导数求切线方程专题训练

第十二讲 导数的切线方程1. 导数的几何意义：切线的斜率2. 求斜率的方法 （1）公式：/12012tan ()y y k f x x x α-===-0απ为直线的倾斜角，范围[0,),x 是切点的横坐标（2）当直线l 1、l 2的斜率都存在时：1212l l k k ⇔=P ，12120l l k k ⊥⇔•= 3. 切线方程的求法 （1）求出直线的斜率 （2）求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式00()y y k x x -=-写出直线方程。

考向一斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为。

（2）设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________． 【答案】（1）π4.（2）e【解析】（1）∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4.（3）由题意得()ln 1f x x '=+，又00()ln 12f x x '=+=，解得0e x =．【举一反三】1.已知在曲线2y x =上过点00(),P x y 的切线为l ． （1）若切线l 平行于直线45y x =-，求点P 的坐标； （2）若切线l 垂直于直线2650x y -+=，求点P 的坐标； （3）若切线l 的倾斜角为135︒，求点P 的坐标． 【答案】（1）(2,4)；（2）39(,)24-；（3）11(,)24-．【解析】（1）两条直线平行斜率相等，2x 0=4,x 0=2,代入曲线y 0=4,切点P （2,4） （2）直线直线垂直，斜率相乘等于-1.g 0000139392x =-1,x =-,将x 代入曲线y =,故P （-，）32424（3）因为切线l 的倾斜角为135︒，所以其斜率为1-．即021x =-，得012x =-，014y =，故11(,)24P -．考向二在某点处求切线方程【例2】设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．【解析】因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0. 【答案】x －y －1＝0【举一反三】1.函数f (x )＝e xcos x 在点(0，f (0))处的切线方程为。

考点49：利用导数求切线方程【题组一 求切线斜率或倾斜角】 1．曲线在点处的切线斜率为 .()sin cos f x x x =,66f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．曲线在处的切线的斜率等于 .x y e x =+0x =3．曲线在点处的切线的倾斜角为 .34y x x =-()1,3-4．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则()323f x x =()()1,1f α222sin cos 2sin cos cos ααααα-=+ .5．曲线在处的切线的倾斜角为，则的值为 .2ln y x x =-1x =αcos(22πα+6．已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为。

234x y lnx =-12-7．点P 在曲线上移动，设点P 处切线的倾斜角为，则角的范围是 。

323y x x =-+αα8．若函数，则曲线在点处的切线的倾斜角是 。

()3ln f x x x x -+-()y f x =()()-1,-1f【题组二 在某点处求切线】1．曲线在点处的切线方程为________.()20xy x e --=()0,2-2．曲线在点处的切线方程为__________． cos y x x =+(0,1)3．曲线在点处的切线方程为______.()3x y x e x =+()0,04．曲线在处的切线方程为__________． ()sin 1ln 1=+++y x x x 0x =5．曲线在处的切线方程为__________． ()tan ln 11=+++y x x 0x =6． 曲线在点处的切线方程为__________. cos 2xy x =-()0,17．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是()f x 0x <()ln()3f x x x =-+()y f x =(1,3)-__________．8．若函数为奇函数，则曲线在点处的切线方程为()()3212f x a x ax x =++-()y f x =()()1,1f______________．【题组三 过某点求切线】1．过原点与曲线相切的直线方程为______. 2x y e =2．已知点在函数的图象上，则过点的曲线的切线方程()1,2A ()3f x ax =A ():C y f x =是 。

类型一：在型切线方程1．(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程为________．2．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．3：2016考全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．4．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.5．(2018·山师附中质检)已知直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－3D ．－16．(2018·福州质检)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．47．(2018·赣中南五校联考)已知函数f n (x )＝x n ＋1，n ∈N 的图象与直线x ＝1交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 019x 1＋log 2 019x 2＋…＋log 2 019x 2 018的值为( )A ．－1B ．1－log 2 0192 018C ．－log 2 0192 018D ．18．(2018·兰州模拟)已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(x )＝1，则函数y ＝f (x )＋2g (x )的图象在x ＝5处的切线方程为________．9．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.则f (x )的解析式为________．类型二：过型切线方程1. 已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝02 若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________．3.函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．(2，＋∞) D ．(0，＋∞)类型三：公切线问题1 (2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.2．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2 3．(2018·南昌模拟)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－24．(2018·潍坊模拟)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是________．类型一：在型切线方程1．(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y ＝x 2＋1x 在点(1,2)处的切线方程为________．解析：∵y ＝x 2＋1x ，∴y ′＝2x －1x 2，∴y ′|x ＝1＝2－1＝1，∴所求切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0. 答案：x －y ＋1＝02．(2017·高考天津卷)已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．解析：由题意可知f ′(x )＝a －1x ，所以f ′(1)＝a －1，因为f (1)＝a ，所以切点坐标为(1，a )，所以切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)， 即y ＝(a －1)x ＋1.令x ＝0，得y ＝1，即直线l 在y 轴上的截距为1. 答案：13：2016考全国卷Ⅲ)已知f (x )为偶函数，当x ＜0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：令x ＞0，则－x ＜0，f (－x )＝ln x －3x ， 又f (－x )＝f (x )， ∴f (x )＝ln x －3x (x ＞0)， 则f ′(x )＝1x－3(x ＞0)，∴f ′(1)＝－2，∴在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝ －2(x －1)，则y ＝－2x －1. 答案：y ＝－2x －14．曲线y ＝a ln x (a ＞0)在x ＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a ＝________.解析：∵y ＝a ln x ，∴y ′＝ax，∴在x ＝1处的切线的斜率k ＝a ，而f (1)＝a ln 1＝0， 故切点为(1,0)，∴切线方程为y ＝a (x －1)．令y ＝0，得x ＝1；令x ＝0，得y ＝－a . ∴三角形面积S ＝12×a ×1＝4，∴a ＝8.答案：85．(2018·山师附中质检)已知直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 相切于点P (1,4)，则b 的值为( )A ．3B ．1C ．－3D ．－1解析：选D.法一：因为点P (1,4)在曲线y ＝ax 2＋2＋ln x 上，所以a ＋2＝4，解得a ＝2，故y ′＝2ax ＋1x ＝4x ＋1x，所以y ′|x ＝1＝5＝k ，将点P (1,4)代入y ＝5x ＋b ，得b ＝－1.故选D.法二：由题意得y ′＝2ax ＋1x ，所以在点P (1,4)处的切线方程为y －4＝(2a ＋1)(x －1)，即y ＝(2a ＋1)x －2a ＋3，故⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1＝k ，－2a ＋3＝b ，a ＋2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，k ＝5，b ＝－1.6．(2018·福州质检)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B.依题意得f (3)＝k ×3＋2＝1，k ＝－13，则f ′(3)＝k ＝－13，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)＝1－1＝0，故选B.7．(2018·赣中南五校联考)已知函数f n (x )＝x n ＋1，n ∈N 的图象与直线x ＝1交于点P ，若图象在点P 处的切线与x 轴交点的横坐标为x n ，则log 2 019x 1＋log 2 019x 2＋…＋log 2 019x 2 018的值为( )A ．－1B ．1－log 2 0192 018C ．－log 2 0192 018D ．1解析：选A.由题意可得点P 的坐标为(1,1)，f ′n (x )＝(n ＋1)·x n ，所以f n (x )图象在点P 处的切线的斜率为n ＋1，故可得切线的方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，所以切线与x 轴交点的横坐标为x n ＝nn ＋1，则log 2 019x 1＋log 2 019x 2＋…＋log 2 019x 2 018＝log 2 019(x 1x 2…x 2 018)＝log 2019⎝⎛⎭⎫12×23×34×…×2 0182 019＝log 2 01912 019＝－1，故选A.8．(2018·兰州模拟)已知函数f (x )，g (x )满足f (5)＝5，f ′(5)＝3，g (5)＝4，g ′(5)＝1，则函数y ＝f (x )＋2g (x )的图象在x ＝5处的切线方程为________．解析：由y ＝f (x )＋2g (x )＝h (x )知y ′＝h ′(x )＝f ′(x )g (x )－(f (x )＋2)g ′(x )g 2(x )得h ′(5)＝f ′(5)g (5)－(f (5)＋2)g ′(5)g 2(5)＝3×4－(5＋2)×142＝516.又h (5)＝f (5)＋2g (5)＝5＋24＝74，所以切线方程为y －74＝516(x －5)，即5x －16y ＋3＝0. 答案：5x －16y ＋3＝09．设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.则f (x )的解析式为________．解析：方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .答案：f (x )＝x －3x类型二：过型切线方程1. 已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．x －y －1＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)．又∵f ′(x )＝1＋ln x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝(1＋ln x 0)x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴切点为(1,0)，∴f ′(1)＝1＋ln 1＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.故选B. 答案：B2 若直线y ＝2x ＋m 是曲线y ＝x ln x 的切线，则实数m 的值为________． 解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)， 由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1，得切线的斜率k ＝ln x 0＋1，故切线方程为y －x 0ln x 0＝(ln x 0＋1)(x －x 0)， 整理得y ＝(ln x 0＋1)x －x 0，与y ＝2x ＋m 比较得⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝2，－x 0＝m ，解得x 0＝e ，故m ＝－e. 答案：－e3.函数f (x )＝ln x ＋ax 存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，2] B ．(－∞，2) C ．(2，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：直线2x －y ＝0的斜率为2，且f ′(x )＝1x ＋a (x ＞0)，令1x ＋a ＝2得a ＝2－1x .因为x＞0，则1x＞0，所以a ＜2.故选B.答案：B类型三：公切线问题1 (2016·高考全国卷Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2，y ＝ln(x ＋1)均相切，设切点分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由y ＝ln x ＋2得y ′＝1x ，由y ＝ln(x ＋1)得y ′＝1x ＋1，∴k ＝1x 1＝1x 2＋1，∴x 1＝1k ，x 2＝1k －1，∴y 1＝－ln k ＋2，y 2＝－ln k .即A ⎝⎛⎭⎫1k ，－ln k ＋2， B ⎝⎛⎭⎫1k －1，－ln k ， ∵A 、B 在直线y ＝kx ＋b 上，∴⎩⎨⎧2－ln k ＝k ·1k＋b ，－ln k ＝k ·⎝⎛⎭⎫1k －1＋b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1－ln 2，k ＝2. 答案：1－ln 22．若曲线f (x )＝a cos x 与曲线g (x )＝x 2＋bx ＋1在交点(0，m )处有公切线，则a ＋b ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2解析：选C.依题意得，f ′(x )＝－a sin x ，g ′(x )＝2x ＋b ， 于是有f ′(0)＝g ′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b ，b ＝0， m ＝f (0)＝g (0)，即m ＝a ＝1，因此a ＋b ＝1.3．(2018·南昌模拟)已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D.∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0， ∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 2＋mx 0＋72，m ＜0解得m ＝－2.4．(2018·潍坊模拟)若存在过点O (0,0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，则a 的值是________．解析：易知点O (0,0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上． ①当O (0,0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0， 依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1.②当O (0,0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164.答案：1或164。

