面积公式可知：，即：，故答案为：9.6．三、解答题（共7题，满分52分）21．（6分）计算：++（﹣1）2015+|4﹣π|．（结果保留π）【解答】解：原式=2+3﹣1+4﹣π=8﹣π．22．（8分）（1）9x2﹣4y2；（2）2x2+4x+2．【解答】解：（1）原式=（3x+2y）（3x﹣2y）；（2）原式=2（x2+2x+1）=2（x+1）2．23．（6分）如图，已知B，F，E，D在同一条直线上，AB=CD，AB∥CD，BF=DE，求证：AE=CF．【解答】证明：∵BF=DE，∴BE+EF=DE+EF．即BE=DF，∵AB∥CD，∴∠B=∠D，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF．24．（6分）近年来，各地“广场舞”噪音干扰的问题倍受关注，某中学八年级学生就此问题对市民进行了随机问卷调查，问卷内容有以下四种：A．有一定影响，要控制好音量；B．影响很大，建议取缔；C．没影响；D．其它根据调查结果，制作了如图两幅不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）本次调查的人数是200人．（2）将两幅统计图补充完整．【解答】解：（1）本次调查的总人数是：80÷40%=200（人），故答案是：200；（2）项目C的人数是：200×20%=40（人），B项目的人数是：200﹣80﹣40﹣50=30（人）．D项目所占的百分比是：×100%=25%，B项目所占的百分比是：×100%=15%．25．（8分）先化简，再求值：[（x﹣y）2]﹣x（x+y）+4xy÷y，其中x=﹣1，y=2．【解答】解：[（x﹣y）2]﹣x（x+y）+4xy÷y=x2﹣2xy+y2﹣x2﹣xy+4x，=﹣3xy+y2+4x，当x=﹣1，y=2时，原式=6+4﹣4=6．26．（8分）如图，在海上观察所A处，我边防海警发现正北60海里的B处，有一可疑船只正在往正东方向80海里的C处行驶，速度为40海里/小时，我边防海警立即派海警船从A处出发，沿AC方向行驶前往C处拦截，当可疑船只行驶到C处时，海警船也同时到达并将其截住，求海警船的速度．【解答】解：∵AB=60海里，BC=80海里，∴AC==100（海里），∵可疑船只的行驶速度为40海里/小时，∴可疑船只的行驶时间为80÷40=2（小时），∴我边防海警船的速度为100÷2=50（海里/小时），答：我边防海警船的速度为50海里/小时，才能恰好在C处将可疑船只截住．27．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30cm，AC=40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．（1）AB=50cm，AB边上的高为24cm；（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=30cm，AC=40cm，∴AB===50（cm）；作AB边上的高CE，如图1所示：∵Rt△ABC的面积=AB•CE=AC•BC，∴CE===24（cm）；故答案为：50，24；（2）分三种情况：①当BD=BC=30cm时，2t=30，∴t=15（s）；②当CD=CB=30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示：则BE=DE=BD=t，由（1）得：CE=24，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE===18（cm），∴t=18s；③当DB=DC时，∠BCD=∠B，∵∠A=90°﹣∠B，∠ACD=90°﹣∠BCD，∴∠ACD=∠A，∴DA=DC，∴AD=DB=AB=25（cm），∴2t=25，∴t=12.5（s）；综上所述：t的值为15s或18s或12.5s．。

密云县2014―2015 学年度第一学期期末考试高一数学试卷2015.1 第一部分（选择题共40分）一、选择题 . 共 8 小题，每题 5 分，共 40分．在每题列出的四个选项中，选出吻合题目要求的一项． 1 ．已知集合，，则A．B．C．D．2．A．B．C．D． 3.已知△ 三个极点的坐标分别为，，，若，那么的值是 A. B.3 C. D.4 4．在下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的函数为 A． B． C． D． 5 ．函数的一个对称中心 A． B． C． D． 6.函数（且）的图象经过点，函数（且）的图象经过点，则以下关系式中正确的选项是A． B． C． D． 7.如图，点在边长为的正方形的边上运动，设是的中点，则当沿着路径运动时，点经过的行程与△ 的面积的函数关系为，则的图象是8.已知函数，在下列结论中：①是的一个周期 ;②的图象关于直线对称 ;③在上单调递减.正确结论的个数为第二部分（非选择题共 110分）二、填空题共6小题，每题5分，共30分．9. 假如向量，，且，共线，那么实数 . 10.已知集合，则. 11．sin15osin75o的值是____________. 12.已知函数且，则的值为.13.已知是正三角形，若与向量的夹角大于，则实数的取值范围是__________. 14. 给出定义：若(此中为整数)，则叫做离实数近来的整数，记作，即 .在此基础上给出以下关于函数的四个判断：①的定义域是，值域是；② 点是的图象的对称中心，此中；③函数的最小正周期为；④函数在上是增函数．则上述判断中正确的序号是.(填上全部正确的序号)三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）已知函数.（I）求函数的定义域；（II）求的值；（III）求函数的零点.16.（本小题满分14分）已知.其中是第三象限角.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值；(III)求的值.17.（本小题满分13分）已知向量，，其中 .（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）当时，求的最大值.18.（本小题满分14分）函数f(x)＝Asin( ω x ＋φ) (A>0，ω >0，| φ|< π 2)的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数的分析式；（Ⅱ）将y＝f(x)的图象向右平移π6 个单位后得到新函数的图象，求函数的分析式；（Ⅲ）求函数的单调增区间.19.（本小题满分13分）设二次函数满足条件：①，②；③在上的最小值为.（ I）求的值；（ II）求的分析式；（III）求最大值，使得存在，只要，都有成立.20.（本小题满的，均有判断下边两个由.①；②.（），求证（Ⅱ）的条件给出证明，若密云县2014―2015数学试卷参考择题共8小题12345678答题，每题5分13分）若函数对任意，则称函数拥有性质.（Ⅰ ）函数能否拥有性质，并说明理（Ⅱ）若函数拥有性质，且：对任意有；（Ⅲ）在下，能否对任意均有 .若成立不成立给出反例.