函数图像

2023函数及其图象•函数的基本概念•函数的图像•不同类型函数的图像目录•函数图像的应用•函数图像的艺术01函数的基本概念设x和y是两个变量，D是一个给定的集合，在D上有唯一确定的y值与x对应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。

集合D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量。

函数的定义函数的表示方法图象法用图象表示函数，如f(x)=x^2的图象为开口向上的抛物线。

表象法用表格表示函数，如t=sin(x)。

解析法用等式表示函数，如y=2x+1。

函数的分类•常数函数：f(x)=c(c为常数)•一次函数：f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)•二次函数：f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)•反比例函数：f(x)=k/x(k为常数，k≠0)•幂函数：f(x)=x^a(a为常数)•指数函数：f(x)=a^x(a为常数，a>0且a≠1)•对数函数：f(x)=log_a x(a为常数，a>0且a≠1)•复合函数：f(x)=u(x)+g(x)，其中u和g都是简单函数。

02函数的图像1函数图像的概念23将函数表达式中自变量与因变量之间的关系用图形表示出来。

函数图像在平面直角坐标系中，以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。

坐标系根据函数表达式的性质，图像呈现不同形状，如直线、曲线、折线等。

函数图像的形状描点法根据函数表达式，求出一些自变量对应的因变量值，然后在坐标系上描出对应的点，最后用平滑的曲线或直线将这些点连接起来。

图示法利用计算器或编程语言，直接在计算机上绘制出函数图像。

绘制函数图像的方法函数图像的变换伸缩将函数图像按比例进行缩放，可以是横向或纵向。

平移将函数图像沿横轴或纵轴方向移动一定距离。

翻折将函数图像以某一条直线或点为对称中心进行翻折。

复合变换以上变换可以同时进行，也可以多次进行。

旋转将函数图像按一定角度顺时针或逆时针旋转一定角度。

03不同类型函数的图像线性函数一次函数的图像是直线，表达式为$y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是截距。

在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即 常数函数 、 幂函数、 指数函数 、 对数函数 、 三角函数 与 反三角函数 ，这六类函数称为 基本初等函数。

一、常数函数y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。

它的图像是通过点 （0，c），且平行 x轴的直线，如下图所示：常数函数的图像常数函数的性质：1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数。

二、幂函数1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。

幂函数图（1）2、常见幂函数的图像：幂函数图（2）注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。

3、幂函数的性质：① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。

② 所有幂函数在 （0，+∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。

③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；若 a三、指数函数1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做 指数函数 ，自变量 x 叫做 指数 ，a 叫做 底数 ，函数的定义域是 R 。

2、指数函数的图像：指数函数图象3、指数函数的性质：① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为（0，+∞）；② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0四、对数函数1、对数及其运算：一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底N 的 对数 ；记作： log aN = b , 其中 a 叫做对数的 底数 ， N 叫做 真数 。

高中数学常见函数图像1.2.对数函数：3.定义形如αx y =（x ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数.图像性质过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． 单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x 轴与y 轴．4.函数sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22xk ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2xk ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称轴()2x k k ππ=+∈Z对称中心(),02k k ππ⎛⎫+∈Z⎪⎝⎭ 对称轴()x k k π=∈Z对称中心(),02k k π⎛⎫∈Z ⎪⎝⎭无对称轴。

常见函数的图像及其性质数学中的函数就像我们日常生活中的“机器”，通过给出一个输入，便能得到一个输出。

而函数所表示的“规律”，可以通过数学的方法加以描述和解释。

在数学中，常见的函数有线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。

本文将介绍这些函数的图像及其性质。

一、线性函数线性函数是最基本、最简单的函数之一。

线性函数的一般形式为：y = kx + b其中，k和b是常数，x是自变量，y是因变量。

这里k表示直线斜率，b表示直线截距。

线性函数的图像是一条直线，其特点是斜率恒定。

当直线斜率为正时，函数是增长函数；当直线斜率为负时，函数是减少函数；斜率为0时，函数是常量函数。

二、二次函数二次函数是一种二次多项式函数，其一般形式为：y = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数，x是自变量，y是因变量。

