红对勾·讲与练高中数学北师大必修五：课时作业 等差数列的概念和通项公式

课时作业6 等差数列的综合问题时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝4，则S 13等于( )A ．152B ．154C ．156D ．158【答案】 C 【解析】∵⎩⎨⎧a 3＋a 7－a 10＝8a 11－a 4＝4，∴⎩⎨⎧a 1－d ＝87d ＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝607d ＝47，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝156.2．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 5＝19，S 5＝55，则过点P (3，a 3)，Q (4，a 4)的直线的斜率是( )A ．4 B.14 C ．－4 D ．－14【答案】 A【解析】 设过P 、Q 的直线斜率为k ， 则k ＝a 4－a 34－3＝d ，又∵a 5＝19，S 5＝55∴(a 1＋19)×52＝55， ∴a 1＝3，d ＝4， ∴k ＝4.3．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项和S 10等于( )A ．64B ．100C ．110D ．120【答案】 B【解析】 由a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，得d ＝2.所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 1＋a 2＋8d )2＝10×(4＋8×2)2＝100，故选B.4．在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n .若a 2，a 10是方程x 2＋12x －8＝0的两个根，那么S 11的值为( )A ．44B ．－44C ．66D ．－66【答案】 D【解析】 ∵a 2＋a 10＝－12，∴S 11＝11×(a 1＋a 11)2＝11×(a 2＋a 10)2＝11×(－12)2＝－66. 5．数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝0，且数列{1a n ＋1}是等差数列，则a 4＝( )A.12B.13C.14D.16【答案】 A【解析】 ∵a 2＝2，a 6＝0， ∴1a 2＋1＝13，1a 6＋1＝1， ∴{1a n ＋1}的公差为16， ∴1a n ＋1＝13＋(n －2)×16＝n 6， ∴1a 4＋1＝23， ∴a 4＝12.6．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99.以S n表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18【答案】 B【解析】 ∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35， a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝－2，∴a 1＝39. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋41，∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝－n 2＋40n ＝－(n －20)2＋400.故当n ＝20时，S n 取最大值400.7．已知等差数列{a n }共有2n ＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a n ＋1＝( )A ．30B ．29C ．28D ．27【答案】 B【解析】 a n ＋1＝S 奇－S 偶＝290－261＝29. 二、填空题(每小题5分，共15分)8．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＝20，则S 9的值为________． 【答案】 90【解析】 S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×202＝90. 9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式为a n＝________.【答案】 2n【解析】 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋n )－[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，a 1＝2也符合上式，∴a n ＝2n .10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5＝5a 3，则S 9S 5＝________.【答案】 9【解析】 ∵{a n }为等差数列，∴S 9S 5＝9(a 1＋a 9)25(a 1＋a 5)2＝9(a 5＋a 5)5(a 3＋a 3)＝9a 55a 3＝9.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)下表给出一个“等差数阵”ij(1)写出a45的值；(2)写出a ij的计算公式．【解析】(1)∵每行都成等差数列，∴a15＝a11＋4(a12－a11)＝16.a25＝a21＋4(a22－a21)＝27，又∵每列都成等差数列，∴a45＝a15＋3(a25－a15)＝49.(2)解法一：该等差数列的第1行是首项为4，公差为3的等差数列，故a1j＝4＋3(j－1)．第2行是首项为7，公差为5的等差数列，a2j＝7＋5(j－1)，…，第i行是首项为4＋3(i－1)，公差为2i＋1的等差数列，因此a ij＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j＝i(2j＋1)＋j.解法二：第一列是首项a11＝4，公差d＝a21－a11＝7－4＝3的等差数列．∴通项a i1＝4＋3(i－1)＝3i＋1.第二列是首项a12＝7，公差d′＝a22－a12＝12－7＝5的等差数列．∴a i2＝7＋5(i－1)＝5i＋2.∵a i1，a i2，a i3，…，a ij，…，构成首项a i1＝3i＋1，公差d1＝a i2－a i1＝(5i＋2)－(3i＋1)＝2i＋1的等差数列，∴a ij＝a i1＋(j－1)d1＝i＋j＋2ij.12．(15分)已知数列{a n}为等差数列，其前12项和为354，在前12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为3227，求这个数列的通项公式．【解析】解法一：由等差数列的性质可知，奇数项a1，a3，a5，…，a11与偶数项a2，a4，a6，…，a12仍然成等差数列，设{a n}的首项为a1，公差为d，则S偶＝a2×6＋6×52×2d＝6a1＋36d，S奇＝a1×6＋6×52×2d＝6a1＋30d，∴⎩⎨⎧12a 1＋66d ＝354，6a 1＋36d 6a 1＋30d＝3227，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝5.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.解法二：设奇数项与偶数项的和分别为S 奇，S 偶，∴⎩⎨⎧S 偶＋S 奇＝354，S 偶S奇＝3227.∴⎩⎨⎧S 偶＝192，S 奇＝162.∴d ＝192－1626＝5. 又∵S 奇＝(a 1＋a 11)×62＝3(2a 1＋10d )＝162， ∴a 1＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝5n －3.13．(20分)甲、乙两物体分别从相距70m 的两处同时相向运动．甲第1分钟走2m ，以后每分钟比前1分钟多走1m ，乙每分钟走5m.(1)甲、乙开始运动几分钟后第一次相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m ，乙继续每分钟走5m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？【解析】 (1)设甲、乙运动开始n 分钟后第一次相遇，依题意，有2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70.整理，得n 2＋13n －140＝0，解得n ＝7，或n ＝－20(舍去)． ∴甲、乙开始运动7分钟后第一次相遇．(2)设m 分钟后第二次相遇，依题意有 2m ＋m (m －1)2＋5m ＝3×70， 整理得m 2＋13m －6×70＝0， 解得m ＝15，或m ＝－28(舍去)． ∴开始运动15分钟后第二次相遇．。

§2 等差数列2.1 等差数列第1课时等差数列的概念及其通项公式学习目标核心素养1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.1．等差数列的概念阅读教材P10～P11例1以上部分,完成下列问题．文字语言从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d 表示符号语言若a n－a n－1＝d(n≥2),则数列{a n}为等差数列思考：(1)数列{a n}的各项为：n,2n,3n,4n,…,数列{a n}是等差数列吗？[提示] 不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是常数,所以不是等差数列．(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗？[提示] 不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列．如数列：1,2,3,5,7,9,就不是等差数列．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．思考：(1)若已知等差数列{a n}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗？[提示] 可以,可利用a2－a1＝d求出d,即可求出通项公式．(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？[提示] 不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是n的一次函数,而是常数函数．3．等差数列通项公式的推导如果等差数列{a n}的首项是a1,公差是d,根据等差数列的定义得到a2－a1＝d,a3－a2＝d,a4－a3＝d,…所以a2＝a1＋d,a 3＝a 2＋d ＝a 1＋d ＋d ＝a 1＋2d, a 4＝a 3＋d ＝a 1＋2d ＋d ＝a 1＋3d, ……由此归纳出等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．1．等差数列{a n }中a 1＝2,公差d ＝3,则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．3n ＋1 C ．2n －1D ．3n －1D [a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.] 2．在等差数列{a n }中,a 1＝0,a 3＝4,则公差d ＝( ) A ．4 B ．2 C ．－4D ．－2B [a 3－a 1＝4－0＝2d,故d ＝2.]3．等差数列32,－12,－52,…的第10项为( )A ．－372B ．－332C ．372D ．332B [由a 1＝32,d ＝－12－32＝－2,得a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72.所以a 10＝－2×10＋72＝－332.]4．已知等差数列{a n }中,d ＝－13,a 7＝8,则a 1＝________.10 [由a 7＝a 1＋6d ＝8且d ＝－13代入解得a 1＝8－6d ＝8＋2＝10.]等差数列的判定【例1(1)a n ＝3－2n ；(2)a n ＝n 2－n.[解] (1)因为a n ＋1－a n ＝[3－2(n ＋1)]－(3－2n)＝－2,是常数,所以数列{a n }是等差数列．(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2－(n ＋1)]－(n 2－n)＝2n,不是常数,所以数列{a n }不是等差数列．等差数列的判断方法——定义法等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列是等差数列,可用a n ＋1－a n ＝d(常数)或a n －a n －1＝d(d 为常数且n≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可．[提醒] 当d ＞0时,等差数列{a n }是递增数列； 当d ＜0时,等差数列{a n }是递减数列； 当d ＝0时,等差数列{a n }是常数列．1．若数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1,a 1＝1,求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．[证明] 由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ,即1a n ＋1－1a n ＝2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公差为2的等差数列．等差数列的通项公式及应用【例2】 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项；(2)在等差数列{a n }中,已知a 6＝12,a 18＝36,求通项公式a n . [解] (1)由a 1＝8,a 2＝5,得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3, 故a n ＝8－3(n －1)＝11－3n, 则a 20＝11－3×20＝－49.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2,a 1＝2,故a n ＝2n.等差数列通项公式的四个应用(1)已知a n ,a 1,n,d 中的任意三个量,可以求出第四个量．(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a 1和d 的方程组,求出a 1和d,从而确定通项公式,求出待求项．(4)若数列{a n }的通项公式是关于n 的一次函数或常数函数,则可判断数列{a n }是等差数列．2．(1)等差数列{a n }中,a 2＝4,公差d ＝3,a n ＝22,求n ；(2)判断－401是不是等差数列－5,－9,－13,…的项,如果是,是第几项？[解] (1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3＝4，a 1＋3(n －1)＝22，解得a 1＝1,n ＝8；(2)由a 1＝－5,d ＝－9－(－5)＝－4,得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意,令－401＝－4n －1,得n ＝100, 即－401是这个数列的第100项．等差数列的实际应用[1．一种游戏软件的租金,第一天5元,以后每一天比前一天多1元,那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？[提示] 每天的租金构成以5为首项,以1为公差的等差数列,a n ＝5＋(n －1)×1＝n ＋4(n≥2)． 2．直角三角形三边长成等差数列,你能求出三边的比吗？[提示] 设直角三角形的三边长分别为a,a ＋d,a ＋2d(a ＞0,d ＞0),则(a ＋2d)2＝a 2＋(a ＋d)2,即a 2－2ad －3d 2＝0,解得a ＝3d,则三边长分别为3d,4d,5d, 故三边长的比为3∶4∶5.【例3】 某市出租车的计价标准为1.2 元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费？思路探究：某人需支付的车费构成等差数列,运用等差数列的知识去解决．[解] 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km 时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元．所以,可以建立一个等差数列{a n }来计算车费． 令a 1＝11.2,表示4 km 处的车费,公差d ＝1.2, 那么当出租车行至14 km 处时,n ＝11,此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．1．(变条件)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km 计费),且一路畅通,等候时间为0,那么,需支付多少车费？[解] 由题意知,当出租车行至18.5 km 处时,n ＝16,此时需支付车费a 16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．2．(变结论)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往n km(n ∈ N ＋)处的目的地,求其需支付的车费a n .[解] 当n ∈{1,2,3}时,a n ＝10,当n ∈N ＋,且n≥4时,a n ＝11.2＋(n －4)×1.2＝1.2n ＋6.4.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，n ∈{1，2，3}，1.2n ＋6.4，n≥4且n ∈N ＋.应用等差数列解决实际问题的步骤(1)审题,读懂题意,把握已知条件与求解问题． (2)将实际问题抽象为等差数列模型． (3)利用等差数列解决问题．(4)验证答案是否符合实际问题的意义．1．等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d,已知a 1,n,d,a n 这四个量中的三个,可以求得另一个量． 2．等差数列的判定关键是看a n ＋1－a n (或a n －a n －1(n≥2))是否为一个与n 无关的常数． 3．对于通项公式的理解．a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒a n ＝nd ＋(a 1－d),所以,当d≠0时,a n 是关于n 的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,当d ＝0时,等差数列{a n }为常数列：a 1,a 1,a 1,…,a 1,…1．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．( )(2)－1,－2,－3,－4,－5不是等差数列．( ) (3)若数列{a n }是等差数列,则其公差d ＝a 7－a 8.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)正确,(2)不正确,数列－1,－2,－3,－4,－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确,公差d ＝a 8－a 7.2．下列数列是等差数列的是( ) A ．13,15,17,19 B ．1,3,5,7 C ．1,－1,1,－1D ．0,0,0,0D [由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列,选D ．] 3．在等差数列{a n }中,a 2＝4,a 8＝a 6＋3,则a 1＝________.52 [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1＋7d ＝a 1＋5d ＋3，解得a 1＝52.]4．在等差数列{a n }中,a 5＝10,a 12＝31,求a 20,a n . [解] 由a 5＝10,a 12＝31, 得7d ＝a 12－a 5＝21,所以d ＝3,a 1＝a 5－4d ＝10－4×3＝－2. 所以a 20＝a 1＋19d ＝－2＋19×3＝55,a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2＋3(n －1)＝3n －5(n ∈N ＋)．。

