高级中学高一数学竞赛班选拔考试试题第一卷

数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。

答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。

答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。

答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。

答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。

证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。

因此，该三角形为直角三角形。

2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。

解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。

高一数学竞赛试题（1）(注意:共有二卷,时间100分钟, 满分150)第一卷（本卷100分）一、选择题（每小题5分，共50分）1．下列结论中正确的是（ ）A ．{}{}3,2,1,00∈B ．{}无理数∈2C ．{}φ==0|2x xD ．{}{}等腰直角三角形等腰三角形∈2．若集合M={x │x 2-3x+2≥0}，N={x|5<x ,R x ∈}，则M ∩N 是（ ）A ．}15|{≤<-x x B. }52|{<≤x xC. }5215|{<≤≤<-x x x 或D. φ3．函数2-=x y 的图象是( )4. 一个教室的面积为x m 2, 其窗子的面积为y m 2, (x>y), 如果把y/x 称为这个教室的亮度, 现在教室和窗子同时增加z m 2, 则其亮度将( ) A. 增加 B. 减小 C. 不变 D. 不确定5．奇函数)()0,(,)(),0()(x f x x x f x f 上的则在上的表达式为在-∞+=+∞的 表达式为f(x)=( )A ．x x +- B ．x x -- C ．x x -+- D ．x x ---6．函数()22--+=x x x f 是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数7．已知x x 322-≤0，则函数f (x ) = x 2 +x +1 ( )A. 有最小值43, 但无最大值 B. 有最小值43, 有最大值1C. 有最小值1，有最大值419D. 以上选项都不对8. 方程ax 2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是（ ）A. 0<a ≤1B. a<1C. 0<a ≤1或a<0D. a ≤19. 已知)2(log ax y a -=在[0，1]上为x 的减函数，则a 的取值范围为（） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（0，2） D ．),2[+∞ 10．若 02log 2log <<b a ，则( )A. 0＜a ＜b ＜1B. 0＜b ＜a ＜1C. a ＞b ＞1D. b ＞a ＞1二．填空题（每小题5分，共15分）11．数y=)1(log 21--x x 的定义域是____________________12．“若0)2)(1(=+-y x ，则21-==y x 或”的否命题是_________________________________________________13．函数y=1313+-x x 的反函数是______________________________三．解答题(共35分. 需要写出详细求解过程)14．（10分）（1）求函数4236)(22-++-=x x x x f 的定义域；（2）已知函数43)(-=x x f 的值域为[-1，5]，求函数)(x f 的定义域。

高一数学上册竞赛选拔试题2009.10一、选择题（每小题5分）1．f 是集合{}d c b a M ,,,=到{}2,1,0=N 的映射，且4)()()()(=+++d f c f b f a f 则不同的映射有（ ）个A ．13B ．19C ．21D ．232．已知函数）（x f 满足：对任意R y x ∈、都有,0)1()(2)()(22≠+=+f y f x f y x f 且 )2007(f 则的值为（ ）A ．1002.5B ．1003C ．1003.5D ．1004 3．函数)1,(2)(2-∞+-=在区间a ax x x f 上有最小值，则函数在区xx f x g )()(=间 ），（∞+1上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数 4．满足方程11610145=+-+++-+x x x x 的实数解x 的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．无数多5．将2008表示为)(+∈N k k 个互异的平方数之和，则K 的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56．给出函数⎪⎩⎪⎨⎧<+≥=4)1(4)21()(x x f x x f x 则)(log 32f 等于（ ） A ．823- B ．111 C ．191 D ．241 7．已知999999⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=n 则n 的十进位制表示中，数码1有（ ）个 99个A ．50B ．99C ．90D ．100 8．已知1009921)(,*-+-+⋅⋅⋅+-+-=∈x x x x x f N x 的最小值等于（ ）A ．2500B ．4950C ．5050D ．51509．如图：已知在ABC Rt ∆中，35=AB ，一个边长为12的正方形CDEF 内接于ABC ∆，则ABC ∆的周长为（ ）A ．35B ．40C ．81D ．8410．已知b a 、是方程34log log 32733-=+x x 的两个根，则b a +=（ ） A ．2710 B ．814 C ．8110 D ．812811．2ln --=x e y x 的图象大致是图（ ）A B C D12．满足20073+++=x x y 的正整数对)(y x 、（ ）A ．只有一对B ．恰有两对C ．至少有三对D ．不存在 二、填空题，每小题4分13．1)12()12)(12)(12(3242+++⋅⋅⋅++++=___________.14．右以O 为圆心的两个同心圆中，MN 的大圆的直径，交小圆于点P 、Q ，大圆的弦MC 交小圆于点A 、B ，若BC AB MA OP OM ====,1,2，则MBQ ∆的面积为__________.15．已知1)2()()(≥-==x x f x f x f y 且满足时，=<=)(1,2)(x f x x f x 的则_______16．六位数81ab 93是99的倍数，则整数a 、b 为___________.三、解答题17.（10分）设S 为满足下列两个条件所构成的集合（i ）s ∉1 （ii ）s a s a ∈-∈11则证明：（1）当s a s a ∈-∈11则（2）若s ∈2，则在S 中必含有两个其他的数并写出这两个数。

