极值点与拐点的关系

二元函数的极值与拐点在数学中，二元函数是一种以两个自变量作为输入变量的函数。

类似于一元函数的极值和拐点，二元函数也有极值和拐点。

这些极值和拐点在数学中具有重要的意义，尤其是在数学模型中，如经济模型、物理模型、工程模型等方面，它们在实际应用中具有非常重要的应用。

一、什么是极值极值是指二元函数在某一点上取得的最小值或最大值。

一元函数的极值容易理解，它是该函数在某个点上的极大值或极小值。

类比起来，对于二元函数，当在某个点处取得最大值或最小值时，这个点就被称为该函数的极大值点或极小值点。

在数学上，我们可以用偏导数来求解极值。

偏导数是指多元函数在某个方向上的导数。

简单地说，它就是一个函数在特定自变量下保持其他自变量不变的一个导数。

因为二元函数有两个自变量，所以在求解偏导数时，我们需要将其中一个自变量视为常数，对另一个自变量求导。

当我们求得某个二元函数在某个点的偏导数时，如果该点是一个极大值或极小值点，那么对应的偏导数将为0，这是求解极值的一种通用方法。

二、什么是拐点拐点是指二元函数曲线上的一个特殊点，该点处的曲线发生了方向的变化，即函数的斜率发生了变化。

通常，拐点是由极点引起的，当出现极点时，曲线的斜率就会发生急剧变化，因此拐点的主要特征是曲线发生了方向的变化。

和极值一样，我们可以用偏导数来求解拐点。

在求解二元函数的拐点时，我们需要连续求解二阶偏导数，即偏导数的偏导数。

当某个点的二阶偏导数不为0，并且改变符号时，这个点就被称为该函数的拐点。

三、如何求解极值和拐点在实际应用中，如何求解二元函数的极值和拐点十分重要。

下面是一些求解方法，供读者参考。

1、使用求偏导数的方法假设二元函数为f(x,y)，那么求解它的极值和拐点，可以使用以下步骤：（1）求解一阶偏导数$f_x$和$f_y$，并令它们等于0，求解出所有的极值点；（2）求解二阶偏导数$f_{xx}$，$f_{yy}$和$f_{xy}$，并根据它们的符号决定每个极值点的性质（是否是极小值或极大值）以及是否是拐点。

二次函数的极值与拐点二次函数是一种具有特定形式的函数，其一般形式为y = ax^2 + bx+ c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

在这篇文章中，我们将探讨二次函数的极值与拐点，以帮助读者更好地理解这些概念及其在解决问题中的应用。

1. 二次函数的基本形式二次函数是一个以平方项为主导的多项式函数。

它的图像通常呈现出抛物线的形状，其中关键的因素是二次项的系数a的正负。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

在这篇文章中，我们主要关注关于二次函数的极值和拐点。

2. 极值的定义与判定条件在数学中，极值是指在一段特定区间内，函数取得最大或最小值的点。

对于二次函数而言，它可能具有一个最大值或一个最小值，或者没有极值。

如何判断二次函数是否有极值，以及如何找到极值点呢？要判断二次函数是否存在极值，我们可以观察二次项系数a的正负。

当a>0时，函数开口向上，即抛物线开口朝上，此时二次函数存在最小值；当a<0时，函数开口向下，即抛物线开口朝下，此时二次函数存在最大值。

而要找到极值点，我们需要应用导数的概念。

对二次函数进行求导后，我们可以得到一个一次函数，其导数的值代表了切线的斜率。

当一次函数的导数为0时，表示切线水平，即函数在该点达到极值。

因此，我们可以通过求解一次函数的导数为0的方程，找到二次函数的极值点。

3. 拐点的定义与判定条件拐点是指函数曲线在该点处的曲率发生突变的点。

对于二次函数而言，它可能具有一个拐点、两个拐点或没有拐点。

下面我们将详细讨论拐点的判定条件和求解方法。

为了判断二次函数是否存在拐点，我们需要观察其二次项系数a的值。

当a>0时，函数开口向上，不存在拐点；当a<0时，函数开口向下，可能存在一个或两个拐点。

为了确定拐点的位置，我们需要求得函数的二阶导数。

通过对二次函数连续求导两次，我们可以得到一个常数，即二次函数的二阶导数。

当二阶导数存在且不为0时，即表示函数曲线在该点处具有拐点。

拐点问题结论总结概述拐点问题，也称为驻点、拐点、转折点等，是函数图像上的一个特殊点，其处的导数或二阶导数发生变化。

研究函数的拐点可以帮助我们了解函数图像的形状和性质，从而对函数做出更准确的描述和预测。

本文将对拐点问题进行总结和解释。

拐点定义和性质拐点是函数图像上导数或二阶导数发生变化的点。

具体地说，如果一个函数的导数在某个点之前是递增的，而在该点之后是递减的，那么该点就是一个拐点。

同样地，如果一个函数的二阶导数在某个点之前是递增的，而在该点之后是递减的，那么该点也是一个拐点。

拐点的性质如下：1.拐点处的函数可导，但并不一定连续可导。

2.拐点处的导数为零，但不意味着该点是极值点。

3.拐点可以导致函数图像从凹向上凸，或从凸向下凹。

4.拐点可以存在于函数的内部，也可以是函数的极值点。

拐点的判断方法判断一个函数是否存在拐点主要有以下几种方法：1.利用导数的增减性来判断。

如果函数的导数在某个点之前是递增的，而在该点之后是递减的，那么该点就是一个拐点。

2.利用二阶导数的正负性来判断。

如果函数的二阶导数在某个点是正的，而在该点之后是负的，那么该点就是一个拐点。

3.利用函数图像的形状来判断。

如果函数的图像在某个点附近从凹向上凸，或从凸向下凹，那么该点有可能是一个拐点。

拐点问题的应用研究拐点问题可以有助于我们解决以下问题：1.函数的极值点问题。

拐点可以作为函数的极值点的一个候选。

2.函数图像的形状和性质。

了解函数的拐点可以帮助我们确定函数图像的凹凸性和转折点的位置。

3.函数的最优解问题。

拐点是函数曲线在某一方向上由凹转凸或由凸转凹的转折点，有时可以用来确定函数的最优解。

拐点问题的解决方法解决拐点问题的方法主要有以下几种：1.作出函数的导数图像。

通过观察导数的图像，可以判断函数是否存在拐点。

2.求导数的导数。

通过计算函数的二阶导数，可以直接判断函数的拐点。

3.求导数的关键点。

通过求导数为零的点，可以找到可能的拐点，然后使用其他方法来确认。

极值点偏移和拐点偏移及其应用一．知识点睛罗尔定理：若函数)(x f 是连续且可导的，若)()(b f a f =，则一定存在0x 在),b a （内，使得0)('0=x f 成立。

