函数的凹凸性与拐点

§5. 函数的凹凸性与拐点教学内容：函数的凹凸性与拐点的定义以及判断。

教学目的：清楚函数凸性与拐点的概念，掌握函数凸性的几个等价论断，会求曲线的拐点，能应用函数的凸性证明某些有关的命题。

教学重点：利用导数研究函数的凸性。

教学难点：利用凸性证明相关命题。

教学方法：讲授与练习。

教学学时：2学时。

引言：前面我们已经讨论了函数的单调性与极值及最值，这对函数性态的了解是有很大作用的。

为了更深入和较精确地掌握函数的性态，本节再讲述一下有关函数凸性与拐点的概念及判断与求解方法。

一、函数凹、凸性的定义：在讨论函数图象时，我们经常会遇到具有以下两种特性的函数： y yB AB Ao 1x x 2x x o 1x x 2x x 凸函数 凹函数特点⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧---+≥∈∀⎪⎩⎪⎨⎧---+≤∈∀)()()()()(),()()()()()(),(1121212*********x x x x x f x f x f x f x x x AB AB x x x x x f x f x f x f x x x AB AB ，总有的上方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凹函数，总有的下方，即有：总在线段曲线上任意两点间的弧凸函数 ， 而)1,0(,)1(10),(2112221∈-+=⇔<--=<⇔∈∀λλλλx x x x x xx x x x便于我们研究应用，对凸函数与凹函数作如下定义：定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有：（1）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-，则称f 为I 上的凸函数； （2）1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，则称f 为I 上的凹函数。

以上不等式严格成立时，则分别称为严格凸函数与严格凹函数。

二、函数凹、凸性的性质及判定：由定义易见，如果函数f 为区间I 上的凸函数，那么函数f -就为区间I 上的凹函数，也就是说，凹函数的性质及判定可通过凸函数的性质及判定完成，所以以下我们只需讨论凸函数的性质及判定即可。

解析:答案为 B。要使 f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) 恒成
2
2
立，由函数值的定义及函数图象即需要函数在 0 x 1
内为凸函数。而 y 2x , y x2 在 0 x 1内为凹函数，
y cos 2x 在 0 x 1 内 先 凸 后 凹 函 数 。 只 有
直接验证即可②满足题意 对于③④如右图所示：
对于 f (x) lg x 图象上任意不同
两点 A(x1, f (x1))B(x2, f (x2 ))
k AB
f (x1) f (x2 ) 0 x1 x2
显然成
立（可
以用
f '(x) 1 0(x 0) ）故③正确 x ln10
再有 AB 中点 C（ x1 x2 , f (x1) f (x2 ) ) 过 C
1 x
1，
x2 x x 2 4
当 1 1时， (1 1)2 1 取得最大值 2， (1 1)2 1 取得最小值0
x
x2 4
x2 4
2 a 0 结合 a 0，a [2,0)。
指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数的凹凸性。
1、指数函数 y a x (a 0, a 1) y e x
② f (x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) ；
③ f (x1 ) f (x2 ) 0; x1 x2
④ f ( x1 x2 ) f (x1 ) f (x2 ) .
2
2
当 f (x) lg x 时，上述结论中正确结论的序号
是
.
【详解】
对于①②可以用 f (x) lg x
函数的凹凸性
一、曲线的凹凸性与拐点
一、曲线的凹凸性与拐点

