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3.1.1 椭圆(第一课时)(精讲)(解析版)

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3.1 椭圆 课件1 (北师大选修2-1)

3.1 椭圆 课件1 (北师大选修2-1)

小知识 与《几何原本》齐名的《圆锥曲线论》
公元前三世纪产生了具有完整体系的欧 几里得的《几何原本》。半个世纪以后，古 希腊的另一位数学家阿波罗尼斯又著《圆锥 曲线论》（8卷）—以其几乎将圆锥曲线的全 部性质网罗殆尽而名垂史册。 在解析几何之前的所有研究圆锥曲线的著 作中，没有一本达到象《圆锥曲线论》那样 对圆锥曲线研究得如此详尽的程度。 解析几何是由费尔马和笛卡尔分别创立的。 自从有了解析几何，圆锥曲线的研究才开辟 了新的纪元。
自学教材P28－29页例3之前内容，思考解答下列问题 （1）在椭圆标准方程中，x、y的取值范围分别是什么？ 你是怎样探得的？ （2）请结合椭圆标准方程确定椭圆的对称性。 （3）请结合图形说明什么是椭圆的顶点？ y 若该椭圆的标准方程是 B2（0，b）
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
A2（－a，0）
A1（a，0）
则它的顶点坐标分别是什么？ （4）什么叫椭圆离心率？
o
B1（0，－b） （1）
x
思考：[1]离心率的取值范围是什么？
[2]离心率对椭圆形状有什么影响？ y 离心率对椭圆形状的影响： 1）e 越接近 1，c 就越接近 o x ( a )，从而 b就接近（ 0 ）,椭 圆形状就越（ 扁 ）。 2）e 越接近 0，c 就越接近 ( 0 )，从而 b就越（ a ）， 椭圆就越圆（ 圆 ）。 3）当e =0时，a 与b有什么关系？此时椭圆变成什么 3）当e =0时，a =b，此时椭圆变成圆。 形状？
a ,0
(
）,(0,
c,0)
b)
（
b ,0
）,(0,
(0,
c)
a)
长半轴长为a,短半轴长为b.
a,b,c关系

椭圆第一课时PPT课件

椭圆第一课时PPT课件

练习、求过点P（2，3）且与圆
（x-1）2+（y+2）2=1 相切的直线方程.
回顾：求过定点的切线方程的基本方法： （待定系数法） （1）点在圆上 —— 一解； （2）点不在圆上 —— 两解
圆的标准方程（1） 例5、图2-9是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图， 该拱跨度AB=20米，拱高OP=4米，在建造 是每隔4米需用一个支撑，求支柱A2P2的长 度（精确到0.01米）
圆的标准方程（1）
例2：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。
小结：直线与圆的位置关系。
练习： P77 2
圆的标准方程（1）
例3：求过A（4，-1）且与直线y=2x相切于点P （1，2）的圆的方程。 小结：求圆的方程的方法：
㈠找出圆心、半径； ㈡待定系数法。
例4、已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上的 一点M（x0，y0）的切线方程。
2点不在圆上两解例5图29是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图该拱跨度ab20米拱高op4米在建造是每隔4米需用一个支撑求支柱a2p2的长度精确到001米pp2圆的标准方程1paba1a2a3a4o总结
圆的标准方程（1） 一、圆的定义
平面内与定点的距离等于定长的点的集合（轨迹） 是圆。定点就是圆心；定长就是半径。
二、 圆的标准方程：
（x-a）2+（y-b）2=r2
其中圆心（a，b）半径为r。
特别地当圆心为原点时，方程为
2 2 2 x +y =r
圆的标准方程（1） 练习： 1、 P77 1； 2、说出下列圆的圆心和半径： （1）（x – 2）2 + y2 =10 （2） x2 +（y – 1）2 =25 （3） x2 +（y – 11）2 =16 （4）（x + 1）2 +（y – 1）2 =36 3、求圆心和半径： （1）x2 + y2 – 2x – 1= 0 （2）x2 + y2 – 10x –12y + 51 = 0