（1）产生原因：函数极值点左右两边图像升降速度不一样，导致极值点发生了偏移。

（2）极值点x 0偏左：极值点附近图像左陡右缓，f （x 1）=f （x 2)，则x 1+x 2 ＞2x 0，x=221x x +处切线与x 轴不平行 若f （x ）上凸（f ′(x) 递减），则f ′(221x x +)＜ f ′(x 0)=0，若f （x ）下凸（f ′(x) 递增），则f ′(221x x +) ＞f ′(x 0)=0 （3）极值点x 0偏右：极值点附近图像左缓右陡 ，f （x 1）=f （x 2)，则x 1+x 2 ＜2x 0，x=221x x +处切线与x 轴不平行 若f （x ）上凸（f ′(x) 递减），则f ′(221x x +)＞f ′(x 0)=0，若f （x ）下凸（f ′(x) 递增），则f ′(221x x +) ＜f ′(x 0)=0 方法介绍：齐次构造、对称构造、比值代换 二、题型总结： 题型一：齐次构造： 通过构造21x x +、21x x -和21x x ，在结合对数平均不等式和指数平均不等式，解决证明极值点偏移问题的方法。

对数均值不等式 2ln ln 21212121xx x x x x x x +<--<指数均值不等式 2212111212x x x x x x e e x x e e e+<--<+题型二：对称化构造：1.构造函数F（x）=f（x）-f（2x0-x）（x＞x0）2.对函数F（x）求导，判断导数符号，确定F（x）的单调性3.结合F（x0）=0，判断F（x）的符号，确定f（x）与f（2x0-x）（x＞x0）的大小关系4.由f（x1）=f（x2)＜f（2x0-x2），得f（x1）＜f（2x0-x2）或者由f（x1）=f（x2)＞f（2x0-x2），得f（x1）＞f（2x0-x2）5.结合f(x)单调性得x1＞2x0-x2或x1＜2x0-x2，从而x1 +x2＞2x0或x1 +x2＜2x0例 已知函数x x x f ln )(=与直线m y =交于),(11y x A 、),(22y x B 两点 （1）求证：22110e x x <<； （2）求证：1e221<+<x x ；证明：（ i ） 1ln )('+=x x f ，得)(x f 在)e 10，（ 上 递减，在 )e1∞+，（上递增； 当10<<x 时， 0)(<x f ；0)1(=f ； 当 1>x 时，0)(>x f ；当时，（洛必达法则）；当 时， ，于是 的图像如下，．小结：用对称化构造的方法解极佳点偏移问题大致分为以下三步：第一步 ：求导，获得 的单调性，极值情况，画出 的图像，由 得 , 的取值范围（数形结合）；第二步 ：构造辅助函数（对结论 ，构造 )2()()(0x x f x f x F --=；对结论，构造 )()()(20xx f x f x F -=，求导，限定范围（ 或 的范围），判定符号，获得不等式；第三步 ：代入 1x （或2x ），利用 )()(21x f x f =及)(x f 的单调性证明最终结论．例 已知函数x x x f ln )(-=，若两相异正实数1x 、2x ，满足)()(21x f x f =， 求证：0)(')('21<+x f x f 思路分析：解：例 已知函数x x x f ln )(2=，若方程m x f =)(有两个不相等的实数根1x 、2x 。

二元函数极值和拐点的判定条件分析二元函数在数学中有广泛的应用，因此两个变量时的极值和拐点的判定是数学中的重要问题。

本文将分析二元函数极值和拐点的概念以及判定条件。

1. 二元函数的极值首先，我们回顾一元函数的极值概念。

对于函数f(x)，如果在x0处，f'(x0)=0且f''(x0)<0，则称f(x)在x0处取得极大值；如果在x0处，f'(x0)=0且f''(x0)>0，则称f(x)在x0处取得极小值。

对于二元函数f(x,y)，如果在(x0,y0)处，f'(x0,y0)=0且f''(x0,y0)<0，则称f(x,y)在(x0,y0)处取得极大值；如果在(x0,y0)处，f'(x0,y0)=0且f''(x0,y0)>0，则称f(x,y)在(x0,y0)处取得极小值。

但是，需要指出的是，在二元函数中，如果极值点的存在性不一定容易判定，即可能没有极值点，或者在某些情况下可能存在多个极值点。

因此，更全面和准确地判断二元函数的极值点需要采用其他的方法。

2. 二元函数的拐点拐点是函数曲线上的一种特殊点，通常是由凸弯曲线变成凹弯曲线时的转折点。

由于函数曲线在拐点处改变了凹凸性，因此拐点是一个非常重要的概念。

一元函数的拐点可以简单地通过二阶导数的正负性来判定，即f''(x)=0时，f(x)存在拐点。

对于二元函数，我们可以考虑类似的方法。

对于二元函数f(x,y)，如果在点P(x0,y0)，二阶偏导数f''xx(x0,y0)和f''yy(x0,y0)具有相同的符号，并且f''xy(x0,y0)不为0，则称点P为f(x,y)的拐点。