第十二讲 导数的切线方程1. 导数的几何意义：切线的斜率2. 求斜率的方法（1）公式：/12012tan ()y y k f x x x α-===- 0απ为直线的倾斜角，范围[0,),x 是切点的横坐标（2）当直线l 1、l 2的斜率都存在时：1212l l k k ⇔=，12120l l k k ⊥⇔•=3. 切线方程的求法（1）求出直线的斜率（2）求出直线上的一点或切点（3）利用点斜式00()y y k x x -=-写出直线方程。

考向一 斜率（或倾斜角）与切点互求【例1】（1）曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为 。

（2）设函数()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =______________．【答案】（1）π4.（2）e 【解析】（1）∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4. （3）由题意得()ln 1f x x '=+，又00()ln 12f x x '=+=，解得0e x =．【举一反三】1.已知在曲线2y x =上过点00(),P x y 的切线为l ．（1）若切线l 平行于直线45y x =-，求点P 的坐标；（2）若切线l 垂直于直线2650x y -+=，求点P 的坐标；（3）若切线l 的倾斜角为135︒，求点P 的坐标．【答案】（1）(2,4)；（2）39(,)24-；（3）11(,)24-．【解析】（1）两条直线平行斜率相等，2x 0=4,x 0=2,代入曲线y 0=4,切点P （2,4）（2）直线直线垂直，斜率相乘等于- 1.0000139392x =-1,x =-,将x 代入曲线y =,故P （-，）32424（3）因为切线l 的倾斜角为135︒，所以其斜率为1-．即021x =-，得012x =-，014y =，故11(,)24P -．考向二 在某点处求切线方程【例2】设函数f (x )＝x ln x ，则点(1,0)处的切线方程是________．【解析】因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1，所以切线方程为x －y －1＝0.【答案】x －y －1＝0【举一反三】1.函数f (x )＝e x cos x 在点(0，f (0))处的切线方程为 。

