本题考点导数的应用
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答案详解:本题主要考查导数在研究函数中的应用。
(1)求出比较其与的大小,得到的单调性表,于是得到的极值。
(2)将代入到中,并求得当时,此时恒成立,即在单调递增,同理可以得到在上为增函数,则原不等式可化为在上恒成立,令,对其求导得知若为减函数时其导数恒小于,便可得到的取值范围。
(3)若存在,使得假设成立,也即在上不是单调增或单调减,故,对求导得到其极小值点为,由于解得此时,此时需证明当,使得即可,此时可取,发现成立,故的取值范围为。
答案详解(Ⅰ),由是的极值点得,所以。
于是,定义域为,,函数在上单调递增,且。
因此,当时,;当时,。
所以,在上单调递减,在上单调递增。
(Ⅱ)当,时,,故只需要证明当时,。
当时,函数在单调递增,又,,故在有唯一实根,且。
当时,;当时,;从而当时,取得最小值。
由得:,,故。
综上:当时,。
解析:本题主要考查函数的求导和函数的单调性的判断。
(Ⅰ)先对函数求导,得导函数,由题,则可得的值,当时,单调递增,求得的的取值范围即为单调增区间;当时,单调递减,求得的的取值范围即为单调减区间。
(Ⅱ)由分析知,只需证明当时,,此时通过分析函数单调性,求得即可得证。
例题5:函数。
(Ⅰ)讨论的导函数零点的个数;(Ⅱ)证明:当时,。
答案详解(Ⅰ)的定义域为,()。
当时,,没有零点;当时,因为单调递增,单调递增,所以在单调递增。
又,当满足且时,,故当时,存在唯一零点。
(Ⅱ)由(Ⅰ),可设在的唯一零点为,当时,;当时,。
故在单调递减,在单调递增,所以当时,取得最小值,最小值为。
由于,所以。
故当时,。
解析:本题主要考查导数的概念及其几何意义以及导数在函数研究中的应用。
(Ⅰ)求导得出的表达式,根据其表达式,对进行分类讨论。
当时,可知没有零点;当时,可知单调递增,且存在使得而,因此存在唯一零点。
(Ⅱ)由(Ⅰ),可设的最小值在时取到,最小值为。
写出的表达式,再运用均值不等式即可得出。
题型3:先构造,再赋值,证明和式或积式不等式例题:已知函数。
高一数学利用导数研究函数的单调性试题答案及解析1.若函数在区间内是增函数,则实数的取值范围是()A.B.C.D.【答案】B【解析】∵f(x)=x3+ax-2,∴f′(x)=3x2+a,∵函数f(x)=x3+ax-2在区间[1,+∞)内是增函数,∴f′(1)=3+a≥0,∴a≥-3.故选B..【考点】利用导数研究函数的单调性..2.已知函数(1)若,试确定函数的单调区间;(2)若,且对于任意,恒成立,试确定实数的取值范围;【答案】(1)详见解析(2).【解析】(1)求出函数的导数,只要解导数的不等式即可,根据导数与0的关系判断函数的单调性;(2)函数f(|x|)是偶函数,只要f(x)>0对任意x≥0恒成立即可,等价于f(x)在[0,+∞)的最小值大于零.试题解析:解:(1)由得,所以.由得,故的单调递增区间是,由得,故的单调递减区间是. 4(2)由可知是偶函数.于是对任意成立等价于对任意成立.由得.①当时,.此时在上单调递增.故,符合题意.②当时,.当变化时的变化情况如下表:单调递减极小值单调递增由此可得,在依题意,,又.综合①,②得,实数的取值范围是.【考点】1.利用导数求闭区间上函数的最值;2.利用导数研究函数的单调性..3.已知函数f(x)=2x--aln(x+1),a∈R.(1)若a=-4,求函数f(x)的单调区间;(2)求y=f(x)的极值点(即函数取到极值时点的横坐标).【答案】(1)f(x)的单调增区间为(-1,3),单调减区间为(3,+∞)。
(2)ⅰ. 7分ⅱ.当时,若,由函数的单调性可知f(x)有极小值点;有极大值点。
若时, f(x)有极大值点,无极小值点。
【解析】(1)因为,f(x)=2x--aln(x+1),a∈R,定义域为(-1,+∞)。
所以,,故,f(x)的单调增区间为(-1,3),单调减区间为(3,+∞)。
(2)因为,f(x)=2x--aln(x+1),a∈R,定义域为(-1,+∞)。
高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(高中数学第三章导数及其应用3.2 导数的计算第1课时几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式课时提升作业2 新人教A版选修1-1)的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.下列各式中正确的是( )A。
(lnx)′=x B。
(cosx)′=sinxC。
(sinx)′=cosx D.(x-8)′=-x—9【解析】选C。
因为(lnx)′=,(cosx)′=—sinx,(x-8)′=-8x-9=—,所以A,B,D均不正确,C正确。
2.若y=lnx,则其图象在x=2处的切线斜率是()A.1 B。
0 C。
2 D.【解析】选D。
因为y′=,所以当x=2时,y′=,故图象在x=2处的切线斜率为.3.(2015·西安高二检测)运动物体的位移s=3t2—2t+1,则此物体在t=10时的瞬时速度为( )A.281B.58 C。
85 D.10【解析】选B。
因为s=3t2-2t+1,所以s′=6t-2.当t=10时,s′=6×10—2=58.即此物体在t=10时的瞬时速度为58。
4。
正弦曲线y=sinx上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是()A.∪B。
高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线l与直线垂直,则切线l的方程为 ( )A.B.C.D.【答案】A【解析】设切点为,因为,所以,由导数的几何意义可知切线的斜率为。
直线的斜率为。
由题意可得,解得,切点为,切线的斜率为4,所以切线的方程为,即。
故A正确。
【考点】1导数的几何意义;2两直线垂直时斜率的关系;3直线方程。
2.已知函数在处有极大值,则=()A.6B.C.2或6D.-2或6【答案】A【解析】根据题意,由于函数在处有极大值,则可知f’(2)=0,12-8c+=0,c=4.则可知=6,当c=2不符合题意,故答案为A.【考点】函数的极值点评:主要是考查了函数极值的运用,属于基础题。
3.函数在区间上最大值与最小值的和为【答案】【解析】根据题意,由于,故可知当0<x<1,递增,在1<x<2时函数递减,故可知函数在区间上最大值与最小值分别是,-2,故可知和为,故答案为。
【考点】函数的最值点评:主要是考查了导数在研究函数最值中的运用,属于基础题。
4.函数f(x)=(x-3)e x的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)【答案】D【解析】,由得:,故函数的单调递增区间为(2,+∞)。
故选D。
【考点】函数的单调性点评:求函数的单调区间,常结合导数来求,过程要用到的结论是:若,则函数的增区间为;若,则函数的减区间为5.下列命题:①若存在导函数,则;②若函数,则;③若函数,则;④若三次函数,则“”是“f(x)有极值点”的充要条件;⑤函数的单调递增区间是.其中真命题为____.(填序号)【答案】③⑤【解析】①若f(x)存在导函数,则f′(2x)=2[f(2x)]′,故不正确;②若函数h(x)=cos4x-sin4x,则h′()=-2sin=-1,故不正确;③若函数g(x)=(x-1)(x-2)…(x-2012)(x-2013),则g'(x)中含(x-2013)的将2013代入都为0,则g′(2013)=2012!故正确;④若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,则f'(x)=0有两个不等的根即b2-3ac>0,故不正确;⑤∵,∴,令得,解得x∈,故正确.综上,真命题为③⑤【考点】本题考查了导数的运用及三角函数的单调性点评:此类问题主要考查复合函数的导数,以及函数的极值、求值等有关知识,属于综合题6.若,则等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为,,所以,,=,选A。
一、选择题1.函数()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--的图象大致是( )A .B .C .D .2.已知函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点,则a 的取值范围是( ) A .(,]e -∞-B .(,1] -∞-C .[1,) -+∞D .[,)e3.已知函数()3f x x ax =-在(1,1)-上单调递减,则实数a 的取值范围为( ) A .()1,+∞ B .[)3,+∞C .(],1-∞D .(],3-∞4.已知函数322()f x =x ax bx a +++在1x =处的极值为10,则a b -=( ). A .6-B .15-C .15D .6-或155.若函数()22ln 45f x x x bx =+++的图象上的任意一点的切线斜率都大于0,则b 的取值范围是( ) A .(),8-∞- B .()8,-+∞ C .(),8-∞ D .()8,+∞6.若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,则实数a 的取值范围是()A .)+∞ B .[)1,+∞C .()1,+∞D .()+∞7.已知函数2()ln(1)22x x f x x -=-++,则使不等式(1)(2)f x f x +<成立的x 的取值范围是( )A .(1)(1,)-∞-⋃+∞,B .(1,+)∞C .1(,)(1,+)3-∞-⋃∞D .(,2)(1,)-∞-+∞8.已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ,满足()'()f x f x >,且(0)1f =,则不等式()x e f x >(e 为自然对数的底数)的解集为( )A .(1,)-+∞B .(0,)+∞C .(1,)+∞D .(,0)-∞9.设函数()f x 在R 上存在导数()f x ',对任意的x ∈R ,有()()2f x f x x +-=,且在[)0,+∞上有()f x x '>.若()()222f k f k k --≥-,则k 的取值范围是( )A .(],0-∞B .(],1-∞C .1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦10.内接于半径为R 的球且体积最大的圆柱体的高为( )A .3R B .3R C .2R D .2R 11.设函数()'f x 是函数()()f x x R ∈的导函数,当0x ≠时,3()()0f x f x x'+<,则函数31()()g x f x x =-的零点个数为( ) A .3 B .2 C .1D .012.若对于任意的120x x a <<<,都有211212ln ln 1x x x x x x ->-,则a 的最大值为( ) A .2eB .eC .1D .12二、填空题13.