其中，f''xx表示对x求两次偏导数，f''yy表示对y求两次偏导数，f''xy则表示对x求偏导数后再对y求偏导数。

一元函数的拐点拐点，顾名思义，就是一个函数曲线上的突变点，也是函数的一种特殊性质。

对于一元函数而言，拐点的概念可以用来描述函数曲线的变化趋势。

本文将围绕一元函数的拐点展开讨论，探究其特点和应用。

一、什么是拐点？拐点是指函数曲线上的一个点，该点处函数的二阶导数发生突变。

二阶导数可以理解为函数的变化率的变化率。

当一个函数的二阶导数的正负性发生改变时，就会出现拐点。

拐点可以存在于函数曲线的局部或整体，它是函数在某一点处变化趋势的一个标志。

二、拐点的特点1. 函数曲线在拐点处的变化趋势突变。

在拐点的左侧和右侧，函数曲线的变化趋势不一致，从凸向上转变为凹向上或者从凹向上转变为凸向上。

2. 拐点处函数的二阶导数发生突变。

在拐点的左侧和右侧，函数的二阶导数的正负性发生改变，由正变负或由负变正。

3. 函数的一阶导数在拐点处取极值。

在拐点处，函数的一阶导数的值达到局部最大值或最小值。

4. 拐点不一定是函数曲线的极值点。

函数曲线的极值点是函数一阶导数为零的点，但拐点不一定满足这个条件。

三、拐点的应用1. 拐点可以用于确定函数曲线的凹凸性。

通过分析拐点的存在和位置，可以确定函数曲线在不同区间的凹凸性。

拐点是曲线凹凸性发生变化的标志。

2. 拐点可以用于确定函数的极值点。

虽然拐点不一定是函数曲线的极值点，但函数曲线的极值点往往伴随着拐点的存在。

通过分析拐点和极值点的关系，可以更准确地确定函数的极值点。

3. 拐点可以用于解决实际问题。

在物理、经济、生物等领域，很多实际问题可以转化为函数的拐点问题。

通过分析拐点的位置和特点，可以得到问题的解答或优化方案。

四、拐点的判断方法1. 求函数的二阶导数。

首先求出函数的一阶导数，然后再对一阶导数求导，得到函数的二阶导数。

通过对二阶导数的正负性进行分析，可以确定函数的拐点。

2. 求函数的一阶导数的极值点。

虽然拐点不一定是函数的极值点，但函数的极值点往往伴随着拐点的存在。

通过求函数的一阶导数的极值点，可以初步判断函数的拐点。

函数与导数极值点与拐点的判定方法函数与导数极值点与拐点的判定方法是高等数学中重要的概念和技巧。

通过了解这些判定方法，我们可以更好地理解函数的行为和性质。

本文将介绍常见的函数极值点和拐点的判定方法。

一、函数极值点的判定方法1. 函数极值点的定义在数学中，函数的极值点是指函数在某一区间内取得的最大值和最小值的点。

如果函数在某点处取得最大值，则称该点为函数的极大值点；如果函数在某点处取得最小值，则称该点为函数的极小值点。

2. 函数极值点的判定条件常用的函数极值点的判定方法有以下几种：- 导数法：首先求函数的导数，然后解方程求导函数的零点，即为函数的可能极值点。

接着，利用导数的增减性来判定这些可能极值点是否为极大值点或极小值点。

- 二阶导数法：求函数的二阶导数，在极值点处，一阶导数为0且二阶导数大于0的点为极小值点，二阶导数小于0的点为极大值点。

- 拐点法：求函数的二阶导数，如果二阶导数为0，则该点可能是函数的拐点。

二、函数拐点的判定方法1. 函数拐点的定义在数学中，函数的拐点是指函数图像曲线从凹向上凸或从凸向下凹的点。

拐点是函数图像中曲率发生变化的点，也是函数二阶导数为0的点。

2. 函数拐点的判定条件常用的函数拐点的判定方法有以下几种：- 二阶导数法：求函数的二阶导数，然后解方程求二阶导函数的零点，即为函数的可能拐点。

接着，利用二阶导数的增减性来判定这些可能拐点是否为真正的拐点。

- 导数法：求函数的导数，然后求导函数的极值点，再求对应的原函数的极值点，即为可能的拐点。

- 三阶导数法：求函数的三阶导数，在拐点处，三阶导数为0的点可能是函数的拐点。

三、具体例子下面以一个具体的例子来演示如何应用函数与导数极值点与拐点的判定方法：例题：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 5，请判断函数的极值点和拐点。

