拐点的充要条件

第六章 微分中值定理及其应用（计划课时： 8时 ）§ 1中值定理 （ 3时 ）一 思路: 在建立了导数的概念并讨论了其计算后，应考虑导数在研究函数方面的一些作用。

基于这一目的，需要建立导数与函数之间的某种联系。

还是从导数的定义出发：00)()(limx x x f x f x x --→=)(0x f '.若能去掉导数定义中的极限符号,即00)()(x x x f x f --=?)(0x f ',则目的就可达到.这样从几何上说就是要考虑曲线的割线与切线之间的平行关系. 一方面要考虑给定割线, 找平行于该割线的切线; 另一方面要考虑给定切线, 找平行于该切线的割线. (1)若给定的割线是水平的、斜的或曲线的方程以参数方程的形式给出，则分别可找出相应的切线平行于该割线，再分析所需要的条件，就可建立起Rolle 定理、Lagrange 定理、Cauchy 定理. 这三个微分中值定理用一句话概括：对于处处连续、处处有切线曲线的每一条割线都可以找到平行于该割线的切线. (2)若给定切线, 找平行于该切线的割线, 则不一定能实现.二 微分中值定理:1. Rolle 中值定理: 叙述为Th1. ( 证 ) 定理条件的充分但不必要性.2. Lagrange 中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.Lagrange 中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 系1 函数)(x f 在区间I 上可导且)( ,0)(x f x f ⇒≡'为I 上的常值函数. (证) 系2 函数)(x f 和)(x g 在区间I 上可导且,)()( ),()(c x g x f x g x f +=⇒'≡'.I ∈x 系 3 设函数)(x f 在点0x 的某右邻域)(0x + 上连续,在)(0x +内可导.若)0()(lim 00+'='+→x f x f x x 存在 , 则右导数)(0x f +'也存在, 且有).0()(00+'='+x f x f (证)但是, )0(0+'x f 不存在时, 却未必有)(0x f +'不存在. 例如对函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0 ,1sin )(2x x xx x f 虽然)00(+'f 不存在,但)(x f 却在点0=x 可导(可用定义求得0)0(='f ).Th3 (导数极限定理) 设函数)(x f 在点0x 的某邻域 )(0x 内连续, 在)(0x内可导. 若极限)(lim 0x f x x '→存在, 则)(0x f '也存在, 且).(lim )(00x f x f x x '='→ ( 证 )由该定理可见, 若函数)(x f 在区间I 上可导,则区间I 上的每一点,要么是导函数)(x f '的连续点,要么是)(x f '的第二类间断点.这就是说,当函数)(x f 在区间I 上点点可导时, 导函数)(x f '在区间I 上不可能有第二类间断点.3. Cauchy 中值定理:Th 4 设函数f 和g 在闭区间],[b a 上连续, 在开区间),(b a 内可导, f '和g '在),(b a 内不同时为零, 又).()(b g a g =/ 则在),(b a 内至少存在一点,ξ 使得)()()()()()(a g b g a f b f g f --=''ξξ. 证 分析引出辅助函数 -=)()(x f x F )()()()(a g b g a f b f --)(x g . 验证)(x F 在],[b a 上满足Rolle 定理的条件, ∍∈∃⇒ ),,( b a ξ-'=')()(ξξf F )()()()(a g b g a f b f --.0)(='ξg必有0)(=/'ξg , 因为否则就有0)(='ξf .这与条件“f '和g '在),(b a 内不同时为零” 矛盾. ⇒Cauchy 中值定理的几何意义.Ex [1]P 163 1—4；三 中值定理的简单应用: ( 讲1时 ) 1. 证明中值点的存在性:例1 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 则),(b a ∈∃ξ, 使得)()(a f b f -)(lnξξf ab'⋅=. 证 在Cauchy 中值定理中取x x g ln )(=.例2 设函数f 在区间],[b a 上连续, 在),(b a 内可导, 且有0)()(==b f a f .试证明: 0)()( ),,(='-∍∈∃ξξξf f b a .2. 证明恒等式: 原理.例3 证明: 对R ∈∀x , 有 2π=+arcctgx arctgx .例 4 设函数f 和g 可导且 ,0)(≠x f 又 .0=''g f gf 则 )()(x cf xg =.(证明0) (='fg. ) 例 5 设对R ∈∀ , h x ,有 2|)()(|Mh x f h x f ≤-+,其中M 是正常数.则函数)(x f 是常值函数. (证明 0='f ).3. 证明不等式: 原理.例6 证明不等式: 0>h 时,h arctgh h h<<+21. 例7 证明不等式: 对n ∀，有nn n 1) 11 ln(11<+<+.4. 证明方程根的存在性:例8 证明方程 0cos sin =+x x x 在),0(π内有实根.例9 证明方程 c b a cx bx ax ++=++23423在) 1 , 0 (内有实根.四 单调函数 （结合几何直观建立）1 可导函数单调的充要条件Th 5设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗(或↘) ⇔在),(b a 内 0)(≥'x f ( 或0≤ ).例10 设13)(3+-=x x x f .试讨论函数)(x f 的单调区间. 解:⑴确定定义域. 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞. ⑵求导数并分解因式.)1)(1(333)(2+-=-='x x x x f⑶确定导数为0的点和不存在的点.令0)(='x f ,得1,1=-=x x⑷将导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域,列表讨论各个区间上的单Th6设函数)(x f 在区间),(b a 内可导. 则在),(b a 内)(x f ↗↗( 或↘↘) ⇔ⅰ> 对),,(b a x ∈∀ 有0)(≥'x f ( 或)0≤; ⅱ> 在),(b a 内任子区间上.0)(≡/'x f3 可导函数严格单调的充分条件 推论 见P124例11 证明不等式 .0,1≠+>x x e xEx [1]P 124—125 1—7.§2 不定式的极限 ( 2时 )一.型: Th 1 (L 'Hospital 法则 ) ( 证 ) 应用技巧. 例1 .cos cos 1lim2xxtg xx +→π例2 )1l n ()21(l i m2210x x e xx ++-→. 例3 xx ex-+→1l i m 0. ( 作代换x t = 或利用等价无穷小代换直接计算. )例4 xx x x s i n 1s i nlim20→. ( L 'Hospital 法则失效的例 )二∞∞型: Th 2 (L 'Hospital 法则 ) ( 证略 )例5 ) 0 ( ,ln lim >+∞→ααxxx .例6 3lim x e xx +∞→.注: 关于x x e x ln ,,α当+∞→x 时的阶.例7 xxx x sin lim +∞→. ( L 'Hospital 法则失效的例 )三. 其他待定型: ∞-∞∞∞⋅∞ , ,0 ,1 ,000.前四个是幂指型的. 例8.ln lim 0x x x +→例9)(sec lim 2tgx x x -→π.例10xx x =→0lim .例11xx x ⎪⎭⎫⎝⎛++→11lim 0.例12()21cos lim x x x →.例13nn n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→211lim .