[A 基础达标]1．下列命题：①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；②数列a,a －1,a －2,a －3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式一定能写成a n ＝kn ＋b 的形式(k,b 为常数)；④数列{2n ＋1}是等差数列．其中正确命题的序号是( )A ．①②B ．①③C ．②③④D ．③④解析：选C.②③④正确,①中公差为－2.2．已知{a n }是等差数列,a 1与a 2的等差中项为1,a 2与a 3的等差中项为2,则公差d ＝( ) A ．2B ．32C ．1D ．12解析：选C.因为{a n }是等差数列,a 1与a 2的等差中项为1,a 2与a 3的等差中项为2,所以a 1＋a 2＝2,a 2＋a 3＝4,两式相减得a 3－a 1＝2d ＝4－2,解得d ＝1.3．若数列{a n }是公差为d 的等差数列,则数列{da n }是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为d 2的等差数列D ．公差为4d 的等差数列解析：选C.由于da n －da n －1＝d(a n －a n －1)＝d 2(n≥2,n ∈N ＋),故选C.4．若一个等差数列的首项a 1＝1,末项a n ＝41(n≥3),且公差为整数,则项数n 的取值个数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选 B.由a n ＝a 1＋(n －1)d,得41＝1＋(n －1)d,解得d ＝40n －1.又d 为整数,n ≥3,则n ＝3,5,6,9,11,21,41,共7个．故选B.5．已知等差数列{a n }的首项a 1＝125,第10项是第一个比1大的项,则公差d 的取值范围是( ) A ．d ＞825 B ．d ＜825C.875＜d ＜325 D ．875＜d≤325解析：选D.设{a n }的通项公式为a n ＝125＋(n －1)d, 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 10＞1，a 9≤1，即⎩⎪⎨⎪⎧125＋9d ＞1，125＋8d≤1，解得875＜d≤325. 6．已知数列{a n }是等差数列,若a 4＋a 7＋a 10＝15,2a 6＝a 3＋7,且a k ＝13,则k ＝____________．解析：设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.所以a 4＋a 7＋a 10＝15,即a 1＋6d ＝5,①2a 6＝a 3＋7,即a 1＋8d ＝7,②联立解①②组成的方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1， 所以a n ＝n －2,又因为a k ＝13,令k －2＝13.所以k ＝15.答案：157．已知数列{a n }中,a 3＝2,a 7＝1,且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1为等差数列,则a 5＝________． 解析：由题意1a 3＋1,1a 5＋1,1a 7＋1成等差数列, 所以2×1a 5＋1＝12＋1＋11＋1,解得a 5＝75. 答案：758．已知a,b,c 成等差数列,那么二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c(a≠0)的图像与x 轴的交点有________个． 解析：因为a,b,c 成等差数列,所以2b ＝a ＋c,又Δ＝4b 2－4ac ＝(a ＋c)2－4ac ＝(a －c)2≥0,所以二次函数的图象与x 轴的交点有1或2个．答案：1或29．若等差数列{a n }的公差d≠0且a 1,a 2是关于x 的方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的两根,求数列{a n }的通项公式．解：由题意知,⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 3，a 1a 2＝a 4， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1（a 1＋d ）＝a 1＋3d.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2， 所以a n ＝2＋(n －1)×2＝2n.故数列{a n }的通项公式a n ＝2n.10．已知函数f(x)＝3x x ＋3,数列{x n }的通项由x n ＝f(x n －1)(n≥2且n∈N ＋)确定． (1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列； (2)当x 1＝12时,求x 2 017. 解：(1)证明：因为x n ＝f(x n －1)＝3x n －1x n －1＋3(n≥2且n∈N ＋),所以1x n ＝x n －1＋33x n －1＝13＋1x n －1, 所以1x n －1x n －1＝13(n≥2且n∈N ＋), 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 是等差数列． (2)由第一问知1x n ＝1x 1＋(n －1)×13＝2＋n －13＝n ＋53. 所以1x 2 017＝2 017＋53＝2 0223. 所以x 2 017＝32 022. [B 能力提升]11．古代中国数学辉煌灿烂,在《张丘建算经》中记载：“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之．上三人先入,得金四斤持出；下四人后入,得金三斤持出；中央三人未到者,亦依等次更给．问：各得金几何及未到三人复应得金几何？”则该问题中未到三人共得金( )A.3726斤 B ．4924斤 C ．2斤D ．8326斤 解析：选D.由题意可知等差数列{a n }中⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝4a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝3, 即⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝44a 1＋30d ＝3, 解得d ＝－778,所以a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 2＋a 3)＋9d ＝8326.故选D. 12．首项为－24的等差数列{a n },从第10项开始为正数,则公差d 的取值范围是________．解析：设等差数列的公差为d,则通项公式a n ＝－24＋(n －1)d,由⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋8d≤0，a 10＝－24＋9d>0， 解得83<d≤3,即公差的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤83，3 13．在数列{a n }中,a 1＝2,a n ＋1＝a n ＋2n ＋1.(1)求证：数列{a n －2n }为等差数列；(2)设数列{b n }满足b n ＝2log 2(a n ＋1－n),求{b n }的通项公式．解：(1)证明：(a n ＋1－2n ＋1)－(a n －2n )＝a n ＋1－a n －2n ＝1(与n 无关),故数列{a n －2n}为等差数列,且公差d ＝1.(2)由第一问可知,a n －2n ＝(a 1－2)＋(n －1)d ＝n －1,故a n ＝2n ＋n －1,所以b n ＝2log 2(a n ＋1－n)＝2n.14．(选做题)若数列{b n }对于n∈N ＋,都有b n ＋2－b n ＝d(d 为常数),则称数列{b n }是公差为d 的准等差数列．例如c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4n －1，n 为奇数4n ＋9，n 为偶数,则数列{c n }是公差为8的准等差数列．设数列{a n }满足：a 1＝a,对于n∈N ＋,都有a n ＋a n ＋1＝2n.(1)求证：数列{a n }为准等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＋a n ＋1＝2n(n∈N ＋),①所以a n ＋1＋a n ＋2＝2(n ＋1),②②－①得a n ＋2－a n ＝2(n∈N ＋),所以数列{a n }是公差为2的准等差数列．(2)因为a 1＝a,a n ＋a n ＋1＝2n(n∈N ＋),所以a 1＋a 2＝2×1,即a 2＝2－a.因为a 1,a 3,a 5,…是以a 为首项,2为公差的等差数列,a 2,a 4,a 6,…是以2－a 为首项,2为公差的等差数列,所以当n 为偶数时,a n ＝2－a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－1×2＝n －a, 当n 为奇数时,a n ＝a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12－1×2＝n ＋a －1. 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋a －1，n 为奇数n －a ，n 为偶数.。