数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。

4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。

三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。

6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。

四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。

五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。

如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。

10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。

答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。

高一竞赛数学试卷一、选择题(每小题5分，共30分)1）A 、2B 、3C 、4D 、52、已知设函数，则的最大值为（ ）A 、1B 、2C 、D 、4 3、设[]x 是不超过x 的最大整数，则[][][]=+++500log 2log 1log 333 （ ） A 、2014 B 、2026 C 、2032 D 、21424、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,,x x x x ∈+∞≠均有()()()()12120f x f x x x --<，则满足：()1213f x f ⎛⎫-> ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A 、12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B 、12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C 、12,23⎛⎫⎪⎝⎭ D 、12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦5、一个三棱锥的四个面所在的平面把空间分成的部分数为（ ） A 、 9 B 、 11 C 、13 D 、156、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点有（ ）A 、1个B 、3个C 、4个D 、无穷多个二、填空题（每小题5分，共40分）7、设集合{[]}{}22,2A x x x B x =-==<，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，则A B = 。

8、函数2log ()341xf x x -=--的值域是 。

9、若直线y x b =+与曲线y =有且只有1个公共点， 则b 的取值范围是____________。

10、正方体的截平面不可能是 ：⑴钝角三角形；⑵直角三角形；⑶菱形；⑷正五边形；⑸正六变形。

11、设方程310x x ++=与10x =的根分别是,αβ， 则αβ+=__________。

12、方程1112011x y +=有 组正整数解。

()sin 1θ-()1,()2,()6,xf x xg xh x x =+==-+()min{(),(),()}F x f x g x h x =()F x 7214、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 是面对角线1BC 上的一动点，Q 是底面ABCD 上的一动点，则1D P PQ +的最小值等于 。

高一数竞试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) \)在区间\( [a, b] \)上连续，且\( \int_{a}^{b} f(x) dx = 0 \)，则下列说法正确的是：A. \( f(x) \)在\( [a, b] \)上恒等于0B. \( f(x) \)在\( [a, b] \)上至少有一个零点C. \( f(x) \)在\( [a, b] \)上单调递增D. \( f(x) \)在\( [a, b] \)上单调递减答案：B2. 已知\( \triangle ABC \)的内角\( A, B, C \)满足\( \sin A +\sin B + \sin C = 0 \)，则\( \triangle ABC \)的形状是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形答案：A3. 设\( a, b \)是方程\( x^2 - 3x + 2 = 0 \)的两个实数根，则\( a^2 + b^2 \)的值为：A. 4B. 5C. 6D. 7答案：C4. 若\( \log_{2}(3x-2) > 1 \)，则\( x \)的取值范围是：A. \( x > 2 \)B. \( x > \frac{5}{3} \)C. \( x < 2 \)D. \( x < \frac{5}{3} \)答案：B5. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 4x + 3}{x^2 - 6x + 9} \)的值域是：A. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)B. \( (-\infty, 0] \cup [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)D. \( (-\infty, 1] \cup [1, +\infty) \)答案：D6. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，且\( a_{n+1} =2a_n + 1 \)，\( n \geq 1 \)，则\( a_3 \)的值为：A. 5B. 7C. 9D. 11答案：C二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知\( \sin \alpha = \frac{3}{5} \)，\( \cos \alpha =\frac{4}{5} \)，则\( \tan \alpha \)的值为______。