学年度第一学期期末考试高一答案及评分参照2015 ． 01一、选，每题5分，共40分．题号案 DADCBCAC二、填空题共6小分，共30分．9． -210 ．11．12．13． 14．①③④三、解答题共 6 小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题满分13分）解：（ I）由题：, ----------------2分函数的定义域 . ----------------4分（ II）----------------8分（ III）令，函数的零点为----------------13分16.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）且是第三象限角， ----------------2分----------------4分（Ⅱ）由（Ⅰ），----------------6分----------------9分(III) ----------------12分----------------14分 17.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）当时，，---------------2分----------------5分（Ⅱ）由题: . ----------------10分， .当即时，----------------11分的最大值为 .-------------------13分18.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由所给图象知A＝1，---------------1分34T＝ 11π 12－π6 ＝3π4 ， T＝π，所以ω＝ 2π T＝2分由sin2 ×π6＋φ ＝ 1 ，| φ|< π 2得π3＋φ＝π2 ，解得φ＝π6，-------4分所以f(x)＝sin2x ＋π6.----------------5分（Ⅱ ）f(x)＝sin2x ＋π6的图象向右平移π 6个单位后得到的图象对应的函数解析式为＝ sin2x－π6＋π6----------------7分＝sin2x－π6.--------------9分（Ⅲ）由题: .----------------12分----------------13分 .------------14分19.（本小题满分13分）解：(I) ∵在上恒成立，∴即 . ---------------------------2分（II）∵，∴函数象关于直称，∴∵，∴4分又∵ 在上的最小---------------------------，∴，即，由解得，∴；-------------7分（ III）∵ 当，恒成立，∴且，由得，解得---------------9分由得：，解得，⋯⋯⋯⋯⋯（10分）∵，∴，---------------11分当，于任意，恒有，∴的最大. -------------------12分另解：（酌情分）且在上恒成立∵在上减，∴，∵在上减，∴∴，∴，，∵，∴，∴，∴的最大20.（本小分13分）（Ⅰ）明：①函数拥有性.，⋯⋯⋯⋯⋯1 分即，此函数具有性. ⋯⋯⋯⋯⋯2分② 函数不具有性.⋯⋯⋯⋯⋯3 分例如，当，，，所以，，⋯⋯⋯⋯⋯4分此函数不拥有性.（Ⅱ）假中第一个大于的，，因函数具有性，所以，于任意，均有，所以，所以，与矛盾，所以，任意的有 .⋯⋯⋯⋯⋯9 分（Ⅲ）不成立.例如⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分明：当有理数，均有理数，，当无理数，均无理数，因此，函数任意的，均有，即函数具有性.⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分而当（）且当无理数，.因此，在（Ⅱ）的条件下，“任意均有” 不成立 . ⋯⋯⋯⋯⋯ 13分（其余反例仿此分，如等 .）。

2014-2015学年福建省莆田市哲理中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题5分，共60分.）1．﹣300°化为弧度是（ ）A ．B ． ﹣C ． ﹣D ． ﹣2．圆x 2+y 2﹣2x ﹣4y ﹣4=0的圆心坐标是（ ）A ． （﹣2，4）B ． （2，﹣4）C ． （﹣1，2）D ． （1，2）3．已知两平行直线l 1：x ﹣y=0与l 2：x ﹣y+b=0的距离为，则实数b=（ ）A ．B ． 2C ．D ． ±24．直线+=1与x ，y 轴所围成的三角形的面积等于（ ）A ． 6B ． 12C ． 24D ． 605．一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个正方体的体积是8，则这个球的表面积是（ ）A ． 4πB ． 8πC ． 12πD ． 24π6．圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2被x 轴截得的弦长等于（ ）A ． 1B ．C ． 2D ． 37．圆x 2+y 2=1和圆x 2+y 2﹣6y+5=0的位置关系是（ ）A ． 外切B ． 内切C ． 外离D ． 内含8．图是截去了一个角的正方体，则它的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．10．设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（）A．若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α B．若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥βC．若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥b D．若a⊥b，且a∥α，则b⊥α11．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤212．由直线y=x+1上的点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2C．D． 3二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上.）13．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为．14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是．15．曲线y=1+（﹣2≤x≤2）与直线y﹣4=k（x﹣2）有两个交点时，实数k的取值范围是．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是．（写出所有真命题的编号）三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2014秋•莆田校级期末）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，0），C（﹣1，4），求：（1）BC边的垂直平分线EF的方程；（2）AB边的中线的方程．