函数的凹凸性和拐点
函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的形态和性质。

下面
将分别对凹凸性和拐点进行详细介绍。

一、凹凸性
在数学中，一个函数在某一区间上的凹凸性是指函数图像在该区间上是向上凸或向下凸。

几何上，一个曲线在某点处向上凸表明曲线凹向上方，而向下凸则表明曲线凹向下方。

凹凸性的判断方法是通过函数的二阶导数来进行。

如果函数的二阶导数大于零，则函
数在该点处向上凸；反之，如果函数的二阶导数小于零，则函数在该点处向下凸。

函数的图像如果是向上凸的，则可以将其形容为“形如碗状”，反之则形容为“形如
山状”或“钩状”。

在具体的分析中，凹凸性可作为确定函数的最值和极值的重要参考。

二、拐点
拐点是指函数图像上的一点，该点处曲线的凹凸性发生变化。

在拐点之前，函数图像
呈现一种凹凸性，而在拐点之后，则呈现相反的凹凸性。

因此，拐点也被称为凹凸性变化点。

拐点的判断方法是通过函数的二阶导数进行判断。

如果函数在某一点处的二阶导数发
生了从正数变成负数，或从负数变成正数的变化，则该点即为拐点。

在实际分析中，拐点
可用于确定函数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。

综上所述，函数的凹凸性和拐点是微积分中的重要概念，用于研究函数图像的性质和
形态。

凹凸性可以帮助我们更好地理解函数的最值和极值，而拐点则可以帮助我们确定函
数的折线形态，以及确定函数的最值和极值。

在实际运用中，我们应该结合具体问题进行
分析，寻找函数的凹凸性和拐点，以便更好地解决问题。

定义法：根据凹函数和凸函数的定义，通过比较函数在某一点的切线与x轴的夹角来判断函数的凹凸性。
导数法：通过求函数的导数，然后判断导数的正负来判断函数的凹凸性。如果函数在某区间的导数大于0， 则函数在此区间内为凹函数；如果导数小于0，则函数在此区间内为凸函数。
二次项系数法：对于形如y=ax^2+bx+c的二次函数，如果a>0，则函数为凹函数；如果a<0，则函数为凸函数。
求函数的凹凸性和拐点需要先 求一阶导数和二阶导数
根据一阶导数和二阶导数的符 号判断函数的凹凸性和拐点
拐点是函数凹凸性改变的点， 需要满足一阶导数等于零且二 阶导数等于零或正负号改变
需要注意函数的定义域和极值 点的判断
汇报人：XX
拐点是函数图像上凹凸性改变的点
拐点处函数的二阶导数变号
添加标题
添加标题
拐点处的一阶导数为零或不存在
添加标题
添加标题
拐点是函数局部性质的重要体现
金融领域：拐点用于预测股票价格的走势 物理研究：拐点用于描述物体运动轨迹的变化点 数学建模：拐点用于优化函数值，解决最优化问题 工程设计：拐点用于调整机械结构，提高稳定性
PART FOUR
确定函数表达式和定义域 求一阶导数和二阶导数 判断一阶导数和二阶导数的正负性，确定凹凸区间 判断二阶导数是否等于零，确定拐点
确定函数的定义域 求一阶导数 令一阶导数等于0，解出x的值 判断二阶导数的符号，确定拐点的性质
函数表达式：f(x)=x^3 凹凸性：在区间(-∞, +∞)上，函数f(x)是凸函数。 拐点：在x=0处，函数f(x)的拐点为(0,0)。 求解过程：通过求导数和二阶导数，确定函数的凹凸性和拐点。
图像法：通过观察函数的图像来判断函数的凹凸性。如果图像在某区间内始终位于x轴的上方或下方，则 函数在此区间内为凹函数或凸函数。

函数的凹凸性与拐点的判定在微积分中，函数的凹凸性与拐点是非常重要的概念。

凹凸性描述了函数曲线的弯曲情况，而拐点则表示曲线的方向发生改变的点。

凹凸性和拐点的判定对于函数的研究和应用具有重要作用。

本文将介绍函数凹凸性和拐点的概念，并讨论如何判定和应用。

一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数曲线的弯曲情况。

我们可以通过函数的二阶导数来判断函数的凹凸性。

1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数，如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)>0，则函数f(x)在区间I上是凹函数；如果对于任意x1和x2∈I，有f''(x)<0，则函数f(x)在区间I上是凸函数。

2. 凹凸点根据函数的凹凸性质，我们可以定义凹凸点。

若对于函数f(x)的定义域I上的某一点x0，存在一个区间(x0-δ,x0+δ)，在该区间内f(x)是凹函数，那么称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凹点；若在区间(x0-δ,x0+δ)内f(x)是凸函数，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个凸点。