卜人入州八九几市潮王学校西华一高二零二零—二零二壹上学期高一年级竞赛考试数学试卷一、选择题〔每一小题5分，一共60分〕 1.集合{}{}332,6,4,2,0<∈==x N x B A ，那么集合AB 的子集个数为()A.4B.6C.7D.82、函数lg(1)1x y x +=-的定义域是〔〕A . (1,)B . [1,)C . (1,1)(1,)D . [1,1)(1,)-+∞-+∞-+∞-+∞3．直线a x y l 2:1+-=与直线2)2(:22+-=x a y l 平行，那么a 的值是()A ．3±B.1±C.1D.1-4.设a ，b 是两条不同的直线，α，β〕 A.假设//αβ，a α⊂，b β⊂，那么//a b B.假设//a α，b β⊥，且αβ⊥，那么//a bC.假设a α⊥，//a b ，//b β，那么αβ⊥D.假设ab ⊥，a α⊂，b β⊂，那么αβ⊥5.一个空间几何体的三视图如下列图，根据图中标出的尺寸〔单位：cm 〕，可得这个几 何体的体积是()A ．4cm 3B ．5cm 3C ．6cm 3D ．7cm 36．半径为R 的半圆做成一个圆锥面〔无重叠〕，那么由它围成的圆锥的体积为〔〕A ．3R B 3R C 3R D 3R 7.⎩⎨⎧≥<+-=1log 14)13()(x x x a x a x f a 是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是〔〕A ．)1,0( B.)31,0( C.)31,71[ D.)1,71[ )1 , 1(-M 且与直线027=+-y x 相切的圆的方程为()A ．2)1()1(22=++-y x B ．2)1()1(22=-++y x C ．100)1()1(22=++-y x D ．100)1()1(22=-++y x9.三棱锥P ABC -的三条棱PA ,PB ,PC 长分别是3、4、5，三条棱PA ,PB ,PC两两垂直，且该棱锥4个顶点都在同一球面上，那么这个球的外表积是() A ．25πB.50πC.125π)(x f 的图象向右平移a (0>a )个单位后关于直线1+=a x 对称，当112>>x x 时，[]0)()()(1212<--x x x f x f 恒成立，设)21(-=f a ，)2(f b =)，)(e f c =，那么a ，b ，c 的大小关系为〔〕 A.b a c>> B.c a b >> C.b c a >> D.a b c >>11.四面体SABC -中，各个侧面都是边长为a 的正三角形，,E F 分别是SC 和AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于〔〕 A ．090B ．060C ．045D ．03012.偶函数)(x f 的定义域为}{0≠∈x R x x 且，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<-=-2),2(2120,12)(1x x f x x f x ，那么函数)1(log )(4)(7+-=x x f x g 的零点个数为〔〕．A. B. C.D.二、填空题(每一小题5分，一共20分)()f x 是R 上的奇函数，且0x >时，()1f x x =+,那么当0x <时，()f x =14.光线由点P 〔2，3〕射到直线1-=+y x 上，反射后过点Q 〔1，1〕，那么反射光线所在的直线方程为15、将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使BD=a ，那么三棱锥D —ABC 的体积为16、在三棱锥S —ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝1，∠ASB ＝∠ASC ＝∠BSC ＝30°，一只蚂蚁从点A 出发沿三棱锥的外表爬行一周后又回到A 点，那么蚂蚁爬过的最短路程为_____．三、解答题〔一共70分。

重点中学高一数学竞赛班选拔考试试卷1.{}{}0,1A x x =⊆,用列举法表示集合A=___________。

2.新高一某班的50名学生中，参加数学竞赛辅导的有22人，参加物理竞赛辅导的有20人，参加化学竞赛辅导的有19人，既参加数学又参加物理的有15人，既参加数学又参加化学的有12人，既参加物理又参加化学的有10人，三科都没参加的有20人，则三科都参加的有_____________人。

3．在小于100的正整数n 中，能使分数1(332)(41)n n ++化为有限小数的n 的所有可能值为___________。

4．在一个圆形时钟的表面，OA 表示秒针，OB 表示分针（O 为两针的旋转中心）。

若现在时间恰好是12点整，则经过_______秒后，OAB ∆面积第一次达到最大。

（用分数表示） 5.已知a 、b 、c 为整数，且2006,2005a b c a +=-=，若a b <，则a b c ++的最大值为________. b=2013-a>a 则a<1006.5 a 最大为1006 c=2005+a 所以a+b+c=2006+2005+a=a+4011所以最大值是1006+4011=50176．如果两个一元二次方程20x x m ++=与210mx x ++=都有两个不相等的实数根，并且其中有一个公共的实根0x ，那么0x =_________。