18．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°．E为BB1的中点，D点在AB上且DE=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣CDE的体积．19．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a （1）求直线BC1与AC所成的角；（2）求直线D1B与平面ABCD所成角的正切值；（3）求证：平面BDD1⊥平面ACA1．20．（12分）（2014秋•莆田校级期末）已知圆：x2+y2+x﹣6y+c=0，直线l过（1，1）且斜率为．若圆与直线交于P，Q两点，且OP⊥OQ．求（1）直线l方程；（2）求c的值．21．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；（3）证明平面EFG⊥平面PAD，并求点D到平面EFG的距离．22．（14分）（2015春•中山期末）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．2014-2015学年福建省莆田市哲理中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内，每小题5分，共60分.）1．﹣300°化为弧度是（）A．B．﹣C．﹣D．﹣考点：弧度与角度的互化．专题：三角函数的求值．分析：根据角度户弧度之间的关系进行转化即可．解答：解：∵180°=πrad，∴1°=rad，∴﹣300°×=rad，故选B．点评：本题考查弧度与角度的互化，角度化为弧度用度数乘以，弧度化为角度用度数乘以，正确做对本题关键是熟练记忆转化的规则．2．圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0的圆心坐标是（）A．（﹣2，4）B．（2，﹣4）C．（﹣1，2）D．（1，2）考点：圆的一般方程．专题：直线与圆．分析：圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标．解答：解：圆x2+y2﹣2x﹣4y﹣4=0可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=9，∴圆心坐标是（1，2），故选D．点评：本题考查圆的方程，将圆的方程化为标准方程是关键．3．已知两平行直线l1：x﹣y=0与l2：x﹣y+b=0的距离为，则实数b=（）A．B．2 C．D．±2考点：两条平行直线间的距离．专题：计算题．分析：利用点到直线的距离求解平行线之间的距离，即可得到结果．解答：解：在直线x﹣y=0上取（0，0），由点到直线的距离公式有，所以b=±2．故选D．点评：本题考查两条直线的距离的求法，点到直线的距离公式的应用，基本知识的考查．4．直线+=1与x，y轴所围成的三角形的面积等于（）A．6 B．12 C．24 D．60考点：直线的截距式方程．专题：直线与圆．分析：令x=0，解得y=4；令y=0，解得x=3．即可得出三角形的面积．解答：解：令x=0，解得y=4；令y=0，解得x=3．∴直线4x+3y=12与x，y轴所围成的三角形的面积S=×3×4=6．故选：A．点评：本题考查了直线与坐标轴的交点坐标、三角形的面积计算公式，属于基础题．5．一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个正方体的体积是8，则这个球的表面积是（）A．4π B．8π C．12π D．24π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：正方体的体积求出正方体的棱长，可得球的半径，利用球的表面积即可得出结论．解答：解：∵正方体的体积是8，∴正方体的棱长为2，∴正方体的体对角线为2，设球的半径为R ，则R=，∴4πR 2=12π．故选：C ．点评： 本题考查球内接多面体，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查计算能力．6．圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2被x 轴截得的弦长等于（ ）A ． 1B ．C ． 2D ． 3考点： 直线与圆的位置关系．专题： 直线与圆．分析： 在圆的方程中，令y=0，求出x ，即可得到弦长． 解答： 解：令y=0，可得（x ﹣1）2=1，解得x ﹣1=±1，∴x=2，或x=0．∴圆（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=2被x 轴截得的弦长等于2﹣0=2，故选C ．点评： 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，属于基础题．7．圆x 2+y 2=1和圆x 2+y 2﹣6y+5=0的位置关系是（ ）A ． 外切B ． 内切C ． 外离D ． 内含考点： 圆与圆的位置关系及其判定．专题： 计算题．分析： 根据题意先求出两圆的圆心和半径，根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切． 解答： 解：圆x 2+y 2﹣6y+5=0 的标准方程为：x 2+（y ﹣3）2=4，所以其表示以（0，3）为圆心，以2为半径的圆，所以两圆的圆心距为3，正好等于两圆的半径之和，所以两圆相外切，故选A ．点评： 本题考查两圆的位置关系，由两圆的圆心距等于两圆的半径之和，得出两圆相外切．8．图是截去了一个角的正方体，则它的俯视图为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 简单空间图形的三视图．分析： 根据几何体的形状确定出俯视图即可．解答：解：根据几何体的形状得俯视图为，故选：D．点评：此题考查了简单空间图形的三视图，弄清几何体三视图的画法是解本题的关键．9．已知一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则此四棱锥的体积为（）A．B．C．D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：计算题．分析：由题意通过其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，求出四棱锥的底面面积，然后求出四棱锥的体积．解答：解：一个四棱锥的高为3，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形，则四棱锥的底面面积为：2，所以四棱锥的体积为：=2；故选D．点评：本题是基础题，在斜二测画法中，平面图形的面积与斜二侧水平放置的图形的面积之比为2，是需要牢记的结论，也是解题的根据．10．