二次函数的图像是一个开口朝上或开口朝下的抛物线，因为其自变量是平方项的形式。

二次函数的性质包括：1. 当a > 0时，函数开口向上，有最小值；当a < 0时，函数开口向下，有最大值。

2. 当二次函数的判别式b²-4ac > 0时，函数图像与x轴有两个交点；当b²-4ac = 0时，函数图像与x轴有一个交点；当b²-4ac < 0时，函数图像与x轴没有交点。

三、指数函数指数函数是一种以常数e（自然对数常数）为底，自变量是指数的函数。

其一般形式为：y = a^x其中，a是一个大于0且不等于1的常数，x是自变量，y是因变量。

指数函数的图像有如下特点：1. 当a > 1时，函数在x轴右侧增长；当0 < a < 1时，函数在x 轴左侧增长。

2. 当a > 1时，函数的y值无上限，但x轴是渐近线；当0 < a < 1时，函数的y值趋于0，但x轴是渐近线。

四、对数函数对数函数是指既然函数，其一般形式为：y = logₐx其中，a是底数，a > 0且a ≠ 1，x是自变量，y是因变量。

函数的图像一、需掌握图像的函数函数名表达式图像一次函数二次函数反比例函数指数函数对数函数幂函数双钩函数双增函数取整函数二、函数的图像变换１.平移变换【例1】画出下列函数的图像（1）11+=x y （2）22+=xy （3））（3ln +=x y 2.对称变换①y ＝f (x )――→关于x 轴对称y ＝－f (x )；②y ＝f (x )――→关于y 轴对称y ＝f (－x )；③y ＝f (x )――→关于原点对称y ＝－f (－x )；④y ＝a x (a >0且a ≠1)――→关于y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)；⑤y ＝f (x )――→保留x 轴上方图象将x 轴下方图象翻折上去y ＝|f (x )|.⑥y ＝f (x )――→保留y 轴右边图象，并作其关于y 轴对称的图象y ＝f (|x |)．【例2】画出下列函数的图像（1）12-=xy （2）2xx y -=（3）122--=x x y （4）xy 25.0log =【练习】1.已知[](]⎩⎨⎧∈-∈-=10012)(，，，，x x x x x f ，则下列函数的图象错误的是()2.已知定义在区间[]2,0上的函数)(x f y =的图像如图所示，则)2(x f y --=的图像为（）3．根据表达式识图【例3】函数133-=x x y 的图象大致是()【练习】已知函数xx x f -+=)1ln(1)(，则)(x f y =的图象大致为()三、函数图像的性质1.单调性增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2.奇偶性（1）偶函数：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有_______，那么函数f (x )是偶函数,关于________对称．（2）奇函数：如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有_______，那么函数f (x )是奇函数,关于________对称，若奇函数定义域内有0，则)0(f =___________．3.对称性（1）)(x f y =对任意x 都满足)()(x b f a x f -=+，则)(x f y =的图像关于_____对称；（2）)(x f y =对任意x 都满足a x f x f =-+)()(，则)(x f y =的图像关于_____对称；【例4】二次函数52)(2+-=mx x x f ，对任意x 都有)4()2(x f x f -=+，则m =______．【例5】函数322||2()2||x x x x f x x x +++=+的最大值为M ，最小值为m ，则m M +的值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【例6】已知函数))((R x x f ∈满足)2()(x f x f -=，若函数322--=x x y 与)(x f y =图像的交点为），），．．．，（，），（，（m m y x y x y x 2211，则m x x x +++．．．21=（）A ．0B ．mC ．m2D ．m44.周期性具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中b a ，为正常数）,（1）()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数；（2）()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（3）()()1f x a f x +=±，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；（4）()()f x a f x b +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数；【例7】设偶函数()f x 对任意x R ∈，都有1(3)()f x f x +=-，且当[]3,2x ∈--时，()2f x x =，则(113.5)f =（）.A 27-.B 27.C 15-.D 15【练习】已知函数()f x 是以2为周期的周期函数，且当()0,1x ∈时，()21xf x =-，则2(log 10)f 的值为（）.A 35.B 85.C 38-.D 53【例8】设()f x 的最小正周期2T =且()f x 为偶函数,它在区间[]0,1上的图象如右图所示的线段AB ,则在区间[]1,2上,()f x =________________．