例14设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0 ,0,0 ,)()(x x x x g x f 且 .3)0( ,0)0()0(=''='=g g g 求).0(f '解 200)(lim 0)(lim )0()(lim )0(x x g xx x g x f x f f x x x →→→=-=-=' 23)0(21)0()(lim 212)(lim 0000=''='-'='=→→g x g x g x x g x x .Ex [1]P 132—133 1—5.§3 Taylor 公式 ( 3时 )一. 问题和任务:用多项式逼近函数的可能性; 对已知的函数, 希望找一个多项式逼近到要求的精度.二. Taylor ( 1685—1731 )多项式:分析前述任务，引出用来逼近的多项式应具有的形式定义 (Taylor 多项式 )(x P n 及Maclaurin 多项式)例1 求函数24)(23+-=x x x f 在点20=x 的Taylor 多项式.三. Taylor 公式和误差估计:称 )()()(x P x f x R n n -=为余项. 称给出)(x R n 的定量或定性描述的式 )()()(x R x P x f n n +=为函数)(x f 的Taylor 公式.1. 误差的定量刻画( 整体性质 ) —— Taylor 中值定理: Th 1 设函数f 满足条件:ⅰ> 在闭区间],[b a 上f 有直到n 阶连续导数; ⅱ> 在开区间),(b a 内f 有1+n 阶导数. 则对),,( ),,(b a b a x ∈∃∈∀ξ 使+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(21)1()()!1()(++-++n n a x n f ξ∑=+-=nk kk a x k a f 0)()(!)(1)1()()!1()(++-+n n a x n f ξ. 证 [1]P 138—139.称这种形式的余项)(x R n 为Lagrange 型余项. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Lagrange 型余项的Taylor 公式. Lagrange 型余项还可写为 ,)()!1())(()(1)1(++-+-+=n n n a x n a x a fx R θ ) 1 , 0(∈θ.0=a 时, 称上述Taylor 公式为Maclaurin 公式, 此时余项常写为,)()!1(1)(1)1(+++=n n n x x f n x R θ 10<<θ. 2. 误差的定性描述( 局部性质 ) —— Peano 型余项: Th 2 若函数f 在点a 的某邻域 )(a 内具有1-n 阶导数, 且)()(a fn 存在, 则+-++-''+-'+=n n a x n a f a x a f a x a f a f x f )(!)()(!2)())(()()()(2()n a x )(- , )(a x ∈.证 设)()()(x P x f x R n n -=, na x x G )()(-=. 应用L 'Hospital 法则1-n 次,并注意到)()(a fn 存在, 就有=====--→→)()(lim )()(lim )1()1(00x G x R x G x R n n n a x n a x )(2)1())(()()(lim)()1()1(a x n n a x a f a f x f n n n a x -------→ = 0)()()(lim !1)()1()1(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--→a f a x a f x f n n n n a x . 称()nn a x x R )()(-= 为Taylor 公式的Peano 型余项, 相应的Maclaurin 公式的Peano型余项为)()(nn x x R =. 并称带有这种形式余项的Taylor 公式为具Peano 型余项的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 ).四. 函数的Taylor 公式( 或Maclaurin 公式 )展开:1. 直接展开:例2 求 xe xf =)(的Maclaurin 公式.解 ) 10 ( ,)!1(!!2!1112<<++++++=+θθn xn xx n e n x x x e . 例3 求 x x f sin )(=的Maclaurin 公式.解 )()!12() 1 (!5!3sin 212153x R m x x x x x m m m +--+-+-=-- , 10 ,)21(sin )!12()(122<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+θπθm x m x x R m m . 例4 求函数)1ln()(x x f +=的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 )!1() 1()0( ,)1()!1() 1()(1)(1)(--=+--=--n f x n x f n n nn n . )() 1(32)1l n (132n nn x nx x x x x +-+-+-=+-. 例5 把函数tgx x f =)(展开成含5x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式.2. 间接展开: 利用已知的展开式, 施行代数运算或变量代换, 求新的展开式.例6 把函数2sin )(x x f =展开成含14x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 .解 ) (!7!5!3sin 7753x x x x x x +-+-=, ) (!7!5!3sin 141410622x x x x x x +-+-=.例7 把函数x x f 2cos )(=展开成含6x 项的具Peano 型余项的Maclaurin 公式 . 解 ) (!6!4!21c o s6642x x x x x +-+-=, ), (!62!34212cos 66642x x x x x +-+-= (注意, 0),()(≠=k x kx )∴ ) (!62!321)2c o s1(21c o s 665422x x x x x x +-+-=+=.例8 先把函数xx f +=11)(展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式.利用得到的展开式, 把函数x x g 531)(+=在点20=x 展开成具Peano 型余项的Taylor 公式. 解 ,)1(!)1(1)(++-=n n n x n f !)1()0()(n f n n -=. ); ()1(1)(32nn n x x x x x x f +-++-+-=13)2(511131)2(5131531)(-+=-+=+=x x x x g=⎪⎭⎫⎝⎛--+--+--n n n x x x )2() 135 () 1()2() 135 ()2(135113122 +().)2(n x - 例9 把函数shx 展开成具Peano 型余项的Maclaurin 公式 ，并与x sin 的相应展开式进行比较.解 ), (!!2!112n nxx n x x x e +++++= )(!)1(!2!112n n n xx n x x x e +-+-+-= ; ∴ ) ( )!12(!5!32121253---+-++++=-=m m x x x m x x x x e e shx . 而 ) ()!12()1(!5!3sin 1212153---+--+-+-=m m m x m x x x x x . 五. Taylor 公式应用举例:1. 证明e 是无理数: 例10 证明e 是无理数.