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《2.1.1 合情推理》PPT课件(安徽省市级优课)

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苏教版选修1-2高中数学2.1.1《合情推理》ppt课件

苏教版选修1-2高中数学2.1.1《合情推理》ppt课件

(1)在圆内画5条线段，彼此最多分割成多少条线段？将 圆最多分割成多少部分？
(2)猜想：在圆内画n(n≥2)条线段，彼此最多分割成多少 条线段？将圆最多分割成多少部分？
本题考查平面几何中的归纳、推理、猜想以 及递推关系的处理方法．
由已知图形 【解题流程】 添一条线的段 → 求出f5、g5
归纳推理又称归纳法，根据对象是否完备，归纳法可 分完全归纳法和不完全归纳法．完全归纳法是对所有 的个体都考察完归纳出一般性的结论，其结论是可靠 的，正确的．由不完全法归纳的结论并不一定正确．
(1)归纳推理是由几个已知的特殊情况归纳出一般性 的结论，该结论超越了前提所包含的范围．
(2)归纳出的结论具有猜测性质，是否属实，还需逻辑证 明和实践检验，即结论不一定可靠．
从结构上说，推理一般由两部分组成，一部分是推理
所依据的命题叫做
；一部分是根据前提推理
得的命题，前叫提
做 结论 ．
2．合情推理
合情推理的主要形式有归纳 类比和 ．
3．归纳推理 归纳推理是从个别 事实中推演出一般性 的结论的一种 推理模式．
试一试：用归纳推理的一般步骤是什么？ 提示
4．类比推理
根据两个(或两类)对象之间在某些相方似面或相同 ， 推 演
确切地表述出来，不能简单套用．
[正解] S0＝
S1＋ 2
S22

在进行类比推理时要尽量从本质上类比，不能抓住一点
表面的相似性甚至是假象就去类比，否则就会犯机械类比的错误．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
出它们在其他方面也

2.1.1.1合情推理(优质课)

2.1.1.1合情推理(优质课)

陈氏定理 (Chen‘s Theorem)
任何充分大的偶数都是一 个质数与一个自然数之和， 而后者仅仅是两个质数的乘
积, 简称为 “1 + 2 ” 。
归哥纳德巴推赫理猜想的的过过程程：：
具体的材料 观察分析
猜想出一般性的结论
由某类事物的部分对象具有某些特征, 推出该类事物的全部对象都具有这些特征 的推理,或者由个别事实概括出 一般结论 的推理,称为归纳推理(简称归纳).
2.1.1合情推理
推理与证明
推理 证明
合情推理
演绎推理 直接证明 间接证明
已知的判断
确定
新的判断
根据一个或几个已知的判断来确定一个 新的判断的思维过程就叫推理.
数学皇冠上璀璨的明珠——哥德巴赫猜想
3＋7＝10 3＋17＝20 13＋17＝30
10＝ 3＋7 20＝ 3＋17 30＝ 13＋17
连接线条数被分为奇点、偶点。只有所有点为偶点的图形 和只有两个奇点的图形可以一笔画。只有偶点的图形不
限出发点，只有两个奇点必然从其中一点出发到另一点结束。 在任何图形中，奇点都是成对出现的，没有奇数个奇点的图 形。 ■⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以 把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。 ■⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以 一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点。 ■⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出 此图需几笔画成。)
Euler把南北两岸和两个岛抽象成四个点,将连接这 些陆地的桥用连接相应两点的一条线来表示，这样哥 尼斯堡的七桥就转化为如下一个简图：
N
问题转化为：左图
A
B 中是否存在通过每