函数()f x 定义在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上,26f π⎛⎫=⎪⎝⎭,其导函数是()f x ',且()()cos sinx f x x f x '⋅<⋅恒成立,则不等式()22sinx f x >的解集为_____________.14.如图,有一块半径为2的半圆形钢板,计划裁剪成等腰梯形ABCD 的形状,它的下底AB 是圆O 的直径,上底C 、D 的端点在圆周上,则所裁剪出的等腰梯形面积最大值为_______________.15.已知函数()ln 1f x x x =--,()ln g x x =,()()F x f g x =⎡⎤⎣⎦,()()G x g f x =⎡⎤⎣⎦,给出以下四个命题:(1)()y F x =是偶函数;(2)()y G x =是偶函数;(3)()y F x =的最小值为0;(4)()y G x =有两个零点;其中真命题的是______.16.已知函数()2xe f x ax x=-,()0,x ∈+∞,当21x x >时,不等式()()12210f x f x x x -<恒成立,则实数a 的取值范围为________. 17.已知函数()321213f x x x ax =+-+,若函数()f x 在()2,2-上有极值,则实数a 的取值范围为______. 18.函数()ln xf x x=在(),1a a +上单调递增,则实数a 的取值范围为______. 19.已知在正四棱锥P ABCD -中,4PA =,则当该正四棱锥的体积最大时,它的高h 等于______.20.已知()2sin cos f x x x x x =++,则不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>的解集为______.三、解答题21.已知函数()cos x f x e x x =-,()(sin 1)g x x x =-. (1)讨论()f x 在区间(,0)2π-上的单调性;(2)判断()()f x g x -在区间[,]22ππ-上零点的个数,并给出证明. 22.已知函数()()3exf x xx a =-+,a R ∈.(1)当2a =-时,求()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值; (2)若()f x 在()1,+∞上单调,求a 的取值范围.23.已知函数432()f x ax x bx =++(),a b ∈R ,()()()g x f x f x '=+是偶函数. (1)求函数()g x 的极值以及对应的极值点. (2)若函数43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++,且()h x 在[]2,5上单调递增,求实数c 的取值范围. 24.设函数()()21xf x ea x =-+.(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()0f x >对x ∈R 恒成立,求a 的取值范围.25.已知函数21(),()ln 2f x xg x a x ==. (1)若曲线()()y f x g x =-在2x =处的切线与直线370x y +-=垂直,求实数a 的值;(2)若[]1,e 上存在一点x ,使得()()()()00001f xg x g x f x ''+<-'成立,求实数a 的取值范围.26.某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成.已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚I 内的地块形状为矩形ABCD ,大棚II 内的地块形状为CDP ,要求,A B 均在线段MN 上,,C D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP 的面积,并确定sin θ的取值范围;(2)若大棚I 内种植甲种蔬菜,大棚II 内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】首先判断函数的奇偶性,再利用导数研究函数的单调性即可得解; 【详解】 解:因为()[)(](),00,sin xf x x x xππ=∈--,定义域关于原点对称,又()()()sin sin x x f x f x x x x x --===----,所以()[)(](),00,sin x f x x x xππ=∈--为偶函数,函数图象关于y 轴对称,所以排除A 、D ; ()()()()()22sin sin cos sin sin sin x x x x x xx x xf x x x x x ''----'==--令()cos sin g x x x x =-,则()sin g x x x '=-,所以当(]0,x π∈时()0g x '≤,所以()cos sin g x x x x =-在(]0,x π∈上单调递减,又()00g =,所以()0g x <在(]0,x π∈上恒成立,所以()0f x '<在(]0,x π∈上恒成立,即函数()sin xf x x x=-在(]0,π上单调递减,故排除C ,故选:B 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势; (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性; (4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.2.B解析:B 【分析】根据题中条件,得到方程1ln xa e ex x x ⎛⎫=--++⎪⎝⎭有解,令1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭,则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域,对函数()h x 求导,判定其单调性,研究其值域,即可得出结果. 【详解】函数()x f x e ex a =-+与1()ln g x x x=+的图象上存在关于x 轴对称的点, 即方程1ln 0xe ex a x x -+++=有解,即方程1ln x a e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭有解,令1()ln xh x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭,则a 的取值范围是()(0)y h x x =>的值域, 因为()22111()xx x h x e e e e x x x -⎛⎫⎡⎤'=--+-=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 所以当1x =时,()0h x '=; 当01x <<时,0x e e -<,210x x -<,所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+>⎢⎥⎣⎦,则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递增;当1x >时,0x e e ->,210x x ->,所以()21()0xx h x e e x -⎡⎤'=--+<⎢⎥⎣⎦,则函数1()ln x h x e ex x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭单调递减;所以max ()(1)1h x h ==-, 画出函数()h x 的大致图像如下,由图像可得,()(],1h x ∈-∞-, 所以a 的取值范围(],1-∞-. 故选:B. 【点睛】本题主要考查导数的方法研究方程根的问题,考查函数与方程的应用,将问题转化为两函数交点的问题是解题的关键,属于常考题型.3.B解析:B 【分析】根据'()0f x ≤在(1,1)-上恒成立求解. 【详解】∵3()f x x ax =-,∴2'()3f x x a =-.又函数()f x 在()1,1-上单调递减,∴2'()30f x x a =-≤在(1,1)-上恒成立,即23a x ≥在(1,1)-上恒成立.∵当(1,1)x ∈-时,3033x ≤<,∴3a ≥. 所以实数a 的取值范围是[3,)+∞. 故选:B . 【点睛】本题考查根据导函数研究函数的单调性,以及不等式的恒成立问题,注意当'()0()f x x D <∈时,则函数()f x 在区间D 上单调递减;而当函数()f x 在区间D 上单调递减时,则有'()0f x ≤在区间D 上恒成立.解题时要注意不等式是否含有等号,属于中档题.4.C解析:C 【分析】由题,可得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩,通过求方程组的解,即可得到本题答案,记得要检验.【详解】因为322()f x =x ax bx a +++,所以2()32f x x ax b '=++,由题,得(1)0(1)10f f '=⎧⎨=⎩,即2320110a b a b a ++=⎧⎨+++=⎩,解得411a b =⎧⎨=-⎩或33a b =-⎧⎨=⎩,因为当3,3a b =-=时,2()3(1)0f x x '=-≥恒成立,()f x 在R 上递增,无极值,故舍去,所以4(11)15a b -=--=.故选:C 【点睛】本题主要考查含参函数的极值问题,得到两组解后检验,是解决此题的关键.5.B解析:B 【分析】对函数()f x 求导,得到()f x ',然后根据题意得到()0f x '>恒成立,得到 【详解】因为函数()22ln 45f x x x bx =+++,定义域()0,∞+所以()28f x x b x'=++, 因为()f x 图象上的任意一点的切线斜率都大于0, 所以()280f x x b x'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立, 所以28b x x>--, 设()28g x x x=--,则()max b g x > ()228g x x'=- 令()0g x '=,得到12x =,舍去负根, 所以当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x '>,()g x 单调递增, 当1,2x ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时,()0g x '<,()g x 单调递减, 所以12x =时,()g x 取最大值,为()max 182g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭,所以8b >-,故选B. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像切线的斜率,不等式恒成立,利用导数研究函数的单调性、极值、最值,属于中档题.6.B解析:B 【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立;根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立;利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭,则只需10a -+≥即可,解不等式求得结果. 【详解】由题意得:()()sin cos 4xx x f x ex a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e >04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立 当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,3,444πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭xsin 4x π⎛⎤⎛⎫∴+∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥,解得:[)1,a ∈+∞ 本题正确选项:B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题,涉及到正弦型函数值域的求解问题;本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题,从而利用三角函数的最值来求得结果.7.D解析:D 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性,由此列不等式组,解不等式组求得x 的取值范围. 【详解】由210x ->解得1x <-或1x >,故函数的定义域为{|1x x <-或}1x >,且()()f x f x -=,所以函数()f x 为偶函数,且当1x >时,令22x x y -=+,'1412ln 2ln 2022x x x x y -⎛⎫=-=⨯> ⎪⎝⎭,所以22x x y -=+在1x >时递增,根据复合函数单调性可知()2ln 1y x =-在1x >时递增,所以函数()f x 在1x >时递增,故在1x <-时递减.由(1)(2)f x f x +<可知121121x x x x ⎧+<⎪+>⎨⎪>⎩,解得(,2)(1,)x -∞-∈+∞.故选D. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性,考查利用导数判断函数的单调性,考查函数不等式的解法,属于中档题.8.B解析:B 【解析】令()()()()()0,(0)1x xf x f x f xg x g x g e e-=∴=<'=' 所以()xe f x >()1(0)0g x g x ⇒=⇒ ,选B.点睛:利用导数解抽象函数不等式,实质是利用导数研究对应函数单调性,而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行:如()()f x f x '<构造()()xf xg x e =,()()0f x f x '+<构造()()x g x e f x =,()()xf x f x '<构造()()f x g x x=,()()0xf x f x '+<构造()()g x xf x =等9.B解析:B 【分析】构造函数()()212g x f x x =-,可得()g x 在[)0,+∞上单调递增,利用奇偶性的定义知()g x 是奇函数,进而求解不等式即可.【详解】由题意当0x ≥时,()f x x '>,构造函数()()212g x f x x =-, 则()()'0g x f x x '=->,得()g x 在[)0,+∞上单调递增, 又由条件()()2f x f x x +-=得()()0g x g x +-=.所以()g x 是奇函数,又()g x 在[)0,+∞上单调递增且()00g =,所以()g x 在R 上单调递增,由()()222f k f k k --≥-,得()()20k g k g --≥,即()()2g k g k -≥, 根据函数()g x 在R 上单调递增,可得2k k -≥,解得1k ≤. 故选:B 【点睛】本题考查导数在函数单调性中的应用,考查函数的奇偶性,属于中档题.10.A解析:A 【分析】根据圆柱的高,底面半径以及球半径之间的关系,建立圆柱的高与圆柱体积之间的函数关系,利用导数求体积取得最大值时对应的自变量即可. 【详解】根据题意,设圆柱底面半径为r ,圆柱的高为h ,作出示意图如下所示:显然满足2224h r R =-, 故圆柱的体积()23214h r h h R h πππ=⨯=-+, 故可得()223,(02)4V h h R h R ππ<'=-+<, 令()0V h '>,解得230h <<,故此时()V h 单调递增, 令()0V h '<232h R <<,故此时()V h 单调递减. 故()23max V h V ⎫=⎪⎪⎝⎭. 即当23h =时,圆柱的体积最大. 故选:A .【点睛】 本题考查圆柱的外接球以及利用导数求体积的最大值,属综合中档题.11.D解析:D【分析】构造函数3()()1F x x f x =-,可得出3()()F x g x x=,利用导数研究函数()y F x =的单调性,得出该函数的最大值为负数,从而可判断出函数()y F x =无零点,从而得出函数3()()F x g x x =的零点个数. 【详解】设3()()1F x x f x =-,则3233()()()3()()f x F x x f x x f x x f x x '''⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦. 当0x ≠时,3()()0f x f x x'+<, 当0x >时,30x >,故()0F x '<,所以,函数()y F x =在(0,)+∞上单调递减; 当0x <时,30x <,故()0F x '>,所以,函数()y F x =在(,0)-∞上单调递增. 所以max ()(0)10F x F ==-<,所以,函数()y F x =没有零点, 故331()()()F x g x f x x x=-=也没有零点. 故选:D .【点睛】本题考查函数零点个数的判断, 解题的关键就是要结合导数不等式构造新函数,并利用导数分析函数的单调性与最值,必要时借助零点存在定理进行判断,考查分析问题和解决问题的能力,属于中档题. 12.C解析:C【分析】整理所给的不等式,构造新函数,结合导函数研究函数的单调性,即可求得结果.【详解】解:由已知可得,211212ln ln x x x x x x -<-,两边同时除以12x x , 则121221ln ln 11x x x x x x -<-,化简有1212ln 1ln 1x x x x ++<, 而120x x <<,构造函数()ln 1x f x x+=,()2ln x f x x -'=, 令()0f x '>,则01x <<;令()0f x '<,则1x > ,所以函数()f x 在()0,1上为增函数,在()1,+∞上为减函数, 由1212ln 1ln 1x x x x ++<对于120x x a <<<恒成立, 即()f x 在()0,a 为增函数,则01a <≤,故a 的最大值为1.故选:C.【点睛】本题考查导数研究函数的单调性,考查分析问题能力,属于中档题.二、填空题13.【分析】构造函数再利用函数的单调性解不等式即可【详解】解:构造函数则当时在单调递增不等式即即故不等式的解集为故答案为:【点睛】关键点点睛:本题解题的关键是根据题目的特点构造一个适当的函数利用它的单调 解析:,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】构造函数()()sin f x g x x =,再利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】解:()()cos sin f x x f x x '<()()sin cos 0f x x x f x '∴->,构造函数()()sin f x g x x =, 则()()()2sin cos f x x f x x g x sin x '-'=, 当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g x '>, ()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增, ∴不等式()f x x >,即()61sin sin 26f f x x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭>== 即()6xg g π⎛>⎫ ⎪⎝⎭, 26x ππ∴<< 故不等式的解集为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 故答案为:,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 关键点点睛:本题解题的关键是根据题目的特点,构造一个适当的函数,利用它的单调性进行解题.14.【分析】连过作垂足为设则则等腰梯形的面积令利用导数求其最值【详解】连过作垂足为如图:设则所以等腰梯形的面积令单调递增单调递减所以时取得极大值也是最大值即的最大值故答案为:【点睛】本题考查了函数的实际 解析:33 【分析】连OC ,过C 作CE OB ⊥,垂足为E ,设(02),OE x x CE y =<<=,则224x y +=,则等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+3(2)(2)x x =+-,令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<,利用导数求其最值.【详解】连OC ,过C 作CE OB ⊥,垂足为E ,如图:设,OE x CE y ==,则224x y +=,所以等腰梯形ABCD 的面积1(24)(2)2S x y x y =+=+2(2)4x x =+-3(2)(2),02x x x =+-<<令3()(2)(2),02h x x x x =+-<<232()3(2)(2)(2)4(1)(2)h x x x x x x '=+--+=-+,(0,1),()0,()x h x h x ∈'>单调递增,(1,2),()0,()x h x h x ∈'<单调递减,所以1x =时,()h x 取得极大值,也是最大值,max ()(1)27h x h ==,即S 的最大值33故答案为:33【点睛】本题考查了函数的实际应用,运用导数求最值时解题的关键,属于中档题.15.