高考数学真题精选（按考点分类）专题十三 曲线的切线方程（学生版）一．选择题（共11小题）1．（2019•新课标Ⅱ）曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A ．10x y π---=B ．2210x y π---=C ．2210x y π+-+=D ．10x y π+-+=2．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则()A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-3．（2018•全国）若函数2()1f x ax =+图象上点(1，f （1）)处的切线平行于直线21y x =+，则(a = ) A ．1-B ．0C ．14D ．14．（2018•新课标Ⅰ）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =5．（2016•山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( ) A ．sin y x =B ．y lnx =C ．x y e =D ．3y x =6．（2016•四川）设直线1l ，2l 分别是函数,01(),1lnx x f x lnx x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ∆的面积的取值范围是( ) A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,)+∞D ．(1,)+∞7．（2012•辽宁）已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，2-，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( ) A ．1B ．3C ．4-D ．8-8．（2011•湖南）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(4M π，0)处的切线的斜率为( )A ．12-B ．12C ．D 9．（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线12y x -=在点12(,)a a -处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则(a = ) A ．64B ．32C ．16D ．810．（2009•陕西）设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则12n x x x ⋯的值为( )A ．1nB ．11n + C ．1n n + D ．111．（2005•湖北）在函数38y x x =-的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是( ) A ．3B ．2C ．1D ．0二．填空题（共12小题）12．（2019•新课标Ⅰ）曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 ． 13．（2018•新课标Ⅱ）曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为 ．14．（2018•新课标Ⅲ）曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a = ． 15．（2017•新课标Ⅰ）曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为 ． 16．（2017•全国）若曲线1(1)1y x x x =+>-的切线l 与直线34y x =平行，则l 的方程为 ． 17．（2017•天津）已知a R ∈，设函数()f x ax lnx =-的图象在点(1，f （1）)处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ．18．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ．19．（2016•新课标Ⅲ）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是 ．20．（2016•新课标Ⅲ）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十三 曲线的切线方程（教师版）一．选择题（共11小题）1．（2019•新课标Ⅱ）曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为( ) A ．10x y π---= B ．2210x y π---= C ．2210x y π+-+= D ．10x y π+-+=【答案】C【解析】由2sin cos y x x =+，得2cos sin y x x '=-，|2cos sin 2x y πππ=∴'=-=-，∴曲线2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为12()y x π+=--，即2210x y π+-+=．2．（2019•新课标Ⅲ）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则()A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-【答案】D【解析】x y ae xlnx =+的导数为1x y ae lnx '=++，由在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，可得102ae ++=，解得1a e -=， 又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-，故选：D ．3．（2018•全国）若函数2()1f x ax =+图象上点(1，f （1）)处的切线平行于直线21y x =+，则(a = ) A ．1- B ．0 C ．14D ．1【答案】D【解析】函数2()1f x ax =+的导数为()2f x ax '=，可得点(1，f （1）)处的切线斜率为2a ，由点(1，f （1）)处的切线平行于直线21y x =+， 可得22a =，解得1a =，故选：D ．4．（2018•新课标Ⅰ）设函数32()(1)f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x =【答案】D【解析】函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，()()f x f x -=-，323232(1)((1))(1)x a x ax x a x ax x a x ax -+--=-+-+=----．所以：22(1)(1)a x a x -=--可得1a =，所以函数3()f x x x =+，可得2()31f x x '=+， 曲线()y f x =在点(0,0)处的切线的斜率为1， 则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为：y x =．5．（2016•山东）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是( ) A ．sin y x = B ．y lnx =C ．x y e =D ．3y x =【答案】A【解析】函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数()y f x =的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1-， 当sin y x =时，cos y x '=，满足条件；当y lnx =时，10y x'=>恒成立，不满足条件； 当x y e =时，0x y e '=>恒成立，不满足条件； 当3y x =时，230y x '=>恒成立，不满足条件.6．（2016•四川）设直线1l ，2l 分别是函数,01(),1lnx x f x lnx x -<<⎧=⎨>⎩图象上点1P ，2P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，则PAB ∆的面积的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,)+∞ D ．(1,)+∞【答案】A【解析】设11(P x ，1)y ，22(P x ，212)(01)y x x <<<，当01x <<时，1()f x x '=-，当1x >时，1()f x x '=，1l ∴的斜率111k x =-，2l 的斜率221k x =，1l 与2l 垂直，且210x x >>，∴1212111k k x x =-=-，即121x x =． 直线11111:()l y x x lnx x =---，22221:()l y x x lnx x =-+． 取0x =分别得到1(0,1)A lnx -，2(0,1)B lnx -+，121212|||1(1)||2()||2|2AB lnx lnx lnx lnx lnx x =---+=-+=-=．联立两直线方程可得交点P 的横坐标为12122x x x x x =+，∴1212121121122||||2122PAB P x x S AB x x x x x x x ∆==⨯⨯==+++．函数1y x x=+在(0,1)上为减函数，且101x <<， ∴111112x x +>+=，则1111012x x <<+，∴112011x x <<+． PAB ∴∆的面积的取值范围是(0,1)．7．（2012•辽宁）已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，2-，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为( ) A ．1 B ．3 C ．4- D ．8-【答案】C【解析】P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，2-， (4,8)P ∴，(2,2)Q -，22x y =，212y x ∴=，y x ∴'=，∴切线方程AP ，AQ 的斜率4AP K =，2AQ K =-， ∴切线方程AP 为84(4)y x -=-，即48y x =-，切线方程AQ 的为22(2)y x -=-+，即22y x =--，令4822y x y x =-⎧⎨=--⎩，∴14x y =⎧⎨=-⎩，∴点A 的纵坐标为4-．故选C ． 8．（2011•湖南）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(4M π，0)处的切线的斜率为()A ．12-B ．12C ．D 【答案】B 【解析】sin 1sin cos 2x y x x =-+2cos (sin cos )(cos sin )sin (sin cos )x x x x x x y x x +--'∴=+21(sin cos )x x =+211||4(sin cos )42x xy x x ππ'====+ 故选B ．9．（2010•全国大纲版Ⅱ）若曲线12y x -=在点12(,)a a -处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则(a = )A ．64B ．32C ．16D ．8【答案】A【解析】3212y x -'=-，3212k a -∴=-，切线方程是13221()2y a a x a ---=--，令0x =，1232y a -=，令0y =，3x a =，∴三角形的面积是121331822s a a -==，解得64a =．故选A ．10．（2009•陕西）设曲线1*()n y x n N +=∈在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ，则12n x x x ⋯的值为( )A ．1nB ．11n + C ．1n n + D ．1【答案】B【解析】对1*()n y x n N +=∈求导得(1)n y n x '=+，令1x =得在点(1,1)处的切线的斜率1k n =+，在点(1,1)处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-，不妨设0y =，1n n x n =+ 则1231231123411n n n x x x x n n n -⋯=⨯⨯⨯⋯⨯⨯=++，故选B ． 11．（2005•湖北）在函数38y x x =-的图象上，其切线的倾斜角小于4π的点中，坐标为整数的点的个数是( ) A ．3 B ．2C ．1D ．0【答案】D【解析】切线倾斜角小于4π，∴斜率01k <． 设切点为0(x ，3008)x x -，则200|38x x k y x =='=-，200381x ∴-<，20833x <． 又0x Z ∈，0x ∴不存在．故选D ．二．填空题（共12小题）12．（2019•新课标Ⅰ）曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 ． 【答案】3y x = 【解析】23()x y x x e =+，23(31)x y e x x '∴=++，∴当0x =时，3y '=，23()x y x x e ∴=+在点(0,0)处的切线斜率3k =，∴切线方程为：3y x =．13．（2018•新课标Ⅱ）曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为 ． 【答案】22y x =- 【解析】2y lnx =，2y x∴'=，当1x =时，2y '= ∴曲线2y lnx =在点(1,0)处的切线方程为22y x =-．14．（2018•新课标Ⅲ）曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，则a = ． 【答案】3-【解析】曲线(1)x y ax e =+，可得(1)x x y ae ax e '=++，曲线(1)x y ax e =+在点(0,1)处的切线的斜率为2-，可得：12a +=-，解得3a =-． 15．（2017•新课标Ⅰ）曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为 ． 【答案】10x y -+= 【解析】曲线21y x x =+，可得212y x x'=-，切线的斜率为：211k =-=． 切线方程为：21y x -=-，即：10x y -+=． 16．（2017•全国）若曲线1(1)1y x x x =+>-的切线l 与直线34y x =平行，则l 的方程为 ． 【答案】3450x y -+=【解析】设切点为(,)m n ，可得11m n m +=-，1(1)1y x x x =+>-的导数为211(1)y x '=--， 由切线l 与直线34y x =平行，可得2131(1)4m -=-，解得3m =，即有切点为7(3,)2，可得切线的方程为73(3)24y x -=-，即为3450x y -+=． 17．（2017•天津）已知a R ∈，设函数()f x ax lnx =-的图象在点(1，f （1）)处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为 ． 【答案】1【解析】函数()f x ax lnx =-，可得1()f x a x'=-，切线的斜率为：k f ='（1）1a =-， 切点坐标(1,)a ，切线方程l 为：(1)(1)y a a x -=--， l 在y 轴上的截距为：(1)(1)1a a +--=．18．（2019•江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线0x y +=的距离的最小值是 ．【答案】4【解析】由4(0)y x x x =+>，得241y x'=-，设斜率为1-的直线与曲线4(0)y x x x=+>切于0(x ，004)x x +，由20411x -=-，解得000)x x =>． ∴曲线4(0)y x x x =+>上，点P 到直线0x y +=的距离最小，4=．19．（2016•新课标Ⅲ）已知()f x 为偶函数，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程是 ． 【答案】210x y ++=【解析】()f x 为偶函数，可得()()f x f x -=，当0x <时，()()3f x ln x x =-+，即有0x >时，()3f x lnx x =-，1()3f x x'=-， 可得f （1）133ln =-=-，f '（1）132=-=-，则曲线()y f x =在点(1,3)-处的切线方程为(3)2(1)y x --=--， 即为210x y ++=．故答案为：210x y ++=．20．（2016•新课标Ⅲ）已知()f x 为偶函数，当0x 时，1()x f x e x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是 ． 【答案】2y x =【解析】已知()f x 为偶函数，当0x 时，1()x f x e x --=-，设0x >，则0x -<，1()()x f x f x e x -∴=-=+，则1()1x f x e -'=+，f '（1）012e =+=．∴曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是22(1)y x -=-．即2y x =．。

