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高数2复习题

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练习题1、 直线351221-=-+=-z y x 与平面0732=++-z y x 的位置关系是 。

2、 如果0Ax By Cz D +++=过x 轴，则 。

3、 已知(2,1,),(1,1,2)a m b ==-，则当m = 时，向量a b ⊥ 。

4、将xoy 坐标面上的曲线2231x y +=饶x 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程为5、求 02sin limx y x yx→→ （答 2） 6、求 22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ （答 ∞）7、证明 32242(,)()x y f x y x y =+在(,)(0,0)x y →时极限不存在8、已知二元函数),(y x z ψ=在点),(y x 处可微分，则在点),(y x 处不一定成立的是( ).(A) 函数在点),(y x 处连续 （B ）函数在点),(y x 处的极限存在 (C) 函数在点),(y x 处的两个偏导数yz x z ∂∂∂∂,存在 (D) 函数在点),(y x 处的偏导数连续 9、 曲面3ze z xy -+=在点( 2 , 1 , 0 )处的切平面方程是 . （答：x + 2y − 4 = 0）10、已知),(y x z z =由0=-xyz e z确定，试求22xz∂∂答 22222()zz z y z ex e xy ∂=∂-－ 11、设),(x y e f Z xy=，其中f 存在二阶连续偏导数，求yx z∂∂∂2。

答 2111222231(1)xyxy yxyef xy e f f f x x''''''++--12、函数(,)z z x y =由方程()()()0x x y z y x y z z x y z φϕω++++++++=所确定，其中,,φϕϖ有连续导数，求dz 。

13、设),(xyz z y x f w ++=，f 具有二阶连续偏导数，求x w ∂∂和zx w∂∂∂2.14、设函数),(y x f 有连续偏导数，且2)2,1(=-x f ， 1)2,1(-=-y f ，则函数),(y x f 在点)2,1(-M 处增加最快的方向是（ ）（A ） j -； （B ）j i -2； （C ） i 2； （D ）j i +2答 B15、求函数22y x u -=在（1，1）点沿{}3,4-=α方向的方向导数。

{}{}5143,4512,2)1,1(=-⋅-=∂∂l u 解：16、某公司通过电台及报纸两种形式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费用1x （万元）及报纸广告费用2x （万元）之间的关系为：221212121514328210R x x x x x x =++---（1） 在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；（2） 如果提供的广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。

17、设 {(,)|,}D x y a x a x y a =-≤≤≤≤ 1{(,)|0,},D x y x a x y a =≤≤≤≤ 则有(cos sin )()Dxy x y d xd y +=⎰⎰1()2cos sin ,D A x yd xd y ⎰⎰ 1()2,D B x y d x d y⎰⎰ 1()4(cos sin ),D C x y x y d xd y +⎰⎰ ()0,D18、交换二次积分⎰⎰⎰⎰+121212212),(),(yydx y x f dy dx y x f dy 的积分顺序为答 ⎰⎰211),(xxdy y x f dx19、 改换二次积分的积分次序=⎰⎰x edy y x f dx ln 01),(______________________20、设),(y x f 为连续函数，交换下列积分的积分次序，并写出该积分在极坐标系中先积r 后积ϑ的二次积分。

⎰⎰⎰⎰----+011101112),(),(xx dyy x f dx dy y x f dx解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=---θππθπθθsin 10434sin 204)1(11)sin ,cos ()sin ,cos (),(2rdrx r x r f d rdr x r x r f d dx y x f dy y y21、计算 ，22()(1)xy DI y xed xd y +=+⎰⎰其中D 由直线y x =，1y =-及1x =所围平面区域。

答 23-22、计算 2222()Dx y I d xd y a b =+⎰⎰，其中222:D x y R +≤. 答42211()2R a bπ+ 23、计算二重积分dxdy y x D)(+⎰⎰ ，其中D ：122≤+y x答4324、计算球面9222=++z y x 与旋转锥面2228z y x =+之间包含z 轴的部分的体积。