(1)(3)(4)【分析】利用函数奇偶性的定义可判断(1)(2)的正误;利用导数与复合函数法求得函数的最小值可判断(3)的正误;利用复合函数法与导数求得函数的零点个数可判断(4)的正误综合可得出结论 解析:(1)(3)(4)【分析】利用函数奇偶性的定义可判断(1)、(2)的正误;利用导数与复合函数法求得函数()y F x =的最小值,可判断(3)的正误;利用复合函数法与导数求得函数()y G x =的零点个数,可判断(4)的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题(1),对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦,()ln 0g x x =>,即1x >,解得1x <-或1x >,所以,函数()y F x =的定义域为()(),11,-∞-⋃+∞,定义域关于原点对称,()()ln ln g x x x g x -=-==,则()()()()F x f g x f g x F x ⎡⎤⎡⎤-=-==⎣⎦⎣⎦, 所以,函数()y F x =为偶函数,命题(1)正确;对于命题(2),对于函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦,()ln 10f x x x =--≠,()111x f x x x'-=-=,令()0f x '=,得1x =,且函数()y f x =的定义域为()0,+∞,当01x <<时,()0f x '<,此时函数()y f x =单调递减;当1x >时,()0f x '>,此时函数()y f x =单调递增.所以,()()min 10f x f ==,则函数()()G x g f x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为()()0,11,⋃+∞,定义域不关于原点对称,所以,函数()y G x =是非奇非偶函数,命题(2)错误;对于命题(3),对于函数()()F x f g x ⎡⎤=⎣⎦,()ln 0g x x =>,由(2)知,函数()y f x =的最小值为0,则函数()y F x =的最小值为0,命题(3)正确;对于命题(4),令()()0G x g f x ⎡⎤==⎣⎦,可得()1f x =,则()1f x =或()1f x =-, 由(2)知,()()10f x f ≥=,所以方程()1f x =-无解;令()()1ln 2h x f x x x =-=--,由(2)可知,函数()y h x =在()0,1上单调递减,在()1,+∞上单调递增, 22110h e e⎛⎫=> ⎪⎝⎭,()110h =-<,()42ln422ln20h =-=->, 由零点存在定理可知,函数()y h x =在区间21,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,4上各有一个零点, 所以,方程()1f x =有两个实根,即函数()y G x =有两个零点,命题(4)正确. 故答案为:(1)(3)(4).【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,复合函数最值以及零点个数的判断,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.16.【分析】由当时不等式恒成立变形得到当时不等式恒成立即在上是增函数然后由在上是恒成立求解【详解】因为当时不等式恒成立即当时不等式恒成立所以在上是增函数所以在上是恒成立即在上是恒成立令所以当时当时所以当 解析:2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【分析】由当21x x >时,不等式()()12210f x f x x x -<恒成立,变形得到当21x x >时,不等式()()1122x f x x f x <恒成立,即()()g x xf x =,在()0,x ∈+∞上是增函数,然后由()0g x '≥,在()0,x ∈+∞上是恒成立求解.【详解】因为当21x x >时,不等式()()12210f x f x x x -<恒成立,即当21x x >时,不等式()()1122x f x x f x <恒成立,所以()()g x xf x =,在()0,x ∈+∞上是增函数,所以()230x g x e ax '=-≥,在()0,x ∈+∞上是恒成立, 即23xe a x≤,在()0,x ∈+∞上是恒成立, 令2()3xe h x x=, 所以()32()3x e x h x x-'=, 当02x <<时,()0h x '<,当2x >时,()0h x '>,所以当2x =时,()h x 取得最小值,最小值为212e , 所以实数a 的取值范围为2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故答案为:2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.17.【分析】求出函数的导数利用函数的极值点转化列出不等式求解即可【详解】解:可得导函数的对称轴为x =﹣1f (x )在(﹣22)上有极值可得或可得或解得故答案为:【点睛】本题考查函数的导数的应用函数的极值的 解析:1,42⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】求出函数的导数,利用函数的极值点,转化列出不等式求解即可.【详解】解:()321213f x x x ax =+-+, 可得()'222f x x x a =+-,导函数的对称轴为x =﹣1,f (x )在(﹣2,2)上有极值,可得(2)0(1)0f f >⎧⎨-<''⎩或(2)0(1)0f f ->⎧⎨-<''⎩, 可得44201220a a +->⎧⎨--<⎩或44201220a a -->⎧⎨--<⎩, 解得1,42a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭. 故答案为:1,42⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查函数的导数的应用,函数的极值的求法,考查转化思想以及计算能力. 18.【分析】先求出得到在上单调递增要使得在上单调递增则从而得到答案【详解】由函数有由得得所以在上单调递增在上单调递减又函数在上单调递增则则解得:故答案为:【点睛】本题考查函数在某区间上的单调性求参数的范 解析:[]0,1e -【分析】先求出()21ln x f x x-'=,得到()f x 在()0e ,上单调递增,要使得在(),1a a +上单调递增,则()(),10a a e +⊆,,从而得到答案.【详解】由函数()ln x f x x =有()()2ln 1ln 0x x f x x x x -'==> 由()0f x '>得0x e <<,()0f x '<得x e >.所以()f x 在()0e ,上单调递增,在(),e +∞上单调递减,又函数()ln x f x x =在(),1a a +上单调递增,则()(),10a a e +⊆, 则01a a e≥⎧⎨+≤⎩ ,解得:01a e ≤≤-.故答案为:[]0,1e -【点睛】本题考查函数在某区间上的单调性,求参数的范围,属于基础题.19.【分析】设正四棱锥的底面边长为即可由表示出和的等量关系进而表示出正四棱锥的体积利用导函数判断单调性由单调性即可求得最值并求得取最值时的高的值【详解】设正四棱锥的底面边长为因为所以即所以正四棱锥的体积【分析】设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ,即可由4PA =表示出a 和h 的等量关系,进而表示出正四棱锥P ABCD -的体积.利用导函数,判断单调性,由单调性即可求得最值,并求得取最值时的高h 的值.【详解】设正四棱锥P ABCD -的底面边长为a ,因为4PA =,所以22162a h +=, 即22322a h =-,所以正四棱锥P ABCD -的体积()2313220333V a h h h h ==->, 可得232'23V h =-,令'0V =,解得h =当03h <<,可得'0V >,可知V 在03h <<内单调递增,当h >'0V <,可知V 在h >所以当h =P ABCD -的体积取得最大值,即16322313V ⎛⎫-⨯ =⎪⎝⎭=【点睛】本题考查了正四棱锥的性质与应用,四棱锥的体积公式,利用导数求函数的最值及取最值时的自变量,属于中档题.20.【分析】先判断函数为偶函数再利用导数判断函数在递增从而将不等式转化为进一步可得不等式解对数不等式即可得答案【详解】的定义域为且即有即为偶函数;又时则在递增不等式即为即有可得即有即或解得或则解集为故答 解析:()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【分析】先判断函数为偶函数,再利用导数判断函数在0x >递增,从而将不等式转化为()()lg 2f x f >,进一步可得不等式lg 2x >,解对数不等式即可得答案.【详解】()2sin cos f x x x x x =++的定义域为R ,且()()()()()22sin cos sin cos f x x x x x x x x x -=--+-+-=++, 即有()()f x f x -=,即()f x 为偶函数;又0x >时,()()sin cos sin 22cos 0f x x x x x x x x '=+-+=+>,则()f x 在0x >递增,不等式()()1lg lg 22f x f x f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭>, 即为()()()lg lg 22f x f x f +->, 即有()()lg 2f x f >, 可得()()lg 2f x f >, 即有lg 2x >,即lg 2x >或lg 2x <-,解得100x >或10100x <<, 则解集为()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 故答案为:()10,100,100⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合运用,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意偶函数(||)()f x f x =这一性质的应用.三、解答题21.(1)()f x 在(,0)2π-上单调递减;(2)有且仅有2个零点. 证明见解析.【分析】(1)求出函数的导数,根据导函数的单调性判断即可;(2)令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-,求出函数的导数,通过讨论x 的范围,求出函数的单调区间,从而求出函数的零点个数即可证明结论成立.【详解】(1)()cos sin 1cos()14x x x f x e x e x x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭',()cos sin 44x x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝'⎝⎭ 2cos()2sin 2x x e x e x π=+=-.