课时作业8 等比数列的性质及应用时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．在等比数列{a n }中，若a 2·a 8＝36，a 3＋a 7＝15，则公比为( ) A.2，22 B ．±2 C ．±22 D ．±2，±22【答案】 D 【解析】⎩⎨⎧a 3·a 7＝a 2·a 8＝36a 3＋a 7＝15，所以⎩⎨⎧a 7＝12a 3＝3，或⎩⎨⎧a 7＝3a 3＝12，所以q 4＝4或q 4＝14，所以q ＝±2，或q ＝±22.2．已知等比数列{a n }的公比为q ，且a 5a 9＝4a 26，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B ．－12 C ．±12 D ．±2【答案】 C 【解析】∵a 5a 9＝a 27，∴a 27＝4a 26，∴a 27a 26＝4，∴q ＝a 7a 6＝±2，∴a 1＝±12.3．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )A ．9B ．10C．11 D．12【答案】 C【解析】a m＝a1a2a3a4a5＝q·q2·q3·q4＝q10＝a1q10，因此有m＝11.4．已知项数相同的等比数列{a n}和{b n}，公比为q1，q2(q1，q2≠1)，则下列数列①{3a n}；②{2a n}；③{3a n}；④{2a n－3b n}；⑤{2a n·3b n}中为等比数列的个数是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】 C【解析】利用等比数列的定义或性质来处理．对于①，公比为q1；对于②，公比为1q1；对于③，令a n＝2n－1，则数列{3a n}为：3,32,34,38，…，因为323≠3432，故不是等比数列；对于④，数列的项可能为零；对于⑤，公比为q1q2.故选C.5．已知等比数列{a n}中，a n>0，(2a4＋a2＋a6)a4＝36，则a3＋a5的值为()A．3 B．6C．4 D．5【答案】 B【解析】∵{a n}是等比数列，a n>0，∴(2a4＋a2＋a6)a4＝36⇒2a24＋a2a4＋a4a6＝36⇒2a3a5＋a23＋a25＝36⇒(a3＋a5)2＝36⇒a3＋a5＝6.6．设等差数列{a n}的公差d不为0，a1＝9d，若a k是a1与a2k的等比中项，则k等于()A．2 B．4C．6 D．8【答案】 B【解析】由{a n}是等差数列且a1＝9d，得a k＝a1＋(k－1)d＝(k ＋8)d，a2k＝a1＋(2k－1)d＝(2k＋8)d，又因为a k是a1与a2k的等比中项，则有a2k＝a1·a2k.即[(k＋8)d]2＝9d×[(2k＋8)d]，整理得k2－2k－8＝0，解之得k1＝4，k2＝－2(舍去)．7．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)()A．15次B．14次C．9次D．8次【答案】 D【解析】容器内的空气剩余量为{a n}，则a n＝(1－0.6)n＝0.4n，要使容器内剩余空气少于原来的0.1%，则有a n<0.1%，即0.4n<0.001＝10－3，两边取对数有n lg 0.4<－3，∴n>7.5，又n∈N＋，∴n＝8.二、填空题(每小题5分，共15分)8．设数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －c ，若数列{a n }为等比数列，则c 的值为________．【答案】 1【解析】 ∵S n ＝3n －c ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2×3n －1，若{a n }为等比数列，则a n a n －1＝3＝a 2a 1＝2×33－c，得c ＝1.9．等差数列{a n }中，a 1＝2，公差不为零，a 1，a 3，a 11恰为某等比数列的前三项，那么该等比数列的公比等于________．【答案】 4【解析】 解法一：设a 1，a 3，a 11组成的等比数列公比为q ， ∴a 3＝a 1q ＝2q ，a 11＝a 1q 2＝2q 2，又∵数列{a n }是等差数列， ∴a 11＝a 1＋5(a 3－a 1)，∴2q 2＝a 1＋5(2q －a 1)， ∴2q 2＝2＋5(2q －2)，解得q ＝4或q ＝1(舍)，∴q ＝4. 解法二：∵a 3＝a 1＋2d ＝2＋2d ，a 11＝2＋10d ， ∴(2＋2d )2＝2(2＋10d )，∴d ＝3或0(舍)，∴a 3＝8，∴q ＝a 3a 1＝4.10．b 既是a 和c 的等差中项，又是a 和c 的等比中项，则数列a ，b ，c 的公比为________．【答案】 1【解析】 ∵2b ＝a ＋c ，ac ＝b 2，∴ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋c 22＝(a ＋c )24，∴4ac ＝a 2＋c 2＋2ac ，∴a 2＋c 2－2ac ＝0，即(a －c )2＝0， ∴a ＝c ，∴a ，b ，c 的公比为1.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)已知等比数列{a n }．(1)若a 1＋a 2＋a 3＝168，a 2－a 5＝42，求a 5与a 7的等比中项； (2)若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .【解析】 (1)设等比数列的公比为q ，首项为a 1，由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168a 1q －a 1q 4＝42，所以⎩⎨⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝168 ①a 1q (1－q 3)＝42 ②因为1－q 3＝(1－q )(1＋q ＋q 2)， ②①得q (1－q )＝14，故q ＝12， 所以a 1＝4212－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝96.设G 是a 5，a 7的等比中项，则应有G 2＝a 5a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝ ⎛⎭⎪⎫1210＝9，G ＝±3.故a 5，a 7的等比中项是±3.(2)解法一：因为a 1a 3＝a 22，所以a 1a 2a 3＝a 32＝8，所以a 2＝2，所以⎩⎨⎧a 1＋a 3＝5a 1a 3＝4，解得⎩⎨⎧a 1＝1a 3＝4或⎩⎨⎧a 1＝4a 3＝1.所以a n ＝2n －1或a n ＝23－n . 解法二：设公比为q ，则⎩⎨⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7a 1·a 1q ·a 1q 2＝8，即⎩⎨⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝7 ③a 1q ＝2 ④由④得a 1＝2q ，代入③得2q 2－5q ＋2＝0， 所以q ＝2或q ＝12.由④得⎩⎨⎧a 1＝1q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4q ＝12，所以a n ＝2n －1或a n ＝23－n .12．(15分)已知数列{a n }的首项a 1＝a ≠14，且满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ，n 为偶数，a n ＋14，n 为奇数.记b n ＝a 2n －1－14，n ＝1,2,3，….(1)求a 2，a 3.(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论． 【解析】 (1)a 2＝a 1＋14＝a ＋14，a 3＝12a 2＝12a ＋18. (2)因为a 4＝a 3＋14＝12a ＋38， 所以a 5＝12a 4＝14a ＋316.所以b 1＝a 1－14＝a －14≠0，b 2＝a 3－14＝12(a －14)， b 3＝a 5－14＝14(a －14)．猜想：{b n }是首项为a －14，公比为12的等比数列． 证明如下：因为b n ＋1＝a 2n ＋1－14＝12a 2n －14 ＝12(a 2n －1＋14)－14 ＝12(a 2n －1－14) ＝12b n (n ∈N ＋)，又a ≠14，所以b n ≠0，所以b n ＋1b n＝12(常数)．所以{b n }是首项为a －14，公比为 12的等比数列．13．(20分)已知数列{a n }前n 项和S n ＝2n 2－3n ，数列{b n }是各项为正的等比数列，满足a 1＝－b 1，b 3(a 2－a 1)＝b 1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n ·b n ，求c n 的最大值． 【解析】(1)∵a n ＝⎩⎨⎧S 1 n ＝1S n －S n －1 n ≥2，∴a n ＝⎩⎨⎧－1 n ＝14n －5 n ≥2，即a n ＝4n －5(n ∈N ＋)，由已知b 1＝1，b 1q 2(a 2－a 1)＝b 1，∴q 2＝14，∵b n >0，∴q ＝12，∴b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)c n ＝(4n －5)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，由⎩⎨⎧c n ≥c n －1c n ≥c n ＋1得n ＝3，即c 3最大，最大值为74.。

课时作业1 数列的概念时间：45分钟 满分：100分 一、选择题(每小题5分，共35分) 1．下列说法错误的是( ) A ．数列4,7,3,4的第一项是4B ．在数列{a n }中，若a 1＝3，则从第2项起，各项均不等于3C ．数列－1,0,1,2与数列0,1,2，－1不相同D ．－1,1,2,0，－3是有穷数列 【答案】 B2．下列可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1 B ．a n ＝(－1)n＋12 C ．a n ＝2－|sin n π2| D ．a n ＝(－1)n －1＋32【答案】 C【解析】 由a n ＝2－|sin n π2|可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C. 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝12n (n ＋2)，则220是这个数列的( ) A ．第19项 B ．第20项 C ．第21项 D ．第22项 【答案】 B【解析】 由a n ＝12n (n ＋2)＝220，解得n ＝20(n ＝－22舍去)． 4．设数列2，5，22，11，…，则25是这个数列的( ) A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项【答案】 B【解析】 数列通项公式为a n ＝3n －1，令3n －1＝25，解得n ＝7.5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．－55 B ．－5 C ．5 D ．55【答案】 C【解析】 由{a n }的通项公式a n ＝(－1)n (n ＋1)得a 1＝－2，a 2＝3，a 3＝－4，a 4＝5，a 5＝－6，a 6＝7，a 7＝－8，a 8＝9，a 9＝－10，a 10＝11，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝5.6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－14n ＋65，则下列叙述正确的是( ) A ．20不是这个数列中的项 B ．只有第5项是20 C ．只有第9项是20D ．这个数列第5项、第9项都是20 【答案】 D【解析】 令a n ＝20，得n 2－14n ＋45＝0，解得n ＝5或n ＝9，故选D. 7．如图是一系列有机物的结构简图，图中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，由图中结构可知第n 个图中有化学键( )。