设有两条直线a，b和两个平面α、β，则下列命题中错误的是（）A．若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α B．若a∥b，且a⊥α，b⊥β，则α∥βC．若α∥β，且a⊥α，b⊥β，则a∥b D．若a⊥b，且a∥α，则b⊥α考点：命题的真假判断与应用．专题：证明题．分析：A：若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α；B：由线面垂直的性质可判断；C：由线面垂直的性质定理可判断；D：b⊥α也有可能b⊆α解答：证明：A：若a∥α，且a∥b，则b⊂α或b∥α，正确B：若a∥b，且a⊥α，则b⊥α，又b⊥β，则由线面垂直的性质可知α∥β，正确C：若α∥β，且a⊥α，则a⊥β，又b⊥β，由线面垂直的性质定理可知a∥b，正确D：若a⊥b，且a∥α，则b⊥α也有可能b⊆α，错误故选D点评：本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面之间关系的判定方法及性质定理是解答此类问题的关键．11．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≥2或D．k≤2考点：直线的斜率．分析：首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．解答：解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．故选C．点评：本题考查直线斜率公式及斜率变化情况．12．由直线y=x+1上的点向圆x2﹣6x+y2+8=0引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2C．D． 3考点：圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：由已知得切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1=0的距离d==2，由勾股定理切线长最小值为：=．解答：解：圆x2﹣6x+y2+8=0⇒（x﹣3）2+y2=1的圆心C（3，0），半径r=1，∵半径一定，∴切线最短则圆心和点的距离最小，则此时就是C到x﹣y+1=0的距离d==2，由勾股定理切线长最小值为：=．故选：C．点评：本题考查圆的切线长的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上.）13．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积为2π．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，从而可求圆柱的侧面积．解答：解：边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故答案为：2π点评：本题是基础题，考查旋转体的侧面积的求法，考查计算能力．14．已知扇形的周长等于它所在圆的周长的一半，则这个扇形的圆心角是（π﹣2）rad．考点：弧长公式．专题：计算题．分析：由题意，本题中的等量关系是扇形的周长等于弧所在的圆的半周长，可令圆心角为θ，半径为r，弧长为l，建立方程，求得弧长与半径的关系，再求扇形的圆心角．解答：解：令圆心角为θ，半径为r，弧长为l由题意得2r+l=πr∴l=（π﹣2）r∴θ==π﹣2故答案为：（π﹣2）rad．点评：本题考查弧长公式，解题的关键是熟练掌握弧长公式，且能利用公式建立方程进行运算，本题考查对公式的准确记忆能力15．曲线y=1+（﹣2≤x≤2）与直线y﹣4=k（x﹣2）有两个交点时，实数k的取值范围是（，]．考点：直线与圆的位置关系．专题：计算题；直线与圆．分析：将曲线方程化简，可得曲线表示以C（0，1）为圆心、半径r=2的圆的上半圆．再将直线方程化为点斜式，可得直线经过定点A（2，4）且斜率为k．作出示意图，设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由此利用直线的斜率公式与点到直线的距离公式加以计算，可得实数k的取值范围．解答：解：化简曲线y=1+（﹣2≤x≤2），得x2+（y﹣1）2=4（y≥1）∴曲线表示以C（0，1）为圆心，半径r=2的圆的上半圆．∵直线kx﹣y﹣2k+4=0可化为y﹣4=k（x﹣2），∴直线经过定点A（2，4）且斜率为k．又∵半圆y=1+（﹣2≤x≤2）与直线y﹣4=k（x﹣2）有两个交点，∴设直线与半圆的切线为AD，半圆的左端点为B（﹣2，1），当直线的斜率k大于AD的斜率且小于或等于AB的斜率时，直线与半圆有两个相异的交点．由点到直线的距离公式，当直线与半圆相切时满足=2，解之得k=，即k AD=．又∵直线AB的斜率k AB=，∴直线的斜率k的范围为k∈（，]．故答案为：（，]．点评：本题给出直线与半圆有两个不同的交点，求直线的斜率k的取值范围．着重考查了直线的方程、圆的方程、点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．16．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则下列四个命题：①P在直线BC1上运动时，三棱锥A﹣D1PC的体积不变；②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；③P在直线BC1上运动时，二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线，其中真命题的编号是①③④．（写出所有真命题的编号）考点：异面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题．专题：压轴题；规律型；转化思想．分析：①易知BC1∥平面AD1C，所以BC1上任意一点到平面AD1C的距离相等，底不变，所以体积不变．②通过举例说明，如直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等．③P在直线BC1上运动时，可知AP的轨迹是平面PAD1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响．④空间中到点D和C1距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面，又点M在面A1B1C1D1内，则点M的轨迹是面A1B1C1D1与线段DC1的中垂面的交线，即AD1，所以必过D1点．解答：解：①∵BC1∥平面ACD1，∴BC1∥上任意一点到平面AD1C的距离相等，所以体积不变，正确．②P在直线BC1上运动时，直线AB与平面ACD1所成角和直线AC1与平面ACD1所成角不相等，所以不正确．③当P在直线BC1上运动时，AP的轨迹是平面PAD1，即二面角P﹣AD1﹣C的大小不受影响，所以正确．