导数公切线练习题导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。

在数学中，我们经常遇到需要求函数在某一点的切线斜率或者求函数在某一点的切线方程的问题，而这些问题可以通过导数来解决。

在本文中，我们将介绍一些导数公切线的练习题，帮助大家更好地理解和应用导数概念。

1. 练习题一：已知函数f(x)=2x^3-3x^2+4x-5，求函数f(x)在点x=2处的切线方程。

解答：首先，我们需要求出函数f(x)在点x=2处的导数f'(x)。

对于给定的函数f(x)，我们可以求出导数f'(x)为f'(x)=6x^2-6x+4。

接下来，我们根据导数的定义，可以得到函数f(x)在点x=2处的切线斜率为f'(2)。

带入x=2，我们得到切线斜率为f'(2)=6*2^2-6*2+4=20。

知道切线斜率后，我们可以利用点斜式或者斜截式来求切线方程。

这里，我们使用点斜式。

切线方程的点（x1，y1）为（2，f(2)）。

将该点和切线斜率代入点斜式的公式y-y1=k(x-x1)，我们可以得到切线方程的表达式为y-f(2)=20(x-2)。

所以，函数f(x)在点x=2处的切线方程为y-(-5)=20(x-2)。

2. 练习题二：已知函数g(x)=sin(x)+cos(x)，求函数g(x)在点x=π/4处的切线方程。

解答：同样地，我们首先求出给定函数g(x)的导数g'(x)。

对于函数g(x)，我们可以得到导数g'(x)为g'(x)=cos(x)-sin(x)。

接下来，我们代入x=π/4，求出切线斜率为g'(π/4)。

带入x=π/4，我们得到切线斜率为g'(π/4)=cos(π/4)-sin(π/4)。

根据三角函数的性质，我们可以知道cos(π/4)=sin(π/4)=√2/2。

所以，切线斜率为g'(π/4)=√2/2-√2/2=0。

已知切线斜率为0，我们可以得出切线方程的表达式为y=g(π/4)。

专题11:用导数求切线高考真题赏析(解析版）一、单选题1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数求解函图象的切线方程，考查计算能力，属于基础题 2．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 若直线l 与曲线y和x 2+y 2=15都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1 B ．y =2x +12C ．y =12x +1 D ．y =12x +12【答案】D 【分析】根据导数的几何意义设出直线l 的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线l在曲线y =(0x ，则00x >，函数y =y '=，则直线l的斜率k =， 设直线l的方程为)0y x x =-，即00x x -+=，由于直线l 与圆2215x y +== 两边平方并整理得2005410x x --=，解得01x =，015x =-（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122y x =+. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 3．2018年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标I 卷）设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( ) A ．2y x =- B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.点睛：该题考查的是有关曲线()y f x =在某个点00(,())x f x 处的切线方程的问题，在求解的过程中，首先需要确定函数解析式，此时利用到结论多项式函数中，奇函数不存在偶次项，偶函数不存在奇次项，从而求得相应的参数值，之后利用求导公式求得'()f x ，借助于导数的几何意义，结合直线方程的点斜式求得结果.4．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国Ⅱ卷） 设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a= （ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x 0）表示曲线f （x ）在x=x 0处的切线斜率，再代入计算． 解：，∴y′（0）=a ﹣1=2， ∴a=3． 故答案选D ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．5．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ）已知曲线e ln xy a x x =+在点()1,ae 处的切线方程为2y x b =+，则（ ）A ．,1a e b ==-B ．,1a e b ==C ．1,1a e b -==D ．1,1a e b -==-【答案】D 【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得a ，将点的坐标代入直线方程，求得b ． 【详解】详解：ln 1,xy ae x '=++1|12x k y ae ='==+=，1a e -∴=将(1,1)代入2y x b =+得21,1b b +==-，故选D ． 【点睛】本题关键得到含有a ，b 的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系． 6．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ） 曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【分析】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．【点睛】本题考查利用导数工具研究曲线的切线方程，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取导数法，利用函数与方程思想解题．学生易在非切点处直接求导数而出错，首先证明已知点是否为切点，若是切点，可以直接利用导数求解；若不是切点，设出切点，再求导，然后列出切线方程．二、填空题7．2018年全国普通高等学校招生统一考试理数（全国卷II ） 曲线2ln(1)y x =+在点(0,0)处的切线方程为__________．【答案】2y x = 【分析】先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程. 【详解】2222101y k y x x =∴==∴=+'+ 【点睛】求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点. 8．2018年全国卷Ⅲ理数高考试题文曲线()1e xy ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 【答案】3- 【分析】求导，利用导数的几何意义计算即可． 【详解】解：()y 1xxae ax e =++'所以3a =- 故答案为-3. 【点睛】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，属于基础题． 9．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷） 若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则． 【答案】 【解析】试题分析：对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得.【考点】导数的几何意义【名师点睛】函数f （x ）在点x 0处的导数f ′（x 0）的几何意义是曲线y ＝f （x ）在点P （x 0，y 0）处的切线的斜率．相应地，切线方程为y−y 0＝f ′（x 0）（x−x 0）． 注意：求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过点P 的切线的不同． 10．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅱ）已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ． 【答案】8试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．11．2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ） 曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________． 【答案】30x y -=. 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x xy x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求．12．2020年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅰ曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. ）【答案】2y x =设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题.13．2017年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标1卷） 曲线21y x x=+在点（1，2）处的切线方程为______________． 【答案】1y x =+ 【解析】设()y f x =，则21()2f x x x'=-，所以(1)211f '=-=， 所以曲线21y x x=+在点(1,2)处的切线方程为21(1)y x -=⨯-，即1y x =+．点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出斜率，其求法为：设00(,)P x y 是曲线()y f x =上的一点，则以P 为切点的切线方程是000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．14．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3卷）已知()f x 为偶函数，当0x ≤ 时，1()ex f x x --=-，则曲线()y f x =在点(1,2)处的切线方程是_________. 【答案】2y x =试题分析：当0x >时，0x -<，则1()e x f x x --=+．又因为()f x 为偶函数，所以1()()e x f x f x x -=-=+，所以1()e 1x f x -='+，则(1)2f '=，所以切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =．【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当0x >时，函数()y f x =，则当0x <时，求函数的解析式”．有如下结论：若函数()f x 为偶函数，则当0x <时，函数的解析式为()y f x =-；若()f x 为奇函数，则函数的解析式为()y f x =--．15．2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ）已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则a = .【答案】1 【解析】 试题分析：()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)(21)1a a =+-⇒=.考点：1、导数的几何意义；2、直线方程.【方法点晴】本题考查导数的几何意义、直线方程，涉及分特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 首先求导可得()()2'31'131,(1)2:(2)(31)(1)7(2)f x ax f a f a l y a a x a =+⇒=+=+⇒-+=+-⇒-+(31)a =+ •(21)1a -⇒=.。

导数求切线方程的练习题及答案精品文档导数求切线方程的练习题及答案类型一:已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数f?，并代入点斜式方程即可( 例1 曲线y?x3?3x2?1在点处的切线方程为 ,(y?3x?4,(y??3x?,(y?4x?5类型四:已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解( 例求过点且与曲线y?例已知函数y?x3?3x，过点A作曲线y?f的切线，切线方程(1x相切的直线方程(,(y??4x?3类型二:已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决(例与直线2x?y?4?0的平行的抛物线y?x的切线方程是2,(2x?y?3?0 ,(2x?y?1?0,(2x?y?3?0 ,(2x?y?1?01 / 6精品文档类型三:已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法(例求过曲线y?x3?2x上的点的切线方程(高二数学第1页共2页高二数学第2页共2页学校数学学科导学案编制人: 审核人: 授课日期: 月日姓名: 班级: 编号:第周号运用导数求切线方程的专项训练11.对任意x，有f?=4x3，f=,1，则此函数为A.f=x4,2C.f=x3B.f=x4+D.f=,x42.如果质点A按规律s=2t3运动，则在t=s时的瞬时速度为A. B.1C.5 D.813(曲线y=x3,3x2+1在点处的切线方程为A.y=3x,4B.y=,3x+2C.y=,4x+D.y=4x,54.函数f=的导数是A.x2,x+1B.C.3xD.3x2+15.曲线y=f在点)处的切线方程为3x+y+3=0，则A. f?>0B. f? 6. 曲线y?x在点?1,1?处的切线方程为2x?12 / 6精品文档A. x?y?2?0B. x?y?2?0C.x?4y?5?0D. x?4y?5?07. 在平面直角坐标系xoy中，点P在曲线C:y?x?10x?3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.8. 曲线f?lnx?x在点处的切线的倾斜角为_______.9(曲线y?xe?2x?1在点处的切线方程为。