第一章·§2 · 2.2·第1课时
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等差数列的前n项和公式
na1＋an
(1)等差数列前n项和公式为Sn＝ 2
和Sn＝
na1＋nn－ 2 1d . (2)若数列{an}的前n项和公式Sn＝An2＋Bn(A，B为
常数)，则数列{an}为等差数列 ，其公差d为2A .
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第一章·§2 · 2.2·第1课时
北师大版 2.2·第1课时
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设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值． 【分析】 本题考查了等差数列的通项公式和等差数 列的前n项和公式以及前n 项和的最大值等知识，在解决问 题时，要抓住等差数列的特征，认真运算．题目难度不 大，属于容易题，重在考查学生对基础知识的掌握．
，所以d＝
3 2
>0. 因此{an}为单调递增数列，
因此当aann≤＋1≥0，0 时，Sn取得最小值．
由3232nn－＋2211≤－022，1≥0，
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第一章·§2 · 2.2·第1课时
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解得6≤n≤7， 所以当n＝6或7时，Sn取得最小值． 解法二：因为an＝32n－221， 所以d＝32>0，a1＝－9. 所以Sn＝na1＋nn－2 1d＝34(n2－13n) ＝34[(n－123)2－1649]．
值．
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第一章·§2 · 2.2·第1课时
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1．注意等差数列前n项和公式的推导的方法，及利用 该法计算数列求和题型的特点．
2．求等差数列的前n项和Sn的最值有2种方法： (1)由二次函数的最值特征求解： Sn＝na1＋nn－2 1d＝d2n2＋(a1－d2)n ＝d2n＋a1－d d22－a12－d d22

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高中数学教学设计及教学反思
课题
北师大版高中数学必修 5:第一章 数列 §2 等差数列（第 1
课时：等差数列的概念、通项公式）
作者
邓军保
工作单位
江西省新余市渝水一中
教材分析
本节是在学生刚学习完数列概念及数列的函数特性前提下，深一步学习探
究具体的数列：等差数列的概念、通项公式、具有的函数特性等知识，是高中
①对（1）变通的理解？
以这个数列不是等差数列。
3、呈现
如教材的处理： 例 2、（1）求等差数列 9，5，
a1 9, d 5 9 4,
问题多 种形
1，…第 10 项；
an 9 (n 1)(4) 13 4n.
（2）已知等差数列 an 中，
当n 10时, a10 13 4 10 27.
项起，每一项与前一项的差都 流 、 合
等于 -2 ； 数列 3），从第 作 到 一
2 项起，每一项与前一项的差都 般 类 等于- 1 ；数列 4），从第 2 项 比 、 抽
2
起，每一项与前一项的差都等 象 概 括
于 2。
的学习
④由学生归纳和概括出这些数 过 程 ；
列的共同特点：以上四个数列 并 在 过
思想的运用
常量、变量的转化，注意交流、 发 思
例 3、已知在等差数列an 中， 交换，各组选派代表讲解。
考、引
a5 20,
a20 35. 试 求 出 数 列 的 通 项 公 11、例 3 设问
式。
①能快速求公差 d 吗？
导发现 创造；
解：设公差为 d ，则可建立一 ②尝试 d a nam ，正确吗？
（1）提出问题:对于以上四个 等差数列定义，可写出这四个

a1 q
)离散地分布在函数y＝k·qx(x∈R)的图像
上，所以可以借助指数函数y＝qx(q>0，且q≠1)的性质来研
究等比数列的性质．
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(2)等比数列具有的单调性
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aa110＝9 －512＝－2.
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等比数列的实际应用题
【例4】 从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1 L，然 后用水填满，再倒出1 L混合溶液，再用水填满，这样 继续进行．
(1)倒第2次后容器里还剩有纯酒精多少升？你能发 现各次剩余纯酒精数构成什么数列吗？
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即a2(1＋q2)(q－d)4＝0. ∵(q2＋1)a2≠0，∴(q－d)4＝0，即d＝q≠0.
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规律方法 在证明数列为等比数列运用定义证明较麻烦时，可采 用等比中项法证明该数列为等比数列.
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【思路探究】 根据已知方程有实根，由Δ≥0得出a， b，c的关系，然后运用等差中项法进行证明即可．
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【尝试解答】 证明：关于d的二次方程(a2＋b2)d2－ 2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有实根，

红对勾高三数学讲义手册知识点答案高考数学必考知识点归纳必修一：1、集合与函数的概念(这部分知识抽象，较难理解)2、基本的初等函数(指数函数、对数函数)3、函数的性质及应用(比较抽象，较难理解)中考数学必修知识点概括必修课程二：1、立体几何(1)、证明：垂直(多考查面面垂直)、平行(2)、求解：主要是夹角问题，包括线面角和面面角。

这部分科学知识就是高一学生的难点，比如说：一个角实际上就是一个锐角，但是在图中表明的钝角等等一些问题，须要学生的立体意识较强。

这部分科学知识中考占到22---27分后2、直线方程：高考时不单独命题，易和圆锥曲线结合命题3、圆方程1、算法初步：高考必考内容，5分(选择或填空)2、统计：3、概率：高考必考内容，09年理科占到15分，文科数学占到5分。

中考数学必修知识点概括必修课程四：1、三角函数：(图像、性质、高中重难点，)必考大题：15---20分，并且经常和其他函数混合起来考查。

2、平面向量：中考不单独命题，极易和三角函数、圆锥曲线融合命题。

09年理科占5分后，文科占13分后。

高考数学必考知识点归纳必修五：1、求解三角形：(正、余弦定理、三角并集转换)中考中理科占22分后左右，文科数学占13分后左右2、数列：中考必修，17---22分后3、不等式：(线性规划，听讲时易认知，但做题较繁杂，应当掌控技巧。

中考必修5分后)不等式不单独命题，通常和函数融合谋最值、边值问题。

高考数学必考知识点归纳文科选修：报读1--1：重点：中考占到30分后1、逻辑用语：一般不考，若考也是和集合放一块考2、圆锥曲线：3、导数、导数的应用(高考必考)报读1--2：1、统计：2、推理证明：一般不考，若考会是填空题3、复数：(新课标比老课本难的多，高考必考内容)。

中考数学必修知识点概括理科报读：选修2--1：1、逻辑用语2、圆锥曲线3、空间向量：(利用空间向量可以把立体几何做题简便化)选修2--2：1、导数与微积分2、推理证明：一般不考3、复数报读2--3：1、计数原理：(排列组合、二项式定理)掌控这部分知识点须要大量做题打听规律，并无技巧。