(,0)2x π∈-,sin 0x ∴<,()0f x ''∴>,所以()'f x 在(,0)2π-上单调递增,()(0)0f x f ''<=, ()f x ∴在(,0)2π-上单调递减.(2)()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 证明:令()()()cos sin x F x f x g x e x x x =-=-,所以()()()cos sin cos sin x F x ex x x x x '=--+, ①当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时, 因为()()cos sin 0,cos sin 0x x x x x ->-+>,()()0,F x F x '∴>在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,单调递增, 又()010,022F F ππ⎛⎫=>-=-< ⎪⎝⎭. ()F x ∴在02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,上有一个零点; ②当0,4x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,cos sin 0,0x x x e x ≥>>>,()cos sin sin sin sin ()0x x x F x e x x x e x x x x e x ∴=-≥-=->恒成立.()F x ∴在04π⎛⎤ ⎥⎝⎦,上无零点;③当,42x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时, 0cos sin x x <<, ()()()cos sin cos sin 0x F x e x x x x x '∴=--+<,()F x ∴在42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,上单调递减;又40,022424F F e πππππ⎫⎛⎫⎛⎫=-<=->⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ()F x ∴在42ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦,上必存在一个零点; 综上,()()f x g x -在区间[,]22ππ-上有且仅有2个零点. 【点睛】方法点睛:利用导数研究函数单调性的方法:(1)确定函数()f x 的定义域;求导函数()'f x ,由()0f x '>(或()0f x '<)解出相应的x 的范围,对应的区间为()f x 的增区间(或减区间);(2)确定函数()f x 的定义域;求导函数()'f x ,解方程()0f x '=,利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间,在这些子区间上讨论()'f x 的正负,由符号确定()f x 在子区间上的单调性.22.(1)最大值为24e ,最小值为2e -;(2)[)2,-+∞.【分析】(1)2a =-代入()f x ,对函数求导,利用导数正负确定单调性即可;(2)先利用极限思想进行估值x →+∞时()0f x '>,来确定()f x 在()1,+∞上单增,()0f x '≥,再对32310x x a x -++-≥分离参数,研究值得分布即得结果.【详解】(1)()()3231x f x e x x a x '=-++-当2a =-时,()()()()()3233311x x f x e x x x e x x x '=+--=+-+∴()f x '在()3,1--和()1,+∞上为正,在(),3-∞-和()1,1-上为负,∴()f x 在()3,1--和()1,+∞上单增,在(),3-∞-和()1,1-上单减,有()21f e-=-,()224f e =,()12f e =-,故()f x 在[]1,2-上的最大值为24e ,最小值为2e -;(2)由()()3231x f x e x x x a '=+-+-知,当x →+∞时,()0f x '>,若()f x 在()1,+∞上单调则只能是单增,∴()0f x '≥在()1,+∞恒成立,即32310x x a x -++-≥∴3231a x x x ≥--++,令()3231g x x x x =--++,1x >,则()23610g x x x '=--+<,∴()g x 在()1,+∞递减,()()12g x g <=-,∴[)2,a ∈-+∞.【点睛】(1)利用导数研究函数()f x 的最值的步骤:①写定义域,对函数()f x 求导()'f x ;②在定义域内,解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性;③利用单调性判断极值点,比较极值和端点值得到最值即可.(2)函数()f x 在区间I 上递增,则()0f x '≥恒成立;函数()f x 在区间I 上递减,则()0f x '≤恒成立.(3)解决恒成立问题的常用方法:①数形结合法;②分离参数法;③构造函数法.23.(1)函数()g x的一个极大值点为,对应的极大值为9,另一个极大值点为9;函数()g x 极小值点为0,对应的极小值为0;(2)4,13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】(1)求出()g x 的表达式,结合函数的奇偶性即可求出140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,从而可确定()g x 的解析式,求出导数即可求出函数的极值点和极值.(2)结合第一问可得()h x 的解析式,从而可求出2()32h x cx x c '=-+,由()h x 的单调性可得213c x x ≥+在[]2,5上恒成立,设()13m x x x =+,利用导数求出()m x 在[]2,5上的最小值,从而可求出实数c 的取值范围.【详解】解:(1)∵432()f x ax x bx =++,∴32()432f x ax x bx '=++,∴432()()()(41)(3)2g x f x f x ax a x b x bx '=+=+++++,因为()g x 为偶函数,∴41020a b +=⎧⎨=⎩,解得140a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴431()4f x x x =-+,则421()34g x x x =-+,∴3()6(g x x x x x x '=-+=-,由()0g x '>,解得x <或0x <<()0g x '<,解得>x0x <<; ∴()g x在(,-∞,(单调递增;在(),)+∞单调递减.∴函数()g x的一个极大值点为(9g =,9g =; 函数()g x 极小值点为0,对应的极小值为()00g =.(2)由(1)知431()4f x x x =-+,∴43221()()(1)4h x f x x c x x cx c =++--++322cx x cx c =-++,∴2()32h x cx x c '=-+,因为函数()h x 在[]2,5上单调递增,∴2320cx x c -+≥在[]2,5上恒成立,即 2221313x c x x x≥=++在[]2,5上恒成立,设()13m x x x =+,令()22213130x m x x x -'=-==,解得[]2,5x =, 当[]2,5x ∈时,()0m x '>,所以()13m x x x=+在[]2,5上单调递增, 则()()1322m x m ≥=,所以24=13132c ≥. 【点睛】方法点睛:已知奇偶性求函数解析式时,常用方法有:一、结合奇偶性的定义,若已知偶函数,则()()f x f x -=,若已知奇函数,则()()f x f x -=-,从而可求出函数解析式;二、由奇偶性的性质,即偶函数加偶函数结果也是偶函数,奇函数加奇函数结果也是奇函数. 24.(1)当0a ≤时,()f x 在R 上单调递增;当0a >时,在1ln ,22a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增,在1,ln22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减;(2)20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【分析】(1)分别在0a ≤和0a >两种情况下,根据()f x '的正负可确定()f x 的单调性;(2)根据(1)的结论可确定0a <不合题意;当0a =时,根据指数函数值域可知满足题意;当0a >时,令()min 0f x >,由此构造不等式求得结果.【详解】(1)由题意得:()22xf x e a '=-, 当0a ≤时,()0f x '>,()f x ∴在R 上单调递增;当0a >时,令()0f x '=得:1ln 22a x =. 当1ln 22a x <时,()0f x '<,()f x ∴在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减; 当1ln 22a x >时,()0f x '>,()f x ∴在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述:当0a ≤时,()f x 在R 上单调递增;当0a >时,在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,ln 22a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减. (2)由(1)可知:当0a <时,()f x 在R 上单调递增,当x →-∞时,20x e →,()1a x +→+∞,此时()0f x <,不合题意;当0a =时,2()0x f x e =>恒成立,满足题意.当0a >时,()f x 在1ln 22a x =处取最小值,且1ln ln 22222a a a a f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 令ln 0222a a a -->,解得:20a e <<,此时()0f x >恒成立. 综上所述:a 的取值范围为20,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解;求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论,将问题转化为函数最小值大于零的问题,由此构造不等式求得结果.25.