④∵空间中到点D和C1距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面，又点M在面A1B1C1D1内，则点M的轨迹是面A1B1C1D1与线段DC1的中垂面的交线，即AD1，所以正确．故答案为：①③④点评：本题主要考查三棱锥体积的转化，线面角，二面角以及点的轨迹问题，考查全面，灵活，是一道好题．三、解答题（本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）（2014秋•莆田校级期末）已知△ABC的三个顶点A（4，﹣6），B（﹣4，0），C（﹣1，4），求：（1）BC边的垂直平分线EF的方程；（2）AB边的中线的方程．考点：待定系数法求直线方程．专题：直线与圆．分析：（1）由条件求得直线BC的斜率和线段BC的中点的坐标，可得BC边的垂直平分线EF的斜率，再利用点斜式求出BC边的垂直平分线EF的方程．（2）求出AB的中点为M（0，﹣3），再根据C（﹣1，4），利用两点式求得AB边的中线CM的方程．解答：解：（1）由题意可得直线BC的斜率为=，线段BC的中点为（﹣，2），故BC边的垂直平分线EF的斜率为﹣故BC边的垂直平分线EF的方程为y﹣2=﹣•（x+），即3x+4y﹣=0．（2）由于AB的中点为M（0，﹣3），C（﹣1，4），故AB边的中线CM的方程为=，即7x+y+3=0．点评：本题主要考查直线的斜率公式，用点斜式、两点式求直线的方程，属于基础题．18．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°．E为BB1的中点，D点在AB上且DE=．（Ⅰ）求证：CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）求三棱锥A1﹣CDE的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）根据DE=，可得D为AB的中点，然后利用线面垂直的判定定理，证明CD⊥AB，即可证明CD⊥平面A1ABB1；（Ⅱ）根据锥体的条件公式确定三棱锥的底面积和高即可以求出锥体的体积．解答：解：（Ⅰ）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1=2，∠ACB=90°，∴△ACB为等腰直角三角形，∴AB=2，∵E为BB1的中点，∴BE=1，又DE=，∴BD=，即D为AB的中点，∴CD⊥AB．又AA1⊥CD，AA1∩AB=A，∴CD⊥平面A1ABB1．（Ⅱ）∵CD⊥平面A1ABB1，∴CD是三棱锥C﹣A1DE的高，且CD=．，∴=4=．又=．∴三棱锥A1﹣CDE的体积为．点评：本题主要考查线面垂直的判断，以及三棱锥的体积的计算，利用等积法将三棱锥转化为规则的三棱锥是解决本题关键．19．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为a （1）求直线BC1与AC所成的角；（2）求直线D1B与平面ABCD所成角的正切值；（3）求证：平面BDD1⊥平面ACA1．考点：平面与平面垂直的判定；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接AD1，D1C，证明∠D1AC为直线BC1与AC所成的角，即可求得结论；（2）利用DD1⊥平面ABCD，可得∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角，利用正切函数可得结论；（3）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面BD1D，再利用面面垂直的判定定理证明平面ACA1⊥平面BD1D．解答：（1）解：连接AD1，D1C，则∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，∴四边形ABC1D1是平行四边形∴AD1∥BC1，∴∠D1AC为直线BC1与AC所成的角，∵△AD1C是等边三角形，∴直线BC1与AC所成的角为60°；（2）解：∵DD1⊥平面ABCD，∴∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角，在Rt△D1DB中，tan∠D1DB==∴直线D1B与平面ABCD所成角的正切值为；（3）证明：∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD∴DD1⊥AC∵BD⊥AC，BD∩DD1=D∴AC⊥平面BD1D∵AC⊂平面ACA1，∴平面ACA1⊥平面BD1D﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）点评：本题考查空间角，考查面面垂直，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确作出空间角．20．（12分）（2014秋•莆田校级期末）已知圆：x2+y2+x﹣6y+c=0，直线l过（1，1）且斜率为．若圆与直线交于P，Q两点，且OP⊥OQ．求（1）直线l方程；（2）求c的值．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）利用直线l过（1，1）且斜率为，可得直线的方程；（20先将直线与圆的方程联立，得到5y2﹣20y+12+m=0，再由韦达定理分别求得y1•y2=．因为OP⊥OQ，转化为x1•x2+y1•y2=0求解．解答：解：（1）∵直线l过（1，1）且斜率为，所以直线的方程为y﹣1=﹣（x﹣1），即x+2y﹣3=0；（2）设P、Q的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由OP⊥OQ可得：•=0，所以x1•x2+y1•y2=0．由x+2y﹣3=0得x=3﹣2y代入x2+y2+x﹣6y+c=0化简得：5y2﹣20y+12+c=0，所以y1+y2=4，y1•y2=．所以x1•x2+y1•y2=（3﹣2y1）•（3﹣2y2）+y1•y2=9﹣6（y1+y2）+5y1•y2=9﹣6×4+5×=c﹣3=0解得：c=3．点评：本题主要考查直线与圆的位置关系其其方程的应用，应用了韦达定理，体现了数形结合的思想，是常考题型，属中档题．21．（12分）（2014秋•莆田校级期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点．（1）求证：平面PAB∥平面EFG；（2）在线段PB上确定一点Q，使PC⊥平面ADQ，并给出证明；（3）证明平面EFG⊥平面PAD，并求点D到平面EFG的距离．考点：直线与平面垂直的判定；平面与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由已知可得EG∥PB，从而可证EG∥平面PAB，则只要再证明EF∥平面PAB，即证EF∥AB，结合已知容易证，根据平面与平面平行的判定定理可得．（2）若使得PC⊥平面ADQ，即证明PC⊥平面ADE，当Q为PB的中点时，PC⊥AE，AD⊥PC 即可．