椭圆及其标准方程(一)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

椭圆及其标准方程(一)课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
a 2 b2 4

解得a 2 10,b2 6.
x2 y2
∴所求椭圆的标准方程为
1.
10 6
练习（第49页）
1．如果椭圆


+

= 上一点 P 到焦点的距离等于 6，则点 P 到另一
个焦点的距离为
.
【详解】解：根据椭圆的定义
又椭圆
∴
+

+

+
= ，
是
回忆一下我们是如何求圆轨迹方程的？
建系
建立适当的平面直角坐标系
设点
列式
设曲线上任意一点M的坐标为(x, y)
类比这个方法，
我们开始求椭圆
找出限制条件P(M)，并列出几何等式
的标准方程
代换
把坐标代入限制条件P(M) 列出方程
化简
化简方程
新知探究
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单?
2
a
b
2
2
•F
2
O
x
•F
1
椭圆的标准方程:
标准方程
x2
y2
2 1 (a b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1 (a b 0)
2
a
b
y
y
不
同
点
图
形
•
F1
O
M
•
F2
•F2
O
x
x
•F1
焦点坐标
相
同
点
M
F1 (c,0), F2 (c,0)
F1 (0, c), F2 (0, c)

【课件】椭圆及其标准方程(第一课时)+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

【课件】椭圆及其标准方程(第一课时)+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
,, 2 − 2 的线段吗？
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，



令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
(
>
>0)
⑥
+
=1
2
2


2 = 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
（3）就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？
伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
变式.如图,垂直轴，垂足为 ，点在的延长线上，且


3
= .当
2
点在圆 2 + 2 =4上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
相关点法
解：设 , ， (0 ，0 )，
因为 (0 ，0 )在圆 2 + 2 =4上，所以02 +02 =4①
将方程④两边同除以2 (2
2
2
+ 2 2=1
−
>c>0,所以2 − 2

− 2 )，得 2

由椭圆的定义可知,2>2c>0,即
④
⑤
> 0.
思考1：为什么要用2，2c而不是 ， c表示椭圆的定长与焦距？
为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式
图3.1-3
思考2：观察图3.1-3，你能从中找出表示
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.

3.1.1椭圆及其标准方程(教学课件(人教版))

3.1.1椭圆及其标准方程(教学课件(人教版))

k AM
x
y
5
,kBM
y x5
( x 5).
y
M •
A
O
Bx
点M的轨迹为除去（-5，0），（5，0）两点的椭圆。
三、题型与方法
解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法
1.直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何 条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的情势，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为 f(x，y)＝0. 2.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先视察、分析已知条件，看所求动点轨迹 是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可． 3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只 要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问 题，这种方法称为相关点法．
3.a, b, c 满足的关系有： ① a2 b2 c2 ； ② a b 0 ； ③ a c 0 .
三、题型与方法
题型一 求椭圆的标准方程
跟踪训练：1.求与椭圆x2＋y2＝1 有相同焦点，且过点(3， 15)的椭圆的标准方程．
25 9
法一：因为所求椭圆与椭圆x2＋y2＝1 的焦点相同，设所求椭圆的标准方程为x2＋y2＝1(a＞b＞0)．
解1：(相关点代入法)设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)， 则点D的坐标为(x0, 0).由点M是线段PD的中点，得
y •P
•M
∵点P（x0,y0）在圆x2+y2=4上, ∴x02+y02=4
OD
x
把x0=x,y0=2y代入上式,得x2+(2y)2=4,即
∴点M的轨迹是椭圆。