(1)2a =-(2)21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭【分析】(1)将(),()f x g x 的解析式代入曲线()()y f x g x =-,根据导数几何意义及垂直直线的斜率关系即可求得a 的值;(2)将0x 代入导函数(),()f x g x '',并代入不等式中化简变形,构造函数1()ln a m x x a x x+=-+,求得()m x '并令()0m x '=,对a 分类讨论即可确定满足题意的a 的取值范围.【详解】(1)由21()()ln 2y f x g x x a x =-=-, 得()a y x x x'=-.在2x =处的切线斜率为22a -, 直线370x y +-=的斜率为13-, 由垂直直线的斜率关系可知232a -=, 解得2a =-.(2)21(),()ln 2f x xg x a x ==, 则(),()a f x x g x x '='=, 不等式()()()()00001f x g x g x f x ''+<-'等价于00001ln a x a x x x +<-. 整理得0001ln 0a x a x x +-+<. 构造函数1()ln a m x x a x x +=-+, 由题意知,在[]1,e 上存在一点0x ,使得()00m x <.22221(1)(1)(1)()1a a x ax a x a x m x x x x x+--+--+'=--==. 因为0x >,所以10x +>,令0mx '=(),得1x a =+. ①当11a +≤,即0a ≤时,()m x 在[]1,e 上单调递增.只需()120m a =+<,解得2a <-.②当11a e <+≤即01a e <≤-时,()m x 在1x a =+处取最小值.令(1)1ln(1)10m a a a a +=+-++<即11ln(1)a a a ++<+, 可得11ln(1)(*)a a a++<+. 令1t a =+,即1t e <≤,不等式(*)可化为1ln 1t t t +<-: 因为1t e <≤,所以不等式左端大于1,右端小于等于1,所以不等式不能成立. ③当1a e +>,即1a e >-时,()m x 在[]1,e 上单调递减, 只需1()0a m e e a e +=-+<,解得211e a >e +-.综上所述,实数的取值范围是21(,2),1e e ⎛⎫+-∞-+∞ ⎪-⎝⎭. 【点睛】本题考查了导数的几何意义及由垂直关系求参数,导函数在解不等式中的应用,构造函数法分析函数的单调性、最值的综合应用,属于中档题.26.(1)()8004cos cos sin θθθ+, ()1600cos cos ,sin θθθ- 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭;(2)6π. 【解析】分析:(1)先根据条件求矩形长与宽,三角形的底与高,再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果,最后根据实际意义确定sin θ的取值范围;(2)根据条件列函数关系式,利用导数求极值点,再根据单调性确定函数最值取法.详解:解:(1)连结PO 并延长交MN 于H ,则PH ⊥MN ,所以OH =10.过O 作OE ⊥BC 于E ,则OE ∥MN ,所以∠COE =θ,故OE =40cos θ,EC =40sin θ,则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ(40sin θ+10)=800(4sin θcos θ+cos θ),△CDP 的面积为12×2×40cos θ(40–40sin θ)=1600(cos θ–sin θcos θ). 过N 作GN ⊥MN ,分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ,则GK =KN =10. 令∠GOK =θ0,则sin θ0=14,θ0∈(0,π6). 当θ∈[θ0,π2)时,才能作出满足条件的矩形ABCD , 所以sin θ的取值范围是[14,1). 答:矩形ABCD 的面积为800(4sin θcos θ+cos θ)平方米,△CDP 的面积为1600(cos θ–sin θcos θ),sin θ的取值范围是[14,1). (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k ,乙的单位面积的年产值为3k (k >0),则年总产值为4k ×800(4sin θcos θ+cos θ)+3k ×1600(cos θ–sin θcos θ)=8000k (sin θcos θ+cos θ),θ∈[θ0,π2). 设f (θ)= sin θcos θ+cos θ,θ∈[θ0,π2),则()()()()222'sin sin 2sin 1211f cos sin sin sin θθθθθθθθ=--=-+-=--+. 令()'=0f θ,得θ=π6, 当θ∈(θ0,π6)时,()'>0f θ,所以f (θ)为增函数; 当θ∈(π6,π2)时,()'<0f θ,所以f (θ)为减函数, 因此,当θ=π6时,f (θ)取到最大值. 答:当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大. 点睛:解决实际应用题的步骤一般有两步:一是将实际问题转化为数学问题;二是利用数学内部的知识解决问题.。
高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数,则()A.0B.1C.2D.【答案】C【解析】,.【考点】导数公式的应用.2.已知函数,则=____________。
【答案】0;【解析】,所以;【考点】三角函数求导公式;3.函数的定义域为开区间,其导函数在内的图象如图所示,则函数在开区间内极小值点的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】A【解析】在极小值点处满足:,由图可知在右边第二个零点处满足条件,故A.【考点】极值点定义.4.已知..(1)求函数在区间上的最小值;(2)对一切实数,恒成立,求实数的取值范围;(3) 证明对一切,恒成立.【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.【解析】(1)对于研究非常规的初等函数的最值问题,往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性,利用单调性求函数在某个区间上的最值;(2)恒成立问题,一般都需要将常数和变量分离开来(分离常数法)转化为最值问题处理;(3)证明不等式恒成立问题,往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明,还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的,然后再证.试题解析:⑴,当,,单调递减,当,,单调递增. 1分(由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同,故对经行分类讨论.)①,t无解; 2分②,即时, 3分③,即时,在上单调递增,;所以 5分由题可知:,则.因对于,恒成立,故,设,则.单调递增,单调递减.所以,即.问题等价于证明(为了利用第(1)小问结论,并考虑到作差做函数证明不方便,下证的最值与最值的关系.)由(1)可知在的最小值是,当且仅当时取到.设,则,易得,当且仅当时取到.从而对于一切,都有恒成立.【考点】(1)含参量函数最值的讨论;(2)含参恒成立问题,参数取值范围;(3)利用倒数证明不等式.5.已知是的导函数,,且函数的图象过点.(1)求函数的表达式;(2)求函数的单调区间和极值.【答案】(1);(2)函数的单调减区间为,单调增区间为极小值是,无极大值.【解析】⑴注意到是常数,所以从而可求得;又因为函数的图象过点,所以点的坐标满足函数解析式,从而可求出m的值,进而求得的解析式.(2)由⑴可得的解析式及其定义域,进而就可应用导数求其单调区间和极值.试题解析:⑴,,函数的图象过点,,解得:函数的表达式为:(2)函数的定义域为,当时,;当时,函数的单调减区间为,单调增区间为极小值是,无极大值.【考点】1.函数的导数;2.函数的单调区间;3.函数的极值.6.已知函数的导函数为,且满足关系式,则的值等于()A.B.-1C.4D.2【答案】A【解析】对求导,知,令可得,解得.【考点】求导.7.函数的导函数的图像如图所示,则的图像最有可能的是()【答案】C.【解析】从的图像中可以看到,当时,,当时,,∴在上是减函数,在上是增函数,∴选C.【考点】导数的运用.8.函数在x=4处的导数= .【答案】.【解析】∵,∴,∴.【考点】复合函数的导数.9.函数的单调递增区间是()A.B.C.D.【答案】D【解析】,单调递增区间有,,可得.【考点】由导数求函数的单调性.10.已知函数在上是单调递减函数,方程无实根,若“或”为真,“且”为假,求的取值范围。
专题2.4 导数的应用(二)(测试时间:120分钟满分:150分)一、选择题(共12小题,每题5分,共60分)1. 曲线x y ln =上一点P 和坐标原点O 的连线恰好是该曲线的切线,则点P 的横坐标为( ) A .eB.e C .e 2D .2 【答案】A考点:导数的几何意义2. 已知函数y =2x 3+ax 2+36x -24在x =2处有极值,则该函数的一个递增区间是 A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)【答案】B【解析】本题考查常见函数的导数,可导函数f ′(x )=0与极值点的关系,以及用导数求函数的单调区间.y ′=6x 2+2ax +36.∵函数在x =2处有极值,∴y ′|x =2=24+4a +36=0,即-4a =60.∴a =-15. ∴y ′=6x 2-30x +36=6(x 2-5x +6)=6(x -2)(x -3). 由y ′=6(x -2)(x -3)>0,得x <2或x >3. 考点:导数与函数的单调性。