等差数列2．1等差数列第一课时等差数列的概念与通项公式预习课本P10～12，思考并完成以下问题(1)什么样的数列是等差数列？(2)等差数列的通项公式是什么？[新知初探]1．等差数列一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列．称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示．[点睛](1)“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合．(2)“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．(3)定义中的“同一个常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．2．等差数列的通项公式若等差数列{a n}的首项是a1，公差是d，则这个数列的通项公式是a n＝a1＋(n－1)d_.[点睛]等差数列的通项公式a n＝a1＋(n－1)d中有4个变量a n，a1，n，d，在这4个变量中可以“知三求一”．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)2,3,4,5,6,7可以构成等差数列．( ) (2)常数列是等差数列．( )(3)若一个数列的每一项与前一项的差是常数，则这个数列是等差数列．( ) ★答案★：(1)√ (2)√ (3)×2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝2，公差d ＝3，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝2n ＋1 C ．a n ＝2n ＋3D ．a n ＝3n ＋2解析：选A ∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)·3＝3n －1. 3．数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列解析：选A a n ＝2n ＋5＝2(n －1)＋7，∴首项a 1＝7，公差d ＝2，故选A. 4．已知等差数列{a n }，a 1＝7，a 7＝1，则公差d ＝________. 解析：a 1＝7，a 7＝1，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得1＝7＋6d ， ∴d ＝－1. ★答案★：－1求等差数列的通项公式[典例] 已知n (1)a 3＝5，a 7＝13； (2)前三项为：a,2a －1,3－a .[解] (1)法一：设首项为a 1，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＝a 1＋2d ＝5，a 7＝a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.∴通项公式是a n ＝2n －1. 法二：∵d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝5＋(n －3)×2＝2n －1. ∴通项公式是a n ＝2n －1.(2)∵a,2a －1,3－a 是等差数列的前三项， ∴(2a －1)－a ＝(3－a )－(2a －1)． 解得a ＝54，∴d ＝(2a －1)－a ＝a －1＝14.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝54＋(n －1)×14＝14n ＋1.∴通项公式是a n ＝14n ＋1.在等差数列{a n }中，首项a 1与公差d 是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关a 1，d 的关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量．[活学活用]1．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，则a n ＝________. 解析：因为n ≥2时，a n －a n －1＝3，所以{a n }是以a 1＝3为首项，公差d ＝3的等差数列．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n .★答案★：3n2．100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 解：∵a 1＝2，d ＝9－2＝7， ∴a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15. ∴100是这个数列的第15项.等差数列通项公式的应用[典例] (1)在等差数列{a n 1d 的取值范围为________．(2)在等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d ≠0，若7a k ＝a 1＋a 2＋…＋a 7，则k ＝________.[解析] (1)由a n ＝1＋(n －1)d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 10>2，a 9≤2.即⎩⎪⎨⎪⎧1＋9d >2，1＋8d ≤2，所以19<d ≤18.(2)因为a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 1＋21d ＝7＋21d ， 而a k ＝1＋(k －1)d ，所以7a k ＝7＋7(k －1)d . 所以7＋7(k －1)d ＝7＋21d ，即k ＝4. [★答案★] (1)⎝⎛⎦⎤19，18 (2)4等差数列通项公式应用中的两种思想方法(1)利用等差数列的通项公式求出首项a 1及公差d ，从而可求数列的其他项，注意方程的思想．(2)利用等差数列的通项公式求出首项a 1和公差d 的关系式，从而可求指定的几项和，注意整体代入的思想．[活学活用]设数列{a n }是递增的等差数列，前三项和为12，前三项积为48，求它的首项．解：由题设⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝12，a 1a 2a 3＝48，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＝12，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝48. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1·(a 1＋d )·(a 1＋2d )＝48， 化简得：a 21－8a 1＋12＝0，解得a 1＝6或a 1＝2，又{a n }是递增的，故a 1＝2.等差数列的判定[典例] (1)判断下列数列是否为等差数列，并说明理由． ①a n ＝3n ＋2；②a n ＝n 2＋n . (2)已知数列{a n }，满足a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2. 数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是否为等差数列？说明理由．(3)在数列{a n }中，a 1＝0，当n ≥2时，a n ＋1a n ＝nn －1.求证：数列{a n }是等差数列．[解] (1)①a n ＋1－a n ＝3(n ＋1)＋2－(3n ＋2)＝3(n ∈N ＋)， 由n 的任意性知，这个数列为等差数列．②a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋(n ＋1)－(n 2＋n )＝2n ＋2，不是一个常数，所以这个数列不是等差数列．(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，理由如下：∵a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2， ∴1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n，∴1a n ＋1－1a n ＝12， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1a 1＝12，公差为d ＝12的等差数列．(3)证明：当n ≥2时，由a n ＋1a n ＝nn －1，得(n －1)a n ＋1＝na n ，∴na n ＋2＝(n ＋1)a n ＋1，两式相减得，na n ＋2－(n －1)a n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ， 整理得，na n ＋2＋na n ＝2na n ＋1， ∴a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1， ∴a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n .又∵a 3－a 2＝2a 2－a 2＝a 2＝a 2－0＝a 2－a 1， ∴数列{a n }是等差数列．证明一个数列是等差数列常用的方法(1)定义法：a n －a n －1＝d (常数)(n ≥2且n ∈N ＋)⇔数列{a n }为等差数列． (2)通项法：a n ＝kn ＋b (k ，b 为常数)⇔{a n }是等差数列．[注意] a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)对任意n ∈N ＋都要恒成立，不能几项成立便说{a n }为等差数列．[活学活用]已知等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，数列{b n }中，b n ＝3a n ＋4，问：数列{b n }是否为等差数列？并说明理由．解：数列{b n }是等差数列．理由如下：∵数列{a n }是首项为a 1，公差为d 的等差数列， ∴a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)．∴b n ＋1－b n ＝(3a n ＋1＋4)－(3a n ＋4)＝3(a n ＋1－a n )＝3d . ∴根据等差数列的定义，数列{b n }是等差数列．层级一 学业水平达标1．在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，则B 等于( ) A ．30° B ．60° C ．90°D ．120°解析：选B ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A －B ＝B －C . 又A ＋B ＋C ＝180°，∴B ＝60°.2．在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选D 由题意知，公差d ＝4－2＝2，则a 1＝0，所以a 10＝a 1＋9d ＝18.故选D. 3．等差数列a －2d ，a ，a ＋2d ，…的通项公式是( ) A ．a n ＝a ＋(n －1)d B ．a n ＝a ＋(n －3)d C ．a n ＝a ＋2(n －2)d D ．a n ＝a ＋2nd解析：选C 数列的首项为a －2d ，公差为2d ，∴a n ＝(a －2d )＋(n －1)·2d ＝a ＋2(n －2)d .4．一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则ab 等于( )A.14B.12C.13D.23解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝b －x ，b －x ＝2x －b ，∴a ＝x 2，b ＝32x .∴a b ＝13. 5．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5 B ．a 3a 6<a 4a 5 C ．a 3＋a 6>a 4＋a 5D ．a 3a 6＝a 4a 5解析：选B 由通项公式，得a 3＝a 1＋2d ，a 6＝a 1＋5d ，那么a 3＋a 6＝2a 1＋7d ，a 3a 6＝(a 1＋2d )(a 1＋5d )＝a 21＋7a 1d ＋10d 2，同理a 4＋a 5＝2a 1＋7d ，a 4a 5＝a 21＋7a 1d ＋12d 2，显然a 3a 6－a 4a 5＝－2d 2<0，故选B.6．已知等差数列{a n }，a n ＝2－3n ，则数列的公差d ＝________. 解析：根据等差数列的概念，d ＝a n ＋1－a n ＝－3. ★答案★：－37．在等差数列{a n }中，已知a 5＝11，a 8＝5，则首项a 1＝________，公差d ＝________.解析：设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝11，a 1＋7d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝19，d ＝－2. ★答案★：19 －28．一个等差数列的第5项a 5＝10，且a 1＋a 2＋a 3＝3，则首项a 1＝________，公差d ＝________.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＝a 1＋4d ＝10，a 1＋a 1＋d ＋a 1＋2d ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋d ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. ★答案★：－2 3 9．在等差数列{a n }中，(1)已知a 5＝－1，a 8＝2，求a 1与d ； (2)已知a 1＋a 6＝12，a 4＝7，求a 9.解：(1)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝－1，a 1＋7d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝1.(2)设数列的首项为a 1，公差为d ，由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋5d ＝12，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1. ∴a 9＝2×9－1＝17.10．已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且∈N *)． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列；(3)求数列{a n }的通项公式a n .解：(1)a 2＝2a 1＋22＝6，a 3＝2a 2＋23＝20. (2)证明：∵a n ＝2a n －1＋2n (n ≥2，且n ∈N *)， ∴a n 2n ＝a n －12n －1＋1(n ≥2，且n ∈N *)， 即a n 2n －a n －12n －1＝1(n ≥2，且n ∈N *)，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为a 121＝12，公差d ＝1的等差数列．(3)由(2)，得a n 2n ＝12＋(n －1)×1＝n －12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫n －12·2n.层级二 应试能力达标1．(重庆高考)在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴a 4－a 2＝a 6－a 4，∴a 6＝2a 4－a 2，即a 6＝2×2－ 4＝0.2．在等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 的值为( )A ．48B ．49C ．50D ．51解析：选C a 1＝13，a 2＋a 5＝2a 1＋5d ＝4，∴d ＝23，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝13＋23(n －1)＝33，∴n ＝50.3．