2.1.1合情推理

2.1.1合情推理

9
9
A.28
B.32
3
9
C.11
D.48
第28页
答案 B
第29页
2．如图为一串白黑相间排列的珠子，按这种规律排列，那 么第2 016颗珠子应是什么颜色( )
A．白色 C．白色可能性大
B．黑色 D．黑色可能性大
第30页
答案 A
第31页
3．古希腊人常用小石子在沙摊上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过上图(1)中的 1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，
第24页
思考题3
观察下列式子：1＋212<32，1＋212＋312<53，1＋
1 22
＋312＋412<74，…，则可归纳出：________．
第25页
【答案】 (1)1＋212＋312＋412＋…＋n12<2n－n 1
第26页
课后巩固
第27页
1．数列12，35，151，270，…中的第五项为( )
第5页
第6页
第7页
第8页
第9页
第10页
题型一 归纳推理在数列中的应用 例1 (1)已知数列{an}，满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n＝1， 2，3，…)． ①求a2，a3，a4，a5； ②归纳猜想通项公式an.
第11页
【解析】 ①当n＝1时，知a1＝1， 由an＋1＝2an＋1，得a2＝3， a3＝7，a4＝15，a5＝31. ②由a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1， a3＝7＝23－1，a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1. 可归纳猜想出an＝2n－1(n∈N*)．
第14页
思考题1
(1)若将本例中的an＋1＝2an＋1改为an＋1＝

《2.1.1合情推理(2)》课件2-优质公开课-人教A版选修2-2精品

《2.1.1合情推理(2)》课件2-优质公开课-人教A版选修2-2精品

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第二章 2.1 2.1.1 第二课时
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
【分析】 等差数列{an}中a10＝0 → a1＋a19＝a2＋a18＝…＝an＋1＋a19－n＝0 → a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n 类比 ――→ 等比数列{bn}中b9＝1 → b1b17＝b2b16＝…＝bn＋1b17－n＝1 → 新结论
2．常见的可以进行类比的知识点 ①平面几何与立体几何能进行类比的基本元素有：
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第二章 2.1 2.1.1 第二课时
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
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第二章 2.1 2.1.1 第二课时
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
②实数相等关系与不等关系：方程与不等式． ③实数的运算律与向量的运算律． ④等差数列与等比数列的定义及性质． ⑤三种圆锥曲线的定义与性质． ⑥正弦函数、余弦函数的性质． ⑦不同类知识点之间的相似性质和结论．
∴13＋23＋…＋n3＝14[(n＋1)4－14－6×16n(n＋1)·
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第二章 2.1 2.1.1 第二课时
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
(2n＋1)－4×nn＋2 1－n]＝14n2(n＋1)2.
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第二章 2.1 2.1.1 第二课时
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
探究3 (1)解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类
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第二章 2.1 2.1.1 第二课时
新课标A版 ·数学 ·选修2-2
【解析】 在等差数列{an}中，由a10＝0，得a1＋a19＝ a2＋a18＝…＝an＋a20－n＝an＋1＋a19－n＝2a10＝0. 所以a1＋a2＋…＋an＋…＋a19＝0， 即a1＋a2＋…＋an＝－a19－a18－…－an＋1. 又∵a1＝－a19，a2＝－a18，…，a19－n＝－an＋1， ∴a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n. 若a9＝0，同理可得

2.1.1 合情推理

2.1.1 合情推理

第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
2 |归纳推理 1.定义:由某类事物的④ 部分对象 具有某些特征,推出该类事物的 ⑤ 全部对象 都具有这些特征的推理,或者由⑥ 个别事实 概括出 一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 2.特征:归纳推理是由⑦ 部分到整体 、由⑧ 个别到一般 的推理.
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理 特别提醒 经过归纳推理、猜想得出的结论不一定正确,例如:由an=(n2-5n+5)2得到a1=a2=a3= a4=1,由此猜想an=1是错误的,事实上,a5=25.
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
(★★☆)(1)发现问题 如图①,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同一直线上,连结BE.求 ∠AEB的度数及线段AD、BE之间满足的数量关系.
图①
图②
(2)拓展探究
如图②,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在
同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE.求∠AEB的度数及线段CM、
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
2 |类比推理 类比推理的特点 (1)类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,它以 旧的认识为基础,类比出新的结果; (2)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性; (3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它具有发现的功能.
第1讲 描述运动第的基二本章概念 推理与证明
1 |归纳推理 归纳推理的四个特点 (1)前提:几个已知的特殊现象. (2)结论:归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包括的范围, 具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,归纳推理的结 论不能作为数学证明的工具. (3)步骤:先搜集一定的事实资料,有了个别的、特殊性的事实作为前提,然后才能进 行归纳推理,因此归纳推理要在观察和试验的基础上进行. (4)作用:归纳推理是具有创造性的推理,通过归纳推理能够发现新事实,获得新结 论,归纳推理是科学发现的重要手段.