3.如图是函数()32f x x bx cx d =+++的大致图象,则2212x x +=( )A .23 B .43 C .83 D .123【来源】【百强校】2015-2016学年某某某某高级中学高二下期期末理数学试卷(带解析) 【答案】C 【解析】考点:利用导数研究函数的极值;导数的几何意义.【方法点晴】本题主要考查了导数研究函数的单调性与极值、导数的几何意义的应用,充分体现导数在函数问题解答中的应用,本题的解答中根据函数的图象()0f x =的根为0,1,2,求出函数的解析式,再利用12,x x 是方程23620x x -+=的两根,结合一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及转化与化归思想的应用.4.已知关于x 的不等式ln mx x <有唯一整数解,则实数m 的最小值为( ) A.1ln22 B. 1ln33 C. 1ln23 D. 1ln32【来源】【全国校级联考】某某省百校联盟2018届高三九月联考数学(文)试题 【答案】A【解析】由ln mx x <,得:ln m x x <,令()ln g x x x =,∴()21ln g?xx x -=,()g?0,x <得到减区间为()e ∞+,;()g?0,x >得到增区间为()0e ,,∴()max 1g x e =,()1g 2ln22=,()1g 3ln33=,且()()g 2g 3<,∴要使不等式ln mx x <有唯一整数解,实数m 应满足11ln2m ln323≤<,∴实数m 的最小值为1ln22.故选:A点睛:不等式ln mx x <有唯一整数解问题可以转化为两个图像的位置关系问题,观察y m =与()ln g xx x=的图象的高低关系,只要保证y m =上方只有一个整数满足ln m xx<即可. 5.若函数()ln f x x x a =-有两个零点,则实数a 的取值X 围为( ) A. 1,1e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【来源】【全国市级联考】2018黔东南州高考第一次模拟考试文科数学试题 【答案】C【解析】函数的定义域为0+∞(,),由()ln 0f x x x a =-=,得ln x x a =, 故选C.点睛:本题主要考查函数零点的应用,构造函数求函数的导数,利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键;根据函数零点的定义,()ln 0f x x x a =-=,得ln x x a =,设函数()ln g x x x =,利用导数研究函数的极值即可得到结论.6.对任意x ∈R,函数f (x )的导数存在,若f′(x )>f(x)且 a >0,则以下正确的是( ▲) A .)0()(f e a f a⋅> B .)0()(f e a f a⋅< C .)0()(f a f > D .)0()(f a f < 【答案】A 【解析】试题分析:设()()x e x f x g =,那么()()()()02>-'='x xx ee xf e x f xg ,所以()x g 是单调递增函数,那么当0>a 时,()()0g a g >,即()()0f ea f a>,即)0()(f e a f a⋅< 考点:根据函数的单调性比较大小7. 设f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(2)=0,当x>0时,有2()()0xf x f x x '-<恒成立,则不等式2()0x f x >的解集是A. (-2,0) ∪(2,+∞) B . (-2,0) ∪(0,2) C . (-∞,-2)∪(2,+∞) D . (-∞,-2)∪(0,2) 【答案】D 【解析】故选D考点:利用导数求不等式的解集。
难点1 导数的运算法则及基本公式应用导数是中学限选内容中较为重要的知识,本节内容主要是在导数的定义,常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导.●难点磁场(★★★★★)已知曲线C :y =x 3-3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0),求直线l 的方程及切点坐标.●案例探究[例1]求函数的导数:)1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω 命题意图:本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则,复合函数求导的方法,以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型,属于★★★★级题目.知识依托:解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征,挖掘量的隐含条件,将问题转化为基本函数的导数.错解分析:本题难点在求导过程中符号判断不清,复合函数的结构分解为基本函数出差错.技巧与方法:先分析函数式结构,找准复合函数的式子特征,按照求导法则进行求导.xx x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x y 222222222222222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(]))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+'+--+'-='解(2)解:y =μ3,μ=ax -b sin 2ωx ,μ=av -byv =x ,y =sin γ γ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av -by )′=3μ2(av ′-by ′)=3μ2(av ′-by ′γ′)=3(ax -b sin 2ωx )2(a -b ωsin2ωx )(3)解法一:设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v -21·2x =f ′(12+x )·21112+x ·2x =),1(122+'+x f x x解法二:y ′=[f (12+x )]′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′ =f ′(12+x )·21(x 2+1) 21-·2x =12+x xf ′(12+x )[例2]利用导数求和(1)S n =1+2x +3x 2+…+nx n -1(x ≠0,n ∈N *)(2)S n =C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,(n ∈N *) 命题意图:培养考生的思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力.属★★★★级题目.知识依托:通过对数列的通项进行联想,合理运用逆向思维.由求导公式(x n )′=nx n -1,可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的形式结构.错解分析:本题难点是考生易犯思维定势的错误,受此影响而不善于联想.技巧与方法:第(1)题要分x =1和x ≠1讨论,等式两边都求导.解:(1)当x =1时S n =1+2+3+…+n =21n (n +1); 当x ≠1时,∵x +x 2+x 3+…+x n =xx x n --+11, 两边都是关于x 的函数,求导得 (x +x 2+x 3+…+x n)′=(x x x n --+11)′ 即S n =1+2x +3x 2+…+nx n -1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+ (2)∵(1+x )n =1+C 1n x +C 2n x 2+…+C n n x n, 两边都是关于x 的可导函数,求导得n (1+x )n -1=C 1n +2C 2n x +3C 3n x 2+…+n C n n xn -1, 令x =1得,n ·2n -1=C 1n +2C 2n +3C 3n +…+n C n n ,即S n =C 1n +2C 2n +…+n C n n =n ·2n -1●锦囊妙计1.深刻理解导数的概念,了解用定义求简单的导数.xy ∆∆表示函数的平均改变量,它是Δx 的函数,而f ′(x 0)表示一个数值,即f ′(x )=x y x ∆∆→∆lim 0,知道导数的等价形式:)()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆.2.求导其本质是求极限,在求极限的过程中,力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式,即导数的定义,这是顺利求导的关键.3.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原则,求导时,不但要重视求导法则的应用,而且要特别注意求导法则对求导的制约作用,在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误.4.复合函数求导法则,像链条一样,必须一环一环套下去,而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)y =e sin x cos(sin x ),则y ′(0)等于( )A.0B.1C.-1D.22.(★★★★)经过原点且与曲线y =59++x x 相切的方程是( ) A.x +y =0或25x +y =0 B.x -y =0或25x +y =0 C.x +y =0或25x -y =0 D.x -y =0或25x -y =0 二、填空题 3.(★★★★)若f ′(x 0)=2,kx f k x f k 2)()(lim000--→ =_________.4.(★★★★)设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________.三、解答题5.(★★★★)已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =-(x -2)2,直线l 与C 1、C 2都相切,求直线l 的方程.6.(★★★★)求函数的导数(1)y =(x 2-2x +3)e 2x ; (2)y =31xx -. 7.(★★★★)有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3 m/s墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4 m 时,梯子上端下滑的速度.8.(★★★★)求和S n =12+22x +32x 2+…+n 2x n -1,(x ≠0,n ∈N *).参考答案难点磁场解:由l 过原点,知k =00x y (x 0≠0),点(x 0,y 0)在曲线C 上,y 0=x 03-3x 02+2x 0, ∴00x y =x 02-3x 0+2 y ′=3x 2-6x +2,k =3x 02-6x 0+2又k =00x y ,∴3x 02-6x 0+2=x 02-3x 0+2 2x 02-3x 0=0,∴x 0=0或x 0=23 由x ≠0,知x 0=23 ∴y 0=(23)3-3(23)2+2·23=-83 ∴k =00x y =-41 ∴l 方程y =-41x 切点(23,-83) 歼灭难点训练一、1.解析:y ′=e sin x [cos x cos(sin x )-cos x sin(sin x )],y ′(0)=e 0(1-0)=1答案:B 2.解析:设切点为(x 0,y 0),则切线的斜率为k =00x y ,另一方面,y ′=(59++x x )′=2)5(4+-x ,故 y ′(x 0)=k ,即)5(9)5(40000020++==+-x x x x y x 或x 02+18x 0+45=0得x 0(1)=-3,y 0(2)=-15,对应有y 0(1)=3,y 0(2)=53515915=+-+-,因此得两个切点A (-3,3)或B (-15,53),从而得y ′(A )=3)53(4+-- =-1及y ′(B )= 251)515(42-=+-- ,由于切线过原点,故得切线:l A :y =-x 或l B :y =-25x . 