用导数求切线方程的四种类型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，与斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型与解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+ Ｄ．45y x =- 1解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．练习：1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴斜交答案 B 2.已知函数y ＝f (x )的图像如右图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定 答案 B2．曲线y ＝－2x 2＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在答案 B10．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( )A ．2B ．4C ．6＋6·Δx ＋2·(Δx )2D ．6答案 D4．函数y ＝sin 2x 的图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，14处的切线的斜率是( )A. 3B.33C.12D.32答案 D分析 将函数y ＝sin 2x 看作是由函数y ＝u 2，u ＝sin x 复合而成的．解析 ∵y ′＝2sin x cos x ， ∴y ′|x ＝π6＝2sin π6cos π6＝322．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°答案 B6．y ＝x 3的切线倾斜角的围为________． 答案 [0，π2)解析 k ＝y ′＝3x 2≥0.8．设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，点P 处切线倾斜角为α，则角α的取值围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π B.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，56π C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫56π，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫23π，π答案 D解析 由y ′＝3x 2－3，易知y ′≥－3，即tan α≥－ 3. ∴0≤α<π2或23π≤α<π.14．已知曲线C ：y ＝x 3，求在曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程．解析 将x ＝1代入曲线C 的方程得y ＝1， ∴切点P (1,1)．∵y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－x 3Δx＝lim Δx →03x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx＝lim Δx →0[3x 2＋3xΔx ＋(Δx )2]＝3x 2，∴y ′|x ＝1＝3.∴过P 点的切线方程为y －1＝3(x －1)， 即3x －y －2＝0.14．求曲线y ＝sin x 在点A (π6，12)处的切线方程．解析 ∵y ＝sin x ，∴y ′＝cos x . ∴y ′|x ＝π6＝cos π6＝32，k ＝32.∴切线方程为y －12＝32(x －π6)．化简得63x －12y ＋6－3π＝0. 6．曲线y ＝xx －2在点(1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝x －2B ．y ＝－3x ＋2C ．y ＝2x －3D ．y ＝－2x ＋1答案 D例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点(4，12)处的切线方程．[思路分析] 将函数变形为y ＝(x 2－3x )－12，将其看做是由函数y ＝u －12、u ＝x 2－3x 复合而成．[解析] ∵y ＝1x 2－3x＝(x 2－3x )－12， ∴y ′＝－12(x 2－3x )－32·(x 2－3x )′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)．∴曲线y ＝1x 2－3x在点(4，12)处的切线斜率为 k ＝y ′|x ＝4＝－12(42－3×4)－32·(2×4－3)＝－516.∴曲线在点(4，12)处的切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 探究3 此题不要将函数y ＝1x 2－3x看做是由y ＝1u ，u ＝v ，v ＝x 2－3x 三个函数复合而成的，这样求导就麻烦了．思考题 3 (1)曲线y ＝3x 2＋1在点(1,2)处的切线方程为__________________．[答案] 3x －2y ＋1＝0(2)y ＝11－x 2的水平切线方程是________．[解析] 令y ′＝0，得x ＝0，∴y ＝1.12．求曲线y ＝2x －x 3在点(－1，－1)处的切线的方程与此切线与x 轴、y 轴所围成的平面图形的面积．答案 x ＋y ＋2＝0；28．曲线y ＝e 12 x在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2 C ．2e 2 D ．e 2答案 D解析 ∵y ′＝12·e 12 x，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝4＝12e 2.∴切线方程为y －e 2＝12e 2(x －4)．∴横纵截距分别为2，－e 2，∴S ＝e 2，应选D.11．已知函数y ＝f (x )的图像在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.答案 3解析 f ′(1)＝12，f (1)＝12×1＋2＝52，∴f (1)＋f ′(1)＝3.5．如图是函数f (x )与f (x )在点P 处切线的图像，则f (2)＋f ′(2)＝________.答案 98解析 由题图知，切线方程为x 4＋y4.5＝1，f (2)＝4.5·(1－24)＝94，f ′(2)＝－4.54＝－98.∴f (2)＋f ′(2)＝94－98＝98.类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+= Ｄ．210x y --=2 解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，应选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，应选Ｄ．练习：3．曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－8) B ．(1,1)，(－1，－1) C ．(2,8) D ．(－12，－18)答案 B13．若曲线y ＝2x 3上某点切线的斜率等于6，求此点的坐标． 解析 ∵y ′|x ＝x 0＝lim Δx →02x 0＋Δx3－2x 30Δx＝6x 20，∴6x 20＝6.∴x 0＝±1.故(1,2)，(－1，－2)为所求． 3．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1 D.12答案 A解析 y ′＝12x －31x ，由12x －3x ＝12.得x ＝3或x ＝－2.由于x >0，所以x ＝3.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)>0D ．f ′(x 0)不能确定答案 B5．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)>0B ．f ′(x 0)<0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在答案 B7．在曲线y ＝x 2上切线的倾斜角为π4的点是( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)答案 D2．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0答案 A解析 ∵l 与直线x ＋4y －8＝0垂直， ∴l 的斜率为4.∵y ′＝4x 3，∴由切线l 的斜率是4，得4x 3＝4，∴x ＝1. ∴切点坐标为(1,1)．∴切线方程为y －1＝4(x －1)， 即4x －y －3＝0.应选A.11．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，则与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程是________．答案 4x －4y －1＝0解析 k ＝4－12－－1＝1，又y ′＝2x ，令2x ＝1，得x ＝12，进而y ＝14，∴切线方程为y －14＝1·(x －12)，即4x －4y －1＝0.13．如果曲线y ＝x 2＋x －3的某一条切线与直线y ＝3x ＋4平行，求切点坐标与切线方程．答案 切点坐标为(1，－1)，切线方程为3x －y －4＝0 13．曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10的切线中，斜率最小的切线方程为______________．答案 3x －y －11＝0解析 y ′＝3x 2＋6x ＋6＝3(x ＋1)2＋3≥3， 当且仅当x ＝－1时取等号，当x ＝－1，时y ＝－14. ∴切线方程为y ＋14＝3(x ＋1)，即3x －y －11＝0.9．设直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b的值为________．答案 ln2－14．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1答案 A14．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.答案 2解析 由题意得y ′＝a e ax ，y ′|x ＝0＝a e a ×0＝2，a ＝2. 10．函数f (x )＝a sin ax (a ∈R )的图像过点P (2π，0)，并且在点P 处的切线斜率为4，则f (x )的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2 D.π4答案 B解析 f ′(x )＝a 2cos ax ，∴f ′(2π)＝a 2cos2πa . 又a sin2πa ＝0，∴2πa ＝k π，k ∈Z . ∴f ′(2π)＝a 2cos k π＝4，∴a ＝±2. ∴T ＝2π|a |＝π.6．曲线y ＝ln(2x －1)上的点到直线2x －y ＋3＝0的最短距离是( )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．0 答案 A解析 y ′＝22x －1＝2，∴x ＝1.∴切点坐标为(1,0)．由点到直线的距离公式，得d ＝|2×1－0＋3|22＋12＝ 5. 19．曲线y ＝x (x ＋1)(2－x )有两条平行于y ＝x 的切线，则两切线之间的距离为________．答案 16272解析 y ＝x (x ＋1)(2－x )＝－x 3＋x 2＋2x ，y ′＝－3x 2＋2x ＋2，令－3x 2＋2x ＋2＝1，得x 1＝1或x 2＝－13.∴两个切点分别为(1,2)和(－13，－1427)．切线方程为x －y ＋1＝0和x －y －527＝0.∴d ＝|1＋527|2＝16227.类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．6．以下说确的是( )A ．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B ．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处无切线D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)不一定存在答案 D例3 求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程．3解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法． 练习：类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．4解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．5解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．练习：17．已知曲线方程为y ＝x 2，求过A (3,5)点且与曲线相切的直线方程．解析 解法一 设过A (3,5)与曲线y ＝x 2相切的直线方程为y －5＝k (x －3)，即y ＝kx ＋5－3k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋5－3k y ＝x 2，得x 2－kx ＋3k －5＝0.Δ＝k 2－4(3k －5)＝0，整理得(k －2)(k －10)＝0. ∴k ＝2或k ＝10. 所求的直线方程为2x －y －1＝0,10x －y －25＝0.解法二设切点P的坐标为(x0，y0)，由y＝x2，得y′＝2x.∴y′|x＝x0＝2x0.由已知kPA＝2x0，即5－y03－x0＝2x0.又y0＝2x0，代入上式整理，得x0＝1或x0＝5.18．已知曲线S：y＝3x－x3与点P(2,2)，则过点P可向S引切线，其切线条数为( )A．0 B．1C．2 D．3答案 D解析显然P不在S上，设切点为(x0，y0)，由y′＝3－3x2，得y′|x＝x0＝3－3x20.切线方程为y－(3x0－x30)＝(3－3x20)(x－x0)．∵P(2,2)在切线上，∴2－(3x0－x30)＝(3－3x20)(2－x0)，即x30－3x20＋2＝0.∴(x0－1)(x20－2x0－2)＝0.由x0－1＝0，得x0＝1.由x20－2x0－2＝0，得x0＝1± 3.∵有三个切点，∴由P向S作切线可以作3条．综合练习：10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于( )A．0 B．－4C．－2 D．2答案 B解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，令x ＝1，得f ′(1)＝2＋2f ′(1)，∴f ′(1)＝－2. ∴f ′(0)＝2f ′(1)＝－4.12．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－12答案 A解析 依题意得f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，选A.15．(1)求过曲线y ＝e x 上点P (1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程；(2)曲线y ＝15x 5上一点M 处的切线与直线y ＝－x ＋3垂直，求此切线方程．解析 (1)∵y ′＝e x ，∴曲线在点P (1，e)处的切线斜率是y ′|x ＝1＝e. ∴过点P 且与切线垂直的直线的斜率为k ＝－1e .∴所求直线方程为y －e ＝－1e(x －1)，(2)∵切线与y ＝－x ＋3垂直，∴切线斜率为1. 又y ′＝x 4，令x 4＝1，∴x ＝±1.∴切线方程为5x －5y －4＝0或5x －5y ＋4＝0.4．y ＝ax 2＋1的图像与直线y ＝x 相切，则a ＝( ) A.18 B.14 C.12 D ．1答案 B解析 由已知{ y ＝ax 2＋1，y ＝x 有唯一解，即x ＝ax 2＋1，ax 2－x ＋1＝0有唯一解， ∴Δ＝1－4a ＝0，∴a ＝14.15．点P 在曲线y ＝f (x )＝x 2＋1上，且曲线在点P 处的切线与曲线y ＝－2x 2－1相切，求点P 的坐标．解析 设P (x 0，y 0)，则y 0＝x 20＋1.f ′(x 0)＝lim Δx →0x 0＋Δx2＋1－x 20＋1Δx＝2x 0.所以过点P 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x ＋1－x 20.而此直线与曲线y ＝－2x 2－1相切，所以切线与曲线y ＝－2x 2－1只有一个公共点． 由{ y ＝2x 0x ＋1－x 20，y ＝－2x 2－1，得即Δ＝4x 20－8(2－x 20)＝0.解得x 0＝±233，y 0＝73.所以点P 的坐标为(233，73)或(－233，73)．17．若直线y ＝kx 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切，求k 的值． 解析 设切点坐标为(x 0，y 0)，y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2＝k .若x 0＝0，则k ＝2.若x 0≠0，由y 0＝kx 0，得k ＝y 0x 0.∴3x 20－6x 0＋2＝y 0x 0，即3x 20－6x 0＋2＝x 30－3x 20＋2x 0x 0.解之，得x 0＝32. ∴k ＝3×(32)2－6×32＋2＝－14.综上，k ＝2或k ＝－14.16．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图像都过点P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．解析 ∵f (x )＝2x 3＋ax 的图像过点P (2,0)， ∴a ＝－8.∴f (x )＝2x 3－8x .∴f ′(x )＝6x 2－8. 对于g (x )＝bx 2＋c 的图像过点P (2,0)，则4b ＋c ＝0. 又g ′(x )＝2bx ，∴g ′(2)＝4b ＝f ′(2)＝16. ∴b ＝4.∴c ＝－16. ∴g (x )＝4x 2－16. 综上可知，f (x )＝2x 3－8x ，g (x )＝4x 2－16.1．已知直线l 1为曲线y ＝x 2＋x －2在点(1,0)处的切线，l 2为该曲线的另一条切线，且l 1⊥l 2.(1)求直线l 1，l 2的方程；(2)求由直线l 1，l 2和x 轴所围成的三角形的面积．分析 (1)求曲线在某点处的切线方程的步骤：先求曲线在这点处的导数，这点对应的导数值即为过此点切线的斜率，再用点斜式写出直线方程；(2)求面积用S ＝12a ·h 即可完成．解析 (1)因为y ′＝2x ＋1，则直线l 1的斜率k 1＝2×1＋1＝3，则直线l 1的方程为y ＝3x －3，设直线l 2过曲线y ＝x 2＋x －2上的点B (x0,y0)，因为l 1⊥l 2。