证 把xe 展开成具Lagrange 型余项的Maclaurin 公式, 有10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e . 反设e 是有理数, 即p q p e ( =和q 为整数), 就有 =e n !整数 + 1+n e ξ.对qpn e n q n ⋅=>∀!! ,也是整数. 于是,-⋅=+q p n n e !1ξ整数 = 整数―整数 = 整数.但由,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 因而当 3>n 时，1+n e ξ不可能是整数. 矛盾.2. 计算函数的近似值:例11 求e 精确到000001.0的近似值.解 10 ,)!1(!1!31!2111<<+++++++=ξξn e n e . 注意到,30 ,10<<<⇒<<e e ξξ 有 )!1(3) 1 (+≤n R n . 为使000001.0)!1(3<+n , 只要取9≥n . 现取9=n , 即得数e 的精确到000001.0的近似值为 718281.2!91!31!2111≈+++++≈ e . 3. 利用Taylor 公式求极限: 原理:例12 求极限 ) 0 ( ,2lim20>-+-→a x a a x x x . 解 ) (ln 2ln 1222ln x a x a x ea ax x+++==,) (ln 2ln 1222x a x a x ax++-=-;). (ln 2222x a x aa xx+=-+-∴ a xx a x x a a x x x x 22222020ln )(ln lim 2lim =+=-+→-→ . 4． 证明不等式： 原理.例13 证明: 0≠x 时, 有不等式 x e x+>1. Ex[1]P141 1—3.§4 函数的极值与最大（小）值（ 4时 ）一 可微函数极值点判别法:极值问题:极值点,极大值还是极小值, 极值是多少.1. 可微极值点的必要条件: Th1 Fermat 定理(取极值的必要条件).函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.2. 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极（结合几何直观建立极值点的判别法）Th 2 (充分条件Ⅰ) 设函数)(x f 在点0x 连续, 在邻域) , (00x x δ-和) , (00δ+x x 内可导. 则ⅰ> 在) , (00x x δ-内,0)(<'x f 在) , (00δ+x x 内0)(>'x f 时,⇒ 0x 为)(x f 的一个极小值点;ⅱ> 在) , (00x x δ-内,0)(>'x f 在) , (00δ+x x 内0)(<'x f 时,⇒ 0x 为)(x f 的一个极大值点;ⅲ> 若)(x f '在上述两个区间内同号, 则0x 不是极值点.Th 3 (充分条件Ⅱ——“雨水法则”)设点0x 为函数)(x f 的驻点且)(0x f ''存在.则 ⅰ> 当0)(0<''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极大值点;ⅱ> 当0)(0>''x f 时, 0x 为)(x f 的一个极小值点.证法一 .)(lim )()(lim)(000000x x x f x x x f x f x f x x x x -'=-'-'=''→→当0)(0<''x f 时, 在点0x 的某空心邻域内0)(x x x f -')( ,0x f '⇒<与0x x -异号,…… 证法二 用Taylor 公式展开到二阶, 带P eano 型余项. Th 4 (充分条件Ⅲ ) 设0)()()(0)1(00===''='-x f x f x f n ,而0)(0)(≠x fn .则ⅰ> n 为奇数时, 0x 不是极值点; ⅱ> n 为偶数时, 0x 是极值点. 且0)(0)(>x fn 对应极小; 0)(0)(<x f n 对应极大.例1 求函数32)52()(x x x f -=的极值.例2 求函数x x x f 432)(2+=的极值. 例3 求函数34)1()(-=x x x f 的极值.注 Th 2、 Th 3、 Th 4只是极值点判别的充分条件.如函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-.0,0,0,)(21x x e x f x 它在0=x 处取极小值,但因 ,2,1,0)0()(==k f k .所以无法用Th 4对它作出判别.二 函数的最大值与最小值:⑴设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续且仅有有限个可疑点n x x x ,,,21 . 则 )(m a x ],[x f b a x ∈=max } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f ;m i n )(m i n ],[=∈x f b a x } )(,),(),(),(),( {21n x f x f x f b f a f .⑵函数最值的几个特例: ⅰ> 单调函数的最值:ⅱ> 如果函数)(x f 在区间],[b a 上可导且仅有一个驻点, 则当0x 为极大值点时,0x 亦为最大值点; 当0x 为极小值点时, 0x 亦为最小值点.ⅲ> 若函数)(x f 在R 内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.ⅳ> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点. 例4 求函数x x x x f 1292)(23+-=在闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-25,41上的最大值与最小值.⑶最值应用问题:例5 A 、B 两村距输电线(直线)分别为km 1 和km 5.1（如图）， CD 长.3km . 现两村合用一台 变压器供电. 问变压器设在何处,输电线总长BE AE +最小.解 设x 如图，并设输电线总长为(x L.30 ,5.1)3(1)(222≤≤+-++=+=x x x EB AE x L015.1)3(1)3(5.1)3()(222222令===+⋅+-+--+-='x x x x x x x L ,⇒1)3(5.1)3(222+-=+-x x x x , .09625.1 2=-+⇒x x解得 2.1=x 和 6-=x ( 舍去 ). 答： …… 三 利用导数证明不等式:我们曾在前面简介过用中值定理或Taylor 公式证明不等式的一些方法. 其实, 利用 导数证明不等式的方法至少可以提出七种 ( 参阅[3]P 112—142 ). 本段仅介绍利用单调性 或极值证明不等式的简单原理.1. 利用单调性证明不等式:原理: 若f ↗, 则对βα<∀, 有不等式)()(βαf f ≤. 例5证明: 对任意实数a 和b , 成立不等式. 1 ||1||||1b b a a b a b a +++≤+++证 取⇒>+='≥+= ,0)1(1)( ).0( ,1)(2x x f x x x x f 在) , 0 [∞+内)(x f ↗↗. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++.2. 不等式原理: 设函数)(x f 在区间) , [∞+a 上连续,在区间) , (∞+a 内可导, 且0)(>'x f ; 又 .0)(≥a f 则 a x >时, .0)(>x f (不等式原理的其他形式.)例6 证明: 21>x 时, 1)1ln(2->+arctgx x .例7 证明: 0>x 时, !3sin 3x x x ->.3. 利用极值证明不等式: 例8 证明: 0≠x 时, x e x+>1. Ex [1]P 146—147 1—9.§5 函数的凸性与拐点（ 2时 ）一． 