2016年山东省济南市历下区初三一轮复习学案：一元二次方程

课题：一元二次方程及其应用备课学校：济南泉城中学一、考试大纲要求：1、了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程（数字系数），并在解一元二次方程答过程中体会转化等数学思想。

2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力。

二、重点、易错点分析：1、重点：三种解一元二次方程的方法及在增长率、利润问题和几何图形问题中的应用。

2、易错点：①配方法掌握不扎实，尤其是二次项系数不为1的方程②一元二次方程在实际问题中是否符合题意，验根。

三、考题集锦： 1、选择1．（2015•甘肃兰州,第6题，4分）一元二次方程0182=--x x 配方后可变形为A . 17)4(2=+xB . 15)4(2=+xC . 17)4(2=-xD .15)4(2=-x2．（2015·湖南省衡阳市，第8题3分）若关于的方程有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）．A ．－2B ．2C ．4D ．－33．（2015·湖南省衡阳市，第11题3分）绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为米，根据题意，可列方程为（ ）． A ．B ．C ．D ．4．（2015·湖南省益阳市，第7题5分）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x ，根据题意可列方程为（ ）A ． 20（1+2x ）=80B ． 2×20（1+x ）=80C ． 20（1+x 2）=80D ． 20（1+x ）2=805. （2015•四川凉山州,第7题4分）关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是（ ）A ． B ．C ．且D ．且6. （2015•四川泸州,第10题3分）若关于x 的一元二次方程2210x x kb -++=有两个不相等的实数根,则一次函数y kx b =+的大致图象可能是 （ ）DC BA OO O Ox yxyx yyx7. （2015•四川眉山，第8题3分）下列一元二次方程中有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ． （x ﹣1）2=0 B ． x 2+2x ﹣19=0 C ． x 2+4=0 D ． x 2+x +l =08．（2015•山东日照 ，第9题4分）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（ ） A ． 20%B ． 40%C ． ﹣220%D ．30%9. （2015山东济宁，5，3分）三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为( ) A .13 B .15 C .18 D .13或1810．（2015•甘肃兰州,第11题，4分）股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再张，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停。

《一元二次方程》复习导学案》 考点分析：必考点：一元二次方程的解法及应用 常考点：一元二次方程的概念及根的情况 本节重难点知识及体系构建3．易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.【考点清单】1、方程3(1)0x x +=的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .2、关于x 的一元二次方程1(3)(1)30n n x n x n +++-+=中，则n ＝ ，一次项系数是 .3、（2010年眉山）方程()412=-x 的解为4、（益阳市2010年中考题6）．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等．．．的实数根，则ac b 42-满足的条件是Ａ．ac b 42-＝0 Ｂ．ac b 42-＞0Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥05、（益阳2010）一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等．．．的实数根，则ac b 42-满足的条件是Ａ．ac b 42-＝0 Ｂ．ac b 42-＞0Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥06、（2007四川内江）用配方法解方程2420x x -+=，下列配方正确的是（ ）A ．2(2)2x -=B ．2(2)2x +=C ．2(2)2x -=-D ．2(2)6x -=7、（2010四川成都）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） （A ）x 2＋4＝0 （B ）4x 2－4x ＋1＝0 （C ）x 2＋x ＋3＝0 （D ）x 2＋2x －1＝0AD16米 草坪第10题图8、（2007四川乐山）已知1x =-是关于x 的方程2220x ax a +-=的一个根，则a =_______ 9、(2010荆门市)如果方程ax 2＋2x ＋1＝0有两个不等实根，则实数a 的取值范围是______． 10、（2007湖南岳阳）某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程正确的是（ ）A ：200(1+a%)2=148B ：200(1－a%)2=14810、(2010山东济南)如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长．典例精析例1 解方程：（1）3x 2+8x-3=0； （2）9x 2+6x+1=0；（3）x-2=x （x-2）； （4）220x x +-=例2．方程（m+1）|m|+1+（m-3）x-1=0．（1）m 取何值时，方程是一元二次方程，并求出此方程的解；（2）m 取何值时，方程是一元一次方程．例3（问题2、如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=3cm 。

