§2.4 等比数列(一) 课时目标1．理解等比数列的定义，能够利用定义判断一个数列是否为等比数列．2．掌握等比数列的通项公式并能简单应用．3．掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决有关问题．1．如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(q ≠0)．2．等比数列的通项公式：a n ＝a 1q n －1. 3．等比中项的定义如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，且G ＝±ab .一、选择题1．在等比数列{a n }中，a n >0，且a 2＝1－a 1，a 4＝9－a 3，则a 4＋a 5的值为( )A ．16B ．27C ．36D ．81答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243答案 A解析 ∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1·26＝64.3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8等于( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2，∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2－2q －1＝0，∴q ＝1± 2.∵a n >0，∴q >0，q ＝1＋ 2.∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 4．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.5．一个数分别加上20,50,100后得到的三个数成等比数列，其公比为( )A.53B.43C.32D.12答案 A解析 设这个数为x ，则(50＋x )2＝(20＋x )·(100＋x )，解得x ＝25，∴这三个数45,75,125，公比q 为7545＝53.6．若正项等比数列{a n }的公比q ≠1，且a 3，a 5，a 6成等差数列，则a 3＋a 5a 4＋a 6等于() A.5－12 B.5＋12C.12 D ．不确定答案 A解析 a 3＋a 6＝2a 5，∴a 1q 2＋a 1q 5＝2a 1q 4，∴q 3－2q 2＋1＝0，∴(q －1)(q 2－q －1)＝0 (q ≠1)，∴q 2－q －1＝0，∴q ＝5＋12 (q ＝1－52<0舍)∴a 3＋a 5a 4＋a 6＝1q ＝5－12.二、填空题7．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝________. 答案 4·(32)n －1解析 由已知(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，得a ＝5，则a 1＝4，q ＝64＝32，∴a n ＝4·(32)n －1.8．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则 a 6＋a 7＝________.答案 18解析 由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3. ∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝(12＋32)×32＝18.9．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 答案 5解析 设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4， 得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5. 10．一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是________． 答案 5－12解析 设三边为a ，aq ，aq 2 (q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝1q 2＝5－12.三、解答题11．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式．解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q ，a 4＝a 3q ＝2q ，∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n .当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3.综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 12．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13(a n －1)－13(a n －1－1)，得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12， 所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列． 能力提升13．设{a n }是公比为q 的等比数列，|q |>1，令b n ＝a n ＋1(n ＝1,2，…)，若数列{b n }有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q ＝________.答案 －9解析 由题意知等比数列{a n }有连续四项在集合{－54，－24，18,36,81}中，由等比数列的定义知，四项是两个正数、两个负数，故－24,36，－54,81，符合题意，则q ＝－32，∴6q ＝－9.14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求a n 的表达式．(1)证明 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2. ∴{a n ＋1}是等比数列，公比为2，首项为2.(2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项a 1＋1＝2.∴a n＋1＝(a1＋1)·2n－1＝2n. ∴a n＝2n－1.。