（3）欲证平面EFG⊥平面PAD，根据面面垂直的判定定理可知在平面EFG内一直线与平面PAD垂直，CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，满足线面垂直的判定定理，则CD⊥平面PAD，再根据EF∥CD，则EF⊥平面PAD，满足定理条件，取AD中点H，连接FH，GH，在平面PAD内，作DO⊥FH，垂足为O，则DO⊥平面EFGH，DO即为D到平面EFG的距离，在三角形PAD中，求出DO即可．解答：解：（1）证明：E，G分别是PC，BC的中点得EG∥PB，∵EG⊄平面PAB，PB∥平面PAB∴EG∥平面PAB又E，F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，又AB∥CD∴EF∥AB∵EF⊈平面PAB，AB⊆平面PAB∴EF∥平面PAB，又∵EG，EF⊂平面EFG，EG∩EF=E，∴平面PAB∥平面EFG．（2）Q为PB的中点，连QE，DE，又E是PC的中点，∴QE∥BC，又BC∥AD，∴QE∥AD∴平面ADQ，即平面ADEQ，∵PD⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD∴PD⊥DC，又PD=AB=2，ABCD是正方形，∴等腰直角三角形PDC由E为PC的中点知DE⊥PC．∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD∴PD⊥AD，又AD⊥DC，PD∩CD=D，∴AD⊥面PDC．∵PC⊂面PDC∴AD⊥PC，且AD∩DE=D．∴PC⊥平面ADEQ，即PC⊥平面ADQ由于EQ∥BC∥AD，∴ADEQ为平面四边形，由PD⊥平面ABCD，得AD⊥PD，又AD⊥CD，PD∩CD=D，∴AD⊥平面PDC，∵PC⊂平面PDC，∴AD⊥PC，又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，∴DE⊥PC，AD∩DE=D，∴PC⊥平面ADQ．（2）∵CD⊥AD，CD⊥PD，AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD，又EF∥CD，∴EF⊥平面PAD，∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PAD．取AD中点H，连接FH，GH，则HG∥CD∥EF，平面EFGH即为平面EFG，在平面PAD内，作DO⊥FH，垂足为O，则DO⊥平面EFGH，DO即为D到平面EFG的距离，在三角形PAD中，H，F为AD，PD中点，∴DO=FDsin45°=．即D到平面EFG的距离为．点评：本题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、点到平面的距离等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，属于中档题．22．（14分）（2015春•中山期末）已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．求：（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）设直线ax﹣y+5=0与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（Ⅲ）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．考点：直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）利用点到直线的距离求出半径，从而求圆的方程；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离小于半径可求出实数a的取值范围；（Ⅲ）假设存在利用直线与圆的位置关系性质解决．解答：解：（Ⅰ）设圆心为M（m，0）（m∈Z）．由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切，且半径为5，所以，，即|4m﹣29|=25．因为m为整数，故m=1．故所求的圆的方程是（x﹣1）2+y2=25．（Ⅱ）直线ax﹣y+5=0即y=ax+5．代入圆的方程，消去y整理，得（a2+1）x2+2（5a﹣1）x+1=0．由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点，故△=4（5a﹣1）2﹣4（a2+1）＞0，即12a2﹣5a＞0，解得a＜0，或．所以实数a的取值范围是．（Ⅲ）设符合条件的实数a存在，由（2）得a≠0，则直线l的斜率为，l的方程为，即x+ay+2﹣4a=0．由于l垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在l上．所以1+0+2﹣4a=0，解得．由于，故存在实数a=，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．点评：本题主要考查了圆的标准方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系等知识的综合应用，以及存在性问题的解决技巧，属于难题．。

2014-2015学年福建省漳州市长泰一中高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在等差数列{a n}中，a1=3，a3=9则a5的值为（）A．15B．6C．81D．92．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形5．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a﹣b等于（）A．﹣10B．﹣14C．10D．146．（5分）在等比数列{a n}中，S2=，，则a5+a6的值是（）A．12B．24C．48D．7．（5分）已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为（）A．8B．6C．D．8．（5分）若，则f′（2）=（）A．4B．C．﹣4D．9．（5分）已知变量，满足，目标函数是z=2x+y，则有（）A．z max=5，z min=3B．z max=5，z无最小值C．z min=3，z无最大值D．z既无最大值，也无最小值10．（5分）若不等式x2+ax+a＞0恒成立，则a的取值范围是（）A．﹣1＜0或a＞4B．0＜a＜4C．a≥4或a≤0D．0≤a≤411．（5分）过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A．12B．14C．22D．2812．（5分）过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（）A．2x+y+2=0B．3x﹣y+3=0C．x+y+1=0D．x﹣y+1=0二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．）