等差数列{a n }中，a 5＝33，a 45＝153，则201是该数列的( ) A ．第60项 B ．第61项 C ．第62项D ．第63项解析：选B 设公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝33，a 1＋44d ＝153，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝21，d ＝3. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝21＋3(n －1)＝3n ＋18.令201＝3n ＋18，∴n ＝61.4．已知x ≠y ，且两个数列x ，a 1，a 2，…，a m ，y 与x ，b 1，b 2，…，b n ，y 各自都成等差数列，则a 2－a 1b 2－b 1等于( )A.m nB.m ＋1n ＋1C.n mD.n ＋1m ＋1解析：选D 设这两个等差数列公差分别是d 1，d 2，则a 2－a 1＝d 1，b 2－b 1＝d 2.第一个数列共(m ＋2)项，∴d 1＝y －x m ＋1；第二个数列共(n ＋2)项，∴d 2＝y －x n ＋1.这样可求出a 2－a 1b 2－b 1＝d 1d 2＝n ＋1m ＋1. 5．已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n >0，则a n ＝________. 解析：由已知a 2n ＋1－a 2n ＝4，∴{a 2n }是等差数列，且首项a 21＝1，公差d ＝4， ∴a 2n ＝1＋(n －1)·4＝4n －3.又a n >0，∴a n ＝4n －3. ★答案★：4n －36．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________. 解析：设公差为d ，则a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10， 3a 5＋a 7＝4a 1＋18d ＝2(2a 1＋9d )＝20. ★答案★：207．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n ＋2，从这个数列中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n 项，…；按原来的顺序排成新数列{b n }，求数列{b n }的通项公式．解：由题意b n ＝a 2n ，又a n ＝3n ＋2， ∴b n ＝3×2n ＋2.8．已知数列{a n }满足a 1＝15，且当n ≥2，n ∈N ＋时，有a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n，设b n ＝1a n ，n∈N ＋.(1)求证：数列{b n }为等差数列．(2)试问a 1a 2是否是数列{a n }中的项？如果是，是第几项； 如果不是，请说明理由． 解：(1)证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，a n －1a n ＝2a n －1＋11－2a n ⇔1－2a n a n ＝2a n －1＋1a n －1⇔1a n －2＝2＋1a n －1⇔1a n－1a n －1＝4⇔b n －b n －1＝4，且b 1＝1a 1＝5.∴{b n }是公差为4，首项为5的等差数列． (2)由(1)知b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋4(n －1)＝4n ＋1. ∴a n ＝1b n＝14n ＋1，n ∈N ＋. ∴a 1＝15，a 2＝19，∴a1a2＝1 45.令a n＝14n＋1＝145，∴n＝11.即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{a n}中的项，是第11项．第二课时等差数列的性质预习课本P13～14，思考并完成以下问题(1)怎样从函数的角度研究等差数列？(2)等差中项的定义是什么？(3)等差数列有哪些性质？(4)怎样利用等差数列模型解应用题？[新知初探]1．等差数列的图像与增减性(1)等差数列的图像：由a n＝dn＋(a1－d)，可知其图像是直线y＝dx＋(a1－d)上的一些等间隔的点，其中d 是该直线的斜率．(2)等差数列的增减性：对于a n＝dn＋(a1－d)，①当d＞0时，{a n}为递增数列；②当d＜0时，{a n}为递减数列；③当d＝0时，{a n}为常数列．2．等差中项如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项．[小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任何两个数都有等差中项．( )(2)在等差数列{a n }中，若a 1＝3，a 3＝5，则a 5＝7. ( )(3)若数列{a n }，{b n }都是等差数列，则数列{a n b n }是等差数列．( ) ★答案★：(1)√ (2)√ (3)×2．如果数列{a n }是等差数列，则下列式子一定成立的有( ) A ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 B ．a 1＋a 8＝a 4＋a 5 C ．a 1＋a 8＞a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5解析：选B 由等差数列的性质有a 1＋a 8＝a 4＋a 5，故选B. 3．方程x 2－6x ＋1＝0的两根的等差中项为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．6解析：选C 设方程x 2－6x ＋1＝0的两根为 x 1，x 2，则x 1＋x 2＝6，∴其等差中项为x 1＋x 22＝3.4．已知等差数列{a n }中，a 3＋a 8＝22，a 6＝7，则a 5＝________. 解析：∵a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝22.又a 6＝7，∴a 5＝15. ★答案★：155．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________． 解析：∵a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100， 又a 3＋a 11＝a 5＋a 9＝2a 7， ∴5a 7＝100，a 7＝20. ∴3a 9－a 13＝2a 9＋a 9－a 13 ＝a 5＋a 13＋a 9－a 13 ＝2a 7＝40. ★答案★：40等差中项及应用 [[解] [法一 等差中项法] ∵－1，a ，b ，c,7成等差数列，∴b 是－1与7的等差中项．∴b ＝－1＋72＝3.又a 是－1与3的等差中项，∴a ＝－1＋32＝1. 又c 是3与7的等差中项，∴c ＝3＋72＝5.∴该数列为－1,1,3,5,7. [法二 通项公式法]设a 1＝－1，a 5＝7，则7＝－1＋(5－1)d ，得d ＝2. ∴a n ＝－1＋(n －1)×2＝2n －3， ∴该数列为－1,1,3,5,7.等差中项及应用(1)若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，即b 为a ，c 的等差中项，这个结论在已知等差数列的题中经常用到．(2)涉及到等差数列中相邻三项问题可用等差中项求解．[活学活用]已知a ，b ，c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列． 证明：∵a ，b ，c 成等差数列， ∴2b ＝a ＋c ，∴(b ＋c )＋(a ＋b )＝a ＋2b ＋c ＝a ＋(a ＋c )＋c ＝2(a ＋c )， ∴b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 成等差数列.等差数列性质的应用 [典例] 在公差为d 的等差数列{a n }中， (1)已知a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48，求a 13； (2)已知a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，a 2·a 5＝52，求d . [解] (1)[法一 通项公式法] ：化成a 1和d 的方程如下：(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋22d )＋(a 1＋23d )＝48， 即4(a 1＋12d )＝48. ∴4a 13＝48.∴a 13＝12. [法二 性质法]根据已知条件a 2＋a 3＋a 23＋a 24＝48， 及a 2＋a 24＝a 3＋a 23＝2a 13， 得4a 13＝48，∴a 13＝12. (2)[法一 通项公式法] 化成a 1和d 的方程如下：⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )＝34，(a 1＋d )·(a 1＋4d )＝52， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16，d ＝－3.∴d ＝3或－3. [法二 性质法]由a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34，及a 3＋a 4＝a 2＋a 5 得2(a 2＋a 5)＝34，即a 2＋a 5＝17.所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2·a 5＝52，a 2＋a 5＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，a 5＝13或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝13，a 5＝4.∴d ＝a 5－a 25－2＝13－43＝3或d ＝a 5－a 25－2＝4－133＝－3.1．等差数列基本运算的方法对于等差数列的基本运算问题，一般有两种方法，一是建立基本量a 1和d 的方程，通过解方程组求解；一是利用等差数列的基本性质求解．2．等差数列的常用性质性质1：通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)．性质2：若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n .特别地，若m ＋n ＝2t ，则a m ＋a n ＝2a t (t ∈N ＋)．性质3：若{a n }是等差数列，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…，(k ，m ∈N ＋)组成公差为md 的等差数列．[活学活用]1．已知a 1＋3a 8＋a 15＝120，则3a 9－a 11＝________. 解析：∵a 1＋a 15＝2a 8，∴a 8＝24.∴3a 9－a 11＝a 9＋2a 9－a 11＝a 9＋a 7＝2a 8＝48. ★答案★：482．在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＝3，a 3＋a 4＝7，求a 5＋a 6.解：∵a 1＋a 5＝2a 3，a 2＋a 6＝2a 4， ∴(a 1＋a 5)＋(a 2＋a 6)＝2(a 3＋a 4)， 即(a 1＋a 2)＋(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 4)， ∴3＋(a 5＋a 6)＝2×7，∴a 5＋a 6＝11.灵活设项求解等差数列问题[典例] (1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数． (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． [解] (1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1.∴这三个数为4,3,2.(2)法一：设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )， 依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8， 即a ＝1，a 2－9d 2＝－8， ∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0， ∴d ＝1，故所求的四个数为－2,0,2,4.法二：若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )， 依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8， 把a ＝1－32d 代入a (a ＋3d )＝－8，得⎝⎛⎭⎫1－32d ⎝⎛⎭⎫1＋32d ＝－8， 即1－94d 2＝－8，化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.又四个数成递增等差数列，所以d ＞0，所以d ＝2， a ＝－2.故所求的四个数为－2,0,2,4.常见设元技巧(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a －d ，a ＋d ，公差为2d ；(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a －d ，a ，a ＋d ，公差为d ；(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，公差为2d . [活学活用]已知成等差数列的四个数，四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解：设这四个数依次为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )． 由题设知⎩⎪⎨⎪⎧(a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝32或⎩⎨⎧a ＝132，d ＝－32.∴这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.等差数列的实际应用[典例] 某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？[解] 设从第1年起，第n 年的利润为a n ，则由题意知a 1＝200，a n －a n －1＝－20(n ≥2，n ∈N ＋)．所以每年的利润a n 可构成一个等差数列{a n }，且公差d ＝－20.从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝220－20n .若a n <0，则该公司经销这一产品将亏损，由a n ＝220－20n <0，得n >11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列．合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题．[活学活用]1．某市出租车的计价标准为1.2元/km ，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，求需要支付的车费．解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km 时，每增加1 km ，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{a n}来计算车费．令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2, 那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．2．一山高(山顶相对于山脚的垂直高度)1 600 m，已知此地每升高(垂直高度)100 m，气温降低0.7 ℃.