课时作业椭圆

D．[2，＋∞)
解析：因为 P(m，n)是椭圆 x2＋y22＝1 上的一个动点，所以 m2＋n22＝1，即 n2＝2－2m2，所以 m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1， 所以 1≤2－m2≤2，所以 1≤m2＋n2≤2，故选 B.
二、填空题
9．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是
0，
2 2
.
解析：由题意 2b>2c，
即 b>c，即 a2－c2>c，
∴a2－c2>c2，则 a2>2c2.
∴ac22<12，∴0<e<
2 2.
10．已知 F1，F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于 A，B 两点，若△ABF2 是正三角形，则这个椭圆
3 的离心率是 3 .
B．[38，34]
C．[12，1]
D．[34，1]
解析：如图：
直线 A2M 的方程为 y＝－(x－2)＝2－x. 代入椭圆方程x42＋y32＝1，得 3x2＋4y2＝3x2＋4(4－4x＋x2)＝12， 整理得 7x2－16x＋4＝0，
∴2＋x＝176，∴x＝27.
∴M 点坐标为(27，172)．
若焦点在 y 轴上，则 b2＝5，a2＝m. ∴m－m 5＝25，∴m＝235. 所以 m 的值为 3 或235.
2．已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0)，离心率等于
12，则 C 的方程是( D )
A.x32＋y42＝1
B.x42＋
y2 ＝1 3
C.x42＋y22＝1
D.x42＋y32＝1
解析：由 8x2＋3y2＝24，得x32＋y82＝1. ∴－ 3≤m≤ 3，4－2 3≤2m＋4≤4＋2 3.

第11课时作业椭圆的简单几何性质1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是（0,13）,另一个顶点是（-10,0）,则焦点坐标为（）A.（± 13,0）B.（0, ± 10）C.（0, ± 13）D.（0, 土—）2.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A._B._C._D._3.焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10,焦距为4二则椭圆的方程为（）A.—+—=1B. —+—=1C. —+—=1D.—+—=14.椭圆一+一1与——+—— 1（0<k<9）的关系为（）A.有相等的长轴B.有相等的短轴C.有相同的焦点D.有相等的焦距5.若椭圆一+—=1的离心率为-,则m的值为（）A. 一B. 一或 18C.18D.——或 66.已知椭圆一+-=1（a>b>0）与椭圆一+—=1有相同的长轴,椭圆一—=1的短轴长与椭圆一+—=1的短轴长相等，则（）A.a2=25,b 2=16B.a 2=9,b 2=25C.a 2=25,b 2=9 或 a2=9,b 2=25D.a 2=25,b2=97.若焦点在y轴上的椭圆_+_=1的离心率为-,则m的值为_______________ .8.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为一，且过P（-5,4）,则椭圆的方程为_______________ .9.F1,F2是椭圆C:—+—=1的左、右焦点，在C上满足PR丄PF2的点P的个数为___________ .10.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<ew—.则长轴长的取值范围为____________ .11.椭圆一+—=1（a>b>0）的两焦点为 F1（0,-c）,F 2（0,c）（c>0）, 离心率e=—,焦点到椭圆上点的最短距离为2- _,求椭圆的方程.12.已知椭圆x +（m+3）y =m（m>0）的离心率e=—,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标.以下问题理科生必做:13.已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F i(- 一,0),且右顶点为D(2,0).设点A的坐标是-.(1)求该椭圆的标准方程.⑵ 若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程.14.已知椭圆x2+-=1(0<b<1)的左焦点为F,左、右顶点分别为A,C,上顶点为B,过F,B,C三点作圆P,且圆心在直线 x+y=0 上,求此椭圆的方程.15.椭圆一+-=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线I过F2与椭圆相交于 A,B两点，0为坐标原点，以AB为直径的圆恰好过 0,求直线I的方程.如图椭圆的标准方程是 _________________________1.范围:2.椭圆的对称性：在方程中，把_换成 _，方程不变，说明：椭圆关于—轴对称；把_换成 _，方程不变，说明：椭圆关于匚轴对称；把_换成—，方程不变，说明：椭圆关于(0, 0)点对称；坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，又叫做椭圆的中心3.顶点、焦点与焦距和长短轴：椭圆与它的对称轴的四个交点——椭圆的顶点.椭圆顶点坐标为:长轴：_______________ 长轴长_________________________短轴：_______________ 短轴长_________________________焦距：_______________ 焦距长_________________________a、b禾廿c分另U叫做椭圆的__________ 、_____________ 禾廿_____________4.离心率：椭圆的焦距与长轴长的比 _________ 叫做椭圆的离心率，用e表示，即_e= ___________________因为a>c>0,所以0 < e <1.*b ■—tr?► O+栉fj (SI ―►X P ——o,r- —► a,A = V' —fffj [ffU ―> IMI当丄L仅当盘=1>U寸"C=O* 这时两个煤曲;車合*图形变为圆.总结归纳：图形方程范围对称性例1⑴求椭圆16x 2+25y 2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.⑵已知椭圆x 2(m ■ 3)y 2 = m(m - 0)的离心e = ?,求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、 焦点坐标、顶点坐标.2 2例2.已知椭圆C i ： Z 仝=1,设椭圆C 2与椭圆C i 的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在 y 轴上.10064(1)求椭圆C i 的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率⑵写出椭圆C 2的方程，并研究其范围、对称性、顶点、焦点、离心率等性质例3.已知F i ,F 2是椭圆的两个焦点，过F i 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 角形，求该椭圆的离心率.练习若椭圆中心到|的距离为其短轴长的1 ,则该椭圆的4离心率为()A. 1B. 1C.2 D. 3323 43.中心在原点，焦点在x 轴上，若长轴长为i8,且两个焦点恰好将长轴三等分， 则此椭圆的方程是()i.EE 为椭圆2 2务+ £=1(a 〉b>0)a b的焦点，过作垂直于 x 轴的直线交椭圆于点P ，30°,则椭圆的离心率为)A .3B.2 C. 1 D. 3322 2A,B 两点,若厶ABF 2是正三2.直线|经过椭圆的一个顶点和一个焦点八-xy n r i * -7 耳 W 1+4W4.求下列各椭圆的长轴长和短轴长，离心率，焦点坐标，顶点坐标.⑴ x 2 4y 2=16.（2）9x2y 2=81.II.>c1 —X Nx1。