《2.1.1合情推理》课件2-优质公开课-人教B版选修1-2精品

《2.1.1合情推理》课件2-优质公开课-人教B版选修1-2精品

1 [解析] 不等式的左边是i2的前 n＋1 项和，右边的分母是 1 1 1 2 ，分子是 2n ＋ 1 ，故一般性的结论是 1 ＋ 22 ＋ 32 ＋ „ ＋ n2 ＋
n
2n＋1 1 * < ( n ∈ N )． n 2 2 n＋1
• 类比推理
• 思维导航 • 在学习数列一章时，我们由等差数列{an}具 有性质：“已知n、m↔N*，若n＋m＝2p， 则an＋am＝2ap”，作出猜想：“对于等比数 列{an}，若n、m↔N*，n＋m＝2p，则am· an ＝a”，这种猜想方法是否具有一般性？这样 猜想出的结论是否一定是正确的？它在数学 发现中具有什么作用？
5．观察下列等式
1＝ 1 2＋ 3＋ 4＝ 9 3＋4＋5＋6＋7＝25 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49 „„ 照此规律，第五个等式应为________． [答案] 5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝81
• • • • •
[解析] 第1个等式有1项，从1开始； 第2个等式有3项，从2开始； 第3个等式有5项，从3开始； 第4个等式有7项，从4开始． 每个等式左边都是相邻自然数的和，右边是 项数的平方，故由已知4个等式的变化规律可 知，第5个等式有9项，从5开始，等式右边是 92，故为5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝ 81.
• 新知导学 • 3．类比推理 某些类似特征 • 由两类对象具有____________________ 和其 某些已知特征 ，推出另一类 中一类对象的______________ 对象也具有__________ 这些特征 的推理称为类比推理 (简称类比)．简言之，类比推理是由 特殊到特殊 ____________ 的推理．
• 4．合情推理 • 归纳推理和类比推理都是根据 已有的事实 __________________ ，经过 观察、分析、比较、联想 __________________________ ，再进行 猜想 、_______ 归纳 ，然后提出_______ ______ 类比的推 理．我们把它们称为合情推理．通俗地说， 合情推理是指“合乎情理”的推理．

高中数学 2.1.1合情推理-类比推理课件 新人教A版选修1-2


例1、利用等差数列性质类比等比数列性质
等差数列
等比数列
定义 anan1d（ n2) an:an1q（ n2)
ana1(n1)d
通项公式
anam(nm )d
an a1qn1 an amqnm
前n项和
Sn
n(a1 an ) 2 n(n
na1 2
1)
d
Sn
na1
a1(1 q
1q
n
(q 1) ) (q 1)
探索新知 火星上是否有生命？
我国古代工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫 的牙齿,发明了锯；人们仿照鱼类的外型和它
们在水中沉浮的原理,发明了潜水艇.
仿生学中许多发明的最初构想
都是类比生物机制得到的.
苍蝇的楫翅（又叫平衡棒）是“天然导航仪”， 人们模仿它制成了“振动陀螺仪”.这种仪器目前已 经应用在火箭和高速飞机上，实现了自动驾驶。
圆的周长 S=2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的表面积 S=4πR2
球的体积 V = 4 π R 3
3
球心与截面(不过球心的圆面) 的圆心的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。
合情推理的应用
数学研究中，得到一个新结论之前，合 情推理常常能帮助我们猜测和发现结论.
证明一个数学结论之前，合情推理常常 能为我们提供证明的思路和方向.
(2005年全国)计算机中常用的十六进位制是逢16进 1的计算制，采用数字0-9和字母A-F共16个计数符 号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表；