答 24π 25、计算2,I z dv Ω=⎰⎰⎰其中2222,x y z R Ω++≤由 2222x y z Rz ++≤及所围公共部分答 559480R π26、 设有向闭曲线L 从点A ( 1 , 0 )沿直线到点B ( 0 , 1 )，再沿圆弧221x y +=逆时针到点C （-1，0），然后沿直线回到点A ，则12Lydx xdy -+=⎰（答：124π+） 27、 ⎰-++-=Ly y dy x e x xdx e I )sin 1(cos 2其中L为半圆21y x -=从点)1,0(-A 到点)1,0(B 的一段弧。

28、 设Σ 为柱面221x y +=夹在平面z = 0与z = a (a > 0)部分的外侧，则xdydz ydzda zdxdy ∑++=⎰⎰（A ）a π （B ）2a π （C ）3a π （D ）4a π答 B29、求曲面积分⎰⎰-+++++Sdzdx z dydz z y dxdy z y x ,)1()2()32(2其中S 为三坐标面与平面1=++z y x 所围成的四面体的外侧 答1230、设空间Ω区域由曲面222y x a z --=和平面0=z 所围，∑为Ω的表面外侧，求：dxdy xyz z dzdx z xy dydz yz x )1(2222++-⎰⎰∑答 42a π31、计算dS z y x)cos cos cos (222γβα++⎰⎰∑。

其中∑为锥面222z y x =+介于0=z 到3=z 之间部分的下侧，γβαcos ,cos ,cos 为∑在点),,(z y x 处的法向量的方向余弦。

答 812π-32、设0a >是常数，级数312(1)ln(1)n n a n∞=-+∑ 的收敛性为 .（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）与a 有关 答 A33、下列说法正确的是( )(A).若∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都发散,则∑∞=+1)(n n n v u 发散；(B).若∑∞=1n n u 发散,则∑∞=11n nu 收敛； (C). 若∑∞=1n n u 收敛,则∑∞=11n nu 发散； (D).若∑∞=1n n u ,∑∞=1n n v 都发散,则∑∞=1)(n n n v u 发散； 答 C34、下列级数中，收敛的级数是( ).（A ）∑∞=1321n n (B)∑∞=-112n ne(C) ∑∞=+12)1(1n n n (D) nn ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛13535、已知级数∑∞=1n nu条件收敛，则级数∑∞=1n nu必是（ ）.（A ）收敛 (B)发散 (C)绝对收敛 (D) 有可能收敛，也有可能发散 36、若级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nV都发散，则（ ）A 、∑∞=+1)(n n nV u必发散； B 、n n n V u ∑∞=1发散；C 、∑+)(n nV u必发散； D 、以上说法都不对37、下列级数中条件收敛的是（ ）A 、∑∞=+-11)1(n nn n B 、∑∞=-11)1(n n n C 、∑∞=-121)1(n nn D 、∑∞=11n n38、确定幂级数211n n n x∞-=∑ 的收敛域并求该幂级数的和函数s (x )答 收敛域为(−1 , 1 ) 和函数为 31()(1)xs x x +=-39、求幂级数12)1(121+-+∞=∑n x n n n的收敛区间，并求其和函数。

答 收敛域为【−1 , 1 】 和函数为 ()arctan s x x x =-+40、求幂级数的 1212n nx n x a a a -++++ 的收敛区间及和函数 41、求幂级数n x n n ∑∞12!的收敛区间及和函数。

答案如下：xxxn n xn n nn n e x x S e x S xe x n x x n dx S xS x n nx x n n S R a a )1()1()!1(1)!1(1)!1(!),(0lim111101111121+=+==-=-==-==+∞-∞∞==∑∑⎰∑∑∞-∞∞-∞+∞→设　收敛区间＝解：ρ42、求幂级数nn x n n 21!12∑∞=+的收敛区间与和函数 答案如下：+∞=+++=∞→)!1(32!12limn n n n R n ，收敛区间为),(+∞-∞()()1)12(1!)(!!12222''12'11212-+=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+∑∑∑∞=∞=+∞=x x n nn n n n e x e x n x x n x x n n43、求级数∑∞=+11n nxn n在其收敛域1<x 中的和函数。

