11高一数学竞赛练习题九

数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，d = 3，则a5的值为：A. 11B. 14C. 17D. 203. 若复数z满足|z| = 1，且z的实部为1/2，则z的虚部为：A. √3/2B. -√3/2C. √3/2iD. -√3/2i4. 已知函数f(x) = 2x - 3，g(x) = x^2 + 1，则f(g(x))的表达式为：A. 2x^2 - 1B. 2x^2 + 5C. x^2 - 1D. x^2 + 55. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且满足a^2 + b^2 = c^2，下列哪个条件可以推出三角形ABC是直角三角形？A. a = bB. a = 2bC. b = 2aD. c = 2a6. 已知集合A = {x | x^2 - 3x + 2 = 0}，B = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A∩B的元素个数为：A. 0B. 1C. 2D. 37. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)的值为：A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 6x + 2C. 3x^2 - 6xD. x^3 - 3x^2 + 28. 已知双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的焦点在x轴上，且a = 2，b = 1，则该双曲线的渐近线方程为：A. y = ±x/2B. y = ±2xC. y = ±x/√2D. y = ±√2x9. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f'(x)的值为：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)10. 已知函数f(x) = ln(x)，求f'(x)的值为：A. 1/xB. xC. ln(x)D. 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。

高一数学竞赛试题（120分钟）班级：____________ 姓名：_____________ 分数：____________一、选择题（每小题3分，共15分）。

1、满足三个集合之间的关系{}1⊆M ⊆{}3,2,1的M 的个数是（ ）A 、3B 、4C 、5D 、62、数集A={}a a a -2,2中a 的取值范围是（ ）A 、a ≠0B 、a ≠3C 、a ≠0且a ≠3D 、a ≠0或a ≠33、设集合U={}6,5,4,3,2,1，集合A={}5,3,2,1，B={}4,3,2，则（C U A ） (C U B) 等于( )A 、{}4,3,2B 、{}5C 、{}6D 、φ4、若不等式02<++c bx ax (0≠a )的解集为φ，则（ ）A 、a<0,ac b 42->0B 、a<0，042≤-ac bC 、a>0,042≤-ac bD 、a>0,ac b 42-<05、x =6是2x =36的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既非充分又非必要条件二、填空题（每小题3分，共15分）。

6、“1-x <2”是“x <3”的____________条件。

7、不等式4-<3x 1-<5的非负整数解是_______________。

8、函数f(x )的定义域为[]3,2，则函数f(1+x )的定义域为______________。

9、函数y=x--113的定义域为______________。

10、已知关于x 的不等式a ax x +-2>0的解集为R,则a 的取值范围是_________________。

三、解答题（每小题7分，共70分）。

11、解不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->+<-021501042x x x12、已知A={}4<-a x x ，B={}32>-x x ,且A B=R,求a 的范围。

数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(0)的值为：A. 3B. 1C. -1D. 0答案：A2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a5的值为：A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A3. 对于不等式x^2 - 6x + 8 < 0，其解集为：A. (2, 4)B. (-∞, 2) ∪ (4, +∞)C. (-∞, 4) ∪ (2, +∞)D. (-∞, 2) ∪ (4, +∞)答案：A4. 已知集合A={x|x^2 - 5x + 6 = 0}，B={x|x^2 - 3x + 2 = 0}，则A∩B为：A. {1, 2}B. {2, 3}C. {1, 3}D. {2}答案：D5. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. 1C. 2D. 0答案：A6. 已知向量a=(3, -1)，b=(2, 4)，则向量a与向量b的数量积为：A. 8B. 10C. 6D. 2答案：C二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知函数f(x) = 2x - 1，求f(2)的值为______。