高中数学第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理课件新人教A版选修2_2


x (2)已知 f(x)＝ ，设 f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n＞1， 1－x 且 n∈N*)，则 f3(x)的表达式为________，猜想 fn(x)(n∈N*)的表 达式为________．
[解析]
(1)利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝3
2．1.1
合情推理
预习课本 P70～77，思考并完成下列问题
(1)归纳推理的含义是什么？有怎样的特征？
(2)类比推理的含义是什么？有怎样的特征？
(3)合情推理的含义是什么？
[新知初探]
1．归纳推理和类比推理
[点睛]
(1)归纳推理与类比推理的共同点：都从具体事
实出发，推断猜想新的结论． (2)归纳推理的前提和结论之间的联系不是必然的，结论 不一定正确；而类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠，因 此不一定正确．
2．合情推理
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，这种 估计属于归纳推理． (2)类比推理得到的结论可以作为定理应用． (3)由个别到一般的推理为归纳推理． (√ ) ( ×) ( √ )
2．由“若 a＞b，则 a＋c＞b＋c”得到“若 a＞b，则 ac＞bc”采 用的是 A．归纳推理 C．类比推理
[活学活用]
1．观察下列等式：
sin sin sin sin
π－2 2π－2 4 sin 3 ＋ 3 ＝3×1×2； π－2 2π－2 3π－2 4π－2 4 ＋sin ＋sin ＋sin ＝ ×2×3； 5 5 5 5 3
1．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：
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答：C60分子中有90条棱．
应用归纳推理可以 发现新事实,获得新结论!
“世界末日”的传说．
在印度北部的一个佛教的圣庙里，桌上的黄铜板上，放 着三根宝石针，据说印度教的主神梵天在创造世界时，在 其中的一根针上，自上而下由小到大放了六十四片金 片．每天二十四小时内，都有僧侣值班，按照以下的规律， 不停地把这些金片在三根宝石针上移来移去：每次只准移 动一片，且不论在那根针上“，较小的金片只能放在较大的 金片上．当所有六十四片金片都从梵天创造世界时所放的 那根针上移到另一根针上时，世界的末日就要到临．
（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
（2）剔除不带有规律性的结论，即猜想； （3）检验猜想。
归纳推理所得的结论仅是一种猜想，未必可靠，还 需证明 例如，法国数学家费马观察到
221 1 5, 222 1 17, 223 1 257, 224 1 65537
都是质数，于是他用归纳推理提出猜想：任何形如
可以根据已知的递推公式，算出数列的前几项， 然后归纳猜想它的通项公式。
an
1 n
.
在例1和例2中，我们通过归纳得到了两个 猜想。虽然它们是否正确还有待严格的证明， 但猜想可以为我们的研究提供一种方向。
应用示例：
例3、 1996年的诺贝尔化学奖授予 对发现C60有重大贡献的三位科学 家．C60是有60 个C原子组成的分子， 它结构为简单多面体形状．这个多面 体有60个顶点，各面的形状只有五边 形或六边形两种．其中五边形和六边 形的面各有12个和20个．
由此猜想，n为任何正整数时 f(n)=n2+n+41都是质数
n=40呢？
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般 性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).
简而言之，归纳推理是由部分到 整体、由个别到一般的推理。
归纳推理的一般步骤
顶点数V
4 5 6 8
面数F
4 5 5 6
棱数E
6 8 9 12
应用示例：
欧拉公式