7．如果一个两位数5x 与一个三位数3yz 的积是29400，那么，x y z ++=____。

29400/400>73, 29400/300=98x 只能为7或8或929400/75=392只有这个是整数。

所以x+y+z=7+9+2=18因为29400=75*392所以x=7、y=9,z=2所以x+y+z=7+9+2=188．一名模型赛车手遥控一辆赛车。

先前进1米，然后原地逆时针方向旋转角0(0180)αα<<，被称为一次操作。

高中数学高一级第一学期数学竞赛试题班级 姓名 学号 评分一． 选择题（10*4=40）1.设},0)()({,}0)({,}0)({=⋅=Φ≠==Φ≠==x g x f x P x g x N x f x M 则集合P 恒满足的关系为( ) A.N M P ⋃= B.N M P ⋃⊆ C.Φ≠P D.N M P ⋂=2.ABC ∆中，c b a ,,分别是角C B A ,,的对边，==-=+B C A b c a 则,3,2π( )A.839arccos B.45 C.60 D.839arcsin3.设⎪⎩⎪⎨⎧=为无理数为有理数x x x f 01)( ，对于所有x 均满足)()(x g x xf ≤的函数)(x g 是( )A.x x g sin )(=B.x x g =)(C.2)(x x g =D.x x g =)(4.已知,都是长度小于1的向量，对于任意非负实数,,b a 下列结论正确的是( )A.b a u a +≤+B.b a u a +≥+C.b a u a +=+D.不能确定b a u a ++的大小关系5.设ABC ∆的三个内角C B A ,,成等差数列，其外接圆半径为1，且有+-C A sin sin ,22)cos(22=-C A 则此三角形的面积为 ( ) A.433 B.43 C.43或433 D.43或533 6.函数)cos(3)sin()(θθ-++=x x x f 的图象关于y 轴对称，则=θ( )A.)(6Z k k ∈-ππ B.)(3Z k k ∈-ππ C.)(62Z k k ∈-ππ D.)(32Z k k ∈-ππ7.数列}{n a 中，11=a 且411++=+n n n a a a ，则=99a ( ) A.412550 B.2500 C.412450 D.24018.设函数22)(2+-=x ax x f 对于满足41<<x 的一切0)(>x f ，则a 的取值范围是( )A.1>aB.1-<aC.11<<-aD.1-≥a9.设函数xxx y +-+=11arctan arctan ，则它的值域为( ) A.]4,43[ππ-- B.}43,4{ππ- C.)4,43(ππ-- D. )4,43(ππ-10.函数8422)(22+-++-=x x x x x f 的最小值是( )A.23B.15+C.10D.22+二． 填空题（4*5=20）11.ABC ∆中，36=∠A ，F E ,分别在边AC AB ,上，且CF BE =，N M ,分别是线段CE BF ,的中点，则直线MN 与直线AB 所成的较小的角的大小为 。

2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联合竞赛一试试题(A )一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1.若实数m >1满足98m log log =2024，则32m log log 的值为.2.设无穷等比数列{a n }的公比q 满足0<q <1.若{a n }的各项和等于{a n }各项的平方和，则a 2的取值范围是.3.设实数a ，b 满足：集合A ={x ∈R |x 2-10x +a ≤0}与B ={x ∈R |bx ≤b 3}的交集为4,9 ，则a +b 的值为.4.在三棱锥P -ABC 中，若PA ⏊底面ABC ，且棱AB ，BP ，BC ，CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为.5.一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a ,b ．若事件a +b =7发生的概率为17，则事件“a =b ”发生的概率为.6.设f (x )是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数g (x )=f (2x )在区间0,5 上的零点个数为25，则g (x )在区间［1,4）上的零点个数为.7.设F 1,F 2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P （异于长轴端点），记O 为△PF 1F 2的外心，若PO ∙F 1F 2 =2PF 1 ∙PF 2 ，则Ω的离心率的最小值为.8.若三个正整数a ,b ,c 的位数之和为8，且组成a ，b ，c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(a ,b ,c )为“幸运数组”，例如（9,8,202400）是一个幸运数组.满足10<a <b <c 的幸运数组（a ，b ，c ）的个数为.二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.（本题满分16分）在ΔABC 中，已知cos C =sinA +cosA 2=B sin +cosB 2,求cos C 的值.10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x 2-y 2=1的右顶点为A .将圆心在y 轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA的所有可能的值.11.（本题满分20分）设复数z ，w 满足z +w =2，求S =z 2-2w +w 2-2z 的最小可能值.·1·。

高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 3.1415926B. πC. √2D. 0.33333（无限循环小数）答案：B2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。

A. -15B. -7C. -3D. 1答案：B3. 一个圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，如果d < r，那么该直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 内含答案：B4. 如果一个等差数列的前三项和为9，第四项为5，求该数列的首项a1。

A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B二、填空题（每题4分，共12分）5. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，其体积的公式是______。

答案：abc6. 若sinθ = 1/3，且θ在第一象限，求cosθ的值。

答案：2√2/37. 已知等比数列的前n项和公式为S_n = a1(1 - r^n) / (1 - r)，其中a1是首项，r是公比。

如果S_5 = 31，a1 = 1，求r的值。

答案：2三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

证明：由题意，我们需要证明n^5 - n 能被30整除。

首先，我们知道任何正整数n都能被1、2、3、5中的至少一个整除。

设n = 2a + b，其中a和b是整数，且b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

则n^5 - n = (2a + b)^5 - (2a + b) = 32a^5 + 20a^4b + 5a^3b^2 + a^2b^3 + 2ab^4 - 2a - b。

可以看到，除了最后两项，其他项都能被2整除。

对于最后两项，我们有2a - b = 2(a - b/2)，当b为偶数时，2a - b能被2整除；当b为奇数时，a - b/2为整数，所以2a - b也能被2整除。

