北航2008年复变函数期末试题

2008年复变试题一．选择题（每题3分，共27分）1.下列函数中，在有限复平面上解析的函数是（ D ）（A ）i y xy y x )2(222-+- （B ）i y x 22+（C ）)2(222x x y i xy +-+ （D ）i y yi x xy x 322333-+-2设C 是从i 到2i的直线段，则积分=⎰πdz e C z （ D ）（Ａ）π1 （Ｂ）π-1 （Ｃ）)1(1i +π- （Ｄ）)1(1i +π３．设C 为曲线1C ：从－１到１的下半单位圆周和曲线2C ：从１到－１的直线构成的封闭曲线，则=-⎰dz z C)1(（ A ）（Ａ）πi （Ｂ）π-i （Ｃ）０（Ｄ）π４.设函数zctgz 的泰勒展开式为n n n z c )2(0π-∑∞=，那么幂级数nn nz c )2(0π-∑∞=的收敛半径 Ｒ＝（ C ）（Ａ）∞+（Ｂ）１（Ｃ）2π（Ｄ）π５.设)2()(222y xy i x y x z f -+--=，则=+')21(i f （ B ） （Ａ）i -1（Ｂ）i +1（Ｃ）i 211-（Ｄ）i 211+ ６.下列命题中，正确的是（ C ）（Ａ）设21,v v 在区域D 内均为u 的共轭调和函数，则必有21v v = （Ｂ）解析函数的实部是虚部的共轭调和函数 （Ｃ）设iv u z f +=)(在区域D 内解析，则xu∂∂为D 内的调和函数 （Ｄ）以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数７.设0=z 为函数zz e zsin 1--的m 级极点，那么m ＝（ D ）（Ａ）５（Ｂ）４（Ｃ）３（Ｄ）２８.设函数)(t f 的拉普拉斯变换)(}]{[s F t f L =，则=⎰tdt t f L 30])([（ B ）（Ａ）)3(31s F s （Ｂ）)3(1s F s （Ｃ）)(31s F s （Ｄ）)(1s F s９.设函数)(t f 的傅立叶变换为)()]([ωF t f F =，则函数)2()2(t f t --的傅立叶变换为（ A ）（Ａ）)2()2(4ω--ω-'-F F i （Ｂ）)2()2(4ω--ω-'F F i （Ｃ）)2()2(2ω--ω-'-F F i （Ｄ）)2()2(2ω--ω-'F F i二．填空题（每题４分，共４０分） １.已知5)11)(12(ii i i z +-+-=，则=6z ______________________________i 8- ２.复数i i +1的主值为______________________________22π-πi e３.解析函数iv u z f +=)(的实部233xy x u -=，则___________________________)(=z f R c ci z ∈+,3４.积分___,________________________________________211||=+⎰=dz z z 由此计算 ____________________________________________________cos 45cos 2120=θθ+θ+⎰πd0, 0５.设,)(cos )(1||3ζ-ζζ=⎰=ζd z z f 其中1||=≠z ，则_________________________)6(=π'f ___________________________________________________)2(='''f 0,2i π６.____________________________)1(13||2=+⎰=z dz z z 0７.函数z e z-1在0=z 处的泰勒展开式（至少写到含3z 的项）为____________________Λ++++321z z z8.在扩充复平面上函数4sin )(zzz f =的孤立奇点为（写出类型）____________________在孤立奇点处留数为____________________0=z (三级极点) ，∞=z 本性奇点 ；61]),([Re ,61]0),([Re =∞-=z f s z f s9.已知1)(23+=π-s es F s ，则)(s F 的拉普拉斯逆变换为_____________________________ )3()3sin(π-π-t u t10设12)(2+ω=ωF ，则)(ωF 的傅立叶逆变换为_____________________________||t e -三．（10分）将函数2)(1)(z i z z f -=在适当的圆环域内展开成含i z -的幂的洛朗级数。

解：2)(1)(z i z z f -=奇点为0,.==z i z 。

（1）1||0<-<i z21)(1)(zi z z f •-=，∑∑∞=-+∞=-='-='--='-+-='+--='-=11102)())(())(11())1(1()1()1(1n n n n nn i z n i i i z i i i z i i i z i i i z z z所以∑∑∞=-+∞=-+-=--=121111)()(1)(n n n n n n i z n i i z n i i z z f （2）1||>-i z ，21)(1)(zi z z f •-=∑∑∑∑∞=+∞=+∞=+∞=--+=--+-='---='--•--='-+--='+--='-=020220102)())(1()())(1()())()(())()1()(1()11)(1()1()1(1n n nn n nn n n n n n n ni z i n i z i z n i i z i i z i i z iz i i z i i z z z ∑∞=+--+=03)())(1()(n n ni z i n z f四．（9分）计算函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<<<<<---<<∞-=t t t t t f 1,010,101,11,0)(的傅立叶变换，并计算广义积分⎰+∞ωωωω-0sin )cos 1(2d t 的值。

解：ωω-ω=+-=⎰⎰ω--ω-i i dt e dt e t f F t i t i cos 22)]([11ωωωω-π=ωωωω--ωω-π=ωωωω-+ωω-π-=ωω+ωω-ωπ=ωωω-ωπ=∴⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞+∞-∞+∞-+∞∞-ω+∞∞-d t d t i t d t i t i d t i t i d e i i t f t i 0sin )cos 1(2cos )cos 1(sin )cos 1(1sin )cos 1(cos )cos 1()sin )(cos cos 1(221)cos 22(21)(所以⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=π<<π<<-π--=π-∞<<=-<<∞-=π=ωωωω-⎰∞+1,210,01,1,21,0,1,0)(sin )cos 1(20t t t t t t t t f d t五．（8分）用拉普拉斯变换及其逆变换求解微分方程组⎩⎨⎧-='''+-δ=''+')1(2)()(2)1()()(t u t y t x t t y t x 满足初始条件⎩⎨⎧=''='==0)0()0(0)0()0(y y y x 的解。

解：设),()]([),()]([s Y t y L s X t x L ==取laplace 变换得⎪⎩⎪⎨⎧=''-'--+='--+---s se s y y s y s s Y s s X e y sy s Y s x s sX 2)0()0()0()()(2)0()0()()0()(232将初始条件代入得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+--s ses s Y s s X e s Y s s sX 2)()(2)()(32⎩⎨⎧=-=∴=∴==∴=-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∴----0)()1()(;)()(;0)(,0)()2(,2)()(22)(2)(233t y t u t x se s X e s sX s Y s Y s s e s s Y s s X s e s sY s X sss s 六．（6分）如果1||<z 内)(z f 解析且||11|)(|z z f -≤，证明),2,1(!2|)0(|1)(Λ=≤+n n f n n证明：!)1(11)1(!2)1(12!)1(12!||1||112!|||)(|2!|)(2!||)0(|11111n r r rr n r r r n ds r r n dsz z n ds z z f n dz z z f i n f n n n C n C n C n C n n -=-=π-π=-π=-π≤π≤π=+++++⎰⎰⎰⎰令21=r ，即得!2|)0(|1n f n n +≤。