在一个凸多面体中，试通归纳猜想其顶点数、
面∴从数这、些棱事数实满中足，的可关以系归。纳出：V+F-E=2
多面体 顶点数V
三棱锥 4 四棱锥 5 三棱柱 6 四棱柱 8 正八面体 6
面数F
4 5 5 6 8
棱数E
6 8 9 12 12
22n 1(n N*) 的数都是质数。
——这就是著名的费马猜想。 半个世纪之后，善于计算的欧拉发现，第5个费马数
F5 225 1 4294967297 641 6700417
不是质数，从而推翻了费马的猜想。
观察下列等式
10=3+7 ，
20=3+17，
30=13+17. 归纳出一个规律：
偶数=奇质数+奇质数
应用示例：
学以致用： 1996年的诺贝尔化学奖授 予对发现C60有重大贡献的三位科学 家．C60是有60 个C原子组成的分子， 它结构为简单多面体形状．这个多面体 有60个顶点，各面的形状只为五边形或 六边形两种．其中五边形和六边形的面 各有12个和20个．
计算C60分子中有多少条棱？
解： 由题意有顶点数V=60，面数 F=12+20，由V+F-E=2 解得E=90
在数学中，证明的过程更离不开推理。
生活中我们会遇到这样的情形： 看见柳树发芽，冰雪融化。。。。。。。 看见乌云密布，燕子低飞。。。。。。。 看见花儿凋谢，树叶变黄。。。。。。。 根据以上事实，你能得到怎样的推理？
2、数学猜想
数学中有各种各样的猜想，如：歌德巴 赫猜想、费马猜想、地图的“四色猜想”、 歌尼斯堡七桥猜想等等。
这虽是一个传说，但却引起人们的重视，大家都想知 道僧侣移动完毕这六十四片金片需要多少时间．也就是说， 人类在这个世界上还可以生存多少时间．让我们来算算 看．
多面体 三棱锥 四棱锥
顶点数V
4ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5
面数F
4 5
棱数E
6 8
应用示例：
在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶 点数、棱数、面数满足的关系。
多面体 三棱锥 四棱锥 三棱柱
顶点数V
4 5 6
面数F
4 5 5
棱数E
6 8 9
应用示例：
在一个凸多面体中，试通归纳猜想其顶点数、 棱数、面数满足的关系。
多面体 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱
计算C60分子中有多少条棱？
应用示例：
以退为进： 在一个凸多面体中，试通过归纳
猜想其顶点数V、棱数E、面数F满足的关系。
应用示例：
以退为进： 在一个凸多面体中，试通过归
纳猜想其顶点数、棱数、面数满足的关系。
多面体 顶点数V 面数F 棱数E
三棱锥 4
4
6
应用示例：
在一个凸多面体中，试通过归纳猜想其顶点数、 棱数、面数满足的关系。
高中数学
2.1 合情推理与演绎推理 2.1.1合情推理
1、什么是推理
推理是人们思维活动的过程，是根据一个 或几个已知的判断来确定一个新的判断的思 维过程。
在日常生活中，人们常常需要进行这样那样的推理。
例如:
医生诊断病人的病症，
警察侦破案件，
气象专家预测天气的可能状态，
考古学家推断遗址的年代，
数学家论证命题的真伪等等。
1+3=4=22， 1+3+5=9=32， 1+3+5+7=16=42， 1+3+5+7+9=25=52，
……
由上述具体事实能提出怎样的 结论？
可以猜想：前n (n N *) 个连续奇数的和等于n的平方，
即 1 3 (2n 1) n2.
例(n2已1,知2,数列)，{a试n}归的纳第出1项这a个1=数1，列且的a通n 1项公1 式ana。n
通过更多特例的检验, 从6开始,没有出现反例.
大胆猜想:
任何一个不小于6 的偶数都等于两个 奇质数的和.
2n p1 p2 (n N , n 3)
陈氏定理
2n p1 p2 p3
应用归纳推理可以发现新事实，获得新结论， 下面是一个数学中的例子。
例1 观察图2.1-1，可以发现：
1 23456 7
设f(n)=n2+n+41,观察下列数据， 你能猜到什么结论？
f (1) 12 1 41 43 f (2) 22 2 41 47 f (3) 32 3 41 53 f (4) 42 4 41 61
f (5) 52 5 41 71 f (6) 62 6 41 83 f (7) 72 7 41 97 f (8) 82 8 41 113