人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第一课时椭圆及其标准方程

人教版高中数学选择性必修第一册3.1.1第一课时椭圆及其标准方程

人A数学选择性必修1
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[例 3] (1)方程k－x24＋10y－2 k＝1 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 k 的
取值范围是( C )
A．(4，＋∞) B．(4,7)
C．(7,10)
D．(4,10)
分析：(1)根据椭圆焦点位置求椭圆方程中的参数范围时，考虑两个分 式对应的分母都大于0，然后根据焦点所在坐标轴确定对应分母的大 小．
人A数学选择性必修1
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[解析] (1)由 a＝4，c＝ 15，得 b2＝a2－c2＝1， ∵焦点在 y 轴上，∴其标准方程为1y62 ＋x2＝1. (2)法一：由于椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a ＞b＞0)． 由椭圆的定义知 c＝2，
2a＝ 52＋22＋－322＋ 52－22＋－322＝2 10，
C．94
D．14
解析：依题意a＝10，且|PF1|＋|PF2|＝6＋|PF2|＝2a＝20⇒|PF2|＝14.
人A数学选择性必修1
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3．适合条件a＝4，b＝1，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为 ___1x_62_＋__y_2_＝__1______． 解析：由已知，所求方程为：4x22＋1y22＝1，即1x62 ＋y2＝1.
人A数学选择性必修1
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[例1] (1)已知F1(－3,0)，F2(3,0)，|PF1|＋|PF2|＝8，则动点P的轨迹是
(B)
A．圆
B．椭圆
C．直线
D．线段
(2)已知F1(0，－3)，F2(0,3)，|PF1|＋|PF2|＝6，则动点P的轨迹是( D )
A．圆
B．椭圆

高中数学 3.1第1课时椭圆及其标准方程课件 北师大版选修2-1


① 解得①②得－3<a<－1 或 a>1.
当 a>1 时，③不成立．当－3<a<－1 时，得 a<－2. 综上可得：a 的取值范围是－3<a<－2.
最值问题
F1 是x92＋y52＝1 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1) 为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值为________________．
[解析] (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22 ＋by22＝1(a>b>0)．
∵2a＝ 5＋32＋0＋ 5－32＋0＝10,2c＝6. ∴a＝5，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为：2x52 ＋1y62 ＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为：ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)．
3．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是
椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
[答案] C
[解析] 设椭圆的另一个焦点为 F(如图)，
则 △ ABC 的 周 长 为 (|AB| ＋ |BF|) ＋ (|CA| ＋ |CF|) ＝ 2a ＋ 2a ＝
∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c
∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－C．
[总结反思] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长 轴的两个端点，应掌握这一性质．
[总结反思] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程 中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭 圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项 分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．

2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(配湘教版)课件3.1.1椭圆的标准方程


又由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=4.
在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,
即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos 60°,
即4=16-3|PF1|·|PF2|.
1
= ,
4
1
= 2.
2
故椭圆的标准方程为 4
+
2
=1.
2
+
2
=1.
4
角度2定义法
【例2】一个动圆与圆Q1:(x+3)2+y2=1外切,与圆Q2:(x-3)2+y2=81内切,试求
这个动圆圆心的轨迹方程.
分析 设出动圆的圆心及半径,利用两圆相切的几何条件列式求解.
解 两定圆的圆心和半径分别为Q1(-3,0),r1=1;Q2(3,0),r2=9.
2 2
+
4
3
=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且
∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是
√3
.
分析结合∠F1PF2=60°,借助椭圆的定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|后,利用
三角形的面积公式求解.
解析 由椭圆的标准方程知 a=2,b=√3,
∴c= 2 - 2 =1,∴|F1F2|=2.
圆的条件是 m>n>0,其表示焦点在 y 轴上的椭圆的条件是 n>m>0.
(2)若给出椭圆方程 Ax2+By2=C,则应先将该方程转化为椭圆的标准方程的形
式
2


+

3.1.1 椭圆及其标准方程(课件)