二、拐点的判定拐点表示函数曲线的方向发生改变的点。

我们可以通过函数的二阶导数来判断拐点。

1. 定义设函数f(x)在区间I上具有二阶导数。

如果在某一点x0∈I处，f''(x0)=0，并且f''(x0-)和f''(x0+)的符号相反，则称点(x0,f(x0))是函数f(x)的一个拐点。

2. 拐点的性质拐点具有以下性质：- 在拐点处，函数的凹凸性发生改变，由凸转为凹或由凹转为凸。

- 拐点不一定存在，只有当函数曲线的凹凸性发生改变时，才会有拐点。

- 如果函数曲线有k个拐点，那么至多有k+1个不同的凹凸区间。

三、判定和应用判定函数的凹凸性和拐点的方法可以通过以下步骤进行。

1. 求导数首先，求出函数f(x)的一阶和二阶导数f'(x)和f''(x)。

5
课程思政
课程思政：奥运精神 播放视频《谷爱凌自由式滑雪夺冠》
播放视频
曲线的凹凸性正如滑雪运动员在跳台上滑过的优美曲线。北京2022 年冬奥会自由式滑雪女子大跳台决赛，中国选手谷爱凌在最后一跳中 首次跳出了1620的超高难度，夺得金牌！ 赛后，谷爱凌表示，采取超 高难度动作，想要挑战自己，并不是为了赢对手，展示自己的体育精 神。谷爱凌希望自己的精神，让大家能够体会体育精神，做到打破和 突破，成就最好的自己。我们在学习和生活中也应该向她学习不屈不 挠的奥运精神，突破自己，展现自我。
凹的
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2凹凸性的定理 练习2 求函数y x4的凹凸性
1100
谢谢观看
2凹凸性的定理
定理 设函数 y f (x) 在 (a,b)内有二阶导数。 那么（1）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b) 内上凹。 （2）若在 (a,b) 内 f (x) 0，则曲线在 (a,b)内下凹。
7
2凹凸性的定理
拐点：如果点P的两侧，函数的凹凸性不一样，那么 这样的点P叫做函数的拐点。
8
2凹凸性的定理
例2 求曲线 y 3x4 4x3 1的拐点及凹、凸的区间
解： D : (,)
y 12x3 令y 0,
12x2 , 得 x1
0,
y x2
36x(x 2. 3
2). 3
x
(,0)
0
(0, 23)
2 3
(
2 3
,)
f (x)
00Biblioteka 拐点拐点f (x)
凹的
0,1 凸的
（2，11） 3 27
曲线的凹凸性与拐点
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则 x0 为极大值点；
o
y
x0
x
(2) 若 x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 ,

x ( x0 , x0 ) 时, f ( x) 0 , o
x0

x
则 x0 为极小值点；
(3) 如果在上述两个区间内 f ( x) 同号,则x0 不是极值点.
极值点是函数单调性发生改变的点, 即为单调区间 的分界点.
f ( x1 x2 )
凹（上2 凹、下凸）
o x1 x1 x2 x2
2
xo
f ( x1 x2 ) 2
y f (x)
f ( x1 ) f ( x2 ) 2
凸 （下凹、上凸）
x1 x1 x2 x2
x
2
图形上任意弧段位于 所张弦的下方：凹
图形上任意弧段位于 所张弦的上方：凸
f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) . f ( x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) .
令y 0,
得
x1
0,
x2

2. 3
3
x
(,0)
0
(0, 2 3)
2 3
(23 ,)
f ( x)
0
0

f ( x) 拐点
拐点

f (x)的凹区间为(, 0), ( 2 , +)
凸区间为 [0, 2] 3
3
拐点：(0,1)，(2 3 ,1127).
11
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.
y
拐点 非拐点
12
例3 求曲线 y (x 1) 3 x2 的凹凸区间与拐点.