答案如下：x S =∑∞=+11n n x n n =∑∞=+-1)111(n n x n=-∑∞=1n nx ∑∞=--=+111n n x x n x ∑∞=+11n nn x 令=)(1x S ∑∞=++011n n nx ，x x x x S n n -=='∑∞=1)(11∴ =)(1x S )ln(x x ---，则∑∞=+11n n n x =x x n x x n n sin 11111=+∑∞=+ ∴ )(x S =)1ln(111x xx -+-44、若)(x f 在],[ππ-上满足狄里赫条件，则∑∞=++10)sin cos (2n n n nx b nx a a=⎪⎩⎪⎨⎧±=πx x f x x ___,__________)(___,_____________,__________的间断点为为连续点。

答案：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-++--++2)0()0(2)0()0()(ππf f x f x f x f45、设)(x f 是以π2为周期的周期函数，在[]ππ,-上的表达式为⎩⎨⎧≤≤<≤-=ππx x x f 0,40,2)(，则在0=x 处)(x f 的傅里叶级数收敛于。

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高数复习2

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第八章、⎩⎨⎧=-++-=-+-.022********z y x z y x 解2：过点，，且与平面平行的平面的方程为 (104),341003(1)4(0)(4)0x y z x y z --+-=+--+-=3410x y z -+-=即 ①11331122x t x y zy tz t ìï=-+ïï+-ï===+íïïï=ïïî直线的参数方程为16t =代入到①式，得13112x y z+-==直线与平面①的交点为(15,19,32)1-4161928x y z +==所求直线方程为,01043=-+-z yx 21311zy x =-=+2、求过直,422152-=+=-z y x 且与平面0134=+-+z y x垂直的平面方程..7S R Q P ABCD 、、、各边的中点依次为、设空间四边形;1:是平行四边形）四边形（证明PQRS .)2(角线的长度之和两对的周长等于四边形四边形ABCD PQRS ,如图所示为两条对角线，、中，证明：设四边形BD AC ABCD第九章.|)2,2,1()ln(1222M gardu M z y x u 的梯度处在点、求函数-++=k zu j y u i x u gardu∂∂+∂∂+∂∂=,2222zy x x x u ++=∂∂,2222zy x y y u ++=∂∂,2222z y x z zu ++=∂∂.94,94,92|⎪⎭⎫⎝⎛-=M gardu .,cos ,sin ,3dtdzt y t x x z y求且、设===dtdy y z dt dx x z dt dz ∂∂+∂∂=)sin (ln cos 1t x x t yx y y -+=-xt x t yx y y ln sin cos 1-=-.sin ln )(sin cos )(sin 1cos 21cos t t t t t t +--=.11lim42不存在、证明极限yxxyx x+∞→∞→⎪⎭⎫⎝⎛+.,),(+∞→+∞→>=yxkkxy时则当取kxxxxyxxkxyx xx++∞→+=+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+2211lim11limkxx x++∞→⎪⎭⎫⎝⎛+=111lim kxx x++∞→⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+=1111lim ke+=11同，取值不同，极限值也不显然当k不存在yxxkxyx x+=+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+∴211lim.,5sin dzez xy求、设=)()cos(sin xdyydxexydz xy+=.1128lim60-+→→xyxyyx、求()()()1121121128lim1128lim0++-+++=-+→→→→xyxyxyxyxyxyyxyx()xyxyxyyx21128lim++=→→()1124lim++=→→xyyx8.=.,,sin,7dxdzevxuuvz x求且、设===dxdvvzdxduuzdxdz⋅∂∂+⋅∂∂=xeuxv⋅+⋅=cosxx xexe sincos+=).sin(cos xxe x+=满足拉普拉斯方程、证明函数22218zyxu++=.0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuyuxu()23222zyxxxu++-=∂∂()23222zyxyyu++-=∂∂()23222zyxxzu++-=∂∂()()252222232222231zyxxzyxxu+++++-=∂∂()()252222232222231zyxyzyxyu+++++-=∂∂()()252222232222231zyxzzyxzu+++++-=∂∂.0222=∂∂+∂∂+∂∂∴zuyuxu才能使所用材料最少？计的长方体盒子，如何设、造一个容积为V9.,,xyVyx则其高为宽为设长方体盒子的长为为此盒子所用材料的面积⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅+=xyVxxyVyxyA2⎪⎭⎫⎝⎛++=yVxVxyA2)0,0(>>yx2=⎪⎭⎫⎝⎛-='xVyA x022=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-='yVxA y33,VyVx==().,33333方体盒子所用材料最少时，长，高为，宽为可断定当盒子的长为，因此唯一的驻点一定存在，又函数只有小值盒子所用材料面积的最根据题意可知，长方体VVVVV1.设,yxz=而,cos ,sin t y t x ==求.dt dz2.设 而 求3.求函数()5232,22+--=y x xy y x f 的极值。