M.且直线 AM 的斜率与直线 BM 的斜率的乘积是－12，求点 M 的轨迹方程．
解：设点 M 的坐标为(x，y)，因为点 A 的坐标是(0，1)， 所以直线 AM 的斜率 kAM＝y－x 1(x≠0)， 同理，直线 BM 的斜率 kBM＝y＋x 1(x≠0)． 由已知有y－x 1·y＋x 1＝－12， 化简，得点 M 的轨迹方程为x22＋y2＝1(x≠0)．
AB
经典例题
题型二 已知椭圆的标准方程求参数
跟踪训练2
若方程ax22－a－y212＝1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则实数 a 的取值
范围是
．
－4＜a＜0 或 0＜a＜3 解析：方程化为ax22＋12y－2 a＝1，依题意应有 12－a＞a2＞0， 解得－4＜a＜0 或 0＜a＜3．
经典例题
题型三 求椭圆轨迹方程
经典例题
题型三 求椭圆轨迹方程
方法 3：代入法(相关点法) 若所求轨迹上的动点 P(x，y)与另一个已知曲线 C：F(x，y)＝0 上的动点
Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点 Q 的坐标用点 P 的坐标表示出来，然后 代入已知曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方 程的方法叫做代入法(又称相关点法)．
k
∴2k>2，故 0<k<1.故选 CD.
当堂达标
4.若方程xm2＋2my－2 1＝1 表示椭圆，则实数 m 满足的条件是________．
mm＞12且m≠1
解析：由方程xm2＋2my－2 1＝1
m＞0， 表示椭圆，得2m－1＞0，
m≠2m－1，
解得 m＞12且 m≠1.
当堂达标
5.设 F1，F2 是椭圆x92＋y42＝1 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2| ＝2∶1，求△F1PF2 的面积． 解：由椭圆方程，得 a＝3，b＝2，c＝ 5. ∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6 且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， ∴|PF1|＝4，|PF2|＝2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴△PF1F2 是直角三角形，且∠F1PF2＝90°， 故△F1PF2 的面积为12|PF1|·|PF2|＝12×2×4＝4。

