沪科版数学九年级上册《二次函数》名师教案

第3课时二次函数的应用教学目标1．从现实情境和已有知识经验出发，通过描点、连线，理清是何种函数关系，从而求出解析式．2．利用几何图形的性质列出函数解析式，根据所求解析式求出最值．3．深刻体会转化以及方程思想、渗透数形结合思想．教学重难点根据实际问题找出函数模型及从几何图形中得出函数解析式．教学过程导入新课复习回忆：1．二次函数图象的特点及二次函数解析式的几种类型．2．待定系数法求二次函数解析式的方法及最值求法．推进新课一、合作探究1．从实际问题中提炼函数关系行驶中的汽车，在制动后由于汽车惯性，还要向前滑行一段距离才能停止，这段距离称制动时车速/km·h－101020304050制动距离/m00.3 1.0 2.1 3.6 5.5 【问题x(y值)，在直角坐标系中描出这些数据的点、连线，观察所画的函数的图象，你发现了什么？让学生动手画图、探究，直观感知属于何种函数．【问题2】若把这个函数的图象看成是一条抛物线，你能求出此函数的解析式吗？根据二次函数解析式的求法，让学生设出适当的解析式，进行求解．对于困难学生教师给予引导．【问题3】利用表中所给的数据，选择三对数据，求出它的函数关系式后，再用你留下的两对数据，验证一下你所得到的结论是否正确．因为所画图象只是其中的一部分，我们不能确认此图象一定是抛物线．所以我们需要验证留下的两对数据是否满足所求抛物线的解析式，若满足，说明我们把此图象当作抛物线是正确的；若不满足，说明此图象不是二次函数的图象．【问题4】现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5 m，则交通事故发生时车速是多少？是否因超速(该公路最高时速为110 km/h)行驶导致了交通事故？由所求二次函数的解析式，此题实际上是已知制动距离y＝46.5，求此时的车速x.显然，只需把y＝46.5代入解析式求出x即可，若车速x大于110 km/h，则为超速；否则不超速．2．几何图形中的二次函数一块三角形废料如图所示，∠C=90°，BC=8，∠A=30°.用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E 应选在何处？此题可设计以下小问题：(1)若设AE=x，你能表示出DE、EF的长吗？(2)要使剪出的长方形CDEF 面积最大，可设长方形CDEF 面积为y ，试建立y 与x 的函数关系式．(3)根据所建立的函数关系式，求出长方形CDEF 面积最大时x 的值．(4)根据你所求得x 的值，能确定点E 应选在何处吗？二、巩固提高1．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： x (元) 15 20 30 …y (件) 25 20 10 …若日销售量y (件)是销售价x (元)的一次函数．(1)求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数解析式；(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？2．某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售．(1)请建立销售价格y (元)与周次x 之间的函数关系；(2)若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z (元)与周次x 之间的关系为z ＝－18(x －8)2＋12，1≤x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x 米．(1)用含x 的式子表示横向甬道的面积；(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；(3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？本课小结1．能发现、提炼日常生活中可以利用函数关系式来解决的实际问题，并能用语言表述问题及解决问题的过程．2．能从几何图形中得出函数关系式，并能用函数关系式求几何问题中的最值问题．3．学会建立数学模型的思想方法及用函数思想解决几何问题的思想方法．与二次函数有关的探索性问题探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、分析问题和解决问题的能力，因而倍受关注．现举例予以说明．一、条件探索型条件探索型题的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件．解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解题(即执果索因)．【例1】 若二次函数y ＝x 2－4x ＋c 的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝__________.(只要求写出一个)解析：本题答案不唯一，抛物线y ＝x 2－4x ＋c 与x 轴没有交点，可知一元二次方程x2－4x ＋c ＝0没有实数根，Δ＝16－4c ＜0，即c ＞4(c 为整数)，所以c 为大于4的所有整数，如5、6、7……等．答案：6二、结论探索型结论探索型题是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目，解结论探索型题的方法是由因导果．【例2】 请选择一组你喜欢的a 、b 、c 的值，使二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当x ＜2时，y 随x 的增大而增大；当x ＞2时，y 随x 的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是____________．解析：本题答案不唯一，只要满足a ＜0，且对称轴为x ＝2即可，如y ＝－(x －2)2－1等．三、存在性探索型存在性探索型题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索型题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．【例3】 已知抛物线y ＝－x 2＋(m －2)x ＋3(m ＋1)，交x 轴于A (x 1,0)、B (x 2,0)，交y轴的正半轴于C 点，且x 1＜x 2，|x 1|＞|x 2|，OA 2＋OB 2＝2OC ＋1.(1)求抛物线的解析式；(2)是否存在与抛物线只有一个公共点C 的直线．如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．分析：(1)用到的知识点有：二次函数与一元二次方程的关系，根与系数关系，代数式的恒等变形，不等式等知识点，抛物线与x 轴交点的横坐标为方程－x 2＋(m －2)x ＋3(m ＋1)＝0的两个根，由根与系数的关系对已知等式进行变形求得m 的两个值，由x 1＜x 2得到m 的取值范围，进而确定m 的值，得到函数解析式．(2)分两种情况：当过点C 的直线和抛物线相交时，此直线为y 轴；当直线与抛物线相切时，设过C 点的直线解析式为y ＝kx ＋b ，两解析式联立得到的方程组只有一组实数解，说明判别式等于0，求得k 值，得到直线解析式．解：(1)由条件知AO ＝|x 1|＝－x 1，OB ＝|x 2|＝x 2，OC ＝3(m ＋1)，∵OA 2＋OB 2＝2OC ＋1，x 21＋x 22＝6(m ＋1)＋1，(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝6(m ＋1)＋1，(m －2)2＋6(m ＋1)＝6(m ＋1)＋1，得m 1＝3，m 2＝1.∵x 1＜x 2，|x 1|＞|x 2|，∴x 1＋x 2＝m －2＜0.∴m ＝1.∴函数的解析式为y ＝－x 2－x ＋6.(2)存在与抛物线只有一个公共点C 的直线．则C 点的坐标为(0,6)．①当直线过C (0,6)且与x 轴垂直时，直线与抛物线只有一个公共点，∴直线x ＝0.②设过C 点的直线为y ＝kx ＋b ，与抛物线y ＝－x 2－x ＋6只有一个公共点C ，当x ＝0时，b ＝6，∴y ＝kx ＋6.即⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x 2－x ＋6，y ＝kx ＋6只有一个实数解．∴x 2＋(k ＋1)x ＝0.∵Δ＝0，∴(k ＋1)2＝0.∴k＝－1.∴y＝－x＋6.∴符合条件的直线的表达式为y＝－x＋6或x＝0.。