答案：38. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b3的值为______。

答案：189. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的导数表达式为______。

答案：3x^2 - 6x10. 已知复数z=1+i，求|z|的模长为______。

答案：√2三、解答题（每题20分，共50分）11. 解方程：x^2 - 5x + 6 = 0。

解：首先对方程进行因式分解，得到(x-2)(x-3)=0，所以解为x=2或x=3。

12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求函数的最小值。

解：将函数f(x)进行配方，得到f(x) = (x-2)^2 - 1。

高一数学竞赛辅导练习题（2）一、选择题1.函数()f x =）A ． 是奇函数但不是偶函数B 是偶函数但不是奇函数 B ． 既是奇函数又是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数2．已知函数()f x 的图象与函数()3xg x =的图象关于点()0,1对称，则()f x =（ ）A.3log 1x -B. 23x-- C.23x -+ D. 32log x -3. .集合{},,12R x x y y M ∈-==集合{}23x y x N -==，则N M 等于（ ）{})1,2(),1,2()(-A (B)[]3,0 []3,1)(-C Φ)(D4.已知集合I 、M 、N 的关系如图则I 、M 、N 的关系为 ( )(),(),()I I I I I A C M C N B M C N C C M C N ⊇⊆⊆N C M D I ⊇)(5.已知函数1279,4322+--=-+=x x x y x x y 的值域分别是集合P 、Q ，则（ ）A ．p ⊂QB ．P=QC ．P ⊃QD ．以上答案都不对6．函数])4,0[(422∈+--=x x x y 的值域是（ ）A ．[0，2]B ．[1，2]C ．[－2，2]D ．[－2，2]7.若函数)(},4|{}0|{113)(x f y y y y x x x f 则的值域是≥⋃≤--=的定义域是( ) A ．]3,31[ B ．]3,1()1,31[⋃ C ．),3[]31,(+∞-∞或 D ．[3,+∞)8.设函数),2(21)(+∞-++=在区间x ax x f 上是单调递增函数，那么a 的取值范围是（ ）A ．210<<aB ．21>a C ．a <-1或a >1 D ．a >－29．函数),2[,32)(2+∞-∈+-=x mx x x f 当时是增函数，则m 的取值范围是（ ）A ． [－8，+∞）B ．[8，+∞）C ．（－∞，－ 8]D ．（－∞，8]10. 已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并满足：)(1)2(x f x f -=+，当2≤x ≤3，f (x )=x ，则f (5.5)=（ ） A ．5.5 B ．－5.5 C ．－2.5 D ．2.5二、填空题：11. 已知不等式0ax b +>的解集是{}2x x >，则不等式0bx a +>的解集是______________; 不等式0bx a +>的解集是________________. 12.已知函数已知定义在),0[+∞的函数⎩⎨⎧<≤≥+=)20()2( 2)(2x xx x x f 若425)))(((=k f f f ，则实数=k 13.函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，可知()f x 的单调递增区间是________; 单调递减区间是_________________.14.已知函数2()f x x bx c =++在[]0,2上的最大值是t ，且(1)0,0,f b =>将t 表示成b 的函数()g b ，则()___________.g b =15.球O 1、O 2分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O 3的表面上，求三个球的表面积之比．16.设定义在R 上的偶函数f (x )又是周期为4的周期函数，且当x ∈[－2，0]时f (x )为增函数，若f (－2)≥0，求证：当x ∈[4，6]时，| f (x )|为减函数.17．设f (x )是定义在R 上的偶函数，在区间（－∞，0）上单调递增，且满足 f (－a 2+2a －5)< f (2a 2+a +1), 求实数a 的取值范围.11.,33m n ==; 12.()I P Q ð; 13.真命题为：（4）、（5）；14.映射：①③④，一一映射：③； 15. (,0)(2,)-∞+∞。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。

答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。

答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。

如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。

答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。

首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。

设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。

可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。

对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。

同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

高一数学竞赛试题及答案题一：某数列的前n项和为Sn，已知Sn=(2n+1)(n+2)，求该数列的通项表达式。

解答一：设该数列的通项为an，则该数列的前n项和可表示为Sn=∑an。

根据已知得，Sn=(2n+1)(n+2)。

我们可以尝试寻找数列项an之间的关系，进而求得通项表达式。

由于Sn是前n项和，所以我们可以利用数学归纳法得到两个基础式子：当n=1时，S1=∑a1，代入已知条件得到S1=(3)(2)=6；当n=2时，S2=∑(a1+a2)，代入已知条件得到S2=(5)(4)=20。