完整版)导数求切线方程专题训练导数求切线方程的练题一、典型例题1.已知曲线方程和切点坐标，求切线方程例如，求曲线y=4x^3在点P(16,8)处的切线方程。

2.已知曲线方程和切点斜率，求切线方程例如，已知y=x，求与直线y=-2x-4垂直的切线方程。

3.已知曲线方程和曲线外一点，求切线方程例如，过原点做曲线y=ex的切线，求切线斜率和切线方程。

4.已知曲线方程和曲线上一点，求过该点的切线方程例如，求曲线y=3x-x^3过点A(2,-2)的切线方程。

二、当堂检测1.求过曲线y=-x^3+x上过点(1,0)的切线方程。

2.求经过原点且与曲线y=(x+9)/(x+5)相切的曲线方程。

3.求过曲线y=(1/3)x^2+x上一点(2,3)的切线方程。

4.若直线e^(2x)+y-e^(2-1)=0与曲线y=(1-a)e^x相切，求a 的值。

5.曲线y=x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为（）。

6.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x^2的切线方程是（）。

7.求过曲线y=x^3-2x上的点(1,-1)的切线方程。

8.求过点(2,0)且与曲线y=x^2相切的直线方程。

9.已知函数f(x)=ax+1(a>0)，g(x)=x+bx。

Ⅰ）若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线，求a,b的值；Ⅱ）当a=3，b=-9时，若函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28，求k的取值范围。

2013北京市高考文】已知函数f(x)=x+xsinx+cosx。

Ⅰ）若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切，求a与b的值。

Ⅱ）若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同的交点，求b的取值范围。

切线方程练习题一.已知切点或斜率求切线方程已知切点时，求导算出斜率（已知斜率时，求导算出切点），然后用点斜式写出直线方程.（1）函数xx y 12+=在点)2,1(处的切线方程为 （2）曲线)1ln(2+=x y 在点)0,0(处的切线方程为（3）曲线x e x x y )(32+=在点)0,0(处的切线方程为（4）函数x x x f ln )(2−=在点))1(,1(f 处的切线方程为（5）若曲线x x y −=4的一条切线l 与直线023=+−y x 平行，则直线l 方程为（6）已知曲线x e y =在点)1,0(处的切线与曲线)0(1>=x xy 上在点P 处的切线l 垂直， 则P 的坐标为 ，直线l 方程为（7）已知)(x f 为偶函数，当0<x 时，x x x f 3)ln()(+−=，则曲线)(x f y =在点)3,1(−处的切线方程是_______________（8）曲线x x y cos sin 2+=在点)1,(−π处的切线方程方程为（ ）A.01=−−−πy xB.0122=−−−πy xC.0122=+−+πy xD.01=+−+πy x二.过点求切线方程已知直线过定点),(b a ，设出切点),(00y x ，利用ax b y x f k −−='=000)(，由)(00x f y =， ⇒ax b x f x f −−='000)()(，得到关于0x 的方程，求出0x 即可，注意区分“过点”与“在点” （1）曲线2x y =过点)5,3(P 的切线方程为（2）若直线2+=kx y 是函数13)(23−−−=x x x x f 的一条切线，则=k（3）已知直线kx y =是曲线x y ln =的一条切线，则=k（4）曲线123++=x x y 在点)1,1(−P 处的切线方程为曲线123++=x x y 过点)1,1(−P 的切线方程为三.公切线问题求)(x f y =与)(x g y =的公切线的步骤①设),(),,(1111y x N y x M 分别为)(x f 与)(x g 上的切点②由公切线可知，)()(21x f x f k '='=，可得到1x 与2x 的关系式 ③再由21212121)()(x x x g x f x x y y k −−=−−=，将②中1x 与2x 的关系式代入消元，若消去2x ，则让它与)(1x f ' 相等，从而得到1x 的方程，求出1x 即可；若消去1x ，则让它与)(2x f '相等，求出2x（1）已知直线l 与曲线2x y =和曲线2)2(−−=x y 都相切，则直线l 的方程为（2）已知函数2)(,1)(x x g xx f ==，若直线l 与曲线)(),(x g x f 都相切，则直线l 的斜率为 （3）若直线b kx y +=是曲线2ln +=x y 的切线，也是曲线)1ln(+=x y 的切线，则=b（4）已知直线l 与函数x x f ln )(=与函数x e x g =)(都相切，这样的直线l 有 条.四.利用切线方程求值、求参数（1）曲线x x x x f −+−=ln 33)(3在1=x 处的切线的倾斜角是（ ） A ．6πB ．3πC ．32π D ．65π （2）函数)(x f y =的图象在4=x 处的切线方程为092=−+y x ，则='−)4()4(f f（3）曲线x e ax y )1(+=在点)1,0(处的切线的斜率为2−，则=a ________（4）设曲线)1ln(+−=x ax y 在点)0,0(处的切线方程为x y 2=，则=a（5）函数x x x f ln )(=在点))1(,1(f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是（6）已知曲线x x ae y x ln +=在点),1(ae 处的切线方程为b x y +=2，则=ab（7）函数x ax x f ln )(−=的图象在点))1(,1(f 处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为（8）已知函数1)(3++=x ax x f 的图像在点))1(,1(f 的处的切线过点)7,2(，则=a（9）已知直线1+=x y 与曲线)ln(a x y +=相切，则a 的值为（10）已知曲线xx y ln +=在点()1,1处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切，则=a ________五.最值与取值范围求曲线上一点到直线距离的最小值，可转换求曲线上的切线与已知直线平行问题（1）以曲线2331x x y −=上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ） A.]43,0[π B.),43[]2,0[πππ C.),43[ππ D.]43,2(ππ （2）以正弦曲线x y sin =上一点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ）A.),0[πB.),43[]4,0[πππC.]43,4[ππD.]43,2(]4,0[πππ （3）已知曲线12)(2−+−=ax e e x f x x 存在两条斜率为3的切线，则a 的取值范围是（ ）A.),3(+∞B.)27,3(C.)27,(−∞ D.)3,0( （4）在曲线x x x f 4)(3−=的所有切线中，斜率最小的切线方程为（5）曲线)12ln(−=x y 上的点到直线032=+−y x 的最短距离为（6）Q P ,分别为曲线x e y =与曲线x y ln =上的两点，则PQ 的最小值为答案一．（1）01=+−y x （2）02=−y x （3） 03=−y x （4）0=−y x（5）033=−−y x （6）02),1,1(=−+y x （7）012=++y x （8）C二.（1）012=−−y x 或02510=−−y x （2）2 （3）e1（4）02=+−y x ，1=y 三.（1）44−=x y 或0=y （2）4− （3）2ln 1− （4）2四.（1）C （2）3 （3）-3 （4）3 （5）21 （6）e1− （7）1 （8）1 （9）2 （10）8 五.（1）B （2）B （3）B （4）04=+y x （5）5 （6）2。