沪科版九年级数学上册《二次函数》教案及教学反思引言二次函数是初中数学中相对复杂的一个概念，它相对于一次函数来说有更多的特征与应用，如顶点、对称轴、零点、最值等。

本文将介绍一份针对沪科版九年级数学上册《二次函数》这一章节的教案，并对教学反思进行探讨。

教学背景这份教案是我在上海某初中进行的一次实验性课堂教学。

此教案适用于九年级的初中生，要求学生已经掌握了二元一次方程的求解、一次函数的性质和图像以及代数式的变形等基础知识。

教学目标1.掌握二次函数的定义及其一般式、顶点式和根式的相互转化；2.掌握二次函数的图像特征，如顶点坐标、对称轴、零点、最值等；3.了解二次函数的应用，如求解实际问题中的最值问题等。

教学过程第一步：引入老师问学生：你们对什么样的函数比较熟悉？学生回答可能会有：一次函数、常函数等等。

老师接着问：那么你们知道二次函数是什么吗？学生回答可能为不知道或者知道一点点。

老师引入二次函数，介绍二次函数的定义及一般式、顶点式、根式的相互转化。

第二步：解析图像老师通过投影仪将二次函数的图像投影到黑板上，让学生观察二次函数的图像特征，比如顶点的坐标、对称轴、零点、最值等等。

学生需要根据图像，计算出相关特征。

老师会鼓励学生以互动的方式来回答，更好地激励学生的思考和学习兴趣。

第三步：应用案例在此步骤，老师会带领学生运用所学知识，解决实际问题。

老师会给出一些二次函数的实际应用，如最值问题等，并引导学生通过图像及代数式求解。

第四步：交流与总结本节课主要以小组合作、分组讨论的方式展开，通过搜集资料、解决问题等等不同形式的活动，使学生从交流中学习彼此的思路与想法。

在教学结束时，本课将通过展示学生成果、集体现场讨论等方式，促进学生的学习体会及信息互换，进一步进行问题的探讨与总结。

教学反思相对于其他部分的数学教学，二次函数因为有着图像特征与复杂的应用，因此需要更多的实践性教学。

对于学生来说，记忆数学知识并不是最方便的方法，因此更好的方式是通过亲身体验与实践，理解数学应用的本质。

⑴当1=x 时，cb a y ++=⑵当1-=x 时，cb a y +-=⑶当2=x 时，cb a y ++=24⑷当2-=x 时，cb a y +-=24⑸当ac b 42-=0，ac b 42-＞0和ac b 42-＜0时，图像与x 轴交点个数。

二、知识点探究：探究1：二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标是______，对称轴是_________。

探究要求：学生分别利用配方法和顶点公式进行求解。

探究2：根据二次函数62--=x x y 的图象顶点坐标、对称轴及与x 轴y 轴交点画出函数图像草图，研究函数性质。

探究要点：1、如何画二次函数的大致图象:①画对称轴②确定顶点③确定与y 轴的交点④确定与x 轴的交点⑤连线；2、由学生亲手画出的二次函数的大致图象体会函数的增减性、最值和函数值的正负性。