解答：1. 初始化极值点和拐点为空集合。

2. 求函数f(x)的导数：f'(x) = 3x^2 - 6x - 9。

3.8极值点、拐点偏移问题【题型解读】【知识储备】一、极值点偏移的含义函数f (x )满足内任意自变量x 都有f (x )＝f (2m －x )，则函数f (x )关于直线x ＝m 对称．可以理解为函数f (x )在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若f (x )为单峰函数，则x ＝m 必为f (x )的极值点x 0，如图(1)所示，函数f (x )图象的顶点的横坐标就是极值点x 0，若f (x )＝c 的两根的中点则刚好满足x 1＋x 22＝x 0，则极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移．图(1) 图(2) 图(3)若x 1＋x 22≠x 0，则极值点偏移．若单峰函数f (x )的极值点为x 0，且函数f (x )满足定义域内x ＝m 左侧的任意自变量x 都有f (x )>f (2m －x )或f (x )<f (2m －x )，则函数f (x )极值点x 0左右侧变化快慢不同．如图(2)(3)所示．故单峰函数f (x )定义域内任意不同的实数x 1，x 2，满足f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 22与极值点x 0必有确定的大小关系：若x 0<x 1＋x 22，则称为极值点左偏；若x 0>x 1＋x 22，则称为极值点右偏．二、极值点偏移问题的一般题设形式(1)若函数f (x )存在两个零点x 1，x 2且x 1≠x 2，求证：x 1＋x 2＞2x 0（x 0为函数f (x )的极值点）；(2)若函数f (x )定义域中存在x 1，x 2且x 1≠x 2，满足f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2＞2x 0（x 0为函数f (x )的极值点）； (3)若函数f (x )存在两个零点x 1，x 2且x 1≠x 2，令x 0＝x 1＋x 22，求证：f '(x 0)＞0；(4)若函数f (x )定义域中存在x 1，x 2且x 1≠x 2，满足f (x 1)＝f (x 2)，令x 0＝x 1＋x 22，求证：f '(x 0)＞0．三、极值点偏移问题的一般解法1．对称化构造法主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为x 0)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点x 0． (2)构造函数，即对结论x 1＋x 2>2x 0型，构造函数F (x )＝f (x )－f (2x 0－x )或F (x )＝f (x 0＋x )－f (x 0－x )；对结论x 1x 2>x 20型，构造函数F (x )＝f (x )－f ⎝⎛⎭⎫x 20x ，通过研究F (x )的单调性获得不等式．(3)判断单调性，即利用导数讨论F (x )的单调性．(4)比较大小，即判断函数F (x )在某段区间上的正负，并得出f (x )与f (2x 0－x )的大小关系．(5)转化，即利用函数f (x )的单调性，将f (x )与f (2x 0－x )的大小关系转化为x 与2x 0－x 之间的关系，进而得到所证或所求． 若要证明f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22的符号问题，还需进一步讨论x 1＋x 22与x 0的大小，得出x 1＋x 22所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负． 2．比(差)值代换法比(差)值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比(差)作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值或差值(一般用t 表示)表示两个极值点，即t ＝x 1x 2，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于t 的函数问题求解． 3．对数均值不等式法两个正数a 和b 的对数平均定义：(),(, )ln ln ().a ba b L a b a b a a b -⎧≠⎪=-⎨⎪=⎩(, )2a bab L a b +≤≤（此式记为对数平均不等式） 取等条件：当且仅当a b =时，等号成立． 只证：当a b ≠(, )2a bab L a b +<<．不失一般性，可设a b >．证明如下： (1)(, )ab L a b < ① 不等式①1ln ln ln2ln (1)a a b a a b x x x b b a x bab⇔-<⇔<⇔<-=其中 构造函数1()2ln (), (1)f x x x x x =-->，则22211()1(1)f x x x x'=--=--．因为1x >时，()0f x '<，所以函数()f x 在(1, )+∞上单调递减， 故()(1)0f x f <=，从而不等式①成立； (2)再证：(, )2a bL a b +<②不等式②2(1)2()2(1)ln ln ln ln (1)(1)(1)a a b a x ab a b x x a a b b x bb---⇔->⇔>⇔>=>+++其中构造函数2(1)()ln , (1)(1)x g x x x x -=->+，则22214(1)()(1)(1)x g x x x x x -'=-=++． 因为1x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(1, )+∞上单调递增， 故()(1)0g x g <=，从而不等式②成立；综合(1)(2)知，对, a b +∀∈R ，(, )2a bab L a b +≤≤成立，当且仅当a b =时，等号成立． 【题型精讲】【题型一 极值点偏移解法赏析】例1 （2022·山东济南历城二中高三月考）已知函数f (x )＝x e －x (x ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)若x 1≠x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，求证：x 1＋x 2>2．【解析】 (1)f ′(x )＝e －x (1－x )，令f ′(x )>0得x <1；令f ′(x )<0得x >1， ∴函数f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴f (x )有极大值f (1)＝1e，f (x )无极小值．(2)方法一 (对称化构造法)欲证x 1＋x 2>2，即证x 1>2－x 2，由(1)可设0<x 1<1<x 2，故x 1，2－x 2∈(0，1)， 又因为f (x )在(0，1)上单调递增，故只需证f (x 1)>f (2－x 2)，又因为f (x 1)＝f (x 2)， 故也即证f (x 2)>f (2－x 2)，构造函数F (x )＝f (x )－f (2－x )，x ∈(1，＋∞)， 则等价于证明F (x )>0对x ∈(1，＋∞)恒成立．由F ′(x )＝f ′(x )＋f ′(2－x )＝e －x (1－x )＋e x －2(x －1)＝(x －1)(e x －2－e －x )， ∵当x >1时，x －1>0，e x －2－e －x >0，∴F ′(x )>0， 则F (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以F (x )>F (1)>0，即已证明F (x )>0对x ∈(1，＋∞)恒成立，故原不等式x 1＋x 2>2亦成立． 方法二 (比值换元法)设0<x 1<1<x 2，f (x 1)＝f (x 2)即1212e e ,x x x x --=取对数得ln x 1－x 1＝ln x 2－x 2．xyx 1+x 22x 2x 1f x () = x ∙ex1e1O令t ＝x 2x 1>1，则x 2＝tx 1，代入上式得ln x 1－x 1＝ln t ＋ln x 1－tx 1，得x 1＝ln t t －1，x 2＝t ln t t －1．∴x 1＋x 2＝(t ＋1)ln t t －1>2⇔ln t －2(t －1)t ＋1>0，设g (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1 (t >1)，∴g ′(t )＝1t －2(t ＋1)－2(t －1)(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，∴当t >1时，g (t )为增函数，∴g (t )>g (1)＝0，∴ln t －2(t －1)t ＋1>0，故x 1＋x 2>2．方法三 (对数均值不等式法)设0<x 1<1<x 2，f (x 1)＝f (x 2)，即1212e e ,x x x x --=取对数得ln x 1－x 1＝ln x 2－x 2，可得，1＝x 1－x 2ln x 1－ln x 2，利用对数平均不等式得，1＝x 1－x 2ln x 1－ln x 2<x 1＋x 22，即证，x 1＋x 2>2．【题型精练】1．（2022·天津·崇化中学期末）已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x ． (1)讨论f (x )的单调性；(2)设f (x )的两个零点是x 1，x 2，求证：f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<0．【解析】 (1)函数f (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x 的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝－(ax －1)(2x ＋1)x，①当a ≤0时，f ′(x )>0，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ，则f ′(x )>0，若x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，则f ′(x )<0， 则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)法一：对称化构造法由(1)易知a >0，且f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减，不妨设0<x 1<1a <x 2， f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<0⇔x 1＋x 22>1a ⇔x 1＋x 2>2a ，故要证f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<0，只需证x 1＋x 2>2a 即可．