第8课时一元二次方程及应用【基础知识梳理】一、一元二次方程的定义：1、一元二次方程：含有个未知数，并且未知数 _的整式方程叫一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式：其中二次项是一次项是常数项是注意：1、在一元二次方程的一般形式要特别注意强调a≠0这一条件2、将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并且一般首项为正二、一元二次方程的常用解法：1、直接开平方法：如果ax2 = b 则x2= ，x1= ， x2=2、配方法：解法步骤：①、化二次项系数为，即方程两边都二次项的系数②、移项：把项移到方程的边③、配方：方程两边都加上把左边配成完全平方的形式④、解方程：若方程右边是非负数，则可用直接开平方法解方程。

3、公式法：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 满足b 2-4ac≥0，则一元二次方程的求根公式为4、因式分解法：一元二次方程化为一般形式，如果左边分解因式，即产生A×B=0的形式，则可将原方程化为两个方程，即 ______ 从而求出方程的两根。

注：因式分解的方法：（1）提公因式法（2）公式法：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2、a2-2ab+b2=(a-b)2（3）分组分解法（4）十字相乘法注意：一元二次方程的四种解法应根据方程的特点灵活选用三、一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况由决定，我们把它叫做一元二次方程根的判别式，一般用符号“Δ”表示①当时，方程有两个不相等的实数根②当时，方程看两个相等的实数根③当时，方程没有实数根注意：（1）方程有两个实数根，则△=b2-4ac≥0（2）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母一定要保证二次项系数不为0四、一元二次方程根与系数的关系：关于x 的一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有两个根分别为x 1，x 2则x 1+x 2 = x 1x 2 =五、一元二次方程的应用：解法步骤同一元一次方程一样，仍按照审、设、列、解、验、答六步进行（实际解题过程中，可以先找等量关系，根据等量关系缺少什么未知数就设什么未知数）常见题型：1、增长率问题：连续两率增长或降低的百分数2、利润问题：总利润= ×3、几个图形的面积、体积问题：按面积的计算公式列方程注意：因为通常情况下一元二次方程有两个根，所以解一元二次方程的应用题一定要验根，检验结果是否符合实际问题或是否满足题目中隐含的条件。

《一元二次方程》复习学案学 习目 标1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；知识梳理：一元二次方程的概念，一元二次方程的根，一元二次方程的解法（开平方法、配方法、公式法、 分解因式法），一元二次方程根的判别式. 实际问题与一元二次方程.考点一、一元二次方程的概念一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0)1．以下方程中①13122=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y ,一元二次程是（ ）A ． ①和②B ． ②和③C ． ③和④D ． ①和③2．关于x 的方程(a 2-a-2)x 2+ax+b=0是一元二次方程的条件是（ ）A ．a≠-2且a=1B ．a≠2C ．a≠2且a≠-1D ．a=-1考点二、一元二次方程的根1．已知关于x 的一元二次方程（k+4）x 2+3x+k 2+3k-4=0的一个根为0，求k 的值．2．已知t 是方程x 2－x －1=0的一个解，则－t 3＋2t 2＋2 002的值为（ ）．A ．2 001B ．2 002C ．2 003D ．2 0043．设t 是一元二次方程20ax bx c ++=的一个实数根，则24N b ac =-与2(2)M at b =+的大小关系是（ ）．A ．N M <B ．N M =C ．N M >D ．不能确定考点三、一元二次方程的解法直接开平方法:x 2=p(p ≥0) (mx+n)2 =p(p ≥0)配方法公式法:因式分解法:(ax+b)(cx+d)=01．开平方法解下列方程：（1）012552=-x （2）289)3(1692=-x2．用配方法解下列各方程：（1）2280x x --= （2）0152=++y y3．用公式法解下列各方程：（1）2220x x --= （2）2227x x +=4．用因式分解法解下列各方程：（1）04542=-+y y （2）2(1)2(1)3x x +-+=考点四、一元二次方程根的判别式知识梳理：1．判别式应用的前提，把一元二次方程化为一般形式且0≠a ，注意分类讨论；2. 不解方程，由根的判别式判断一元二次方程实数根的情况；3．依据根的情况求方程中字母的值或取值范围；4．解决一元二次方程的整数根问题.5．进行有关的证明,1．已知关于x 的二次方程0962=+-x kx ，那么：（1）当k 满足 时,方程有两个不等的实数根；（2）当k 满足 时,方程有两个相等的实数根；（3）当k 满足 时,方程无实数根.2．关于x 的方程220x kx k -+-=的根的情况是 ． 3．已知关于x 的方程0)21(4)12(2=-++-k x k x ．（1）求证：无论k 取什么实数值，这个方程总有实数根；4．已知a b c 、、是三角形的三条边长，且关于x 的方程2()2()()0c b x b a x a b -+-+-=有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．知识点五：实际问题与一元二次方程:审,设,列.解,验,答,①审题；②设未知数；③列方程；④解方程；⑤检验根是否符合实际情况；⑥作答。