13．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．14．（4分）抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是．15．（4分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是．16．（4分）下列四个命题中①“k=1”是“函数y=cos2kx﹣sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）=a﹣7相互平行”的充要条件；③函数y=的最小值为．其中假命题的为（将你认为是假命题的序号都填上）．三、解答题：（本大题共6个小题，共74分，解答写出文字说明或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}为等差数列，且a1=﹣4，a3=4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．18．（12分）在△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2﹣a2=bc（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sin2A+sin2B=sin2C，试判断△ABC的形状并求角B的大小．19．（12分）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m ﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处有极小值﹣1，（1）求函数f（x）的解析式，（2）求出函数f（x）的单调区间．21．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），过点离心率，（1）求椭圆方程；（2）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点，试求直线l的方程．22．（14分）已知函数f（x）=lnx+x，g（x）=ax2（a≠0）（1）若a=1，求函数H（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）若函数H（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域上不单调，求实数a的取值范围；（3）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数a 的值并求点P的坐标．2014-2015学年福建省漳州市长泰一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．（5分）在等差数列{a n}中，a1=3，a3=9则a5的值为（）A．15B．6C．81D．9【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1=3，a3=9∴d==3，∴a5=a3+2d=9+6=15，故选：A．2．（5分）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A．必要但不充分条件B．充分但不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但当＜1时，不能推出a＞1 （如a=﹣1时），故a＞1是＜1 的充分不必要条件，故选：B．3．（5分）椭圆x2+4y2=1的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+=1，得到a=1，b=，则c==，所以椭圆的离心率e==．故选：A．4．（5分）在△ABC中，B=60°，b2=ac，则△ABC一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【解答】解：由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac，又b2=ac，∴a2+c2﹣ac=ac，∴（a﹣c）2=0，∴a=c，∴A=B=C=60°，∴△ABC的形状是等边三角形．故选：D．5．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣＜x＜}，则a﹣b等于（）A．﹣10B．﹣14C．10D．14【解答】解：由题意可得：不等式ax2+bx+2＞0的解集，所以方程ax2+bx+2=0的解为，所以a﹣2b+8=0且a+3b+18=0，所以a=﹣12，b=﹣2，所以a﹣b值是﹣10．故选：A．6．（5分）在等比数列{a n}中，S2=，，则a5+a6的值是（）A．12B．24C．48D．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，S2=，，∴，∴q2=4，∴a5+a6=a1q4+a1q5=q4（a1+a1q）=16×=24．故选：B．7．（5分）已知x+2y=1，则2x+4y的最小值为（）A．8B．6C．D．【解答】解：∵x+2y=1，则2x+4y=21﹣2y+22y≥2，当且仅当21﹣2y=22y时，等号成立，故选：C．8．（5分）若，则f′（2）=（）A．4B．C．﹣4D．【解答】解：∵=x﹣1，∴f′（x）=﹣x﹣2=﹣则f′（2）=故选：D．9．（5分）已知变量，满足，目标函数是z=2x+y，则有（）A．z max=5，z min=3B．z max=5，z无最小值C．z min=3，z无最大值D．z既无最大值，也无最小值【解答】解：先根据约束条件画出可行域当直线z=2x+y过点B（2，1）时，z最大是5，当直线z=2x+y过点C（1，1）时，z最小是3，故选：A．10．（5分）若不等式x2+ax+a＞0恒成立，则a的取值范围是（）A．﹣1＜0或a＞4B．0＜a＜4C．a≥4或a≤0D．0≤a≤4【解答】解：∵等式x2+ax+a＞0对一切x∈R恒成立∴△=a2﹣4a＜0解得0＜a＜4．故选：B．11．（5分）过双曲线左焦点F1的弦AB长为6，则△ABF2（F2为右焦点）的周长是（）A．12B．14C．22D．28【解答】解：由双曲线的标准方程可得a=4，由双曲线的定义可得AF2﹣AF1=2a，BF2 ﹣BF1=2a，∴AF2+BF2 ﹣AB=4a=16，即AF2+BF2 ﹣6=16，AF2+BF2 =22．△ABF2（F2为右焦点）的周长是（AF1 +AF2）+（BF1+BF2 ）=（AF2+BF2）+AB=22+6=28．故选：D．12．（5分）过点（﹣1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为（）A．2x+y+2=0B．3x﹣y+3=0C．x+y+1=0D．