第三章 §1 课时作业24一、选择题1． 设P (x ，y )是椭圆x 2＋4y 2＝4上的一个动点，定点M (1,0)，则|PM |2的最大值是( ) A ．23B ．1C ．3D ．9解析：|PM |2＝(x －1)2＋y 2＝(x －1)2＋1－x 24＝34x 2－2x ＋2＝34(x －43)2＋23∵－2≤x ≤2，∴当x ＝－2时，|PM |2max＝9. 答案：D2． 已知F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，P 是以F 1F 2为直径的圆与该椭圆的一个交点，且∠PF 1F 2＝2∠PF 2F 1，则这个椭圆的离心率是( )A ．3－1B ．3＋1C ．3－12D ．3＋12解析：由题意可知△PF 1F 2构成直角三角形 且∠F 1PF 2＝90°，∠PF 1F 2＝60°，|F 1F 2|＝2c ， 则|PF 1|＝c ，|PF 2|＝3c ， 所以由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即c ＋3c ＝2a ， 得离心率e ＝ca ＝3－1.故选择A.答案：A3． 某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b ，则椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e >32的概率是( )A ．118B ．536C ．16D ．13解析：e ＝1－b 2a 2>32⇒b a <12⇒a >2b ， 符合a >2b 的情况有：当b ＝1有a ＝3,4,5,6四种情况； 当b ＝2时，有a ＝5,6两种情况， 总共有6种情况，则概率为66×6＝16.故选择C. 答案：C4． 如图所示，椭圆中心在坐标原点，离心率为12，F 为椭圆左焦点，直线AB 与FC 交于D 点，则∠BDC 的正切值是( )A ．－3 3B ．3－ 3C ．3 3D ．3＋ 3解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则A (0，b )，B (－a,0)，C (0，－b )，F (－c,0)．∵k AB ＝b a ，k CF ＝－b c，∴tan ∠BDF ＝k CF －k AB 1＋k CF ·k AB ＝－b c －ba 1－b 2ac ＝b (a ＋c )b 2－ac. ∵e ＝c a ＝12，∴a ＝2c ，∴b ＝3c ，∴tan ∠BDF ＝33c 23c 2－2c 2＝3 3. 答案：C 二、填空题5． 已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为________．解析：∵椭圆方程为x 216＋y 29＝1，∴a ＝4，b ＝3，c ＝7.若直角三角形的直角顶点为P ，当P 在短轴两个端点位置时，∠F 1PF 2最大，此时cos ∠F 1PF 2＝16＋16－282×4×4＝18>0，即∠F 1PF 2最大时为锐角．∴直角顶点在F 1或F 2上，不妨设F 1P ⊥F 1F 2， 设P (－7，y )，则716＋y 29＝1，∴y 2＝8116，∴|y |＝94.答案：946． 已知椭圆x 225＋y 29＝1，F 1为椭圆的左焦点，A (2,2)为椭圆内的点，P 是椭圆上任意一点，则|P A |－|PF 1|的最大值为________．解析：F 1的坐标为(－4,0)，点P 在椭圆上移动，若P 与A 、F 1不共线，则在△P AF 1中，|P A |－|PF 1|<|AF 1|，当P 点与A 、F 1共线时，且P 点在AF 1的延长线上时，|P A |－|PF 1|＝|AF 1|，此时|P A |－|PF 1|取最大值，即为|AF 1|的值，由A 、F 1的坐标，得|AF 1|＝210.答案：2107． 已知点F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的两焦点，P 为椭圆上的点，∠F 1PF 2＝α，当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则m ＝________，n ＝________.解析：如图所示，点P 在椭圆上变化时，S △F 1PF 2＝12·|F 1F 2|·|y P|，∴当|y P |取最大时，即P 点为椭圆短轴端点时，S △F 1PF 2最大，则∠F 1PO ＝π3，|OF 1|＝3，a ＝|PF 1|＝3sin π3＝23，b ＝|OP |＝3tan π3＝3，由已知m ＝a ，n ＝b ，解得m ＝12，n ＝3.答案：12 3 三、解答题8． 如图所示，已知椭圆x 2＋8y 2＝8，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离最小，并求出最小值．解： 设与直线x －y ＋4＝0平行且与椭圆相切的直线方程为x －y ＋a ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋a ＝0，得9y 2－2ay ＋a 2－8＝0.由Δ＝4a 2－36(a 2－8)＝0，解得a ＝3或a ＝－3.所以与直线l 距离较近的切线方程为x －y ＋3＝0.所以最小距离为d ＝|4－3|2＝22.此时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋8y 2＝8，x －y ＋3＝0，得⎩⎨⎧x ＝－83，y ＝13，即所求点为P ⎝⎛⎭⎫－83，13. 9． 椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率e ＝32，已知点P ⎝⎛⎭⎫0，32到这个椭圆上点的最远距离是7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P 的距离等于7的点的坐标． 解：设所求椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，得a ＝2b .① 设椭圆上任一点M 的坐标为(x ，y )，点M 到点P 的距离为d ，则x 2＝a 2－a 2y 2b2，且d 2＝x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝a 2－a 2y 2b 2＋⎝⎛⎭⎫y －322＝－3y 2－3y ＋4b 2＋94＝－3⎝⎛⎭⎫y ＋122＋4b 2＋3，其中－b ≤y ≤b . (1)如果b <12，则当y ＝－b 时，d 2取得最大值(7)2＝⎝⎛⎭⎫b ＋322， 解得b ＝7－32>12，与b <12矛盾．(2)如果b ≥12，则当y ＝－12时，d 2取得最大值(7)2＝4b 2＋3，②由①②可得b ＝1，a ＝2. 故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.由y ＝－12可得椭圆上到点P 的距离等于7的点为⎝⎛⎭⎫－3，－12与⎝⎛⎭⎫3，－12.。