第13课时二次函数⑵二次函数解析式的求法及其简单应用一、考试大纲要求：1、会用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式；2、能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；解决简单的实际问题。

二、重点、易错点分析：1、重点：用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式；能从实际问题中感受到二次函数的模型作用，解决实际问题.2、易错点：从实际问题中抽象出数学模型三、考题集锦：1、（2015•宁夏）已知点A（，3）在抛物线的图象上，设点A关于抛物线对称轴对称的点为B。

（1）求点B的坐标；（2）求∠AOB度数。

2、（2014•泉州）如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）。

（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？3、（2014•滨州）已知二次函数y=x2﹣4x+3。

（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．4、(2015•义乌)如果抛物线c bx ax y ++=2过定点M （1，1），则称次抛物线为定点抛物线。

（1）张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式。

小敏写出了一个答案：4322-+=x x y ，请你写出一个不同于小敏的答案；（2）张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线122+++-=c bx x y ，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答。

四、典型例题：（2015•东营）如图，抛物线经过A （﹣2，0），B （﹣，0），C （0，2）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线AC 下方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求点D 的坐标；（3）设点M 是抛物线的顶点，试判断抛物线上是否存在点H 满足∠AMH=90°？若存在，请求出点H 的坐标；若不存在，请说明理由．本题涉及的知识点：（1）待定系数法；（2）图形割补法；（3）相似三角形的判定与性质，（4）解方程组。

【鲁教版】山东省中考数学一轮复习八《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是山东省中考数学的重要内容，主要让学生掌握一元二次方程的定义、解法及其应用。

通过本节课的学习，学生能够了解一元二次方程在实际生活中的应用，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、代数式、方程等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和问题解决能力。

但部分学生对一元二次方程的解法及应用还不够熟练，需要在本节课中加强练习和引导。

三. 教学目标1.知识与技能：掌握一元二次方程的定义、解法及其应用；2.过程与方法：通过自主学习、合作探讨，培养学生的解决问题能力和团队合作精神；3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自信心和探究精神。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的定义、解法及其应用；2.难点：一元二次方程的解法及在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实际问题，引发学生对一元二次方程的兴趣；2.自主学习法：引导学生自主探究一元二次方程的解法，培养学生的学习能力；3.合作探讨法：分组讨论，让学生在合作中解决问题，提高团队协作能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作详细的一元二次方程教学课件，便于学生直观地理解知识；2.练习题：准备一定数量的一元二次方程练习题，用于课堂练习和课后巩固；3.教学素材：收集一些与一元二次方程相关的实际问题，用于情境教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活中的实际问题，引出一元二次方程的概念，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）通过课件展示一元二次方程的定义、解法及其应用，让学生对一元二次方程有一个整体的认识。

3.操练（10分钟）让学生独立解决一些简单的一元二次方程，巩固所学知识。

4.巩固（10分钟）通过小组合作，解决一些较复杂的一元二次方程，提高学生的解决问题的能力。

5.拓展（10分钟）引导学生运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的应用能力。

中考数学一轮复习教学设计八（一元二次方程）鲁教版（一元二次方程）知教育）1．能够利用一元二次方程解决有关实际问题并能根据问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．2．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．3．经历在具体情境中估计一元二次方程解的过程，发展估算意识和能力．根据方程的特点灵活选择解法。

并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．教学过程一：【课前预习】（一）：【知识梳理】1. 一元二次方程：只含有一个，且未知数的指数为的整式方程叫一元二次方程。

它的一般形式是（其中、）它的根的判别式是△= ；当△＞0时，方程有实数；当△=0时，方程有实数根；当△＜0时，方程有实数根；一元二次方程根的求根公式是、（其中）2．一元二次方程的解法：⑴配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的绝对值一半的平方；④化原方程为2(x+m)=n 的形式；⑤如果n 0≥就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。