探究3：将221x y =向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是。

知识点：抛物线移动规律：上加下减，左加右减探究4：抛物线2)3(212-+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式是。

1、要点：关于x 轴对称:1将原抛物线写成顶点式y=a(x+h)2+k学生根据二次函数和一次函数的图像性质进行讨论探究，教师根据学情进行指导。

三、探究体会：1、二次函数的定义及两个不同表达式2、二次函数图像的性质特点3、二次函数解析式系数与图像的关系4、二次函数图像平移和对称变换四、知识应用，巩固训练五、归纳总结本节课内容六、布置作业当堂巩固测试1、在①y ＝－x 2②y ＝2x 2－x 1＋3③y ＝100－5x 2④y=－2x 2＋5x 3－3中有个是二次函数。

2、函数k k k y +-=2)1(是二次函数，则k 的值是3、抛物线342+-=x y 的对称轴及顶点坐标分别是（）A、y 轴，（0，-4）B、x＝3，（0，4）C、x 轴，（0，0）D、y 轴，（0，3）4、二次函数2)1(2---=x y 图象的顶点坐标和对称轴方程为（）A、（1，-2），x＝1B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-15、函数32212++=x x y 的开口方向，顶点坐标是，对称轴是当x 时.y 随x 的增大而减小。

沪教版数学九年级上册26.1《二次函数的概念》教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册第26.1节《二次函数的概念》是整个初中数学阶段的重要内容，它为学生以后学习高中数学乃至大学数学打下基础。

本节内容主要介绍二次函数的定义、一般形式以及二次函数的图像特征。

教材通过实例引导学生理解二次函数的概念，并通过自主探究活动，让学生掌握二次函数的性质。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的函数知识，例如一次函数和正比例函数。

他们在学习过程中能初步运用观察、实验、猜测、推理、交流等数学活动方式，进一步抽象和概括数学问题。

但二次函数的概念较为抽象，学生理解起来存在一定困难，因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过实际问题来感受二次函数的实际意义，激发学生的学习兴趣。

三. 教学目标1.让学生理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式。

2.使学生能够通过实际问题，运用二次函数的知识进行分析。

3.培养学生运用数学语言描述和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：二次函数的概念，二次函数的一般形式。

2.难点：理解二次函数的图像特征，能够运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数的实际意义。

2.自主探究法：教师提出问题，引导学生分组讨论，共同探究二次函数的性质。

3.讲解法：教师对二次函数的概念、性质进行系统的讲解。

4.练习法：通过课堂练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.课件：制作关于二次函数概念、图像特征的课件。

2.练习题：准备一些关于二次函数的练习题，用于课堂练习和课后作业。

3.教学工具：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线运动，引出二次函数的概念。

提问：你们认为什么是二次函数？2.呈现（10分钟）呈现二次函数的一般形式，y=ax^2+bx+c（a≠0）。

讲解二次函数的各部分含义，让学生理解二次函数的定义。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，探究二次函数的性质。

沪科版数学九年级上册21.1《二次函数》教学设计一. 教材分析《二次函数》是沪科版数学九年级上册第21.1节的内容，本节主要让学生了解二次函数的定义、性质及其图象。

通过学习，学生能运用二次函数解决一些实际问题，为高中阶段更深入地学习函数打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了初中阶段的数学基础知识，对函数有一定的认识。

但二次函数相对于一次函数和反比例函数，其性质和图象更为复杂，需要学生具有一定的抽象思维能力。

同时，学生需要掌握一些数学解题技巧和方法，提高解决问题的能力。

三. 教学目标1.让学生了解二次函数的定义、性质及其图象。

2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。

3.提高学生的抽象思维能力和数学解题技巧。

四. 教学重难点1.二次函数的定义和性质。

2.二次函数图象的特点。

3.运用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置问题，引导学生探究二次函数的性质；通过案例分析，让学生了解二次函数在实际问题中的应用；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。

2.制作课件，展示二次函数的图象和性质。

3.准备练习题，巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如抛物线、卫星轨迹等，引导学生思考这些问题的数学模型是什么。

让学生认识到二次函数在实际生活中的重要性。

2.呈现（10分钟）介绍二次函数的定义、性质及其图象。

通过课件展示，让学生直观地了解二次函数的特点。

同时，引导学生总结二次函数的性质，如开口方向、对称轴等。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，分析给出的实际问题，将其转化为二次函数模型。

每组选取一个问题，进行解答和分享。

教师在这个过程中给予指导，帮助学生掌握解题方法。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目包括判断题、填空题和解答题。