图1函数的单调性可用函数的一阶导函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画呢？一、曲线的凹凸与拐点1．曲线的凹凸定义和判定法从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的，此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义：定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的．例如，图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的，曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的． 由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大；对于凸的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而减小．由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定．而()x f '的单调性又可以用它的导数，即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定，故曲线()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理：定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数．（1）如果在()b a ,内，()x f ''＞0，那么曲线在()b a ,内是凹的；（2）如果在()b a ,内，()x f ''＜0，那么曲线在()b a ,内是凸的． x y o ()y f x =A B x yo ()y f x =A B图2例１ 判定曲线3x y =的凹凸性．2．拐点的定义和求法定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点． 定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸．如果()x f ''连续，那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x 使()0x f ''＝0．这样，点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点．因此，如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点:(1) 确定函数()x f y =的定义域；(2) 求()x f y ''=''；令()x f ''＝0，解出这个方程在区间()b a ,内的实根；(3) 对解出的每一个实根0x ，考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号．如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反，那么点()()00,x f x 就是一个拐点，如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同，那么点()()00,x f x 就不是拐点．例２ 求曲线233x x y -=的凹凸区间和拐点．解 （1）函数的定义域为()+∞∞-,；（2）()1666,632-=-=''-='x x y x x y ；令0=''y ，得1=x ；（3）列表考察y ''的符号（表中“∪”表示曲线是凹的，“∩” 表示曲线是凸的）： x()1,∞- 1 ()+∞,1 y ''- 0 + 曲线y ∩ 拐点 ()2,1- ∪由上表可知，曲线在()1,∞-内是凸的，在()+∞,1内是凹的；曲线的拐点为()2,1-．例３ 已知点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点，求,a b的值。

xfln (x x) y f ln ( yy ) (x x y )y x y 即 f( ln( ) ) 2 2 22 2
得证.
15
不等式证明的方法：
1、拉格朗日中定理；
2、函数的单调性、极值； 3、函数的凹凸性；
16
作业：
P 3 134
17
爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”爱是什么？ 一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。 风儿若有若无。 一只鸟儿飞过来，停在枝上，望着远处将要成熟的稻田。 精灵取出一束黄澄澄的稻谷问道：“你爱这稻谷吗？” “爱。” “为什么？” “它驱赶我的饥饿。” 鸟儿啄完稻谷，轻轻梳理着光润的羽毛。 “现在你爱这稻谷吗？”精灵又取出一束黄澄澄的稻谷。 鸟儿抬头望着远处的一湾泉水回答：“现在我爱那一湾泉水，我有点渴了。” 精灵摘下一片树叶，里面盛了一汪泉水。 鸟儿喝完泉水，准备振翅飞去。 “请再回答我一个问题，”精灵伸出指尖，鸟儿停在上面。 “你要去做什么更重要的事吗？我这里又稻谷也有泉水。” “我要去那片开着风信子的山谷，去看那朵风信子。” “为什么？它能驱赶你的饥饿？” “不能。” “它能滋润你的干渴？” “不能。”

函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性和拐点是数学中的重要概念，它们可以帮助我们了解函数的特性和性质。

本文将介绍函数的凹凸性和拐点，并解释它们的意义和用法。

一、函数的凹凸性函数的凹凸性是指函数图像在某个区间上是否呈凹曲面或凸曲面。

具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)>0，则函数在区间I上是凹函数；若对于任意的x1，x2∈I且x1<x2，有f''(x)<0，则函数在区间I上是凸函数。