它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是2(40)b ac -≥注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化为 。

⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．3．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx +1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方程无解．⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．（二）：【课前练习】1. 用直接开平方法解方程2(3)8x -=，得方程的根为（ ）A. 323x =+B. 12322,322x x =+=-C. 322x =-D. 12323,323x x =+=-2. 方程2(1)0x x -=的根是（ ）A ．0B ．1C ．0，－1D ．0，13. 设(1)(2)0x x --=的两根为12x x 、，且1x ＞2x ，则122x x -＝ 。

九年级《一元二次方程解法》复习课教学设计九年级《一元二次方程解法》复习课教学设计复习目标：1、能说出一元二次方程及其相关概念。

2、能熟练应用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。

复习重难点：一元二次方程的解法教学过程一、情景导入前面我们复习了一元一次方程与二元一次方程组的解法，大家掌握得很不错，请同学解方程x(x-1)=1,（学生略作思考后，示意不会做）忘了吧？看来好多学生都已经忘了如何解一元二次方程呢？那么这节课我们就一起来复习一元二次方程的解法（板书课题）二、复习指导（学生按照复习提纲解决问题，师做简单的板书准备后，巡视指导，特别要注意帮助有困难的同学，了解学生的情况，为展示归纳做准备。

）复习提纲1．－元二次方程的定义：只含有_______叫做一元二次方程。

2．一元二次方程的一般形式是________（a_______0），其中ax2叫做_______项，a是_______，bx叫做_______，b是_______，c叫做_______项。

3．一元二次方程的解法：(1)用直接开平方法解方程（2x+1）2=9形如x2＝p(p≥0)的方程的根为________。

(2)用配方法解方程x2+2x=3用配方法解方程步骤：，，，。

(3)用求根公式法解方程x2-3x-5＝0，x2-3x+5＝0。

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式△＝________，根x=。

(1)当△0时，方程有两个_______的实数根。

(2)当△＝0时，方程有两个_______的实数根。

(3)当△&lt;0时，_______。

三、展示归纳1、教师抽有困难的学生逐题汇报复习结果，学生说教师板书。

2、教师发动全班学生进行评价，补充，完善。

3、教师画龙点睛的强调。

四、变式练习（1、2、4题让学生说出理由，3题让学生观察方程的特点可发现：(1)可用直接开平方法；(2)用配方法或公式法；(3)可用公式法；(4)方程都有共同的因式(x －3)，故可用因式分解法。

【鲁教版】中考数学一轮分类复习八《一元二次方程》教学设计一. 教材分析《一元二次方程》是初中数学的重要内容，也是中考的热点。

鲁教版教材通过一系列生动有趣的问题引出一元二次方程的概念，让学生在解决实际问题的过程中感受一元二次方程的必要性，体会数学与实际生活的紧密联系。

教材从一元二次方程的定义、解法、应用等方面进行了深入的讲解，旨在让学生掌握一元二次方程的基本知识，培养其解决问题的能力。

二. 学情分析学生在学习一元二次方程之前，已经掌握了实数、代数式、方程等基础知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。

但部分学生对一元二次方程的解法还不够熟练，对实际问题转化为数学问题的方法还不够理解。

因此，在教学过程中，需要关注学生的个体差异，针对性地进行指导。

三. 教学目标1.理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法；2.能够将实际问题转化为数学问题，运用一元二次方程解决实际问题；3.培养学生的逻辑思维能力、问题解决能力和创新意识。

四. 教学重难点1.一元二次方程的概念及解法；2.实际问题转化为数学问题的方法；3.一元二次方程在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生动有趣的问题引导学生认识一元二次方程，激发学生的学习兴趣；2.案例教学法：通过实际问题让学生体会一元二次方程的实用性，培养学生的问题解决能力；3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论，共同探讨一元二次方程的解法，提高学生的团队协作能力；4.引导发现法：教师引导学生发现一元二次方程的规律，培养学生的创新意识。

六. 教学准备1.教材、教案、课件；2.计算机、投影仪等教学设备；3.相关实际问题素材；4.练习题、测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决这些问题。

例如，抛物线与x轴的交点问题、物体运动问题等。

2.呈现（10分钟）介绍一元二次方程的概念、特点和解法。

通过示例讲解一元二次方程的解法，让学生初步掌握解题思路。