构造函数F (x )＝f (x )－f ⎝⎛⎭⎫2a －x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ， F ′(x )＝f ′(x )－⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫2a －x ′＝f ′(x )＋f ′⎝⎛⎭⎫2a －x ＝2ax (ax －2)＋2x (2－ax )＝2(ax －1)2x (2－ax )， ∵x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ，∴F ′(x )＝2(ax －1)2x (2－ax )>0，∴F (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增， ∴F (x )<F ⎝⎛⎭⎫1a ＝f ⎝⎛⎭⎫1a －f ⎝⎛⎭⎫2a －1a ＝0，即f (x )<f ⎝⎛⎭⎫2a －x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ， 又x 1，x 2是函数f (x )的两个零点且0<x 1<1a<x 2，∴f (x 1)＝f (x 2)<f ⎝⎛⎭⎫2a －x 1，而x 2，2a －x 1均大于1a ，∴x 2>2a －x 1，∴x 1＋x 2>2a ，得证．法二：对数平均不等式法易知a >0，且f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减， 不妨设0<x 1<1a <x 2，f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<0⇔x 1＋x 22>1a ．因为f (x )的两个零点是x 1，x 2，所以ln x 1－ax 21＋(2－a )x 1＝ln x 2－ax 22＋(2－a )x 2，所以ln x 1－ln x 2＋2(x 1－x 2)＝a (x 21－x 22＋x 1－x 2)，所以a ＝ln x 1－ln x 2＋2(x 1－x 2)x 21－x 22＋x 1－x 2，以下用分析法证明，要证x 1＋x 22>1a ， 即证x 1＋x 22>x 21－x 22＋x 1－x 2ln x 1－ln x 2＋2(x 1－x 2)，即证x 1＋x 22>x 1＋x 2＋1ln x 1－ln x 2x 1－x 2＋2，即证2x 1＋x 2<ln x 1－ln x 2x 1－x 2＋2x 1＋x 2＋1，只需证2x 1＋x 2<ln x 1－ln x 2x 1－x 2，即证x 1＋x 22>x 1－x 2ln x 1－ln x 2，根据对数平均不等式，该式子成立，所以f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<0．法三：比值换元法因为f (x )的两个零点是x 1，x 2，不妨设0<x 1<x 2，所以ln x 1－ax 21＋(2－a )x 1＝ln x 2－ax 22＋(2－a )x 2，所以a (x 22－x 21)＋(a －2)(x 2－x 1)＝ln x 2－ln x 1，所以ln x 2－ln x 1x 2－x 1＝a (x 2＋x 1)＋a －2，f ′(x )＝1x －2ax ＋2－a ，f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝2x 1＋x 2－a (x 1＋x 2)－(a －2)＝2x 1＋x 2－ln x 2－ln x 1x 2－x 1＝1x 2－x 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎫x 2x 1－11＋x 2x 1－ln x 2x 1， 令t ＝x 2x 1(t >1)，g (t )＝2(t －1)1＋t －ln t ，则当t >1时，g ′(t )＝－(t －1)2t (t ＋1)2<0，所以g (t )在(1，＋∞)上单调递减，所以当t >1时，g (t )<g (1)＝0，所以f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<0．【题型二 加法型极值点偏移】例2 （2022·山东青岛高三期末）已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x ，a ∈R ．(1)若f (x )存在极值点1，求a 的值；(2)若f (x )存在两个不同的零点x 1，x 2，求证：x 1＋x 2>2． 【解析】 (1)由已知得f ′(x )＝x ＋1－a －ax，因为f (x )存在极值点1，所以f ′(1)＝0，即2－2a ＝0，a ＝1，经检验符合题意，所以a ＝1．(2)f ′(x )＝x ＋1－a －ax＝(x ＋1)⎝⎛⎭⎫1－a x (x >0)， ①当a ≤0时，f ′(x )>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数，不符合题意； ②当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝a ，当x >a 时，f ′(x )>0，所以f (x )单调递增，当0<x <a 时，f ′(x )<0，所以f (x )单调递减， 所以当x ＝a 时，f (x )取得极小值f (a )．又f (x )存在两个不同的零点x 1，x 2，所以f (a )<0，即12a 2＋(1－a )a －a ln a <0，整理得ln a >1－12a ，作y ＝f (x )关于直线x ＝a 的对称曲线g (x )＝f (2a －x )， 令h (x )＝g (x )－f (x )＝f (2a －x )－f (x )＝2a －2x －a ln 2a －xx ，则h ′(x )＝－2＋2a 2(2a －x )x ＝－2＋2a 2－(x －a )2＋a 2，因为在(0，2a )上，h ′(x )≥0，所以h (x )在(0，2a )上单调递增， 不妨设x 1<a <x 2，则h (x 2)>h (a )＝0，即g (x 2)＝f (2a －x 2)>f (x 2)＝f (x 1)， 又2a －x 2∈(0，a )，x 1∈(0，a )，且f (x )在(0，a )上为减函数，所以2a －x 2<x 1，即x 1＋x 2>2a ，又ln a >1－12a ，易知a >1成立，故x 1＋x 2>2． 【题型精练】1．（2022·天津市南开中学月考）已知函数31()28ln 6f x x ax x =-+． （1）若函数()f x 在定义域内单调递增，求实数a 的取值范围； （2）若函数()f x 存在两个极值点12,x x ，求证：124x x +>． 【解析】（1）易知()f x 的定义域为(0,)+∞，由题意知28()202x f x a x '=-+≥，即244x a x ≤+在(0,)+∞上恒成立，．令24()(0)4x g x x x=+>，则32248()22x x g x x x -'=-=．当2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减， 所以当2x =时，()g x 有最小值(2)3g =， 所以3a ≤；（2）因为28()22x f x a x '=-+，由()0f x '=知，24=4x a x+，设24()(0)4x g x x x=+>则12()()g x g x =，且()g x 在(2,)+∞上单调递增，在(0,2)上单调递减，所以可令，1202x x <<<，．令()(2)(2)h x g x g x =+--，(2,0)x ∈-．则222442(23)(+23)()(2)(2)2(2)(2)x x x h x g x g x x x -'''=++-=--+-因为(2,0)x ∈-，所以()0h x '<，所以()h x 上在(2,0)-单调递减，且(0)0h =， 所以(2,0)x ∈-时，()(2)(2)(0)0h x g x g x h =+-->=． 又1(0,2)x ∈，所以12(2,0)x -∈- 所以111(2)()(4)0h x g x g x -=-->． 所以211()()(4)g x g x g x =>-．因为12x <，142x ->，22x >且()g x 在(2,)+∞上单调递增， 所以214x x >-，124x x +>．2. （2022·安徽省江淮名校期末）已知函数21()e 2x f x x ax =--（a ∈R ）．(1)若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)如果函数()21()()2g x f x a x =--恰有两个不同的极值点12, x x ，证明：12ln 22x x a +<．【解析】 (1)()f x 是R 上是增函数，, ()e 0x x f x x a '∴∀∈=--≥R ，()mine x a x ∴≤-设()e x h x x =-，()e 1x h x '=-，令()0h x '>解得0x >，故()h x 在(, 0)-∞单调递减，在(0 +)∞，单调递增．min ()(0)1h x h ∴==，1a ∴≤． (2)依题意可得：221()()()e 2x g x f x a x ax ax =--=--，()e 2x g x ax a '=--．12, x x 是极值点，121122()0e 20()0e 20xxg x ax a g x ax a '⎧=--=⎧⎪⇒⎨⎨'=--=⎪⎩⎩，两式相减可得：1212e e 2x x a x x -=-． 