课时分层作业（十）椭圆的几何性质(一）(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知椭圆错误!＋错误!＝1（m〉0)的左焦点为F1（－4，0)，则m 等于（)A．2 B．3 C．4 D．9B ［由题意知25－m2＝16，解得m2＝9,又m〉0，所以m＝3.]2．已知椭圆C的短轴长为6，离心率为错误!，则椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为（)A．9 B．1C．1或9 D．以上都不对C [错误!解得a＝5，b＝3，c＝4。

∴椭圆C的焦点F到长轴的一个端点的距离为a＋c＝9或a－c ＝1.］3．如图所示，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°角的平面所截，截口是一个椭圆，则这个椭圆的离心率为( )A.12 B 。

34C 。

错误!D 。

错误!A ［由题意得2a ＝错误!＝8错误!(cm)，短轴长即2b 为底面圆直径12 cm ，∴c ＝错误!＝2错误! cm ，∴e ＝错误!＝错误!.故选A 。

］4．曲线错误!＋错误!＝1与曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9）的（ ）A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等C ［曲线错误!＋错误!＝1的焦点在x 轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为45，焦距为8.曲线错误!＋错误!＝1（k 〈9)的焦点在x 轴上，长轴长为2错误!,短轴长为2错误!，离心率为错误!，焦距为8.则C 正确．]5．已知椭圆C ：错误!＋错误!＝1(a 〉b 〉0）的左，右焦点为F 1，F 2，离心率为错误!，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点,若△AF 1B 的周长为43,则C 的方程为( ）A 。

错误!＋错误!＝1B 。

错误!＋y 2＝1C 。

错误!＋错误!＝1D 。

错误!＋错误!＝1A [∵△AF 1B 的周长为4错误!，∴4a ＝4错误!，∴a＝3，∵离心率为错误!，∴c＝1，∴b＝错误!＝错误!，∴椭圆C的方程为错误!＋错误!＝1。