凹凸性可以从图像上观察得出。

对于凹函数而言，在函数图像的任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的上方。

相反，凸函数在任意两点之间，曲线位于连接两点的弦的下方。

函数的凹凸性在数学和经济学中有广泛的应用。

在最优化问题中，我们常常需要求一个函数的极值点，而函数的凹凸性可以帮助我们判断极值点的性质。

此外，在经济学中，凸函数常用于描述生产函数、效用函数等经济关系。

二、拐点拐点是指函数图像由凹转为凸，或由凸转为凹的点。

具体来说，对于函数f(x)在区间I上连续二阶可导，若存在一个点c∈I，使得f在c 的左侧是凹函数，在c的右侧是凸函数（或反过来），则称c是函数f 的一个拐点。

拐点可以用来确定函数曲线上的转折点。

在拐点处，函数曲线的凹凸性发生变化，这也意味着函数的斜率也会发生变化。

拐点的确定可以通过求函数的二阶导数来实现。

当函数的二阶导数存在，且在某个点c处二阶导数为零，此时有可能存在拐点。

拐点的概念在工程、经济学和物理学等领域都有应用。

在工程中，拐点可以帮助我们确定材料的断裂点；在经济学中，拐点可以帮助我们分析市场供需关系的变化；在物理学中，拐点可以帮助我们理解物体的运动和变形特性。

综上所述，函数的凹凸性和拐点是数学中重要的概念，它们可以帮助我们分析函数的特性，并在实际问题中得到应用。

通过研究函数的凹凸性和拐点，我们可以更好地理解和运用数学知识。

H ( p)
p3
p3 (1
p)3
,0
p 1
预示他所在的党在这届众议院里将得到的席位占总席位数的比率。我们分析一下 House 函
数的凹凸性。有 H ( p) 在 (0, 1 ) 内是凹的，在 ( 1 ,1) 内是凸的， p 1 是拐点。
2
2
2
注 House 函数基本反映了美国众议院席位的实际情形。例如在 1936 年的选举中罗斯福赢
ln
x1
x2
xn n
ln x1
ln x2 ln xn n
1
ln(x1 x2 xn ) n
即n
x1 x2 xn
x1
x2
n
xn
例 10．利用函数图形的凹凸性，证明不等式 e x
ey
x y
e 2 ,(x
y)
2
证 因为 f (x) e x 在 R 内为凹。由凹函数的定义即可得。
得 61%的选票，由 House 函数估计民主党在众议院中分得席位的比率是
H (0.61)
0.613 0,613 0.393
0.793(79.3%)
实际上，当年民主党在众议院获得 333 个席位，占总席位的 78.9%，与预测结果相差无 几。当然，它也并不总是非常准确的。最大的差别出现在 1984 年里根连任时。里根得到了 59%的选票，由 House 函数计算共和党在众议院可以得到约 75%的席位，但实际只得到 48% 的席位，相差 25 个百分点。这是由多方面的原因造成的。
列表:
x
(, 1)
1
( 1 , 0)
0
5
5
5
y
－
0
+

函数的凹凸性与拐点函数的凹凸性以及拐点是微积分中重要的概念，它们能够帮助我们更好地理解函数的性质和行为。

在本文中，我们将详细探讨函数的凹凸性以及如何确定函数的拐点。

一、函数的凹凸性函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。

具体而言，我们可以通过观察函数的二阶导数来确定函数是凹还是凸。

1. 凹函数：如果函数的二阶导数在定义域内恒小于等于零，则该函数被称为凹函数。

凹函数的图像呈现出一种向下的弯曲形状。

举例来说，考虑函数f(x)，它在定义域内处处可导。

我们可以检查函数的二阶导数f''(x)是否小于等于零。

如果f''(x) <= 0对于所有x都成立，则函数f(x)是一个凹函数。

2. 凸函数：与凹函数相反，如果函数的二阶导数在定义域内恒大于等于零，则该函数被称为凸函数。

凸函数的图像呈现出一种向上的弯曲形状。

举例来说，考虑函数g(x)，它在定义域内处处可导。

我们可以检查函数的二阶导数g''(x)是否大于等于零。

如果g''(x) >= 0对于所有x都成立，则函数g(x)是一个凸函数。

请注意，如果函数的二阶导数既不小于等于零也不大于等于零，那么该函数既不是凹函数也不是凸函数。

二、函数的拐点拐点是函数曲线上的一个特殊点，它代表了函数从凹转为凸或从凸转为凹的位置。

通过找到函数的拐点，我们可以进一步了解函数的曲线的形状。

1. 拐点的判定要确定函数的拐点，我们需要观察函数的二阶导数的变化情况。

首先，我们找到函数f(x)在定义域内的所有驻点，即一阶导数f'(x)等于零的点。

然后，我们计算这些驻点对应的二阶导数f''(x)的值。

- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由负转正，那么该点就是函数的拐点。

- 如果二阶导数f''(x)在某个驻点x处由正转负，那么该点也是函数的拐点。

需要注意的是，函数的拐点并不一定都存在。

微分学中函数的凹凸性与拐点微分学是数学中一个重要的分支，通过研究函数的变化率和曲线的特征，可以帮助我们更好地理解数学和物理问题。

其中，函数的凹凸性和拐点是微分学中的两个重要概念，它们可以帮助我们分析函数的性质和图像的特点。

一、函数的凹凸性函数的凹凸性表示的是函数曲线的弯曲程度。

具体来说，若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数，则函数$f(x)$在该区间的凹凸性可通过二阶导数的正负性进行判断。

1. 凹函数与凸函数函数$f(x)$在区间$I$上是凹函数，当且仅当对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$，有以下不等式成立：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \ge tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更低。