通过观察可以发现，S2=2×S1+8，这是一个重要的线索。

我们可以推测，Sn可能与Sn-1之间存在一种类似的关系，即Sn=2×Sn-1+C，其中C为常数。

接下来，我们来进行数学归纳法的假设和证明：假设Sn=2×Sn-1+C成立，即前n项和Sn与前n-1项和Sn-1之间存在关系。

则我们可以推导得到Sn+1=2×Sn+C'，其中C'为常数。

根据已知条件进行计算：Sn+1=(2(n+1)+1)(n+1+2)=(2n+3)(n+3)=2n²+9n+9；由假设得，Sn=2×Sn-1+C，带入Sn+1的计算结果，得到Sn+1=2(2×Sn-1+C)+C'=4×Sn-1+3C+C'，其中3C+C'为新的常数。

比较Sn+1和Sn的关系，可得到4×Sn-1+3C+C'=2n²+9n+9，由此可以推断，3C+C'=9，即C'=9-3C。

综上所述，我们已经推导出两个重要的关系式：Sn=2×Sn-1+CC'=9-3C我们再通过计算已知条件的S1和S2进行迭代计算，得到：C=6，C'=9-3(6)=-9因此，该数列的通项表达式为an=2×an-1+6，其中a1=6。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. √3B. 0.33333（无限循环）C. πD. 1/32. 已知函数 f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求 f(-1) 的值。

A. 4B. 6C. 8D. 103. 一个圆的半径为 5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 若 a + b + c = 6，且 a^2 + b^2 + c^2 = 14，求 ab + bc + ca 的值。

A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等差数列的首项为 2，公差为 3，求第 10 项的值是__________。

6. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，求前 5 项的和是__________。

7. 若函数 g(x) = x^3 - 2x^2 + 3x - 4 的导数是 g'(x)，则 g'(1) 的值是 __________。

8. 一个长方体的长、宽、高分别是 3、4、5，求其对角线的长度（保留根号）是 __________。

三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数 n，都有 1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ... +1/n^2 < 2。

10. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。

11. 已知函数 h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。

12. 已知一个三角形的三个顶点分别为 A(1, 2)，B(-1, -1)，C(3, 4)，求其面积。

答案一、选择题1. 正确答案：C（π 是无理数）2. 正确答案：A（f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 4）3. 正确答案：B（面积= πr^2 = 25π）4. 正确答案：B（根据柯西-施瓦茨不等式）二、填空题5. 第 10 项的值是 2 + 9*(10-1) = 296. 前 5 项的和是 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 1267. g'(x) = 3x^2 - 4x + 3，g'(1) = 3 - 4 + 3 = 28. 对角线的长度是√(3^2 + 4^2 + 5^2) = √50三、解答题9. 证明：根据调和级数的性质，我们知道 1/n^2 随着 n 的增大而减小，且 1/n^2 < 1/(n-1)^2，因此可以构造不等式 1^2 + 1/2^2 +1/3^2 + ... + 1/n^2 < 1 + 1/(1*2) + 1/(2*3) + ... + 1/((n-1)*n) = 1 + 1 - 1/n < 2。

高中数学竞赛试题高一一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.33333...（无限循环）D. -3/42. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若a, b, c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形4. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B的结果：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}5. 将一个圆分成四个扇形，每个扇形的圆心角为90°，那么这四个扇形的面积之和等于：A. 圆的面积B. 圆的面积的一半C. 圆的面积的四分之一D. 圆的面积的两倍6. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值：A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共20分）7. 计算(3x^2 - 5x + 2) / (x - 1)的余数是______。

8. 若sinα + cosα = √2/2，那么sin2α的值为______。

9. 已知点A(2,3)，B(-1,-2)，求线段AB的中点坐标为______。

10. 一个圆的半径为5，圆心到直线x + y - 6 = 0的距离为d，求d 的值为______。

三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。

12. 解不等式：|x - 1| + |x + 2| ≥ 4。

13. 已知函数f(x) = ln(x + 1) - x^2，求其在区间[0, 1]上的最大值和最小值。

四、附加题（10分）14. 一个不透明的袋子中有5个红球和3个白球，每次随机取出一个球，取出后不放回。

求第三次取出红球的概率。