所证不等式等价于：1212121221212e e e e ln e 2x x x x x x x x x x x x ++--<⇔<--，不妨设12x x >，两边同除以2e x 可得： 12122121x x x x x x ---<-ｅｅ（观察指数幂的特点以及分式的分母，化不同为相同，同除以2e x 使得多项呈12x x -的形式） 从而考虑换元减少变量个数．令12t x x =-()0, t ∈+∞．所证不等式只需证明：221e e e +1<0tt t t e t t -<⇔-，设()2e e 1tt p x t =-+，22()e (e (1))2t t t p x '=--+由e 1xx ≥+可得：2e (1)02t t-+≥，()0p x '∴≤，()p t ∴在()0 +∞，单调递减，()(0)0p t p <=，∴原不等式成立即12ln 22x x a +< 【题型三 乘法型极值点偏移】例3 （2022·河南高三期末）已知f (x )＝x ln x －12mx 2－x ，x ∈R ．(1)当m ＝－2时，求函数f (x )的所有零点；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 1x 2＞e 2(e 为自然对数的底数)．【解析】 (1)当m ＝－2时，f (x )＝x ln x ＋x 2－x ＝x (ln x ＋x －1)，x ＞0．设g (x )＝ln x ＋x －1，x ＞0， 则g ′(x )＝1x＋1＞0，于是g (x )在(0，＋∞)上为增函数．又g (1)＝0，所以g (x )有唯一的零点x ＝1，从而函数f (x )有唯一的零点x ＝1． (2)欲证x 1x 2＞e 2，只需证ln x 1＋ln x 2＞2．由函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，可得函数f ′(x ) 有两个零点，又f ′(x )＝ln x －mx ，所以x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不同实根．于是有⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1－mx 1＝0， ①ln x 2－mx 2＝0， ②①＋②可得ln x 1＋ln x 2＝m (x 1＋x 2)，即m ＝ln x 1＋ln x 2x 1＋x 2，②－①可得ln x 2－ln x 1＝m (x 2－x 1)，即m ＝ln x 2－ln x 1x 2－x 1，从而可得ln x 2－ln x 1x 2－x 1＝ln x 1＋ln x 2x 1＋x 2，于是ln x 1＋ln x 2＝⎝⎛⎭⎫1＋x 2x 1ln x 2x 1x 2x 1－1．由0＜x 1＜x 2，设t ＝x 2x 1，则t ＞1．因此ln x 1＋ln x 2＝(1＋t )ln t t －1，t ＞1．要证ln x 1＋ln x 2＞2，即证(t ＋1)ln t t －1＞2(t ＞1)，即证当t ＞1时，有ln t ＞2(t －1)t ＋1．令h (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t ＞1)，则h ′(t )＝1t －2(t ＋1)－2(t －1)(t ＋1)2＝(t －1)2t (t ＋1)2＞0，所以h (t )为(1，＋∞)上的增函数．因此h (t )＞ln 1－2(1－1)1＋1＝0．于是当t ＞1时，有ln t ＞2(t －1)t ＋1．所以有ln x 1＋ln x 2＞2成立，即x 1x 2＞e 2．【题型精练】1．（2022·广东·高三期末）已知函数()ln f x x =. (1)设函数()()ln tg x x t x=-∈R ，且()()g x f x ≤恒成立，求实数t 的取值范围； (2)求证：()12e e x f x x>-； (3)设函数()()1y f x ax a R x=--∈的两个零点1x 、2x ，求证：2122e x x >. 【解析】(1)解：由()()g x f x ≤可得ln ln tx x x -≤，可得2ln t x x ≤，令()2ln h x x x =，其中0x >，则()()21ln h x x '=+， 当10e x <<时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减，当1ex >时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增，所以，()min 12e e h x h ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以，2e t ≤-；(2)解：要证()12e e xf x x >-，即证2ln e ex x x x >-， 由（1）可知，1ln ex x ≥-，当且仅当1e x =时，等号成立，令()2e e x x m x =-，其中0x >，则()1e xx m x -'=， 当01x <<时，()0m x '>，此时函数()m x 单调递增， 当1x >时，()0m x '<，此时函数()m x 单调递减，所以，()()max 11em x m ==-，因为1ln ex x ≥-和()1e m x ≤-取等的条件不同，故2ln e e x x x x >-，即()12e e xf x x >-；(3)解：由题知1111ln x ax x -=①，2221ln x ax x -=②， ①+②得()()12121212ln x x x x a x x x x +-=+③， ②-①得()22121112ln x x xa x x x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭④.③÷④得()()1212212122112ln ln x x x x x x x x x x x x ++-=-，不妨设120x x <<，记211x t x =>. 令()()()21ln 11t F t t t t -=->+，则()()()()222114011t F t t t t t -'=-=>++， 所以()F t 在()1,+∞上单调递增， 所以()()10F t F >=，则()21ln 1t t t ->+，即()2121122lnx x x x x x ->+，所以()()1212212122112ln ln 2x x x x x x x x x x x x ++-=>-.因为()()()()121212121212121224ln ln ln x x x x x x x x x x x x x x +-<= 1212x x x x = 所以12122x x x x >，即12121x x x x >. 令()2ln x x x ϕ=-，()2120x x xϕ'=+>，则()x ϕ在()0,∞+上单调递增. 又)12ln2ln 21122e e =+<，所以)12121ln 22x x e x x e>>)122x x e ϕϕ>，所以2122x xe >.【题型四 导数型极值点偏移】例4 （2022·黑龙江工农·鹤岗一中高三期末）已知函数g (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x (a ∈R )． (1)求g (x )的单调区间；(2)若函数f (x )＝g (x )＋(a ＋1)x 2－2x ，x 1，x 2(0＜x 1＜x 2)是函数f (x )的两个零点，证明：f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<0．【解析】(1)函数g (x )＝ln x －ax 2＋(2－a )x 的定义域为(0，＋∞)， g ′(x )＝1x －2ax ＋(2－a )＝－(ax －1)(2x ＋1)x，①当a ≤0时，g ′(x )>0，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a >0时，若x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a ，则g ′(x )>0，若x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，则g ′(x )<0， 则g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞上单调递减． (2)因为x 1，x 2是f (x )＝ln x ＋ax 2－ax 的两个零点，所以ln x 1＋ax 21－ax 1＝0，ln x 2＋ax 22－ax 2＝0，所以a ＝ln x 1－ln x 2x 1－x 2＋(x 2＋x 1)，又f ′(x )＝1x ＋2x －a ， 所以f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22＝2x 1＋x 2＋(x 1＋x 2)－a ＝2x 1＋x 2－ln x 1－ln x 2x 1－x 2，所以要证f ′⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<0，只须证明2x 1＋x 2－ln x 1－ln x 2x 1－x 2<0， 即证明2(x 1－x 2)x 1＋x 2>ln x 1－ln x 2，即证明()12112221ln *1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭>+令()120, 1x t x =∈，则()()1ln 22h t t t t =+-+，则()1ln 1h t t t =+-'， ()2110h t t t=-'<'． ∴()h t '在()0, 1上递减， ()()10h t h '>='，∴()h t 在()0, 1上递增， ()()10h t h <=． 所以()*成立，即1202x x f +⎛⎫< ⎪⎝⎭'．【题型精练】1.（2022·全国高三课时练习）设函数f (x )＝x 2－(a －2)x －a ln x ． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若方程f (x )＝c 有两个不相等的实数根x 1，x 2，求证：12()02x x f +'>． 【解析】 (1)(0, )x ∈+∞．22(2)(2)(1)()2(2)a x a x a x a x f x x a x x x----+'=---==．当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在(0, )+∞上单调递增，即()f x 的单调递增区间为(0, )+∞． 