完成后，教师进行讲解和点评，确保学生掌握所学知识。

“21.1 二次函数”教学设计一、教学内容分析二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型。

许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究。

本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的表达式和自变量的取值范围。

在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义。

二、教学目标1.能结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念。

2.能够表示简单变量之间的二次函数关系。

3.通过回顾旧知和类比迁移，初步理解数学知识内在的联系，体会归纳类比的思想方法。

三、教学重点对二次函数概念的理解。

四、教学难点由实际问题确定函数解析式及自变量的取值范围。

五、教学用具教具、学具、多媒体设备. 六、教学过程1.回顾旧知，复习引入师：我们在八年级上册第12章一次函数里学习过函数概念，你能说说什么是函数吗？ 一般地，在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果在x 允许取值的范围内，每取一个x 值，y 都有唯一的值与它对应，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。

追问1：你认为函数概念中有哪些关键词？ 追问2：x 与y 是如何对应的？追问3：我们已经学过了哪些函数？追问4：以一次函数为例，说说主要研究了哪些内容？师：我们学习一次函数经历了这样的过程：从实际问题中，找到两个变量，如果它们存在一定的依赖关系，画出函数图象后，通过直观观察，总结出函数的性质，最终又回到实际问题。

所以数学来源于生活，也必将应用于生活。

今天我们学习一种新的函数，请看实际问题。

2.自主探究，合作交流问题1 已知正方体的棱长为x cm ，表面积为y 为2cm ，y 与x 之间的关系式是 师生：显然y 随x 的变化而变化，当x 的值确定时，y 的值随之确定，因此y 是x 的函数。

沪科版数学九年级上册21.2.2《二次函数y＝a2＋b＋c的图象和性质》（第5课时）教学设计一. 教材分析《二次函数y=a2+b+c的图象和性质》是沪教版数学九年级上册第21章第2节的内容。

这部分内容是在学生已经掌握了二次函数的一般形式y=ax^2+bx+c的基础上，进一步探讨二次函数的图象和性质。

本节课的内容对于学生来说较为抽象，需要通过大量的实例和练习来理解和掌握。

教材中提供了丰富的例题和练习题，以及一些探究活动，帮助学生逐步深入理解二次函数的图象和性质。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的一般形式已经有了一定的了解。

但是，对于二次函数的图象和性质，学生可能还存在一些困惑和疑问。

因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。

同时，学生对于数学的兴趣和积极性也需要教师的激发和引导。

三. 教学目标1.让学生理解二次函数的图象和性质，能够运用二次函数的性质解决一些实际问题。

2.培养学生的观察能力、分析能力和推理能力。

3.激发学生对数学的兴趣和积极性，培养学生的合作意识和探究精神。

四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和运用。

2.二次函数的图象和性质的推导和证明。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、分析和推理来理解和掌握二次函数的图象和性质。

2.运用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质的实例，帮助学生直观地理解和掌握。

3.学生进行小组讨论和探究活动，培养学生的合作意识和探究精神。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.相关的教学PPT或投影片。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出二次函数的图象和性质的概念。

2.呈现（10分钟）利用多媒体展示一些二次函数的图象和性质的实例，让学生直观地感受和理解二次函数的图象和性质。

3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析，找出二次函数的图象和性质的特点，并进行推理和证明。

沪科版数学九年级上册21.2《二次函数的图象和性质》教学设计1一. 教材分析《二次函数的图象和性质》是沪科版数学九年级上册第21.2节的内容。

这部分教材主要介绍二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性等。

教材通过例题和练习题帮助学生理解和掌握二次函数的图象和性质，并能够运用到实际问题中。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了二次函数的定义和一般形式，对二次函数有一定的了解。

但是，学生可能对二次函数的图象和性质的概念和规律还不够清晰，需要通过实例和练习来加深理解和掌握。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性等。

2.过程与方法：学生能够通过观察、分析和归纳二次函数的图象和性质，培养数形结合的能力。

3.情感态度与价值观：学生能够积极参与学习活动，克服困难，增强对数学学习的信心和兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：二次函数的图象和性质的概念和规律。

2.教学难点：开口方向、对称轴、顶点、增减性的理解和运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题和情境，引发学生的兴趣和思考，引导学生观察和分析二次函数的图象和性质。

2.引导发现法：教师引导学生通过观察、分析和归纳，自主发现二次函数的图象和性质的规律。

3.练习法：通过适量的练习题，巩固学生对二次函数的图象和性质的理解和掌握。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数的图象和性质的实例和规律。

2.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的理解和掌握。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题，引入二次函数的图象和性质的概念。

例如，可以提出一个关于抛物线的问题，让学生思考抛物线的开口方向和顶点位置。

2.呈现（15分钟）教师通过课件展示一些二次函数的图象，让学生观察和分析开口方向、对称轴、顶点等特征。

同时，教师引导学生通过观察和分析，归纳出二次函数的增减性规律。

3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生独立完成。