高中数学选择性必修一(人教版)《3.1.1椭圆及其标准方程》课件


2．已知椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)，F1，F2 是它的焦点．过 F1 的直 线 AB 与椭圆交于 A，B 两点，求△ABF2 的周长．
解：如图，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， ∴△ABF2 的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋ |AF2|＋|BF2|＝4a.
即 25＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|.
①
由椭圆的定义得 10＝|PF1|＋|PF2|，
所以 100＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|.2|＝75，
所以|PF1|·|PF2|＝25，
所以
S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin
()
A．10
B．8
C．5
D．4
解析：∵a＝5，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝10. 答案：A 3．已知椭圆中 a＝5, c＝ 5， 焦点在 x 轴上，则椭圆的标准方 程为_________．
答案：2x52＋2y02 ＝1
题型一 椭圆的定义及应用
[学透用活]
[典例 1] (1)下列说法正确的是
()
[解] (1)由于椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设它的标准方程为xa22＋by22＝1(a＞b＞0)． ∴a＝5，c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1. (2)由于椭圆的焦点在 y 轴上， ∴设它的标准方程为ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)． ∴a＝2，b＝1. 故所求椭圆的标准方程为y42＋x2＝1.
()
A．(5,0)，(－5,0)
B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12)
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3.1.1 椭圆考点一椭圆的定义【例1】（1）（2020·上海徐汇.高二期末）已知1F ､2F 是定点，12||6F F =.若动点M 满足12||||6M F M F +=，则动点M 的轨迹是（ ） A ．直线B ．线段C ．圆D ．椭圆（2）（2019·宁波市第四中学高二期中）设p 是椭圆2212516x y+=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】（1）B （2）D【解析】（1）对于在平面内，若动点M 到1F 、2F 两点的距离之和等于6，而6正好等于两定点1F 、2F 的距离，则动点M 的轨迹是以1F ，2F 为端点的线段．故选：B ．（2）因为椭圆的方程为2251162x y +=，所以225a =，由椭圆的的定义知12=210PF PF a +=，故选D ．【一隅三反】1．（2020·河南省鲁山县第一高级中学高二月考）若椭圆上一点Ｐ到左焦点的距离为５，则其到右焦点的距离为（ ） A ．５ B ．３C ．２D ．１【答案】D【解析】由题意a=3,P 点到右焦点的距离为2a -5=12．（2020·东城.北京五十五中高二月考）若椭圆22110036x y +=上一点P 到其焦点1F 的距离为6，则P 到另一焦点2F 的距离为( ) A ．4 B ．194 C ．94 D ．14【答案】D【解析】依题意10a =，且1222622014PF PF PF a PF +=+==⇒=.故选：D 3.下列命题是真命题的是________．(将所有真命题的序号都填上)①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝2的点P 的轨迹为椭圆； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足|PF 1|＋|PF 2|＝4的点P 的轨迹为线段； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆． 【答案】 ②【解析】 ①2<2，故点P 的轨迹不存在；②因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是线段F 1F 2；③到定点F 1(－3，0)，F 2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F 1F 2的垂直平分线(y 轴)．考点二 椭圆定义的运用【例2-1】（1）（2019·福建高二期末）如果222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,)+∞（2）（2019·江苏省苏州实验中学高二期中）方程2214x y m+=表示椭圆，则实数m 的取值范围（ ）A ．0m >B ．4m >C ．04m <<D ．0m >且4m ≠【答案】（1）A （2）D【解析】（1）222x ky +=转化为椭圆的标准方程，得22122x y k+=，因为222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，所以22k>，解得01k <<.所以实数k 的取值范围是()0,1.选A. （2）方程2214x y m+=表示椭圆，若焦点在x 轴上，40m >>；若焦点在y 轴上，4m >.综上：实数m 的取值范围是0m >且4m ≠故选：D【一隅三反】1．（2020·广东高三月考（文））“35m -<<”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为方程22153x ym m +=-+表示椭圆的充要条件是503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，即35m -<<且1m ≠，故“35m -<<”是“方程22153x y m m +=-+表示椭圆”的必要而不充分条件.故选：B.2．（2017·浙江东阳.高二期中）如果方程表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3a > B ．2a <- C ．3a >或2a <- D ．3a >或62a -<<-【答案】D 【解析】椭圆的焦点在x 轴上，260a a ∴>+>，解得3a >或62a -<<-，故选D.3．（2019·北京北师大实验中学高二期中）若方程2212y x m +=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．()3-∞，B ．()23，C ．()2+∞，D ．()3+∞， 【答案】D【解析】因为方程2212y x m +=-表示椭圆，故：20m ->，且21m -≠；又该椭圆的焦点在y 轴上，故只需21m ->，解得3m >.故选：D.【例2-2】（1）（2018·黑龙江哈尔滨三中高二期中（文））已知ABC ∆的顶点B ，C 在椭圆221169x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 上，则ABC ∆的周长是（ ）A ．