第二章 2.4 等比数列第二课时 等比数列的性质课时分层训练‖层级一‖|学业水平达标|1．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 2a 6＝9a 4，a 2＝1，则a 1的值为( )A ．3B ．－3C ．－13D ．13解析：选D 数列{a n }是公比为正数的等比数列，设公比为q (q >0)，则a 2a 6＝a 24，∴a 24＝9a 4，∴a 4＝9，∴q 2＝a 4a 2＝9， ∴q ＝3，∴a 1＝a 2q ＝13.故选D.2．将公比为q 的等比数列{a n }依次取相邻两项的乘积组成新的数列a 1a 2，a 2a 3，a 3a 4，…，此数列是( )A ．公比为q 的等比数列B ．公比为q 2的等比数列C ．公比为q 3的等比数列D ．不一定是等比数列解析：选B 设新数列为{b n }，则{b n }的通项公式为b n ＝a n a n ＋1.所以a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n＝q 2，故数列{b n }是公比为q 2的等比数列．故选B. 3．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：选B 设等比数列公比为q ，则a 1＋a 1q 2＋a 1q 4＝21，又因为a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝42，故选B.4．在等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7.若数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( )A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选C 在等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4.在等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.5．已知数列{a n }为等比数列，其中a 5，a 9为方程x 2＋2 018x ＋9＝0的两根，则a 7的值为( )A ．－3B ．3C ．±3D ．9解析：选A ∵数列{a n }为等比数列，其中a 5，a 9为方程x 2＋2 018x ＋9＝0的两根，∴a 5＋a 9＝－2 018，a 5a 9＝9，∴a 5<0，a 9<0，则a 7＝－a 5a 9＝－3.故选A.6．在等比数列{a n }中，存在正整数m ，有a m ＝3，a m ＋5＝24，则a m ＋15＝ .解析：由题意知q 5＝a m ＋5a m＝8，则a m ＋15＝a m q 15＝3×83＝1 536. 答案：1 5367．在2和8之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则中间三个数的积等于 ．解析：令a 1＝2>0，a 5＝8>0，∴a 3＝a 1a 5＝4.又a 1a 5＝a 2a 4＝a 23，∴a 2a 3a 4＝a 33＝43＝64.答案：648．三个数a ，b ，c 成等比数列，公比q ＝3，又a ，b ＋8，c 成等差数列，则这三个数依次为 ．解析：∵a ，b ，c 成等比数列，公比是q ＝3，∴b ＝3a ，c ＝9a .又由等差中项公式有2(b ＋8)＝a ＋c .∴2(3a ＋8)＝a ＋9a ，∴a ＝4.∴b ＝12，c ＝36.答案：4,12,369．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25，∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36，同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ()a 3－a 52＝36，()a 3＋a 52＝100.即⎩⎨⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10. 解得⎩⎨⎧ a 3＝2，a 5＝8或⎩⎨⎧ a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n －2或a n ＝26－n .10．某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值．(1)用一个式子表示n (n ∈N ＋)年后这辆车的价值；(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a 1，a 2，a 3，…，a n . 由题意，得a 1＝13.5，a 2＝13.5(1－10%)，a 3＝13.5(1－10%)2，….由等比数列定义，知数列{a n }是等比数列，首项a 1＝13.5，公比q ＝(1－10%)＝0.9，∴a n ＝a 1q n －1＝13.5×0.9n －1.∴n 年后车的价值为a n ＋1＝13.5×0.9n (万元)．(2)由(1)，得a 5＝a 1q 4＝13.5×0.94≈8.9(万元)，∴用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到8.9万元．‖层级二‖|应试能力达标|1．已知2a＝3,2b＝6,2c＝12，则a，b，c()A．成等差数列不成等比数列B．成等比数列不成等差数列C．成等差数列又成等比数列D．既不成等差数列又不成等比数列解析：选A解法一：a＝log23，b＝log26＝log23＋1，c＝log212＝log23＋2.∴b－a＝c－b.即2b＝a＋c.解法二：∵2a·2c＝36＝(2b)2，∴a＋c＝2b，故选A.2．已知各项均不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8等于()A．2 B．4C．8 D．16解析：选D因为{a n}为等差数列，所以a3＋a11＝2a7，所以已知等式可化为4a7－a27＝0，解得a7＝4或a7＝0(舍去)．又{b n}为等比数列，所以b6b8＝b27＝a27＝16.故选D.3．(2018·辽宁五校联考)已知数列{a n}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为()A．10 B．20C．100 D．200解析：选C a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a24＋2a4a6＋a26＝(a4＋a6)2＝102＝100.故选C.4．已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q，则q的一个可能的值是()A.52B．12C．2 D．3 2解析：选D由题意可设三角形的三边分别为aq，a，aq，(a，q>0)因为三角形两边之和大于第三边，所以有aq ＋a>aq，即q2－q－1<0，解得0<q<1＋52，同理可得q>5－12，故5－12<q<1＋52，所以q的一个可能值是32，故选D.5．在等比数列{a n}中，若a n>0，a1a100＝100，则lg a1＋lg a2＋lg a3＋…＋lg a100＝.解析：∵在等比数列{a n}中，a1a100＝a2a99＝a3a98＝…＝a50a51，∴lg a1＋lg a2＋…＋lg a100＝lg(a1a2…a100)＝lg(a1a100)50＝50lg 100＝100.答案：1006．已知正项等差数列{a n}满足：a n＋1＋a n－1＝a2n(n≥2)，等比数列{b n}满足：b n＋1b n－1＝2b n(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝.解析：由题意可知，a n＋1＋a n－1＝2a n＝a2n，解得a n＝2(n≥2)(由于数列{a n}每项都是正数，故a n＝0舍去)．又因为b n＋1b n－1＝b2n＝2b n(n≥2)，所以b n＝2(n≥2)，所以log2(a2＋b2)＝log24＝2.答案：27．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，再以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝a210＝22×29＝211＝2 048.答案：2 0488．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列a b 1，a b 2，…，a b n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4d a 1＝3， 所以a b n ＝a 13n －1，① 又a bn ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，② 由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1.因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.。