某时刻山脚下的气温为26 ℃，求此时山顶的气温．解：从山脚依次每升高100 m，对应的气温组成等差数列记为{a n}，则a1＝26，d＝－0.7.∴n＝1 600÷100＋1＝17.∵a n＝26＋(n－1)·(－0.7)，∴a17＝26＋16×(－0.7)＝14.8 ℃，即此时山顶的气温为14.8 ℃.层级一学业水平达标1．已知a＝13＋2，b＝13－2，则a，b的等差中项为()A.3B. 2C.13D.12解析：选A设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝13＋2＋13－2＝(3－2)＋(3＋2)＝23，∴x＝3，故选A.2．若等差数列{a n}的公差为d，则{3a n}是()A．公差为d的等差数列B．公差为3d的等差数列C．非等差数列D．无法确定解析：选B设b n＝3a n，则b n＋1－b n＝3a n＋1－3a n＝3(a n＋1－a n)＝3d.3．已知等差数列{a n}满足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，则有()A．a1＋a101>0 B．a2＋a100<0C．a3＋a100≤0 D．a51＝0解析：选D由题设知a1＋a2＋a3＋…＋a101＝101a51＝0，∴a51＝0.4．如果等差数列{a n}中，a3＋a4＋a5＝12，那么a1＋a2＋…＋a7＝() A．14 B．21C．28 D．35解析：选C∵a3＋a4＋a5＝3a4＝12，∴a4＝4.∴a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝7×4＝28，故选C.5．下列命题中正确的是( )A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则2a,2b,2c 成等差数列 解析：选C ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c ， ∴2b ＋4＝a ＋c ＋4，即2(b ＋2)＝(a ＋2)＋(c ＋2)， ∴a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列．6．已知m 和2n 的等差中项是4,2m 和n 的等差中项是5，则m 和n 的等差中项是________．解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2n ＝8，2m ＋n ＝10，∴m ＋n ＝6，m ，n 的等差中项为3.★答案★：37．某人练习写毛笔字，第一天写了4个大字，以后每天比前一天都多写，且多写的字数相同，第三天写了12个大字，则此人每天比前一天多写________个大字．解析：由题意可知，此人每天所写大字数构成首项为4，第三项为12的等差数列，即a 1＝4，a 3＝12，所以d ＝12－43－1＝4. ★答案★：48．已知1，x ，y,10构成等差数列，则x ，y 的值分别为________． 解析：由已知，x 是1和y 的等差中项，即2x ＝1＋y . ① y 是x 和10的等差中项，即2y ＝x ＋10， ② 由①②可解得x ＝4，y ＝7. ★答案★：4 79．假设某市2008年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米．那么从哪一年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米？解：设从2007年年底开始，n 年后该市每年新建的住房面积为a n 万平方米． 由题意，得{a n }是等差数列，首项a 1＝400，公差d ＝50.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝350＋50n . 令350＋50n >820，解得n >475.由于n ∈N ＋，则n ≥10.所以从2017年年底开始，该市每年新建住房的面积开始大于820万平方米． 10．若1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b是等差数列，求证：a 2，b 2，c 2成等差数列．证明：∵1b ＋c ，1c ＋a ，1a ＋b 是等差数列，∴1b ＋c ＋1a ＋b ＝2c ＋a. ∴(a ＋b )(c ＋a )＋(b ＋c )(c ＋a )＝2(a ＋b )(b ＋c )． ∴(c ＋a )(a ＋c ＋2b )＝2(a ＋b )(b ＋c )．∴2ac ＋2ab ＋2bc ＋a 2＋c 2＝2ab ＋2ac ＋2bc ＋2b 2. ∴a 2＋c 2＝2b 2.∴a 2，b 2，c 2成等差数列．层级二 应试能力达标1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10D ．14解析：选B 由等差数列的性质得a 1＋a 7＝a 3＋a 5，因为a 1＝2，a 3＋a 5＝10，所以a 7＝8，选B.2．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6D ．4解析：选B 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.3．若数列{a n }为等差数列，a p ＝q ，a q ＝p (p ≠q )，则a p ＋q 为( ) A ．p ＋q B ．0 C ．－(p ＋q ) D.p ＋q2解析：选B ∵d ＝a p －a q p －q ＝q －pp －q＝－1，∴a p ＋q ＝a p ＋qd ＝q ＋q ×(－1)＝0. 4．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0解析：选C ∵数列{2a 1a n }为递减数列，a 1a n ＝a 1[a 1＋(n －1)d ]＝a 1dn ＋a 1(a 1－d )，等式右边为关于n 的一次函数，∴a 1d <0.5．(陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．解析：设数列首项为a 1，则a 1＋2 0152＝1 010，故a 1＝5.★答案★：56．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析：设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766.∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.★答案★：67667．某产品按质量分10个档次，生产最低档产品的利润是8元/件，每提高一个档次，利润增加2元/件，但产量减少3件．在相同的时间内，最低档次(设为第一档次)的成品可生产60件，则在相同的时间内，生产第几档次的产品可获得最大利润？解：设第n 档次产品的产量为a n ，第n 档次产品的利润为b n ，则a n ＝60－3(n －1)＝63－3n (1≤n ≤10，n ∈N ＋)，b n ＝8＋2(n －1)＝2n ＋6(1≤n ≤10，n ∈N ＋)． 生产第n 档次产品可获利 f (n )＝a n b n ＝(63－3n )·(2n ＋6) ＝－6n 2＋108n ＋378 ＝－6(n －9)2＋864，所以当n ＝9时，f (n )取得最大值864.即在相同时间内，生产第9档次的产品可获得最大利润．8．已知无穷等差数列{a n }，首项a 1＝3，公差d ＝－5，依次取出项数被4除余3的项组成数列{b n }．(1)求b 1和b 2； (2)求{b n }的通项公式；(3){b n }中的第110项是{a n }的第几项？ 解：(1)∵a 1＝3，d ＝－5， ∴a n ＝3＋(n －1)(－5)＝8－5n .数列{a n }中项数被4除余3的项是{a n }的第3项，第7项，第11项，…，其中b 1＝a 3＝－7，b 2＝a 7＝－27.(2)设{a n }中的第m 项是{b n }的第n 项，即b n ＝a m ，则m ＝3＋4(n －1)＝4n －1， ∴b n ＝a m ＝a 4n －1＝8－5(4n －1) ＝13－20n (n ∈N ＋)．∵b n －b n －1＝－20(n ≥2，n ∈N ＋)，∴{b n }是等差数列，其通项公式为b n ＝13－20n .(3)b 110＝13－20×110＝－2 187，设它是{a n }中的第k 项，则－2 187＝8－5k ，则k ＝439.2．2 等差数列的前n 项和预习课本P15～18，思考并完成以下问题 (1)等差数列前n 项和的公式是什么？(2)如何推导等差数列的前n 项和？(3)等差数列的前n 项和有哪些性质？(4)怎样利用等差数列模型解应用题？[新知初探]等差数列的前n 项和公式已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2S n ＝na 1＋n (n －1)2d [小试身手]1．判断下列结论是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 中，S n 一定是关于n 的二次函数．( ) (2)在等差数列中，若d <0，则其前n 项和存在最大值．( ) (3)由S n 求a n 时可直接套用a n ＝S n －S n －1.( ) ★答案★：(1)× (2)√ (3)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1B.53C ．－2D ．3解析：选C 由题意，得6＝3a 1＋3d ，又a 1＝4，解得d ＝－2. 3．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 9＝10，则前9项和S 9等于( ) A ．45 B ．52 C ．108 D ．54解析：选D S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×122＝54. 4．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48解析：选B 由S 10＝10(a 1＋a 10)2＝120，得a 1＋a 10＝24，故选B. 5．在等差数列{a n }中，a 2＋2a 4＋a 6＝8，则数列前7项的和S 7的值为________． 解析：由a 2＋2a 4＋a 6＝8，得2a 4＝4， ∴a 1＋a 7＝4， ∴S 7＝a 1＋a 72×7＝42×7＝14. ★答案★：14等差数列前n 项和基本运算[典例]n (1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10； (2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n . [解] (1)法一：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58，a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4.∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2×d ＝10×3＋10×92×4＝210. 法二：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝(a 1＋a 10)＋4d ＝58，a 4＋a 9＝(a 1＋a 10)＋2d ＝50，∴a 1＋a 10＝42，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5×42＝210.法三：由(a 5＋a 10)－(a 4＋a 9)＝2d ＝58－50，得d ＝4.由a 4＋a 9＝50，得2a 1＋11d ＝50，∴a 1＝3. 故S 10＝10×3＋10×92×4＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42，∴a 4＝6. ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510. ∴n ＝20.等差数列中的基本计算(1)等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量S n ，n ，a 1，a n ，d ，这五个量可以“知三求二”．(2)一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题． (3)等差数列前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2与等差数列性质“若m ＋n ＝p ＋q ，m ，n ，p ，q ∈N ＋，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ”经常结合起来使用，使这类问题的解决更具灵活性．(4)解题时注意整体代换的思想．[活学活用]在等差数列{a n }中，已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n . 解：由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2(n －1)＝11，na 1＋n (n －1)2×2＝35， 解方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ n ＝5，a 1＝3或⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，a 1＝－1.等差数列前n 项和性质的应用[典例] 已知等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，求数列{a n }的前3m 项的和．[解] [法一 通项公式法]由⎩⎪⎨⎪⎧S m ＝30，S 2m ＝100知 ⎩⎨⎧ma 1＋m (m －1)2d ＝30， ①2ma 1＋2m (2m －1)2d ＝100， ②②－①得ma 1＋m (3m －1)2d ＝70， ∴S 3m ＝3ma 1＋3m (3m －1)2d ＝3⎣⎡⎦⎤ma 1＋m (3m －1)2d ＝3×70＝210. [法二 性质法]∵在等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，也成等差数列，∴30,70，S 3m －100成等差数列．∴2×70＝30＋S 3m －100，∴S 3m ＝210. [法三 性质法] 在等差数列{a n }中，∵S n ＝na 1＋n 2(n －1)d ，∴S n n ＝a 1＋(n －1)×d2，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 构成首项为a 1，公差为d2的等差数列，依题中条件知，S m m ，S 2m 2m ，S 3m3m 成等差数列，∴2·S 2m 2m ＝S 3m 3m ＋S m m，∴S 3m ＝3(S 2m －S m )＝3×(100－30)＝210.等差数列前n 项和的常用性质(1)若{a n }为等差数列，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…，仍是等差数列．(2)若{a n }为等差数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列．(3)数列{a n }，{b n }为等差数列，S n ，T n 分别是其前n 项和，则有结论a m b m ＝S 2m －1T 2m －1.(4)等差数列的项数为2n (偶数)，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n a n ＋1. (5)若项数为2n －1(奇数)，则S 2n －1＝(2n －1)·a n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝nn －1.[活学活用]1．已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.解析：由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. ★答案★：532．