而函数$f(x)$在区间$I$上是凸函数，则是指对于区间$I$上的任意两个不同的实数$x_1,x_2$以及介于它们之间的任意实数$t \in (0,1)$，有以下不等式成立：$$f(tx_1 + (1-t)x_2) \le tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$$即曲线的下方比直线连接处更高。

2. 判定凹凸性的方法通过计算函数的二阶导数可以判断函数的凹凸性。

若函数$f(x)$在区间$I$上连续并且两阶可导，且对于区间$I$上任意$x$，有$f''(x)>0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凹的；若对于区间$I$上任意$x$，有$f''(x)<0$，则函数$f(x)$在区间$I$上是凸的。

二、函数的拐点函数的拐点是指函数曲线由凸转为凹，或由凹转为凸的点。

具体来说，若函数$y=f(x)$在区间$I$上连续且在$I$上有可导的二阶导数，则函数$f(x)$在该区间的拐点可以通过二阶导数的变号来判断。

1. 判定拐点的方法通过计算函数的二阶导数的符号变化可以判断函数的拐点。

函数凹凸性和拐点
xxxxxxxxxxx
2
目录
CONTENTS
1
函数的凹凸际应用
3
在数学和优化理论中，函数的凹凸性和 拐点是描述函数形态和变化的重要概念
这些特性对于理解函数的性质，以及寻 找最优解有着至关重要的作用
PART 1
函数的凹凸性
01
在二维平面上，一个函数如果是上凸的(或称为"凹")，那么 它的图形看起来像一个倒置的U型，或者像一个山丘。相反，
PART 3
实际应用
函数的凹凸性和拐点在很多实际应用中都有重要地位。例如，在经济学中，函数的凹凸性可以用来 描述一种商品的需求和价格之间的关系。如果需求对价格是凹的(即需求随着价格的上升而下降得越 来越快)，那么我们可能会观察到价格和需求量之间有单向的关系。相反，如果需求对价格是凸的 (即需求随着价格的上升而下降的速度减慢)，那么价格和需求量之间可能存在一种"非线性"的关系
此外，函数的凹凸性和拐点在图 形和图像处理中也有着广泛的应 用。例如，在计算机视觉中，图 像的边缘检测和特征提取就涉及 到函数的凹凸性和拐点。通过利 用这些特性，我们可以更好地理 解和描述图像的内容
在机器学习中，函数的凹凸性和 拐点也被广泛使用。例如，在神 经网络训练中，损失函数(或目 标函数)的凹凸性可以帮助我们 理解模型的学习过程。如果损失 函数是凸的，那么我们可以利用 这个特性来优化模型参数。如果 损失函数是凹的，那么我们可能 需要采用更复杂的优化策略，如 梯度下降结合线搜索等
01.
拐点是函数凹凸性发生改变的点。具体来说，如果一个函数在某一点的导数由正变为负， 或者由负变为正，那么这个点就是该函数的拐点。在数学上，我们通常用二阶导数的符 号变化来判断拐点的存在

求函数的凹凸区间及拐点的步骤一、概念解析在数学中，我们经常会遇到求函数的凹凸区间及拐点的问题。

这涉及到了函数的二阶导数，以及函数图像的变化规律。

下面我将按照从简到繁的方式，逐步探讨这一主题。

1. 凹凸性的概念我们需要了解什么是函数的凹凸性。

对于函数f(x)，若在区间I上满足f''(x)>0（f''(x)表示f(x)的二阶导数），则称函数f(x)在I上是凹的；若在区间I上满足f''(x)<0，则称函数f(x)在I上是凸的。