一、基础过关1．在等比数列{a n}中，a4＝4，则a2·a6等于() A．4 B．8 C．16 D．32答案 C解析由于a24＝a2·a6，所以a2·a6＝16.2．在等比数列{a n}中，a n>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，则a4＋a5的值为() A．16 B．27 C．36 D．81答案 B解析 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，∴q 2＝9.∴q ＝3(q ＝－3舍去)，∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27.3． 等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24B ．0C ．12D ．24 答案 A解析 由x,3x ＋3,6x ＋6成等比数列得，(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)．解得x 1＝－3或x 2＝－1(不合题意，舍去)．故数列的第四项为－24.4． 如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( ) A ．b ＝3，ac ＝9B ．b ＝－3，ac ＝9C ．b ＝3，ac ＝－9D ．b ＝－3，ac ＝－9 答案 B解析 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号．∴ac ＝b 2＝9.5． 在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.答案 2解析 a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2.6． 在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．答案 80,40,20,10解析 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12. ∴这4个数依次为80,40,20,10.7．设数列{a n }是等差数列，b n ＝n a )21(，已知b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18，求数列{a n }的通项公式．解 设数列{a n }的公差为d ，则b n ＋1b n ＝⎝⎛⎭⎫12d . ∵⎝⎛⎭⎫12d 为非零常数，∴数列{b n }是等比数列，设公比为q .∵b 1＋b 2＋b 3＝218，b 1·b 2·b 3＝18， ∴⎩⎨⎧ b 2q ＋b 2＋b 2q ＝218，b 32＝18.解得b 2＝12，q ＝14或q ＝4. 当q ＝4时，b 1＝18，b n ＝b 1·q n －1＝18×4n －1＝⎝⎛⎭⎫125－2n . 又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝5－2n .当q ＝14时，b 1＝2，b n ＝⎝⎛⎭⎫122n －3. 又b n ＝⎝⎛⎭⎫12a n ，∴a n ＝2n －3.综上可知a n ＝5－2n 或a n ＝2n －3.二、能力提升8． 在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( ) A ．9B ．10C ．11D ．12答案 C解析 在等比数列{a n }中，∵a 1＝1，∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 51q 10＝q 10. ∵a m ＝a 1q m －1＝q m －1，∴m －1＝10，∴m ＝11.9．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线y ＝x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )A ．3B ．2C ．1D ．－2答案 B解析 ∵y ＝(x －1)2＋2，∴b ＝1，c ＝2.又∵a ，b ，c ，d 成等比数列，∴ad ＝bc ＝2.10．已知6，a ，b,48成等差数列，6，c ，d,48成等比数列，则a ＋b ＋c ＋d ＝________.答案 90解析 6，a ，b,48成等差数列，则a ＋b ＝6＋48＝54；6，c ，d,48成等比数列，则q 3＝486＝8，q ＝2，故c ＝12，d ＝24从而a ＋b ＋c ＋d ＝90. 11． 在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8 000，求这四个数．解 设前三个数分别为a －d ，a ，a ＋d ，则有(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48，即a ＝16.设后三个数分别为b q，b ，bq ，则有 b q·b ·bq ＝b 3＝8 000，即b ＝20， ∴这四个数分别为m,16,20，n ，∴m ＝2×16－20＝12，n ＝20216＝25. 即所求的四个数分别为12,16,20,25.12．已知{a n }为等比数列，a 3＝2，a 2＋a 4＝203，求{a n }的通项公式． 解 设等比数列{a n }的公比为q ，则q ≠0.a 2＝a 3q ＝2q，a 4＝a 3q ＝2q ， ∴2q ＋2q ＝203.解得q 1＝13，q 2＝3. 当q ＝13时，a 1＝18，∴a n ＝18×⎝⎛⎭⎫13n －1＝2×33－n . 当q ＝3时，a 1＝29，∴a n ＝29×3n －1＝2×3n －3. 综上，当q ＝13时，a n ＝2×33－n ；当q ＝3时，a n ＝2×3n －3. 三、探究与拓展13．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，(1)求证：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．(1)证明 方法一 ∵a n ＋1＝2a n ＋1，∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2，且a 1＋1＝2.∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列．方法二 ∵a n ＋1＋1a n ＋1＝2a n ＋1＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2(n ∈N *)，∴数列{a n ＋1}是等比数列． (2)解 由(1)知{a n ＋1}是等比数列．公比为2，首项为2. ∴a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1.。