x﹣y+1=0【解答】解：y'=2x+1，设切点坐标为（x0，y0），则切线的斜率为2x0+1，且y0=x02+x0+1于是切线方程为y﹣x02﹣x0﹣1=（2x0+1）（x﹣x0），因为点（﹣1，0）在切线上，可解得x0=0或﹣2，当x0=0时，y0=1；x0=﹣2时，y0=3，这时可以得到两条直线方程，验正D正确．故选：D．二、填空题：（本大题共4个小题，每小题4分，共16分．）13．（4分）已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC上的中线AD的长为．【解答】解：∵△ABC的三个内角A、B、C成等差数列∴A+C=2B∵A+B+C=π∴∵AD为边BC上的中线∴BD=2，由余弦定理定理可得故答案为：14．（4分）抛物线y2=﹣8x的焦点坐标是（﹣2，0）．【解答】解：∵抛物线方程y2=﹣8x，∴焦点在x轴，p=4，∴焦点坐标为（﹣2，0）故答案为（﹣2，0）．15．（4分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）．【解答】解：∵f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1∴f'（x）=3x2+6ax+3（a+2）∵函数f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有极大值又有极小值∴△=（6a）2﹣4×3×3（a+2）＞0∴a＞2或a＜﹣1故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）16．（4分）下列四个命题中①“k=1”是“函数y=cos2kx﹣sin2kx的最小正周期为π”的充要条件；②“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）=a﹣7相互平行”的充要条件；③函数y=的最小值为．其中假命题的为①③（将你认为是假命题的序号都填上）．【解答】解：对于①，若k=1，则原式可化为y=cos2x，所以，成立，反之先将原式化成y=cos2kx，若周期为π，则，故k=1，成立，所以命题①为真命题；对于②，若两直线平行，则a（a﹣1）﹣6=0，解得a=3或a=﹣2．易知a=﹣2时两直线重合，故a=3符合题意，反之，当k=3时，易知两直线平行，故②为真命题；对于③，对于函数y=，令t=，则函数化为y=t，（t），因为y＞0，所以该函数在[）上递增，所以，故③为假命题．故答案为①③．三、解答题：（本大题共6个小题，共74分，解答写出文字说明或演算步骤．）17．（10分）已知数列{a n}为等差数列，且a1=﹣4，a3=4．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1=﹣4，a3=4．解得d=4．所以a n=﹣4+（n﹣1）×4=4n﹣8．（2）由a1=﹣4，a n=4n﹣8得前n项和．18．（12分）在△ABC中，已知a、b、c分别是三内角A、B、C所对应的边长，且b2+c2﹣a2=bc（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若sin2A+sin2B=sin2C，试判断△ABC的形状并求角B的大小．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，∴cosA=，又∵b2+c2﹣a2=bc，∴cosA=，∵A为三角形内角，∴A=；（Ⅱ）已知等式sin2A+sin2B=sin2C，由正弦定理得a2+b2=c2，∴△ABC是以角C为直角的直角三角形，又A=，∴B=．19．（12分）已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m ﹣2）x+1=0无实根．若“p或q”为真，“p且q”为假．求实数m的取值范围．【解答】解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m＞2；若q为真，则其等价于△＜0，即可得1＜m＜3，若p假q真，则，解可得1＜m≤2；若p真q假，则，解可得m≥3；综上所述：m∈（1，2]∪[3，+∞）．20．（12分）已知函数f（x）=x3﹣3ax2+2bx在x=1处有极小值﹣1，（1）求函数f（x）的解析式，（2）求出函数f（x）的单调区间．【解答】解：（1）由已知，可得f（1）=1﹣3a+2b=﹣1，①又f′（x）=3x2﹣6ax+2b，即有f′（1）=3﹣6a+2b=0，②由①，②，解得a=，b=﹣．故函数的解析式为f（x）=x3﹣x2﹣x．（2）由此得f′（x）=3x2﹣2x﹣1，根据二次函数的性质，当x＜﹣或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣＜x＜1时，f′（x）＜0．因此函数的单调增区间为（﹣∞，﹣）和（1，+∞），函数的单调减区间为（﹣，1）．21．（14分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），过点离心率，（1）求椭圆方程；（2）若过点（1，0）的直线l与椭圆C交于A、B两点，且以AB为直径的圆过原点，试求直线l的方程．【解答】解：（1）由题意得，，解得，所以椭圆方程为：．（2）设直线方程为x﹣1=my，代入椭圆方程消掉x得，（m2+4）y2+2my﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1x2=（my1+1）（my2+1）=m2y1y2+m（y1+y2）+1=，由以AB为直径的圆过原点知，，即x1x2+y1y2=0，所以+=0，解得m=，所以直线方程为：x﹣1=y，化简得，y=2x﹣2 或y=﹣2x+2．22．（14分）已知函数f（x）=lnx+x，g（x）=ax2（a≠0）（1）若a=1，求函数H（x）=f（x）﹣g（x）的单调区间；（2）若函数H（x）=f（x）﹣g（x）在其定义域上不单调，求实数a的取值范围；（3）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象在公共点P处有相同的切线，求实数a 的值并求点P的坐标．【解答】解：（1）当a=1时，H（x）=f（x）﹣g（x）=lnx+x﹣x2，定义域为（0，+∞），H′（x）=+1﹣2x=﹣，当0＜x＜1时，H′（x）＞0，当x＞1时，H′（x）＜0，所以函数H（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）；（2）H（x）=lnx+x﹣ax2，H′（x）==，因为H（x）在定义域内不单调，则函数h（x）=1+x﹣2ax2在（0，+∞）内有零点，且在零点两侧函数值异号，又h（0）=1＞0，则有或，解得a＞0．故实数a的取值范围为（0，+∞）．（3）设P（x 0，y0），则lnx0+x0=①，f′（x0）=g′（x0），即，化简得x0+1=②联立①②消a得，lnx0+﹣=0，令φ（x）=lnx+x﹣，易知φ（x）=lnx+x﹣在（0，+∞）上单调递增，又φ（1）=0，所以lnx+x﹣=0有唯一解1，即x0=1，则y0=f（1）=1，g（1）=a=1，故P（1，1），a=1．。