专题03曲线的公切线方程【方法总结】解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f (x 1)－g (x 2)x 1－x 2．注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．【例题选讲】[例1](1)(2020·全国Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12(2)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为．(3)曲线C 1：y ＝ln x ＋x 与曲线C 2：y ＝x 2有________条公切线．(4)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝．(5)(2016·课标全国Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝e x 的切线，则b ＝________．(6)已知曲线f (x )＝ln x ＋1与g (x )＝x 2－x ＋a 有公共切线，则实数a 的取值范围为．【对点训练】1．若直线l 与曲线y ＝e x 及y ＝－14x 2都相切，则直线l 的方程为________．2．已知函数f (x )＝x 2的图象在x ＝1处的切线与函数g (x )＝e x a 的图象相切，则实数a 等于()A ．eB ．e e 2C ．e 2D ．e e3．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为()A ．14B ．12C ．1D ．44．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于()A ．1B ．2C ．3D ．3或－15．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f(1))，则m＝________．7．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)＝－2x2＋m，g(x)＝－3ln x－x，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为()A．2B．5C．1D．08．若直线y＝kx＋b是曲线y＝e xe2的切线，也是曲线y＝ex－1的切线，则k＋b等于()A．－ln22B．1－ln22C．ln2－12D．ln229．设曲线y＝e x在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)在点P处的切线垂直，则P的坐标为________．10．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋14在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为．11．已知曲线y＝e x在点(x1，1e x)处的切线与曲线y＝ln x在点(x2，ln x2)处的切线相同，则(x1＋1)(x2－1)＝()A．－1B．－2C．1D．212．曲线C1：y＝x2与曲线C2：y＝a e x(a>0)存在公切线，则a的取值范围是________．13．若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，求a的值．14．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0．(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．。