凸性的定义及判定：1． 凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别. 定义 见书P146凸性的几何意义: 曲线的弯曲方向;曲线与弦的位置关系;曲线与切线的位置关系. 引理(弦与弦斜率之间的关系)2． 利用一阶导数判断曲线的凸向 Th1 (凸的等价描述) 见书P146例1 (开区间内凸函数的左、右可导性,从而开区间内凸函数是连续的)3． 利用二阶导数判断曲线的凸向:Th2 设函数)(x f 在区间),(b a 内存在二阶导数, 则在),(b a 内 ⑴ )( ,0)(x f x f ⇒<''在),(b a 内严格上凸; ⑵ )( ,0)(x f x f ⇒>''在),(b a 内严格下凸. 证法一 ( 用Taylor 公式 ) 对),,(,21b a x x ∈∀ 设2210x x x +=, 把)(x f 在点 0x 展开成具Lagrange 型余项的Taylor 公式, 有,)(2)())(()()(201101001x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ 202202002)(2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ.其中1ξ和2ξ在1x 与2x 之间. 注意到 )(0201x x x x --=-, 就有[]20222011021))(())((21)(2)()(x x f x x f x f x f x f -''+-''+=+ξξ, 于是若有⇒<'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f <+⇒< , 即)(x f 严格上凸. 若有⇒>'' ,0)(x f 上式中[])(2)()( ,0021x f x f x f >+⇒> , 即)(x f 严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange 中值定理. ) 若,0)(>''x f 则有)(x f '↗↗, 不妨设21x x <,并设2210x x x +=,分别在区间],[01x x 和],[20x x 上应用Lagrange 中值定理, 有 ))(()()( ),,(10110011x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ, ))(()()( ),,(02202202x x f x f x f x x -'=-∍∈∃ξξ.有),()( ,2122011ξξξξf f x x x '<'⇒<<<< 又由 00210>-=-x x x x ，⇒ ))((101x x f -'ξ<))((022x x f -'ξ, ⇒)()()()(0210x f x f x f x f -<-， 即 ⎪⎭⎫⎝⎛+=>+22)(2)()(21021x x f x f x f x f ， )(x f 严格下凸.可类证0)(<''x f 的情况.例2 讨论函数x x f arctan )(=的凸性区间.例3 若函数)(x f 为定义在开区间),(b a 内的可导函数,则),(0b a x ∈为)(x f 的极值点的 充要条件是0x 为)(x f 的稳定点，即.0)(0='x f4． 凸区间的分离: )(x f ''的正、负值区间分别对应函数)(x f 的下凸和上凸区间.二.曲线的拐点: 拐点的定义.Th3 (拐点的必要条件) Th4注:. 例4 讨论曲线x x f arctan )(=的拐点.Jensen 不等式: 设在区间],[b a 上恒有0)(>''x f ( 或) 0<, 则对],[b a 上的任意n 个点 )1(n k x k ≤≤, 有Jensen 不等式:∑=≥n k k x f n 1)(1( 或⎪⎭⎫⎝⎛≤∑=n k k x n f 11) ,且等号当且仅当n x x x === 21时成立.证 令∑==nk k x n x 101, 把)(k x f 表为点0x 处具二阶Lagrange 型余项的Taylor 公式，仿前述定理的证明，注意∑==-nk kx x10,0)( 即得所证.对具体的函数套用Jensen 不等式的结果,可以证明一些较复杂的不等式.这种证明不等式的方法称为Jensen 不等式法或凸函数法.具体应用时,往往还用到所选函数的严格单调性.例2 证明: 对,,R ∈∀y x 有不等式 )(212y xy x e e e+≤+. 例3 证明均值不等式: 对+∈∀R n a a a ,,,21 , 有均值不等式na a a n11121+++ n a a a a a a nn n +++≤≤ 2121 . 证 先证不等式na a a a a a nn n +++≤ 2121.取x x f ln )(=. )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸, 由Jensen 不等式, 有∑∑∑∑∏=====⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤==n k n k k n k k k n k k n nk k x n x n f x f n x n x 111111ln 1)(1ln 1ln .由)(x f ↗↗ ⇒ na a a a a a n n n +++≤ 2121 .对+∈R na a a 1,,1,121 用上述已证结果, 即得均值不等式的左半端. 例4 证明: 对R ∈∀n x x x ,,,21 , 有不等式nx x x n x x x nn 2222121+++≤+++ . ( 平方根平均值 ) 例5设6=++z y x ，证明 12222≥++z y x . 解 取2)(x x f =, 应用Jensen 不等式.例6 在⊿ABC 中, 求证 233sin sin sin ≤++C B A . 解 考虑函数x x x f x x x f sin . 0 , 0 sin .0 ,sin )(⇒<<-=''≤≤=ππ在 区间) , 0 (π内凹, 由Jensen 不等式, 有233sin 33)()()(3sinC sinB sinA ==⎪⎭⎫⎝⎛++≤++=++∴πC B A f C f B f A f . 233sinC sinB sinA ≤++⇒.例7 已知1 ,,,=++∈+c b a c b a R . 求证6737373333≤+++++c b a .解 考虑函数3)(x x f =, )(x f 在) , 0 (∞+内严格上凸. 由Jensen 不等式, 有≤+++++=+++++3)73()73()73(3737373333c f b f a f c b a 28)8()7(37373733===+++=⎪⎭⎫⎝⎛+++++≤f c b a f c b a f . ⇒6737373333≤+++++c b a .例8 已知 .2 , 0 , 033≤+>>βαβα 求证 2≤+βα. ( 留为作业 )(解 函数3)(x x f =在) , 0 (∞+内严格下凸. 由Jensen 不等式, 有=+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2)()(228)(33βαβαβαβαf f f ⇒=≤+ ,122233βα 2 , 8)(3≤+⇒≤+βαβα. )Ex [1]P 153 1—5.§6 函数图象的描绘（ 2时 ）微分作图的步骤: ⑴确定定义域.⑵确定奇偶性、周期性.⑶求一阶导数并分解因式,同时确定一阶导数为0的点和不存在的点. ⑷求二阶导数并分解因式,同时确定二阶导数为0的点和不存在的点.⑸将一阶、二阶导数为0的点和不存在的点作为分点插入函数的定义域，列表讨论各个区间上的单调性、凹凸性及各分点的极值、拐点. ⑹确定渐近线.⑺适当补充一些点,如与坐标轴的交点. ⑻综合以上讨论作图. 例1 描绘函数3231)(+--=x x x x f 的图象. 例2 描绘函数222)(21)(σμσπ--=x ex f (其中0,>σμ为常数)的图象.Ex [1]P 155 (1)—(8).。