【练习】已知函数)(x f y =对任意x R ∈，都有)5()3(-=-x f x f ，当]11[，-∈x 时2)(x x f =，那么函数)(x f y =的图象与函数x y lg =的图象的交点共有()A ．10个B ．9个C ．8个D ．1个四、运用函数图像解题的快捷性【例9】当210≤<x 时，不等式0log 4<-x a x恒成立，则a 的取值范围是()A ．），（220B ．），（122C ．），（21D ．(2，2)【例10】定义}min{b a ，表示b a ，中的较小者，即⎩⎨⎧>≤=b a b b a a b a ，，，}min{，已知}22min{)(-=x x x f ，若直线m y =与函数)(x f y =的图像有三个不同的交点，则m的取值范围为_________________．【练习】（2017新课标III ，15题）设函数⎩⎨⎧>≤+=0201)(x x x x f x，，，则满足不等式121()(>-+x f x f 的x 的取值范围是_______________．【课后练习】一、选择题1．函数)1ln(x y -=的大致图象为()2．函数xy 5=与函数xy 51-=的图象关于()A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称3．若02log <a （0>a ，且1≠a ），则函数)1(log )(+=x x f a 的图象大致是()4．为了得到函数103lg+=x y 的图象，只需把函数x y lg =的图象上所有的点()A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5．使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是()A ．(－1,0)B ．[－1,0)C ．(－2,0)D ．[－2,0)二、填空题6．已知xx f 31()(=，若)(x f 的图象关于直线1=x 对称的图象对应的函数为)(x g ，则)(x g 的表达式为________．7．用}min{c b a ，，表示c b a ，，三个数中的最小值．设}1022min{)(x x x f x-+=，，）（0≥x ，则)(x f 的最大值为___________．8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=2)1(22)(3x x x x x f ，，若直线k y =与函数)(x f y =的图像有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是________．三、解答题9．已知函数x m x x f -=)(，且0)4(=f ．(1)求实数m 的值；(2)作出函数)(x f 的图象；(3)根据图象指出)(x f 的单调递减区间；(4)若直线a y =与函数)(x f y =的图像只有一个交点，求a 的取值范围．10．我们把形如11)(-=x x f 因其函数图象十分像汉字“囧”，故亲切称之为囧函数．（1）在直角坐标系上画出函数)(x f y =的囧图；（2）讨论直线k y =与)(x f y =图像的交点个数．。

六大超越函数及其图像
以下是六个常见的超越函数及其图像：
1. 正弦函数（Sine Function）函数表达式：y = sin(x) 特点：正弦函数是周期性函数，其最大值为1，最小值为-1，周期为2π。

2. 余弦函数（Cosine Function）函数表达式：y = cos(x) 特点：余弦函数也是周期性函数，其最大值为1，最小值为-1，周期为2π。

3. 正切函数（Tangent Function）函数表达式：y = tan(x) 特点：正切函数在一些特殊的点（如π/2、3π/2等）上存在垂直渐近线，并且在一些点（如π/4、5π/4等）上存在水平渐近线。

4. 指数函数（Exponential Function）函数表达式：y = e^x 特点：指数函数在x=0处有一个特殊的点（即e^0=1），其图像是一个上升的曲线。

5. 对数函数（Logarithmic Function）函数表达式：y = log(x) 特点：对数函数在x=1处有一个特殊的点（即log1=0），其图像是一个下降的曲线。

6. 双曲函数（Hyperbolic Function）函数表达式：y = sinh(x) 或 y = cosh(x) 特点：双曲函数是以指数函数为基础的函数，其图像也是上升或下降的曲线。

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