同理，b - 1能被3整除，因为b属于{0, 1, 2, 3, 4}。

数学竞赛选拔测试一、选择题1、设集合，，若，则实数的取值范围是（）A. C. D.2、设函数，函数的定义域为，则 ( )A．B． C D．3、若，，则一定有A． B． C． D．4、函数的零点个数为( )A．1 B．2 C．3 D．45、若函数是奇函数，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.6、关于恒成立，则实数的取值范围是（）C.7、设，，则( )A B．C D．8、某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A． B．C． D9A D10、设表示不超过的最大整数．若存在实数，使得=1，，…，同时成立，则正整数的最大值是A.3B.4C.5D.6二、填空题11、设一元二次方程有整数根的充要条件是____________________．12、已知常数，函数的图像经过点、，，则___________．13、能说明“若对任意的都成立，则在上是增函数”为假命题的一个函数是__________________．14、已知函数在时取得最小值，则_______________．15、已知，函数，当时，不等式的解集是________________;若函数恰有2个零点，则的取值范围是_________________．三、解答题16，解关于.17、解关于的不等式.18、已知函数是奇函数，且，.(I)求的值；(II)判断并证明的单调性.19、已知，函数.(Ⅰ)当时，解不等式；(Ⅱ)若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求的取值范围；(Ⅲ)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围.20、已知集合.(I)设，，，试判断与的关系；(II)任取，与的关系；(III)能否找到，使得，且.。

高一第一学期数学竞赛决赛试题命题人：景建文 审核人：（本次竞赛时间120分钟，满分150分）一、选择题（每题5分，共50分）1、设全集{1,2,3,4,5}U =,{}1,2U A C B ⋂=，则集合U C A B ⋃的子集个数为（ ）A. 3B. 4C. 7D. 82、对函数()x f x e =作)(t h x =的代换，则不改变函数)(x f 的值域的是（ ） A ．t t h 10)(= B.2)(t t h = C ．tt h 1)(= D ．t t h 2log )(= 3、已知集合{}{}23,log 4,,x M N x y ==，且{}2MN =，函数:f M N →满足：对任意的x M ∈，都有()x f x +为奇数，满足条件的函数的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．44、已知函数2()f x ax x c =--，且()0f x >的解集为（－2，1）则函数()y f x =-的图象为（ ）5、已知()|log |a f x x =，其中01a <<，则下列不等式成立的是（ ）A ．11()(2)()43f f f >>B ．11(2)()()34f f f >>C ．11()()(2)43f f f >>D ．11()(2)(34f f f >>6、如图，一个平面图形的斜二测直观图是边长为1的正方形，则这个平面图形是（ ）A.周长为4的菱形B.周长为6的平行四边形C.周长为2+的平行四边形D.周长为8的平行四边形 7、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，那么函数解析式为221y x =-，值域为{1,7}的“孪生函数”共有 （ ）A ．10个B ．9个C ．8个D ．4个8、函数()f x =）A ．是奇函数但不是偶函数B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数9、当10<<a 时，aa aaa a ,,的大小关系是（ ）A ．a a aaa a>>B ．a aaaa a >>C ．aa a a a a>> D ．aa aa a a >>10、已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能为（ ）A ．1 B．12 D．1213、钟表现在是10时整，那么在 时 分 秒时，分针与时针首次出现重合. 14、若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于________2cm .15、设集合A=10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭, B=1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 函数f(x)=()1,221,,x x A x x B ⎧+∈⎪⎨⎪-∈⎩若x 0A ∈, 且 f [ f (x 0)]A ∈,则x 0的取值范围是 .三、解答题（共75分）（写出必要的文字说明，作出相应的图示）16、（12分）已知函数31(){|0}{|4},1x f x y y y y x -=≤⋃≥-的值域是 求()f x 的定义域。