第六讲Ⅰ 授课题目：§4.6 曲线的凹向与拐点 Ⅱ 教学目的与要求：1.了解曲线的凹向和拐点的含义，会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点， 掌握已知函数的拐点求函数的待定系数做题型的求法；2.会利用函数的凹凸性证明不等式。

Ⅲ 教学重点与难点：判断函数图形的凹凸性，证明不等式。

Ⅳ 讲授内容：一、曲线凹凸的定义问题: 如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段 图形上任意弧段位于所张弦的下方 位于所张弦的上方定义,,,)(21x x I I x f 上任意两点如果对上连续在区间设．的（或凸弧）上的图形是（向上）凸在那末称如果恒有的（或凹弧）上的图形是（向上）凹在那末称恒有I x f x f x f x x f I x f x f x f x x f )(,2)()()2(;)(,2)()()2(21212121+>++<+;)(],[)(,)(),(,],[)(的或凸内的图形是凹在那末称的或凸内的图形是凹且在内连续在如果b a x f b a b a x f二、曲线凹凸的判定递增)(x f '0>''y 递减)(x f '0<''y定理 内若在内具有一阶和二阶导数在上连续在如果),(,),(,],[)(b a b a b a x f .],[)(,0)()2(;],[)(,0)()1(上的图形是凸的在则上的图形是凹的在则b a x f x f b a x f x f <''>''例1 .3的凹凸性判断曲线x y =解 ,32x y ='Θ,6x y =''时，当0<x ,0<''y 为凸的；在曲线]0,(-∞∴ 时，当0>x ,0>''y 为凹的；在曲线),0[+∞∴ 注意到,.)0,0(点是曲线由凸变凹的分界点 二、 曲线的拐点及其求法1、定义 连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点. 注意：拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2、拐点的求法定理 如果)(x f 在),(00δδ+-x x 内存在二阶导 数,则点())(,00x f x 是拐点的必要条件是0)(0"=x f . ,))(,(00是拐点又x f x Θ,])([)(0两边变号在则x x f x f ''='',)(0取得极值在x x f '∴,条件由可导函数取得极值的 .0)(=''∴x f方法1: ,0)(,)(00=''x f x x f 且的邻域内二阶可导在设函数 ;))(,(,)()1(000即为拐点点变号两近旁x f x x f x '' .))(,(,)()2(000不是拐点点不变号两近旁x f x x f x '' 例2 .14334的拐点及凹、凸的区间求曲线+-=x x y 解 ),(:+∞-∞D Θ,121223x x y -=').32(36-=''x x y,0=''y 令.32,021==x x 得x(),0-∞20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ 23 2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭abxy o )(x f y =BAabABxyo )(x f y =()f x '' + 0 -0 + ()f x凹的拐点)1,0(凸的拐点 )2711,32( 凹的).,32[],32,0[],0,(+∞-∞凹凸区间为 方法2:.)())(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点是曲线那末而且的邻域内三阶可导在设函数x f y x f x x f x f x x f =≠'''=''例3 .)]2,0([cos sin 的拐点内求曲线πx x y += 解 ,sin cos x x y -=',cos sin x x y --=''.sin cos x x y +-=''',0=''y 令.47,4321ππ==x x 得2)43(='''πf ,0≠2)47(-='''πf ,0≠内曲线有拐点为在]2,0[π∴).0,47(),0,43(ππ注意 .)())(,(,)(000的拐点也可能是连续曲线点不存在若x f y x f x x f =''例4 .3的拐点求曲线x y =解 ,0时当≠x ,3132-='x y ,9435--=''x y.,,0均不存在是不可导点y y x '''=,0,)0,(>''-∞y 内但在;]0,(上是凹的曲线在-∞ ,0,),0(<''+∞y 内在.),0[上是凸的曲线在+∞.)0,0(3的拐点是曲线点x y =∴Ⅴ 小结与提问：小结：1.曲线的弯曲方向——凹凸性;2.凹凸性的判定.3.改变弯曲方向的点——拐点;4.拐点的求法1, 2.思考题：设)(x f 在),(b a 内二阶可导，且0)(0=''x f ，其中),(0b a x ∈，则,(0x ))(0x f 是否一定为曲线)(x f 的拐点？举例说明. 思考题解答：因为0)(0=''x f 只是,(0x ))(0x f 为拐点的必要条件， 故,(0x ))(0x f 不一定是拐点. 例 4)(x x f =),(+∞-∞∈x 0)0(=''f 但)0,0(并不是曲线)(x f 的拐点.Ⅵ 课外作业：练 习 题 一、填空题：1、 若函数)(x f y =在（b a ,）可导，则曲线)(x f 在(b a ,)内取凹的充要条件是____________.2、 曲线上____________的点，称作曲线的拐点 .3、 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________.4、 曲线)1ln(x y +=拐点为_______. 二、求曲线x e y arctan =的拐点及凹凸区间 . 三、利用函数图形的凹凸性，证明不等式： 22y x yx ee e +>+ )(y x ≠.四、求曲线⎩⎨⎧==θθ2sin 2cot 2a y a x 的拐点 . 五、试证明曲线112+-=x x y 有三个拐点位于同一直线上 .六、问a 及b 为何值时，点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点？ 七、试决定22)3(-=x k y 中k 的值,使曲线的拐点处的法线通过原点 . 练习题答案一、1.),()(b a x f 在'内递增或0)(),,(>''∈x f b a x ； 2.凹凸部分的分界点；3.]2,(),,2[),2,2(2-∞+∞e； 4.)2ln ,1(),2ln ,1(-.二、拐点),21(21arctan e ,在]21,(-∞内是凹的, 在),21[+∞内是凸的.四、拐点)23,332(a a 及)23,332(a a -.五、).)32(431,32(),)32(431,32(),1,1(+++-----六、2,2=-=b a .七、 82±=k。