当0a >时，由()0f x '>得2a x >；由()0f x '<，解得02ax <<．所以函数()f x 的单调递增区间为(, )2a +∞，单调递减区间为(0, )2a．(2)1x ，2x 是方程()f x c =得两个不等实数根，由(1)可知：0a >．不妨设120x x <<．则()21112ln x a x a x c ---=，()22222ln x a x a x c ---=．两式相减得()()221112222ln 2ln 0x a x a x x a x a x ----+-+=，化为221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--．()02a f '=，当(0, )2a x ∈时，()0f x '<，当(, )2ax ∈+∞时，()0f x '>． 故只要证明1222x x a+>即可，即证明22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--，即证明11221222ln x x x x x x -<+，设12(01)x t t x =<<，令()22ln 1t g t t t -=-+，则22214(1)()(1)(1)t g t t t t t -'=-=++． 10t >>，()0g t ∴'>．()g t ∴在(0, 1)上是增函数，又在1t =处连续且(1)g 0=，∴当(0, 1)t ∈时，()0g t <总成立．故命题得证．【题型五 拐点偏移问题】例5 （2022·辽宁省实验中学分校高三期末）已知函数f (x )＝x a x a x x )1(2ln 2-+-，其导函数f ′(x )的最大值为0.(1)求实数a 的值；(2)若),(1)()(2121x x x f x f ≠-=+证明12 2.x x +>【解析】 （1）【解法一】由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，其导函数()()ln 1f x x a x '=-- 记()(),h x f x '= 则()1.axh x x-'= 当0a ≤时，()10axh x x-'=≥恒成立， 所以()h x 在()0,+∞上单调递增，且()10h =.所以()1,x ∀∈+∞，有()()0h x f x '=>，故0a ≤时不成立；当0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若，则()10ax h x x -'=>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()10axh x x -'=<. 所以()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减又()10h = 若01a << 即11a>时，则()()h x f x '=在()0,1单调递减，()()()0,1,10x f x f ''∀∈>=， 故01a <<时不成立； 若1a > 即101a <<时，则()()h x f x '=在1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，()()1,1,10x f x f a ⎛⎫''∀∈>= ⎪⎝⎭， 故1a >时不成立；若1a =时，则()()h x f x '=在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，所以()()()max 0,,10x f x f ''∀∈+∞==成立 ，故1a =时成立. 综上可知，1a = 【解法二】由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞ ，其导函数()()ln 1f x x a x '=-- 记()()h x f x '= 则()1.axh x x-'= 当0a ≤时，()10axh x x-'=≥恒成立，所以()h x 在()0,+∞上单调递增，且()10h =. 所以()1,x ∀∈+∞，有()()0h x f x '=>，故0a ≤时不成立；当0a >时，10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭若，则()10ax h x x -'=>；若1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，则()10axh x x -'=<.所以()h x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减所以()max 1ln 10h x h a a a ⎛⎫==-+-= ⎪⎝⎭令()()11ln 1,1.a g a a a g a a a-'=-+-=-=则 ()()()()()010; 1 0.011.a g a a g a g a ''<<<>>+∞当时，当时，所以在，的单减，在，单增所以()()10g a g =，故.1=a（2）【解法一】（分析法解题）当1a =时，()21ln 2f x x x x =-，则()1ln f x x x '=+-.由（1）知()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立， 所以()21ln 2f x x x x =-在()0,+∞上单调递减，且()112f =-，()()()121=21f x f x f +=-不妨设120x x << ，则1201,x x <<<欲证122x x +>，只需证212x x >-，因为()f x 在()0,+∞上单调递减， 则只需证()()212f x f x <-，又因为()()121f x f x +=-， 则只需证()()1112f x f x --<-,即()()112+ 1.f x f x ->- 令()()()()()20,1F x f x f x x =+-∈其中，且()11F =-. 所以欲证()()112+1f x f x ->-，只需证()()()1,0,1,F x F x >∈ 由()()()()()21ln 1ln 22F x f x f x x x x x '''=--=+--+--+， 整理得：()()()()ln ln 2210,1F x x x x x '=--+-∈，，()()()()22100,12x F x x x x -''=>∈-，，所以()()()ln ln 221F x x x x '=--+-在区间()0,1上单调递增，所以()0,1x ∀∈，()()()()ln ln 22110F x x x x F ''=--+-<=， 所以函数()()()2F x f x f x =+-在区间()0,1上单调递减， 所以有()()()10,1F x F x >∈，，故12 2.x x +>. 【解法二】（综合法书步骤）当1a =时，()21ln 2f x x x x =-，则()1ln f x x x '=+-.由（1）知()1ln 0f x x x '=+-≤恒成立， 所以()21ln 2f x x x x =-在()0,+∞上单调递减，且()112f =-，()()()121=21f x f x f +=-不妨设120x x << ，则1201,x x <<<令()()()()()20,1F x f x f x x =+-∈其中 ，且()11F =- 由()()()()()21ln 1ln 22F x f x f x x x x x '''=--=+--+--+， 整理得：()()()()ln ln 2210,1F x x x x x '=--+-∈，，()()()()22100,12x F x x x x -''=>∈-，，所以()()()ln ln 221F x x x x '=--+-在区间()0,1上单调递增， 所以()0,1x ∀∈，()()()()ln ln 22110F x x x x F ''=--+-<=， 所以函数()()()2F x f x f x =+-在区间()0,1上单调递减， 因为101<<x ，所以()()()()11121 1.F x f x f x F =+->=-又因为()()121f x f x +=-，所以()()122.f x f x -> ()21ln 2f x x x x =-又因为在()0,+∞上单调递减，所以12122, 2.x x x x -<+>即 【题型精练】1. （2022·江苏·昆山柏庐高级中学期末）已知函数22111()(1)()2f x x x Inx a R a a a=-++∈． （1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性； （2）当12a =时，设()()6g x f x x =+，若正实数1x ，2x ，满足12()()4g x g x +=，求证：122x x +． 【解析】（1）2111()()(1)f x x a x a'=+-+，(0)x >2111()()(1)f x x a x a '=+-+，在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，且21()(1)(1)0min f x f a'==--∴当1a =时，()0f x '恒成立，此时函数()f x 在R 上单调递增；当1a ≠时，()0f x '=的根为1a，a 01a ∴<<时，函数()f x 在(0,)a ，1(a ，)+∞上单调递增，在1(,)a a 单调递减；1a >时，函数()f x 在1(0,)a ，(,)a +∞上单调递增，在1(a，)a 单调递减；证明：（2）2()25g x lnx x x =+-，0x >．由12()()4g x g x +=，即221112222240lnx x x lnx x x +++++-=， 从而212121212()()422()x x x x x x ln x x +++-=-，⋯（8分） 令12t x x =，则由()G t t lnt =-得：1()1G t t'=-可知，()G t 在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增． ()G t G ∴（1）1=，21212()()42x x x x ∴+++-， 1212(3)(2)0x x x x ∴+++-，又10x >，20x >，122x x ∴+．。