2. 拐点的概念另外，拐点指的是函数图像上的一个特殊点，该点对应的二阶导数f''(x)发生变号的点。

二、步骤探究接下来，我们将讨论求函数的凹凸区间及拐点的具体步骤。

我将结合具体的例子来说明每一步的操作方法，以便你能更深入地理解。

1. 求导数我们需要求出函数f(x)的一阶和二阶导数，分别记为f'(x)和f''(x)。

这一步是求凹凸区间及拐点的基础。

2. 解方程f''(x)=0在区间I上，我们需要解方程f''(x)=0，找出f(x)的二阶导数为0的点。

这些点就是函数可能存在拐点的位置。

3. 列出数表我们需要列出f''(x)的变号区间，并通过数表的形式进行展示。

在这一步，我们可以通过选取区间内的特定点，代入f''(x)的值，来判断函数的凹凸性。

4. 确定凹凸区间及拐点根据数表中f''(x)的正负情况，我们可以确定函数f(x)的凹凸区间，并找出拐点的具体位置。

这样，我们就完成了求函数的凹凸区间及拐点的步骤。

三、总结回顾通过以上步骤，我们可以比较清晰地了解了如何求函数的凹凸区间及拐点。

在实际应用中，我们可以通过这些步骤，快速、准确地分析函数的凹凸性质，从而更好地理解函数的图像特征。

个人观点：求函数的凹凸区间及拐点是数学中的重要问题，它不仅有着重要的理论意义，也在实际问题的解决中发挥着重要作用。

10.04.2020
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2. 利用导数来证明不等式
例 5 证明：当 x 0时，有
1 1 x 1 x . 2
证 设 f (x) 1 1 x 1 x ，则 2
f(x)1 1 1x1 2 21x 21x
在 (0, ) 内 f (x) 0 ，因此 f (x) 在[0, ) 上是单调递增的，
说明：本定理可利用拉格朗日定理证明
1. 利用导数来判定函数的单调性
例 1 判定函数 y x cos x 在[0, 2 ] 上的单调性.
解 因为在[0, 2 ] 上 y 1 sin x 0 ，
且只有 x π 时， y 0 ， 2
由定理 1 故 y x cos x 在[0, 2π] 上是单调递增的.
10.04.2020
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定理 1 (函数单调性的判定法） 设函数 y f (x) 在 [a,b] 上 连 续 , 在 (a,b) 内 可 导 ．（ 1 ） 如 果 在 (a,b) 内 ， f (x) 0 ，则 y f (x) 在 [a,b] 上单调增加；（2）如果在 (a,b) 内， f (x) 0 ，则 y f (x) 在[a,b] 上单调减少．
例 3 讨论函数 y 3 x2 的单调性． 解： D :(, ) .
f(x) 2, (x0) 33x
当 x 0 时，导数不存在．
y3 x2
当 x 0 时， f (x) 0 ， (, 0] 上单调减少；
当 0 x 时， f (x) 0 ， [0, ]上单调增加；
经验:从例2、例3可以看到在讨论函数的单调性或单调区 间时，函数的驻点或函数有定义、但一阶导数不存在的点 都可能成为单调区间的分界点.

高等数学曲线的凹凸性与拐点高等数学曲线中经常会遇到凹凸性和拐点，这两类现象事关重大，对于函数的图像分析有很重要的作用。

本文将对凹凸性和拐点做一个
详细的介绍，以帮助理解高等数学曲线的关系。

首先，对于凹凸性来说，简单来讲，就是指曲线在两端的作用力
的不同，借此来判断曲线的弯曲程度以及连接点的位置。

凹凸性可以
分为凸函数和凹函数，两种函数的特点都是当输入值增大的时候，输
出结果的变化的趋势是不断上升的，但是凹凸性不同，当曲线两边的
作用力不同时，就会有所不同，曲线的形状也会有不同的变化，凸函
数输入值增大时会出现上升的趋势，凹函数则会出现下降的趋势。

因此，凹凸性是指曲线有凹函数和凸函数之分，关系到它们的形状及其
连接处的位置。

其次是拐点。

简单来说，就是在曲线上出现可逆变化的点。

也就
是在曲线上某个特殊点，曲线两边的切线方向相反，就是拐点。

拐点
的判断有两个关键点，第一个是曲线的二阶导数，第二个是曲线的三
阶导数。

如果曲线的二阶导数是0，而且它的三阶导数也不是0或者小于0，那么它就是一个拐点，拐点处曲线切线方向就会发生变化。

以上就是高等数学曲线凹凸性和拐点的相关介绍，凹凸性和拐点都是非常重要的问题，影响着该曲线的分析与研究，这一点读者一定要引起足够的重视，同时还要多加研究，深入了解曲线的凹凸性和拐点，来进一步深入理解曲线的内在结构，对更好的进行数学分析有很大帮助。