§5函数的凸性与拐点教学目的与要求：掌握凸函数凹函数的定义掌握可导函数为凸函数的充要条件掌握拐点的定义掌握判断函数拐点的必要条件和充分条件教学重点，难点：可导函数为凸函数的充要条件拐点的判别方法教学内容：作函数的图形时，仅知道函数单调性是不够的，还应知道其曲线弯曲的情形，即曲线凹凸的概念, 读者已经熟悉函数2)(x x f =和x x f =)(的图象。

它们不同的特点是：曲线2x y =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线x y =则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方，我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数：后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数。

定义1 设f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上的任意两点21,x x 和任意实数)1,0(∈λ总有),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ （1）则称f 为I 上的凸函数. 反之，如果总有),()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+ （2） 则称f 为I 上的凹函数。

如果（1）、（2）中的不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数。

图6-12中的（a ）和(b)分别是凸函数和凹函数的几何形状，其中B AC x f B x f A x x x )1(),(),(,)1(2121λλλλ-+===-+=。

容易证明：若f -为区间I 上的凸函数，则f 为区间I 上的凹函数，因此今后只需讨论凸函数的性质即可。

引理 f 为I 上的凸函数的充要条件是：对于I 上的任意三点321x x x <<，总有 23231212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- （3） (析) 必要性 要证(3)式成立, 需证)()()()()()(123212223x f x x x f x x x f x x -≤-+-)()(312x f x x -+即. ),()()()()()(312123213x f x x x f x x x f x x -+-≤- 记1323x x x x --=λ，则312)1(x x x λλ-+=，由f 的凸性易知上式成立.充分性 在I 上任取两点),(,3131x x x x <在],[31x x 上任取一点)1(12λλ-+=x x ·),1,0(,3∈λx 即1323x x x x --=λ，由必要性的推导逆过程，可证得 )())1((131x f x x f λλλ≤-+)()1(3x f λ-+,故f 为I 上的凸函数。

§3。

4 函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别法 定理1 设)(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增(减)的充要条件是)()('00≤≥x f .证 若f为增函数,则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有()()000≥--x x x f x f 。

令0x x →,即得00≥)('x f 。

反之,若)(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ,则对任意I x x ∈21,（设21x x <）,应用拉格朗日定理，存在，使得()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。

由此证得f 在I 上为增函数。

定理2 若函数f 在),(b a 内可导，则f 在),(b a 内严格递增（递减)的充要条件是：（1）),(b a x ∈∀有)()('00≤≥x f ；（2） 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f .推论 设函数在区间I 上可微，若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格）递增（递减）.注1 若函数f 在),(b a 内(严格)递增(递减)，且在点a 右连续，则f在),[b a 上亦为（严格)递增（递减）， 对右端点b 可类似讨论。

注2 如果函数)(x f 在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续,那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就能保证)('x f 在各个部分区间保持固定符号,因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。

注意：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或不存在外，在其余点上都有0>)('x f (或0<)('x f ），那么由于连续性,)(x f 在区间],[b a 上仍然是单调增加(或单调减少）的。

拐点的充要条件
拐点的充要条件是：
1 .二阶导数在这个点的左右两侧变号。

2 .二阶导数等于O是必要条件，若三阶导数不为O （前提存在），则必是拐点。

3 .三阶导数也为0,结论不定。

比如f（x）=xM, 0点的2 3阶导数都是0,但0不是拐点。

从集合的角度来说，必要条件的集合包含要证明的集合，充分条件的集合，是证明集合的子集。

总之，必要条件的集合包含的范围大些，充分的小些。

拐点的定义：
拐点，又称反曲点，在数学上指改变曲线向上或向下方向的点，直观地说拐点是使切线穿越曲线的点（即曲线的凹凸分界点）。

若该曲线图形的函数在拐点有二阶导数，则二阶导数在拐点处异号（由正变负或由负变正）或不存在。

在生活中借指事物的发展趋势开始改变的地方（例如：经济运行出现回升拐点）。

考研数学冲刺矩阵相似对角化要点及技巧考研数学冲刺矩阵相似对角化重点和方法★一般方阵的相似对角化理论这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。