二次函数的拐点二次函数是一种重要的数学函数，其表达式一般为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。

二次函数在数学中具有广泛的应用，研究其特性对于理解曲线的变化趋势和解决实际问题具有重要意义。

其中，拐点是二次函数重要的特点之一，本文将深入探讨二次函数的拐点相关知识。

一、拐点的定义拐点，顾名思义，意味着曲线在该点的变化方向发生了拐弯的现象。

在二次函数中，拐点是指二次曲线的弧线在该点处曲率的变化发生了转折的特殊点。

也就是说，在拐点处，二次曲线的弧线从凹变凸或从凸变凹。

二、拐点的判断条件为了判断二次函数是否存在拐点，我们可以通过其二次项系数a的正负性来进行分析。

1. 若a > 0，则二次函数的图像开口向上，也就是说二次曲线是凹的。

在此情况下，拐点的存在与函数的导数有关。

当二次函数的导数变号时，即从增大转为减小或从减小转为增大，就存在一个拐点。

具体而言，当二次函数导数的二次项系数大于零时，函数在该点处的曲率转折，存在一个拐点。

2. 若a < 0，则二次函数的图像开口向下，也就是说二次曲线是凸的。

在此情况下，判断拐点的存在就要考虑二次函数的导数值的正负性和零点的情况。

如果函数的导数在某个区间内首先从正值变为零，然后再变为负值，或者从负值变为零，再变为正值，就存在一个拐点。

换句话说，在这种情况下，拐点是函数的导数的极值点。

三、拐点的求解方法当确定存在拐点时，我们需要找到拐点的横坐标和纵坐标。

下面介绍两种求解拐点的方法。

1. 使用导数法求解拐点：首先，对二次函数进行求导，得到导数函数；然后，解导数函数的零点，即求解导数函数的根，求得横坐标；最后，将横坐标代入原二次函数中，求得纵坐标。

2. 使用判别式方法求解拐点：首先，求出二次函数的一阶导数和二阶导数；然后，计算判别式D = b^2 - 4ac；最后，根据判别式的值来判断是否存在拐点和求解拐点的坐标。

四、拐点的图像解释和应用拐点是二次曲线在该点处曲率变化的转折点，图像上形如"∩"或"∪"型。