导数与切线方程1．切线方程的求解1．已知()333f x x x =-+，则曲线()y f x =在点()2,5P 处的切线方程为_________．【答案】9130x y --=【解析】∵点()2,5在()333f x x x =-+上，又()233f x x '=-，()29f '=，∴曲线在()2,5处的切线方程为59(2)y x -=-，即9130x y --=． 故答案为9130x y --=．2．曲线2ln 3y x x =+过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程是（） A ．210x y ++= B ．210x y -+=C ．2410x y ++=D ．2410x y -+=【答案】B【解析】由题意可得点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭不在曲线2ln 3y x x =+上， 设切点为()00,x y ，因为2ln 2y x '=+，所以所求切线的斜率0000022ln 21212y y k x x x =+==++，所以000002ln 2ln 1y x x x x =+++．因为点()00,x y 是切点，所以0002ln 3y x x =+，所以0000002ln 2ln 12ln 3x x x x x x +++=+，即002ln 20x x +-=． 设()2ln 2f x x x =+-，明显()f x 在()0,∞+上单调递增，且()10f =， 所以002ln 20x x +-=有唯一解01x =，则所求切线的斜率2k =， 故所求切线方程为12212y x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，故选B ． 3．已知函数()2()1e x f x ax x =--（a ∈R 且0a ≠）．（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）讨论函数()f x 的单调区间．【答案】（1）210x y ++=；（2）见解析． 【解析】（1）∵()2()1e x f x ax x =--，∴()22()(21)e 1e (21)2e x x xf x ax ax x ax a x '=--⎡=⎤⎣-+-⎦+-，∴(0)2f '=-，又(0)1f =-，∴12y x +=-， ∴所求切线方程为210x y ++=． （2）由题意知，函数()f x 的定义域为R ，由（1）知2()(21)2e xf x ax a x '⎡⎤⎣+-⎦=-，∴()(1)(2)e xf x ax x =-+'，易知e 0x >，①当0a >时，令()0f x '>，得2x <-或1x a >；令()0f x '<，得12x a-<<． ②当102a -<<时，12a <-，令()0f x '>，得12x a <<-；令()0f x '<，得1x a<或2x >-．③当12a =-时，()0f x '≤．④当12a <-时，12a >-，令()0f x '>，得12x a -<<；令()0f x '<，得1x a>或2x <-．综上，当12a <-时，函数()f x 的单调递增区间为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，(,2)-∞-；当12a =-时，函数()f x 在R 上单调递减； 当102a -<<时，函数()f x 的单调递增区间为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递减区间为(2,)-+∞，1,a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，(,2)-∞-，单调递减区间为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．2．已知切线方程求参数的取值范围1．已知0k <，直线()2y k x =-与曲线2ln y x x =-相切，则k =（） A ．12-B ．1-C ．2-D ．e -【答案】B【解析】因为直线()2y k x =-与曲线2ln y x x =-相切， 所以设切点为()000,2ln x x x -，则0'2|1x y k x =-=， 因为0k <，所以002x <<， 则切线方程为()000022ln 1y x x x x x ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭， 因为过点()2,0，代入可得00022ln 0x x x --=．令()()22ln 02f x x x x x =--<<，则()1ln 0f x x '=->在()0,2上恒成立， 所以()f x 在()0,2上单调递增，且()10f =，所以切点为()1,1， 则2111k =-=-，故选B ． 2．已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线e x by -=相切，则14a b+的最小值是________．【答案】9【解析】根据题意，设直线y x a =+与曲线e x by -=的切点为()00,x y ，因为()'eex b x by --=='，直线y x a =+的斜率为1k =，所以0e1x bk -==，00y x a =+，00ex by -=，所以00,1,1x b y a b ==+=， 因为0,0a b >>，所以()14144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当223b a ==时等号成立． 所以14a b+的最小值是9，故答案为9．3．公切线问题1．若曲线ln y x =在点(),1P e 处的切线也是曲线e axy =的一条切线，则a =________．【答案】2e -或21e【解析】因为ln y x =，所以1y x'=，则e1e x y ='=， 所以曲线ln y x =在点(),1P e 处的切线方程为1ey x =，设1ey x =与e axy =相切于点()00,e ax x ，因为()e e ax axa '=，所以0001e e e 1e ax ax a x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则00e eax ax a x =，01a x =，可得20e x =，从而2e a -=， 故答案为2e -．2．已知()e 1xf x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数为_______． 【答案】2【解析】根据题意，设直线l 与()e 1xf x =-相切于点(,e 1)mm -，与()g x 相切于点(,ln 1)n n +，对于()e 1xf x =-，其导数为()e xf x '=， 则有()e mk f m ='=，则直线l 的方程为1e e ()mmy x m +-=-，即e e (1)1mmy x m =+--，对于()ln 1g x x =+，其导数为1()g x x'=， 则有1()k g n n='=， 则直线l 的方程为1(ln 1)()y n x n n -+=-，即1ln y x n n=+， 直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则1e (1)e 1ln m m nm n⎧=⎪⎨⎪--=⎩，可得(1)(e 1)0mm --=， 则0m =或1m =，故直线l 的方程为y x =或e 1y x =-，则()f x 与()g x 的公切线条数是2条，故答案为2．3．若函数2y ax =与ln y x =存在两条公切线，则实数a 的取值范围是（） A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2e ⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】D【解析】设切线与曲线ln y x =相切于点(),ln t t ，对函数ln y x =求导得1y x'=， 所以，曲线ln y x =在点(),ln t t 处的切线方程为()1ln y t x t t-=-， 即1ln 1y x t t=+-，联立21ln 1y ax y x t t ⎧=⎪⎨=+-⎪⎩可得211ln 0ax x t t -+-=， 由题意可得0a ≠且()2141ln 0Δa t t =--=，可得221ln 4t t t a=-， 令()22ln g t t t t =-，其中0t >，则()()()22ln 12ln g t t t t t t t '=-+=-．当0t <<()0g t '>，此时函数()g t 单调递增，当t >时，()0g t '<，此时函数()g t 单调递减，所以，()max e2g t g ==． 且当0e t <<时，()0g t >，当e t >时，()0g t <，如下图所示：由题意可知，直线14y a =与曲线()y g t =有两个交点，则1e 042a <<，解得12ea >， 故选D ．4．若函数()4ln 1f x x =+与函数()()220g x ax x a =->的图象存在公切线，则实数a 的取值范围为（） A ．[)3,+∞ B ．()3,+∞C ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．31,2⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为0a >，设切点为(),4ln 1t t +，则()4f t t'=， 则公切线方程为()44ln 1y t x t t --=-，即44ln 3y x t t=+-， 联立244ln 32y x t ty ax x ⎧=+-⎪⎨⎪=-⎩，可得2424ln 30ax x t t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭， 所以，()242434ln 0Δa t t ⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭，整理可得22134ln t a t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，由00a t >⎧⎨>⎩可得34ln 0t ->，解得340e t <<， 令()22134ln t h t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-，其中340e t <<，则()()2424ln 1134ln t t t t t h t t +-⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭'=-， 令()4ln 1t t t ϕ=+-，则()410t t ϕ'=+>，函数()t ϕ在340,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，当01t <<时，()0t ϕ<，即()0h t '<，此时函数()h t 单调递减， 当341e t <<时，()0t ϕ>，即()0h t '>，此时函数()h t 单调递增， 所以，()()min 13h t h ==，且当0t +→时，()h t →+∞， 所以，函数()h t 的值域为[)3,+∞，故3a ≥，故选A ． 5．若存在斜率为()30a a >的直线l 与曲线()21222f x x ax b =+-与()23lng x a x =⋅都相切，则实数b 的取值范围为（）A ．233,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．234,3e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．232,3e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．233,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】设直线l 与()f x 、()g x 的切点分别为()11,A x y 、()22,B x y ， 因为()21222f x x ax b =+-，()23ln g x a x =⋅， 所以()2f x x a '=+，()23a g x x'=，因为直线l 与()f x 、()g x 都相切，所以212323a x a a x +==，解得12x x a ==，则两切点重合，即()()f a g a =，2221223ln 2a a b a a +-=⋅，22523ln 2b a a a =-⋅， 设()()2253ln 02h a a a a a =-⋅>，则()()26ln 213ln h a a a a a a '=-=-， 当130a e <<时，()0h a '>，()h a 单调递增； 当13a e >时，()0h a '<，()h a 单调递减， 则()1221233333max533ln 22h a h e e e e e ⎛⎫==-⋅= ⎪⎝⎭，因为a →+∞时，()h a →-∞，所以23322b e ≤，2334b e ≤，实数b 的取值范围为233,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故选A ．6．已知函数()ln f x x =，2()1g x x x =-+． （1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）证明：有且只有两条直线与函数()f x ，()g x 的图象都相切． 【答案】（1）极大值为1-，没有极小值；（2）证明见解析．【解析】（1）2()()()ln 1h x f x g x x x x =-=-+-的定义域为(0,)+∞，且2121(1)(21)()21x x x x h x x x x x-++-+'=-+==-，当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以1x =是()h x 的极大值点，故()h x 的极大值为(1)1h =-，没有极小值．（2）设直线l 分别切()f x ，()g x 的图象于点()11,ln x x ，()2222,1x x x -+，由()ln f x x =可得1()f x x'=，得l 的方程为()1111ln y x x x x -=-，即11l :1n 1y x x l x =⋅+-； 由2()1g x x x =-+可得()21g x x '=-，得l 的方程()()()22222121y x x x x x --+=--，即()222211:y x x l x =--+．比较l 的方程，得21212121ln 11x x x x ⎧=-⎪⎨⎪-=-+⎩，消去2x ，得()211211ln 204x x x++-=．令22(1)()ln 24x F x x x +=+-（0x >），则3311(21)(1)()22x x x F x x x x ++-'=-=． 当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)10F x F ==-<．因为()()()222222441e 1e eln e204e4eF ++=+-=>，所以()F x 在(1,)+∞上有一个零点；由2117()ln 244F x x x x =++-，得()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>， 所以()F x 在(0,1)上有一个零点，所以()F x 在(0,)+∞上有两个零点， 故有且只有两条直线与函数()f x ，()g x 的图象都相切． 4．其他1．若过点(,)m n 可以作曲线(0xy a a =>且1)a ≠的两条切线，则（） A ．log a n m < B ．log a n m >C ．log a n m =D ．log a n 与m 的大小关系与a 有关【答案】D【解析】设切点为00(,)xx a ，则0ln xy a a '=， 所以切线方程为()000ln x x y aa a x x -=-，因为点(,)m n 在切线上，所以()000ln x x n a a a m x -=-，即()00ln ln 10x aa x a m n ⋅-⋅-+=，令()()ln ln 1xg x aa x a m n =⋅-⋅-+，则()()ln ln ln x g x a a a x a m '=⋅-⋅，令()0g x '=，得x m =，当x m <时，()0g x '<；当x m >时，()0g x '>， 所以当x m =时，()g x 取得极小值()mg m a n =-+，因为过点(,)m n 可以作曲线(0xy a a =>且1)a ≠的两条切线，所以0m a n -+<，即mn a <，所以log a n 与m 的大小关系与a 有关，故选D ． 2．已知函数()2af x x x+=，若曲线()y f x =存在两条过()1,0点的切线，则a 的取值范围是________．【答案】{2|a a <-或0}a > 【解析】由题得()212af x x '=-，设切点坐标为000,2a x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则切线方程为()00200122a a y x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， 又切线过点()1,0，可得()002001122a a x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭， 整理得200220x ax a +-=，因为曲线()y f x =存在两条切线，故方程有两个不等实根且00x ≠， 若00x =，则0a =，为两个重根，不成立，即满足()2(2)420Δa a =-⨯⨯->，解得0a >或2a <-，故a 的取值范围是{2|a a <-或0}a >， 故答案为{2|a a <-或0}a >．3．在平面直角坐标系xOy 中，已知2111ln 0x x y --=，2230x y --=，则221212()()x x y y -+-的最小值为（）A ．9B ．92C ．D 【答案】B【解析】由2111ln 0x x y --=，则2111ln y x x =-，又2230x y --=，221212()()x x y y -+-的最小值转化为2ln y x x =-上的点与30x y --=上的点的距离的平方的最小值，由2ln y x x =-，得12y x x'=-，与30x y --=平行的直线的斜率为1， ∴121x x -=，解得1x =或12x =-（舍），可得切点为(1,1)，切点到直线30x y --=之间的距离的平方，即为221212()()x x y y -+-的最小值，221212()()x x y y ∴-+-的最小值为292=，故选B ．4．如图所示，动点P ，Q 分别在函数()e xf x x =+，()12ln 2g x x =+上运动，则PQ 的最小值为________．【解析】如题图，两个函数都是定义域上的单调递增函数， 又()e 1xf x '=+，()2g x x'=在定义域上分别单调递增、单调递减， 所以函数()f x 递增的速度由慢到快，()g x 递增的速度由快到慢，设动点()11,P x y ，()22,Q x y ，当且仅当满足()112121222e 11e 2ln 221x x x x x x x x ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎪⋅=--⎪⎩时， PQ 取得最小值，由图象的示意图不难发现，该方程组有唯一一组解：10x =，21x =，所以()0,1P ，11,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭，所以PQ=，5．设点P 在曲线221x y e +=+上，点Q在曲线1y =+上，则|PQ |的最小值为_______．【答案】)1+ln22【解析】令2(1)()x f x e +=、()g x =分别向上平移一个单位可得221x y e +=+、1y =+，而()f x 与()g x 关于y x =对称，∴当两条曲线在P 、Q 处的切线均与1y x =+平行时，P 、Q 关于1y x =+对称，|PQ |有最小值，对应曲线平移到()f x 、()g x 后，P 、Q 关于y x =对称即可， ∴令10t x =+>，则2()()tf x m t e ==， ∴2()21tm t e'==有ln 22t =-，则ln 21()22m -=，即ln 21(,)22P -， ∴P 到y x =的距离1ln 2||21)4d ++==，∴21)||22PQ d +==．故答案为21)2+．6．（多选）若函数()y f x =的图象上存在两点，使得()f x 的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（） A ．2sin y x =B ．tan y x =C ．12x y x -=+，()2,x ∈-+∞ D ．e ln xy x =-【答案】ACD【解析】当21cos 2sin 2x y x -==时，[]sin 21,1y x '=∈-，当123,44x x ππ==时，满足条件；当tan y x =时，210cos xy =>'恒成立，不满足条件； 当12x y x -=+，()2,x ∈-+∞时，()()()()223,2,123,1,2x x y x x ∞-⎧∈-⎪+⎪=⎨⎪∈+⎪+⎩'，当125,24x x =-=，满足条件；当e ln xy x =-时，1e x y x '=-，函数1e x y x'=-单调递增，且1331x y ==<-'，1e 11x y ==->'，所以存在11x x y ==-'，21x x y ='=，满足条件，故选ACD ．7．（多选）已知函数()2ln 2x axf x x +=+，若()f x 的图象存在两条相互垂直的切线，则a 的值可以是（）A ．6-B ．5-C ．4-D ．3-【答案】AB【解析】∵函数()2ln 2x axf x x +=+，定义域为()0,∞+， ∴()12a f x x x '=++， ∴()1222a a f x x x '=++≥+，当且仅当1x x=时，取等号，要使()f x 的图象存在两条相互垂直的切线，则()12,0,x x ∃∈+∞，()()121f x f x ''=-，所以()12a f x x x'=++的值必有一正一负， 当3a =-时，()1122a f x x x '=++≥，不合题意，当4a =-时，()102a f x x x '=++≥，不合题意，当5a =-时，()152f x x x =+-'，则()12,0,x x ∃∈+∞，()()121f x f x ''=-，例如()12,0,x x ∃∈+∞，()()11221215115,4242f x x f x x x x ''=+-=-=+-=， 故a 的值可以是5-，当6a =-时，()13f x x x'=+-，则()12,0,x x ∃∈+∞，()()121f x f x ''=-， 例如()12,0,x x ∃∈+∞，()()1122121113,344f x x f x x x x ''=+-=-=+-=， 故a 的值可以是6-，所以a 的值可以是5-或6-，故选AB ．。