事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。

1、判断方阵是否可相似对角化的条件：(1)充要条件：An可相似对角化的充要条件是：An有n个线性无关的特征向量;(2)充要条件的另一种形式：An可相似对角化的充要条件是：An的k重特征值满足n-r(λE-A)=k(3)充分条件：如果An的n个特征值两两不同，那么An一定可以相似对角化;(4)充分条件：如果An是实对称矩阵，那么An一定可以相似对角化。

【注】分析方阵是否可以相似对角化，关键是看线性无关的特征向量的个数，而求特征向量之前，必须先求出特征值。

2、求方阵的特征值：(1)具体矩阵的特征值：这里的难点在于特征行列式的计算：方法是先利用行列式的性质在行列式中制造出两个0，然后利用行列式的展开定理计算;(2)抽象矩阵的特征值：抽象矩阵的特征值，往往要根据题中条件构造特征值的定义式来求，灵活性较大。

★实对称矩阵的相似对角化理论其实质还是矩阵的相似对角化问题，与一般方阵不同的是求得的可逆阵为正交阵。

这里要求大家除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。

这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A。

最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。

驻点、极值点、拐点、鞍点的区别与联系 最近有些考研的⼩伙伴问到我这个问题，正好也给⾃⼰梳理⼀下思路，毕竟在机器学习⾥⾯这4个概念也是⾮常重要的，不过这⾥由于知识所限，就只整理跟考研部分⽐较相关的知识点了。

既然是4种点，⾸先就需要将其进⾏⼤致的分类，⼤致来说如下。

$$ \begin {cases} ⼀元函数 \quad \begin {cases} ⼀阶导数f'(x) \quad 驻点、极值点、鞍点 \\[3ex] ⼆阶导数f''(x) \quad 拐点 \end {cases} \\[3ex] 多元函数 \quad 极值点、鞍点 \end {cases} $$⼀元函数 在⼀元函数有3种点——驻点、极值点和拐点。

要想完全理解这三个定义的话就需要从函数的性质⼊⼿，对于函数来说，与极值点相关的就是函数的极⼤值、极⼩值、最⼤值和最⼩值。

因此⾸先可以来看极⼤值、极⼩值的定义。

(Def1 极值) 设函数$f(x)$在点$x_0$的某个邻域$U(x_0)$内有定义，如果对于去⼼邻域$\mathring{U}(x_0)$内的任意⼀个$x$，有$$f(x)<f(x_0) \quad (或f(x)>f(x_0))$$那么就称$f(x_0)$是函数$f(x)$的⼀个极⼤值(极⼩值)。

从上述定义就可以看到，极⼤值和极⼩值其实和导数是没有任何关系的，所以如果真的要判断极⼤值和极⼩值的话，最为本质的⽅法应该是⽐较在待观察点邻域内函数值的变化情况，那么，导数在这⾥起到了什么作⽤呢？这是由极值的⼀个必要条件得到的。

(Thm2 极值的必要条件) 设函数$f(x)$在$x_0$处可导，且在$x=x_0$处取得极值，那么有$f'(x_0)=0$。

注意⼀下这个是必要条件，也就是说从可导的极值点才有导数值为0，这句话并不能⽤于通过导数去判断极值，也就是充分条件。

但是⾄少给了我们⼀个思考的⽅向，那就是当思考从导数去判断极值的时候，我们应该要去寻找哪些点。

曲线拐点的自动确定摘要：对于由离散点表示的数字地图与图形数据，本文首先利用两相邻矢量叉积乘积的原理来判定拐点所在的折线边；然后利用曲线光滑原理，在已确定的折线边的两个端点之间，建立一条光滑加密了的S形曲线，把后者看作是原始折线的精确曲线，对它进行曲线段凹向改变点（拐点）的定位计算。

对于离散数据，多次应用矢量叉积乘积的原理，求出最或然拐点，并看作是理论拐点。

为了简化计算量，探讨了如何避免为求拐点而进行光滑加密的辅助计算过程。

对此，研究分析了拐点在折线边上的移动规律与其前后的曲线转角之间的相关关系，借此可直接根据原始离散数据作简单计算，在足够精确的程度上得出拐点的位置。

关键词：拐点；弯曲；曲折系数；矢量叉积曲线的弯曲可看作是线状物体的子物体。

在常规作业中，地图工作者识别各个弯曲不存在任何问题。

而在计算机环境下，为了能使计算机自动识别曲线的各个弯曲，需要对弯曲作出数学形式化定义。

一、拐点的定义曲率最小点（零曲率点）即拐点，它是曲线凹向的变化（凸凹交替）点，是图形数学弯曲的分界点。

拐点的连线就构成弯曲的底线，不同层次的拐点连线反映着线状物体不同级别的趋势走向。

然而，拐点信息在数据获取中难以精确定位，通常也不像对待其他特征点那样给以特别的考虑，且在数据库管理中也未予以显式标示，即在原始数据中往往没有明确包含曲线的拐点信息。

因此，在必要的情况下，只能通过计算来确定。

拐点又叫做扭转点，即在其前后存在的一个邻域内，使得其前后曲线段的凸凹特性相反。

或者说，过拐点的切线把邻域内的曲线分成两部分，后者位于此切线的异侧。

在数字环境下，曲线不是由显式数学函数来表示，而是由离散坐标点来表示。

此时，拐点的确定可分为两个子过程来进行：在原始数据的哪两点之间或曲线图形的哪一条边的区间存在拐点；拐点在该区间的何处。

二、拐点存在区间的判别由于两个不共线矢量的叉积可决定所成转角的凸凹特征，故对于拐点存在区间的判别，可通过对每相邻4 点（A，B，C，D）（其中每相邻三点不共线）进行测试来实现。