高数(二)期末复习题库

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∫L xdy − 2 ydx = (
B
).
( D ) 4. xdy − ydx 2 2 2. 判断：若 L为正向单位圆周 x + y = 1, 则∫ = 2π .( ) 2 2 L x + y 3. 计算曲线积分 I = ∫ ( 2 xy − x 2 )dx + ( x + y 2 )dy , 其中L是由
2. 设f ( x )是周期为2π的周期函数，且
⎧ 0 , − π ≤ x < 0, 当x = π 时，它的傅里叶级数 f ( x) = ⎨ ⎩ x , 0 ≤ x < π.
收敛于：
π
2
第一型曲线积分
第10章 线面积分
⎧ x = ϕ ( t ), 1. 设f ( x , y )在曲线弧 L上连续， L的参数方程为 ⎨ ⎩ y = ψ ( t ), (α ≤ t ≤ β ), 其中ϕ ( t ),ψ ( t )在[α , β ]上具有一阶连续导数， 且ϕ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) ≠ 0，则曲线积分 ∫ f ( x , y )ds =
∞ n =1
( B ) 若交错级数 ∑ ( −1)n un收敛，则必为条件收敛 ； (C ) 当 lim un = 0时，级数 ∑ un一定收敛;
n→ ∞ n =1 ∞
( D ) 若对级数 ∑ un的项任意加括号后所成 的新级数发散，
n =1
∞
则原级数一定发散 .
级数敛散性的判别
5. 下列命题正确的是 ( B )
L
( A) 1； ( B ) 3 ；
(C ) 2 ；
√
抛物线 y = x 2和x = y 2所围成的区域 D正向边界曲线 .
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)

高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)

x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。

高数2试题及答案.(DOC)

高数2试题及答案.(DOC)

模拟试卷一―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。

（本卷考试时间100分）一、单项选择题（每题3分，共24分）1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线111231:-+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上（C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1123lim0xy xy y x （ ）（A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ∂∂∂2及xy z∂∂∂2在区域D 内连续是这两个二阶混合偏导数在D 内相等的（ ）条件.（A ）必要条件 （B ）充分条件（C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设⎰⎰≤+=ay x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ）（A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知()()2y x ydydx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ）（A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）16、曲线积分=++⎰L z y x ds222（ ），其中.110:222⎩⎨⎧==++z z y x L（A ）5π（B ）52π （C ）53π （D ）54π7、数项级数∑∞=1n na发散，则级数∑∞=1n nka（k 为常数）（ ）（A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散（C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ）（A ）21C x C y += （B ）C x y +=2（C ）221C x C y += （D ）C x y +=221 二、填空题（每空4分，共20分）1、设xyez sin =，则=dz 。

2、交换积分次序：⎰⎰-222xy dy e dx = 。