8B ．C ．16D ．24（2）（2019·广西田阳高中））已知P 是椭圆221259x y +=上一点，12,F F 为椭圆的两焦点，且01260F PF ∠=，则12F PF ∆面积为（ ）A ．B ．CD 【答案】（1）C【解析】（1）ABC ∆的顶点B ，C 在椭圆221169x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC 上，由椭圆的定义可得：ABC ∆的周长是44416a =⨯=．故选：C ． （2）由椭圆的标准方程可得：a ＝5，b ＝3，∴c ＝4，设|PF 1|＝t 1，|PF 2|＝t 2，所以根据椭圆的定义可得：t 1+t 2＝10①， 在△F 1PF 2中，∠F 1PF 2＝60°，所以根据余弦定理可得：|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1||PF 2|cos60°＝|F 1F 2|2＝（2c ）2＝64， 整理可得：t 12+t 22﹣t 1t 2＝64，②把①两边平方得t 12+t 22+2t 1•t 2＝100，③ 所以③﹣②得t 1t 2＝12，∴121212F PF S t t sin =∠F 1PF 2＝A ．【一隅三反】1．（2019·黑龙江哈尔滨市第六中学校高二月考（文））已知点12,F F 分别是椭圆221259x y +=的左、右焦点,点P 在此椭圆上,则12PF F ∆的周长等于（ ） A ．20 B ．16 C ．18 D ．14【答案】C【解析】根据椭圆方程可知5,4a c ==，根据椭圆的定义可知，12PF F ∆的周长为2210818a c +=+=，故选C.2．（2018·湖南高二期中（理））已知E 、F 分别为椭圆x 225+y 29=1的左、右焦点，倾斜角为60∘的直线l 过点E ，且与椭圆交于A ，B 两点，则△FAB 的周长为( ) A ．10 B ．12 C ．16 D ．20【答案】D 【解析】椭圆x 225+y 29=1，可得a =5，三角形AF 2B 的周长=|AF 2|+|BF 2|+|AB|，|AB|=|AF 1|+|BF 1|， 所以：周长=|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|，由椭圆的第一定义，|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a =10，所以，周长=4a =20．故选：D ．3．已知P 是椭圆2214x y +=上的一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是______．【解析】∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，2FF =F 1PF 2＝60°， 由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos60° 12＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1|·|PF 2|－|PF 1|·|PF 2|，∴1243PF PF ⋅=，∴12121sin 6023PF F S PF PF ︒∆=⋅=.考点三 椭圆的标准方程【例3】（2020·四川内江,高二期末）分别求适合下列条件的方程： （1）焦点在x 轴上，长轴长为10，焦距为4的椭圆标准方程；（2）与椭圆22143x y +=具有相同的离心率且过点(2,的椭圆的标准方程（3）已知椭圆的两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫-⎪⎝⎭，则此椭圆的标准方程 【答案】（1）2212521x y +=；（2）22186x y+或221252534y x +=（3）221106x y +=【解析】（1）由已知条件可得21024a c =⎧⎨=⎩，可得52a c =⎧⎨=⎩，22221b ac ∴=-=，因此，所求椭圆的标准方程为2212521x y +=；（2）易知椭圆22143x y +=的离心率12e =．当所求椭圆的焦点在x 轴上时，可设椭圆的方程为22221x y a b+=，把点(2,代入方程，得22431a b+=． 又224a c =，解得28a =，26b=，所以所求椭圆的方程为22186x y +．当所求椭圆的焦点在y 轴上时，同理可设椭圆的方程为22221x y b a+=，把点(2,代入方程，得22431b a+=． 又224a c =，解得2253a =，2254b =，所以所求椭圆的方程为221252534y x +=．（2）因设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，因为点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，所以22222591444a a b b a b ⎧⎧=+=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩，所以椭圆的标准方程为221106x y +=．此椭圆的标准方程是22186x y +=或221252534y x +=.【一隅三反】1．（2019·全国高二课时练习）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点在y 轴上，焦距是4，且经过点M (3,2)；(2)c ∶a ＝5∶13，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.（3）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点()0,2A 和12B ⎛⎝ 【答案】(1)2211612x y += (2)221169144x y +=或221169144y x +=（3）2214y x +=【解析】(1)由焦距是4，可得c ＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0,2)．由椭圆的定义知，2a 8==，所以a ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝16－4＝12.又焦点在y 轴上，所以椭圆的标准方程为22x y 11612+=.(2)由题意知，2a ＝26，即a ＝13，又因为c ∶a ＝5∶13，所以c ＝5，所以b 2＝a 2－c 2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为22x y 1169144+=或22y x 1169144+=.（2）设椭圆的方程为221(0,0,)mx ny m n m n +=>>≠．将A ，B 两点坐标代入方程，得411314n m n =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得114m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，故所求椭圆的方程为2214y x +=． 考点四 离心率【例4】（1）（2020·武威第八中学高二期末（理））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为 。