高等数学入学考试复习资料判断题1. 数列n y 满足2(0)n y c c ∆=≠，则其通项可用关于n 的二次多项式表达。

( )√2. 数列{}n x 收敛的充分必要条件是数列{}n x 收敛．( )×3. 如果lim n n x a →∞=，则11lim lim lim 1n n n n n n x xx x n ++→∞→∞→∞==．( )× 4. 若()f x 在点0x 连续，则存在0x 的某个邻域()0,U x δ使()f x 在该邻域内连续．( )×5. 存在在其定义域内不连续的初等函数．( )√6. 若函数()f x 在0x 处连续，则()f x 不一定在0x 处可导．( )√7. 若函数()f x 在0x 处可导，则()f x 一定在0x 处连续．( )√8. 若可导函数()f x 当x a >时，有()0f x '>，则当x a >时，一定有()0f x >．( × )9. 连续函数一定有原函数. ( √ )10. 如果()()f x g x ''>，则()()f x g x >．( × )11. 若()f x 在点0x 不可导，则曲线()y f x =在()()00,x f x 处不存在切线．( × )12. 初等函数在其定义区间内必连续．( √ )13. 不连续函数可能存在原函数. ( √ )14. 初等函数的定义域是其自然定义域的子集. ( √ )15. 初等函数的定义域是其自然定义域的真子集. ( × ) 16. sin lim1x x x→∞=. ( × ) 17. 22lim 33x x x →∞-=-+. ( × ) 18. 对于任意实数x , 恒有sin x x ≤成立. ( × )19. 0x y =是指数函数. ( × )20. 函数()log 01a y x a = <<的定义域是()0, +∞. ( × )21. 23log 3log 21⋅=. ( √ )22. 如果对于任意实数x R ∈, 恒有()0f x '=, 那么()y f x =为常函数. ( √ )23. 存在既为等差数列, 又为等比数列的数列. ( √ )24. 指数函数是基本初等函数. ( √ ) 25.00x →=. ( √ ) 26. 函数3234y x x =++为基本初等函数. ( √ ) 27. 111a a x dx x C a +=++⎰. ( × ) 28. ()arcsin x π+是基本初等函数. ( × )29. sin x 与x 是等价无穷小量. ( × )30. 1x e -与x 为等价无穷小量. ( × )31. 若函数()f x 在区间[],a b 上单调递增, 那么对于任意[],x a b ∈ , 恒有()0f x '>. ( × )32. 存在既为奇函数又为偶函数的函数. ( × )33. 当奇函数()f x 在原点处有定义时, 一定成立()00f =. ( √ )34. 若偶函数()[]()1,1y f x x = ∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为奇函数. ( √ )35. 若奇函数()[]()1,1y f x x =∈- 连续, 那么函数()()()1,1y f x x '= ∈- 为偶函数. ( √ )高等数学入学考试复习资料判断题1. 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度v=与∆t 有关. ( × )2. 连续函数在连续点都有切线. ( × )3. 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( × )4. 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( × )5. 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( √ )6. 周期函数的导数仍是周期函数. ( √ )7. 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( √ )8. 若对任意x ∈(a, b),都有f '(x)=0,则在(a, b)内f(x)恒为常数. ( × )9. 设f(x)=lnx. 因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( × )10. ( × )11. 已知y=3x 3+3x 2+x+1, 求x=2时的二阶导数: y '=9x 2+6x+1, y '|x=2=49. 所以y"=(y ')'=(49)'=0.( × )12. 若对ε∀>0，函数f 在[εε-+b a ,]上连续，则f 在开区间(b a ,)内连续； ( √ )13. 初等函数在有定义的点是可导的； ( × )14. ϕψ=f ，若函数ϕ在点0x 可导，ψ在点0x 不可导，则函数f 在点0x 必不可导; ( × )15. 设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间(b a ,)内可导，但)()(b f x f ≠，则对),(b a x ∈∀，有0)('≠x f ； ( × )16. 设{}{}n n y x ,为两个数列，若n n x y > ( 2 1、、=n )则lim lim n n n n x y →∞→∞> ；( × ) 17. 若函数)(x f 以A 为极限，则)(x f 可表为)1()(o A x f += ； ( √ )18. 设)(x f 定义于[b a ,]上，若)(x f 取遍)(a f 与)(b f 之间的任意值，则)(x f 比在[b a ,]上连续； ( × )19. 若)(x f 在[)+∞,a 连续，且)(lim x f x +∞→存在，则)(x f 在[)+∞,a 有界;( × ) 20. 若)(x f y =的导数)('x f 在[b a ,]上连续，则必存在常数L,使2121)()(x x L x f x f -≤- ，[]b a x x , , 21∈∀ ； ( √ )21. 当0→x 时，()()() (m>n 0)m n m n o x o x o x ++=> ； ( × ) 22. 0n 0n n n a a →→∞⇔→→∞（）（）； ( √ )23. 若)(x f 和)(x g 在0x 点都不可导，则)()(x g x f +在0x 点也不可导;( √)24. )(x f 为Ⅰ上凸函数的充要条件为，对Ⅰ上任意三点123x x x <<有：13131212)()()()(x x x f x f x x x f x f --≤-- ( √ ) 25. 若)(x f 在0x 二阶可导，则(()00,x f x )为曲线)(x f y =的拐点的充要条件为0)(0''=x f ； ( √ )26. 若S 为无上界的数集，则存在一个递增数列{}S x n ⊂,使得 , ()n x n →∞→∞.( √ )27. 若0lim =∞→n n a ，则∞=∞→nn a 1lim ； ( √ ) 28. 有限开区间(b a ,)内一致连续的函数)(x f 必在开区间内有界；( √ )29.设函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，若存在数A ，使)()()(00x o x A x f x x f y ∆+∆=-∆+=∆，(0→∆x )，则)(x f 在点0x 可导且)(0'x f A = ； ( √ )30. ψϕ+=f ，若函数f 在点0X 可导，则函数ϕ和ψ都在点0X 可导；( × )31. 设函数f 在闭区间[b a ,]上连续，在开区间(b a ,)内可导，若对),(b a x ∈∀， 0)('≠x f ，则必有)()(b f x f ≠； ( √ )32. 若)(x f 在点0x 处的左、右极限都存在，则)(x f 在点0x 的极限存在。