第4题图班级： 姓名： 班级座位号： 考场号：密封线内不要答题**中学高一数学联赛选拔赛试卷命题人：吴铭一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．在下列实数中：-5、5、2、0，最大的数是（ ）．A ．5-B ．5C ．2D ．02．抛物线224y x x =--与x 轴分别交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于（ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ．253．下图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图l ）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠）， 则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（ ）A ．36ºB ．42ºC ．45ºD ．48º4．花园小径旁有一个圆柱状果皮垃圾筒，圆柱体的底面半径为18cm ，圆柱形的侧面由20块大小相同的小木条均匀围成一圈，垃圾入口处是一个切除了高为20cm 的5块小木条的柱面方孔，则这个垃圾筒切除的侧面面积是（ ）． A ．2120cm π B ．2144cm πC ．2180cm π D ．2240cm π5．已知+∈∈R y R x ,,集合},1,,1{2---++=x x x x A }1,2,{+--=y yy B .若B A =,则22y x +的值是( ) A.5 B.4 C.25 D.106．设⊕是R 上的一个运算，A 是V 的非空子集，若对任意a b A ∈，，有a b A ⊕∈，则称A 对运算⊕封闭．下列数集对加法减法、乘法和除法（除数不等于零）四则运算都封闭的是（ ） A ．自然数集 B ．有理数集C ．整数集D ．无理数集7．设xx＝x f -+11)(，记()()1f x f x =，若，x f f x f n n ))(()(1=+ 则＝x f )(2006（ ） A 、x B 、-x 1 C 、x x -+11 D 、11+-x x 8．设在xOy 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为（ ） A ．31B ．32 C ．1 D ．34二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．在矩形ABCD 中，6BC =，8CD =，以A 为圆心画圆，且点D 在A 内，点B 在A 外，则A 半径r 的取值范围是 ．10．如图，已知弦AB ∥CD ，请用无刻度．．．的直尺，准确作出该圆的直径（保留作图痕迹）． 11．定义M 与P 的差集为M-P={x | x ∈M 且x 不∈P} ，若A={y | y=x 2 }，B={x | -3≤x≤3} ，再定义 M △N =（M-N ）∪（N-M ），则A △B= ． 12．若非空集合S 满足，且若，则，那么符合要求的集合S 有___________个．13．映射f : {a , b , c , d}→{1，2，3}满足1<f (a )·f (b )·f (c )·f (d)<5，这样的映射f 有_______个. 14. 设函数f ：R →R 满足f (0)=1，且对任意x ,y ∈R ，都有f (xy +1)=f (x )f (y )-f (y )-x +2，则f (x )=________.三、计算题（17-19题每题8分，20-23题10分，共64分） 15．根据如图所示的程序计算．（1）选取一个你喜欢的x 的值，输入计算，试求输出的y 值是多少？（2）是否存在这样的x 的值，输入计算后始终在内循环计算而输不出y 的值？如果存在，第10题图DCBA第3题图第9题图请求出x 的值；如果不存在，请说明理由．16．已知集合A ＝{x |ax 2－3x －4＝0，x ∈R }．（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围； （2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．17．抛物线2y x =在直角坐标系中向下平移4个单位得到抛物线1y ，1y 与x 轴的交点为1A 、1B ，与y 轴的交点为1O ，1A 、1B 、1O 对应2y x =上的点依次为A 、B 、O ． （1）写出1y 的解析式及A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线y 和1y 及线段1AA 和1BB 围成的图形的面积； （3）若平行于x 轴的一条直线y m =与抛物线y 交于P 、Q 两点，与抛物线1y 交于R 、S 两点，且P 、Q 两点三等分线段RS ，求m 的值；18．已知集合},,,{4321a a a a A =，},,,{24232221a a a a B =，其中4321a a a a <<<，并且都是正整数．若},{41a a B A = ，1041=+a a ．且B A 中的所有元素之和为124，求集合A 、B ．19．我们给定两个全等的正方形ABCD 、AEFG ，它们共顶点A （如图1），可以绕顶点A 旋转，CD ，EF 相交于点P ． （1）连接BE 、DG （如图2），求证：BE DG =，BE ⊥DG ；图1输入x 输出y平方 乘以2 减去4若结果大于0否则图2（2）连接BG 、CF （如图3），有三个结论：①BG ∥CF ； ②ABG ∆∽PCF ∆； ③ABG ∆与PCF ∆相似． 请证明；图3（3）连接BE 、CF （如图4），求BECF的值．20. 已知2()2,f x x bx x =++∈R.（1）若函数()[()]()F x f f x f x x =∈R 与在时有相同的值域，求b 的取值范围；（2）若方程2()|1|2f x x +-=在（0，2）上有两个不同的根x 1、x 2，求b 的取值范围，并证明1211 4.x x +<**中学高一数学联赛选拔赛试卷参考答案及评分意见一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1．B 2．D 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．