答案:A二、3.解析:根据导数的定义:f ′(x 0)=kx f k x f k ---+→)()]([(lim000(这时k x -=∆) 1)(21)()(lim 21])()(21[lim 2)()(lim0000000000-='-=----=---⋅-=--∴→→→x f k x f k x f k x f k x f k x f k x f k k k 答案:-14.解析:设g (x )=(x +1)(x +2)……(x +n ),则f (x )=xg (x ),于是f ′(x )=g (x )+xg ′(x ),f ′(0)=g (0)+0·g ′(0)=g (0)=1·2·…n =n !答案:n !三、5.解:设l 与C 1相切于点P (x 1,x 12),与C 2相切于Q (x 2,-(x 2-2)2)对于C 1:y ′=2x ,则与C 1相切于点P 的切线方程为y -x 12=2x 1(x -x 1),即y =2x 1x -x 12 ①对于C 2:y ′=-2(x -2),与C 2相切于点Q 的切线方程为y +(x 2-2)2=-2(x 2-2)(x -x 2),即y =-2(x 2-2)x +x 22-4 ②∵两切线重合,∴2x 1=-2(x 2-2)且-x 12=x 22-4,解得x 1=0,x 2=2或x 1=2,x 2=0∴直线l 方程为y =0或y =4x -46.解:(1)注意到y >0,两端取对数,得ln y =ln(x 2-2x +3)+ln e 2x =ln(x 2-2x +3)+2x xx e x x e x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x x x y y 2222222222222)2(2)32(32)2(232)2(232)2(223222232)32(1⋅+-=⋅+-⋅+-+-=⋅+-+-='∴+-+-=++--=++-'+-='⋅∴(2)两端取对数,得ln|y |=31(ln|x |-ln|1-x |), 两边解x 求导,得 31)1(31)1(131)1(131)111(311x x x x y x x y x x x x y y --=⋅-⋅='∴-=---='⋅7.解:设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,则s =5-2925t -,当下端移开1.4 m 时,t 0=157341=⋅,又s ′=-21 (25-9t 2)21-·(-9·2t )=9t 29251t -,所以s ′(t 0)=9×2)157(9251157⨯-⋅=0.875(m/s)8.解:(1)当x =1时,S n =12+22+32+…+n 2=61n (n +1)(2n +1),当x ≠1时,1+2x +3x 2+…+nx n-1=21)1()1(1x nx x n n n -++-+,两边同乘以x ,得 x +2x 2+3x 2+…+nx n =221)1()1(x nx x n x n n -++-++两边对x 求导,得S n =12+22x 2+32x 2+…+n 2x n-1 =322122)1()122()1(1x x n x n n x n x n n n ---+++-+++。
高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数 ().(1)若,求函数的极值;(2)设.①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】(1)参考解析;(2)①-1-e-1,②(-1,+∞)【解析】(1)由函数 (),且,所以对函数求导,根据导函数的正负性可得到结论(2)①当时,对任意,都有成立,即时,恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果,有分离变量可得b≤x2-2x-在x∈(0,+∞)上恒成立.通过求函数h(x)=x2-2x- (x>0)的最小值即可得到结论.②若存在,使.通过表示即可得到=,所以求出函数u(x)=(x>1)的单调性即可得到结论.(1)当a=2,b=1时,f (x)=(2+)e x,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).所以f ′(x)=e x. 2分令f ′(x)=0,得x1=-1,x2=,列表(0,)(,+∞)-↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (-1)=e-1,f (x)的极小值是f ()=4. 4分(2)①因为g (x)=(ax-a)e x-f (x)=(ax--2a)e x,当a=1时,g (x)=(x--2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,所以b≤x2-2x-在x∈(0,+∞)上恒成立. 7分记h(x)=x2-2x- (x>0),则h′(x)=.当0<x<1时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x>1时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数;所以h(x)min=h(1)=-1-e-1;所以b的最大值为-1-e-1. 9分解法二:因为g (x)=(ax-a)e x-f (x)=(ax--2a)e x,当a=1时,g (x)=(x--2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,所以g(2)=-e2>0,因此b<0. 5分g′(x)=(1+)e x+(x--2)e x=.因为b<0,所以:当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)在(0,1)上是减函数;当x>1时,g′(x)>0,g(x)在(1,+∞)上是增函数.所以g(x)min=g(1)=(-1-b)e-1 7分因为g (x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,所以(-1-b)e-1≥1,解得b≤-1-e-1因此b的最大值为-1-e-1. 9分②解法一:因为g (x)=(ax--2a)e x,所以g ′(x)=(+ax--a)e x.由g (x)+g ′(x)=0,得(ax--2a)e x+(+ax--a)e x=0,整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0.存在x>1,使g (x)+g ′(x)=0成立.等价于存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立. 11分因为a>0,所以=.设u(x)=(x>1),则u′(x)=.因为x>1,u′(x)>0恒成立,所以u(x)在(1,+∞)是增函数,所以u(x)>u(1)=-1,所以>-1,即的取值范围为(-1,+∞). 14分解法二:因为g (x)=(ax--2a)e x,所以g ′(x)=(+ax--a)e x.由g (x)+g ′(x)=0,得(ax--2a)e x+(+ax--a)e x=0,整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0.存在x>1,使g (x)+g ′(x)=0成立.等价于存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立. 11分设u(x)=2ax3-3ax2-2bx+b(x≥1)u′(x)=6ax2-6ax-2b=6ax(x-1)-2b≥-2b 当b≤0时,u′(x)≥0此时u(x)在[1,+∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)=-a-b因为存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立所以只要-a-b<0即可,此时-1<≤0 12分当b>0时,令x0=>=>1,得u(x)=b>0,又u(1)=-a-b<0于是u(x)=0,在(1,x)上必有零点即存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立,此时>0 13分综上有的取值范围为(-1,+∞)------14分【考点】1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.2.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形,然后折成一个无盖的长方体形的盒子.若这个长方体的外接球的体积存在最小值,则的取值范围是________.【答案】【解析】设减去的正方形边长为x,其外接球直径的平方R2=(a-2x)2+(b-2x)2+x2,由R′=0,∴x=(a+b).∵a<b,∴x∈,∴0<(a+b)< ,∴1<<.3.对于三次函数,给出定义:是函数的导函数,是的导函数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且拐点就是对称中心.若,请你根据这一发现,求:(1)函数的对称中心为__________;(2)=________.【答案】(1);(2)2013.【解析】,,令,∴,∴∴对称中心为,∴,∴.【考点】1.新定义题;2.导数.4.已知,函数.(1)当时,写出函数的单调递增区间;(2)当时,求函数在区间[1,2]上的最小值;(3)设,函数在(m,n)上既有最大值又有最小值,请分别求出m,n的取值范围(用a表示).【答案】(1);(2);(3)详见解析.【解析】(1)对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答,本题当时,函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成,画出其图象,容易判断函数的单调递增区间;(2)时,所以,这是二次函数,求其在闭区间上的最小值,一般要分类讨论,考虑对称轴和区间的相对位置关系,从而判断其单调性,从而求出最小值;(3)函数在开区间上有最大值和最小值,必然要使开区间上有极大值和极小值,且使极值为最值,由于函数是与二次函数相关,可考虑用数形结合的方法解答.试题解析:(1)当时,, 2分由图象可知,的单调递增区间为. 4分(2)因为,所以. 6分当,即时,; 7分当,即时,. 8分. 9分(3), 10分①当时,图象如图1所示.图1由得. 12分②当时,图象如图2所示.图2由得. 14分【考点】含绝对值的函数、二次函数.5.设,当时,恒成立,则实数的取值范围为。