B 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）9．68r << 10．如图，线段MN 即为圆的直径． 11． {x|-3≤x ＜0或x ＞3} 12．7 13.14 14. x +1三、计算题（15-18题每题8分，19-20题10分，共52分）15．解：（1）略．………………………………………………………………………………2分（2）当y x =，且0y <时，输入x 计算后始终输不出y 的值．此时224x x =-，………………………………………………………………………5分2240x x --=，21,2(1)(1)42(4)133224x --±--⨯⨯-±==⨯ ∵13304+>，13304-< ∴1334x -=为所求的x 的值，输入计算后始终输不出y 的值．…………………8分 16. （1）∵A 中有两个元素，∴方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，∴ 09160a a ≠⎧⎨=+>⎩，即a ＞－916，∴a ＞－916，且a ≠0． …4分（2）当a ＝0时，A ＝{－43}；…5分当a≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根， Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916；…………………………………………………………………………6分若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a ＜0，即a ＜－916；……………………………7分所求的a 的取值范围是a ≤－916或a ＝0． …………………………………………8分17.．（1）214y x =-， A （-2，4）、B （2，4）；………………………………2分（2）连接AB ，则抛物线1y 和11A B 围成的图形的面积等于抛物线y 和AB 围成的图形的面积，∴抛物线1y 和2y 及1AA 和1BB 围成的图形的面积等于正方形11AA B B 的面积=16；……5分（3）如图，∵RP PQ QS ==，∴3RS PQ = 246m m +=，解得 12m =…………8分 18．【解】4321a a a a <<<，且},{41a a B A = ，∴211a a =，又N a ∈1，所以.11=a …1分又1041=+a a ，可得94=a ，并且422a a =或.423a a =………………………3分 若922=a ，即32=a ，则有,12481931233=+++++a a 解得53=a 或63-=a （舍） 此时有}.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A ………………………………5分 若923=a ，即33=a ，此时应有22=a ， 则B A 中的所有元素之和为100≠124．不合题意．………………………………7分综上可得， }.81,25,9,1{},9,5,3,1{==B A ……………………………………8分 19．解： （1）证明：∵AB AD =，90BAE EAD DAG ∠=︒-∠=∠，AE AG =∴△ABE ≌△ADG ，即BE DG =．……………………………1分 分别延长GD ，BE 交于点M 交EF 于点N ，∵MEN ENM MEN AGD BEA NEM ∠+∠=∠+∠=∠+∠=90° ∴BE GD ⊥（∵ABE ∆≌ADG ∆，AB ⊥AD ，AE ⊥AG ， ∴ADG ∆可以看成由ABE ∆绕顶点A 旋转90°，即BE ⊥DG ．）………………2分（2）证明：①∵AB AG =，∴∠ABG =∠AGB ，∠CBG =∠FGB同理：∠BCF =∠GFC又∵∠CBG +∠FGB+∠BCF+∠GFC=360°∴∠CBG +∠BCF=180°，即BG ∥CF ；…………………5分 ②续① 又∵AB ∥PC ，AG ∥PF∴∠ABG =∠PCF ，∠AGB =∠PFC 即ABG ∆∽PCF ∆……6分 ③续② 连接AP 交GF 的延长线于1Q ，交BC 的延长线于2Q ， 则11Q P PF Q A AG =，22Q P PCQ A AB=，而AB=AG ，PC=PF ∴11Q P Q A =22Q PQ A，亦有12Q P Q P AP AP =，12Q P Q P = ∴1Q ，2Q 重合，即BC ，AP ，GF 相交于点Q ，ABG ∆与PCF ∆位似．……………………………8分（3）连接AC ，AF 可证得ABE ∆∽ACF ∆，1222BE AB CF AC ===．…………………………………10分 20.解:（1）当x ∈R 时，函数2()2f x x bx =++的图象是开口向上，且对称轴为2bx =-的抛物线，()f x 的值域为28,4b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，所以()[()]F x f f x =的值域也为28,4b ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭的条件是228,280,2,442b bb b b b ----∴-即或≤≥≤≥， 即b 的取值范围为(,2][4,).-∞-+∞(2)222()|1|2,|1|0f x x x bx x +-=++-=即，由分析知0b ≠,不妨设221221,||1,02,()|1|21,||1,bx x x x H x x bx x x bx x +⎧<<<=++-=⎨+->⎩令≤因为()(0,1]H x 在上是单调函数，所以()0H x =在(0,1]上至多有一个解.若12,(1,2)x x ∈，即x 1、x 2就是2210x bx +-=的解，12102x x =-<，与题设矛盾. 因此，12(0,1],(1,2).x x ∈∈由111()0H x b x ==-得，所以1b -≤；由2221()02,H x b x x ==-得所以71.2b -<<-故当712b -<<-时，方程2()|1|2(0,2)f x x +-=在上有两个解.由212112b b x x x =-=-和消去b ，得212112.x x x += 由21211(1,2), 4.x x x ∈+<得。

2021年高一年级数学竞赛试卷第一卷〔一共60分〕一、填空题〔每一小题10分，一共80分.〕1. 假设是单位向量，且，那么__________．【答案】0【解析】2. 函数的值域为__________．【答案】【解析】时，x-1时，1-x<0, <-1综上值域为故答案为点睛：分段函数求值域，先分段求，再求并集，注意的是指数函数都是大于0的3. 4个函数，，，图象的交点数一共有__________．【答案】5故答案为54. 假设，那么__________．【答案】0.........5. ，，，那么__________．【答案】【解析】∵cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，∴cosγ=−cosα−cosβ，sinγ=−sinα−sinβ，∵=1，∴=1，整理得：2+2(cosαcosβ+sinαsinβ)=1,即cosαcosβ+sinαsinβ=−，∴cos(β−α)= −，∵0⩽α<β<2π，∴0<β−α<2π∴β−α=或者.①∴同理可得：cos(γ−β)=−−,解得：γ−β=或者②。

cos(γ−α)= −;解得：γ−α=或者③。

∵0⩽α<β<γ<2π，∴β−α=,γ−β=,γ−α=.故β−α的值是.点睛：此题主要考察了同角平方关系的应用，解题的关键是要发现sin2γ+cos2γ=1，从而可得α，β的根本关系，但要注意出现多解时一定要三思而后行.6. 甲乙两人玩猜数学游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚刚所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，假设，称甲乙“心相近〞，现任意两人玩这游戏，那么他们心相近的概率为__________．【答案】【解析】7. 在中，角所对边分别为，假设，那么__________．【答案】【解析】又A为锐角，所以A=8. 将10个数1，2，3，…，9，10按任意顺序排列在一个圆圈上，设其中连续相邻的3数之和为，那么的最大值不小于__________．【答案】18【解析】设10个在圆圈上的排列的数依次为其中于是=故中必有一个不小于18故答案为18二、解答题〔一共70分〕9. 函数〔〕是偶函数，假设对一实在数都成立，务实数的取值范围.【答案】【解析】试题分析：函数〔〕是偶函数得出，证明出当时，为增函数，，根据单调性去掉f,得出，即得解试题解析：〔〕是偶函数，当时，，得对一切都成立，所以，.于是设，，所以，当时，为增函数.，，于是，即，所以即对一实在数都成立.点睛：型如的题目肯定会用到函数的奇偶性，单调性，所以做题时从这两方面着手即可.10. 记表示不超过实数的最大整数，在数列中，，〔〕，证明：.【答案】见解析【解析】试题分析：由〔〕知，数列化为，两边同除得，裂项相消求和即得解.试题解析：由〔〕知，数列为正项递增数列.又，所以，.化为，两边同除得.因此，故11. 如图，定直线与定相离，为上任意一点，为的两条切线，为两切点，其垂足为点，交于点，证明：为定长.【答案】见解析【解析】试题分析：因为，，由射影定理，得，因为，所以，四点一共圆，由圆幂定理得结合两个等式即得解.试题解析：连，设为，的交点，因为，，由射影定理，得因为，所以，四点一共圆.由圆幂定理，得所以，即〔定值〕，所以，为定长.12. 有〔〕个整数：，，…，，满足，，证明能被4整除.【答案】见解析【解析】试题分析：反证法来解决问题，假设为奇数，由，得均为奇数推出矛盾，所以，中必有偶数，假如中仅有一个偶数，推出矛盾，所以中必至少有2个偶数，即得证试题解析：首先，为偶数，事实上，假设为奇数，由，得均为奇数，而奇数个奇数和应为奇数，且不为0，这与矛盾，所以，为偶数所以，中必有偶数.假如中仅有一个偶数，那么中还有奇数个奇数，从而，也为奇数，矛盾，所以，中必至少有2个偶数.由知，能被4整除.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

高中数学竞赛试题高一一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.33333...（无限循环）D. -3/42. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在x=1处的导数是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 若a, b, c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形4. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B的结果：A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}5. 将一个圆分成四个扇形，每个扇形的圆心角为90°，那么这四个扇形的面积之和等于：A. 圆的面积B. 圆的面积的一半C. 圆的面积的四分之一D. 圆的面积的两倍6. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值：A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共20分）7. 计算(3x^2 - 5x + 2) / (x - 1)的余数是______。

8. 若sinα + cosα = √2/2，那么sin2α的值为______。

9. 已知点A(2,3)，B(-1,-2)，求线段AB的中点坐标为______。

10. 一个圆的半径为5，圆心到直线x + y - 6 = 0的距离为d，求d 的值为______。

三、解答题（每题15分，共50分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。

12. 解不等式：|x - 1| + |x + 2| ≥ 4。

13. 已知函数f(x) = ln(x + 1) - x^2，求其在区间[0, 1]上的最大值和最小值。

四、附加题（10分）14. 一个不透明的袋子中有5个红球和3个白球，每次随机取出一个球，取出后不放回。

求第三次取出红球的概率。

高一数学选拔试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-6x+8，则f(1)的值为（）A. 3B. 1C. -1D. -32. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 若a，b，c是等差数列，且a+c=10，b=5，则a+b+c的值为（）A. 15C. 25D. 304. 函数y=x^3-3x+1的导数为（）A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3D. x^2+35. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=0，则a的值为（）A. 1B. 3C. 1或3D. 以上都不对6. 已知函数f(x)=x^2-2x+1，若f(a)<f(b)，则a与b的大小关系为（）B. a>bC. a<b或a>bD. 无法确定7. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=f(b)，则a与b的大小关系为（）A. a=bB. a+b=4C. a=4-bD. 以上都不对8. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2x，若f'(x)=0，则x的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 1或29. 若函数f(x)=x^2-6x+8，当x=3时，函数取得最小值，则该最小值为（）A. -1B. 1C. 3D. 510. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，若f(a)=f(4-a)，则a的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则an=_________。

12. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的对称轴方程为_________。

13. 已知函数f(x)=x^3-3x+1，求f'(x)=_________。

14. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求f(x)的顶点坐标为_________。