等差数列{a n }共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，求n 的值．解：法一：依题意可列方程组 ⎩⎨⎧(n ＋1)a 1＋n (n ＋1)2·2d ＝132，na 2＋n (n －1)2·2d ＝120，即⎩⎪⎨⎪⎧(n ＋1)(a 1＋nd )＝132，n (a 1＋nd )＝120. ∴n ＋1n ＝132120，解得n ＝10.法二：∵等差数列共有2n ＋1项， ∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1， 即132－120＝132＋1202n ＋1，解得n ＝10.等差数列前n 项和的实际应用[典例] 某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m ，最远一根电线杆距离电站1 550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工，若该汽车往返运输总行程为17 500 m ．共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？[解] 由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }． 则a n ＝1 550×2＝3 100，d ＝50×3×2＝300， S n ＝17 500，由等差数列的通项公式及前n 项和公式， 得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋n －1×300＝3 100， ①na 1＋n n －12×300＝17 500. ②由①得a 1＝3 400－300n .代入②得n (3 400－300n )＋150n (n －1)－17 500＝0， 整理得3n 2－65n ＋350＝0， 解得n ＝10，或n ＝353(舍去)， 所以a 1＝3 400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m ， 第一根电线杆距离电站12×400－100＝100(m)．答：共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.利用等差数列的前n 项和公式解决实际问题中与和有关的问题的关键是：搞清楚实际问题中哪些量构成了等差数列，哪些量已知，哪些量待求，然后选择恰当求和公式求解．[活学活用]植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．解析：设树苗集中放置在第i 号坑旁边，则20名同学往返所走的路程总和为 l ＝2[(i －1)＋(i －2)＋…＋2＋1＋1＋2＋…＋(19－i )＋(20－i )]×10 ＝(i 2－21i ＋210)×20＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫i －2122＋3994×20， 即i ＝10或11时，l 最小值＝2 000. ★答案★：2 000与等差数列前n 项和有关的问题1．在等差数列{a n }中，a 1＝25，S 9＝S 17，求S n 的最大值． 解：法一：由题意知：S 9＝9a 1＋9×82d ，S 17＝17a 1＋17×162d . ∵a 1＝25，S 9＝S 17，即9×25＋36d ＝17×25＋8×17d ， 解得d ＝－2，∴S n ＝25n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋26n ， 即S n ＝－(n －13)2＋169，∴当n ＝13时，S n 最大，最大值为S 13＝169.法二：因为a 1＝25＞0，S 9＝S 17，所以数列{a n }是递减等差数列，若使前n 项和最大，只需解⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0即可得出n .∵a 1＝25，S 9＝S 17，∴9×25＋9×82d ＝17×25＋17×162d ，解得d ＝－2.∴a n ＝25＋(n －1)(－2)＝－2n ＋27，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2n ＋27≥0，－2(n ＋1)＋27≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ≤13.5，n ≥12.5，又n ∈N ＋，∴n ＝13.即前13项和最大，由等差数列的前n 项和公式可求得S 13＝169. 题点二：求等差数列的前n 项绝对值的和2．在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和． 解：等差数列{a n }的公差为： d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)16＝3，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋3(n －1)＝3n －63.又因为a n <0时，3n －63<0，即n <21，所以等差数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项是非负数． 设S n 和S n ′分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和． 当0<n ≤20时， S n ′＝－S n ＝－⎣⎡⎦⎤－60n ＋3n (n －1)2＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S n ′＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋3n (n －1)2－2×⎝⎛⎭⎫－60×20＋20×192×3 ＝32n 2－1232n ＋1 260. 所以数列{|a n |}的前n 项和为：S n′＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n ，n ≤20，32n 2－1232n ＋1 260，n >20.题点三：利用S n 与a n 关系求a n3．已知数列{a n }的前n 项和公式为S n ＝n 2－23n (n ∈N *)．试判断数列{a n }是否是等差数列．解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－22； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －24. 此时a 1＝－22适合a n ＝2n －24， 所以a n ＝2n －24.又因为a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－24－2n ＋24＝2(常数)， 所以数列{a n }是首项为－22，公差为2的等差数列．1．等差数列前n 项和的最值问题的三种解法(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值．可由a n ≥0，且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0，且a n ＋1≥0，求得n 的值．(2)利用S n ：由S n ＝12dn 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－12d n 二次函数配方法求得最值时n 的值． (3)利用二次函数图像的对称性． 2．求等差数列的前n 项绝对值的和等差数列的各项取绝对值后组成数列{|a n |}，若原数列{a n }中既有正项又有负项，则{|a n |}不再是等差数列，求和的关键是找到数列{a n }中正、负项的分界点处n 的值，再分段求和．3．由a n 与S n 的关系求a n 的解题步骤 (1)n ＝1时，计算a 1＝S 1； (2)n ≥2时，计算a n ＝S n －S n －1；(3)检验a 1＝S 1是否适合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)．若a 1适合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)时，通项公式可合并成一个式子，即a n ＝S n －S n －1；否则，通项公式应写成分段函数的形式，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).层级一 学业水平达标1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝12，S 4＝20，则S 6＝( )A ．16B ．24C．36 D．48解析：选D∵S4＝2＋6d＝20，∴d＝3，故S6＝3＋15d＝48. 2．已知等差数列{a n}中，a2＝7，a4＝15，则S10等于() A．100 B．210C．380 D．400解析：选B∵d＝a4－a24－2＝15－72＝4，又a1＋d＝7，∴a1＝3.∴S10＝10a1＋10×92d＝10×3＋45×4＝210.3．在等差数列{a n}和{b n}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{a n＋b n}的前100项的和为()A．0 B．4 475C．8 950 D．10 000解析：选C设c n＝a n＋b n，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，又{c n}是等差数列，∴前100项和S100＝100(c1＋c100)2＝100×(40＋139)2＝8 950.4．等差数列{a n}中，d＝2, S3＝－24，其前n项和S n取最小值时n的值为()A．5 B．6C．7 D．5或6解析：选D由d＝2, S3＝3a1＋3d＝－24，得a1＝－10，令a n＝－10＋(n－1)×2＝0，解得n＝6，所以a6＝0，从而S5＝S6，均为最小值．5．“嫦娥”奔月，举国欢庆，据科学计算运载“嫦娥”飞船的“长征3号甲”火箭，点火1 min内通过的路程为2 km，以后每分钟通过的路程增加2 km，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是()A．10 min B．13 minC．15 min D．20 min解析：选C由题设条件知，火箭每分钟通过的路程构成以a1＝2为首项，公差d＝2的等差数列，∴n min内通过的路程为S n＝2n＋n(n－1)2×2＝n2＋n＝n(n＋1)．令S n＝n(n＋1)＝240，解得n＝15或n＝－16(舍去)．6．等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝1，a3＝3，则S4＝________.解析：∵a2＋a3＝a1＋a4＝4，∴S4＝4(a1＋a4)2＝8.★答案★：87．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝10，S6＝40，则a7＋a8＋a9＝________.解析：由等差数列性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列．S 3＝10，S 6－S 3＝40－10 ＝30，∴S 9－S 6＝2(S 6－S 3)－S 3＝50，∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝50. ★答案★：508．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布)，初日织5尺，今一月(按30天计)织九匹三丈(一匹＝40尺，月共织390尺布)”，则从第2天起每天比前一天多织________尺布．解析：根据题意，a 1＝5，S 30＝390， ∴S 30＝30×5＋30×292d ＝390.∴d ＝1629★答案★：1629.9．已知等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 5＝15，a 10＝25. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝112，求n .解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， ∵a 5＝15，∴a 1＋4d ＝15. ① ∵a 10＝25，∴a 1＋9d ＝25. ②由①②得：a 1＝7，d ＝2. ∴a n ＝7＋(n －1)×2＝2n ＋5.(2)∵S n ＝112，∴7n ＋12n (n －1)×2＝112.即n 2＋6n －112＝0，解得n ＝8或n ＝－14(舍去)， 故n ＝8.10．甲、乙两物体分别从相距70 m 的两处同时相向运动，甲第1 min 走2 m ，以后每分钟比前1 min 多走1 m ，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min 多走1 m ，乙继续每分钟走5 m ，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解：(1)设n min 后第一次相遇，依题意，有 2n ＋n (n －1)2＋5n ＝70.整理得n 2＋13n －140＝0，解得n ＝7，或n ＝－20(舍去)． 第一次相遇是在开始运动后7 min.(2)设m min 后第二次相遇，依题意有2m ＋m (m －1)2＋5m ＝3×70，整理得m 2＋13m －6×70＝0.解得m ＝15，或m ＝－28(舍去)． ∴第二次相遇是在开始运动后15 min.层级二 应试能力达标1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9解析：选C a n ＝120＋5(n －1)＝5n ＋115，由a n <180得n <13且n ∈N ＋，由n 边形内角和定理得，(n －2)×180＝n ×120＋n (n －1)2×5，解得n ＝16或n ＝9，∵n <13，∴n ＝9.2．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n .若a 1>0，S 4＝S 9，则S n 取得最大值时n 的值为( ) A ．5 B ．6 C ．7D ．6或7解析：选D 因为等差数列{a n }的前n 项和S n 是关于项数n 的二次函数，且S 4＝S 9，∴S n 图像的对称轴为n ＝4＋92＝6.5，又n ∈N ＋，∴n ＝6或7时，S n 最大．3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝( )A ．1B ．－1C ．2 D.12解析：选AS 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1，故选A. 4．已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31D ．64解析：选A 2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11·2a 62＝11a 6＝992，所以a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A. 5．为了参加运动会的5 000 m 长跑比赛，李强给自己制定了10天的训练计划：第1天跑5 000 m ，以后每天比前一天多跑400 m ．李强10天将要跑________m.解析：由题意可知，李强每天跑的距离数构成一个等差数列，把李强第1天跑的距离记为a 1＝5 000，且公差为d ＝400，则李强10天跑的距离为该等差数列的前10项和．由S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×5 000＋10×92×400＝68 000. 所以，李强10天将跑68 000 m.★答案★：68 0006．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 4＝14，S 10－S 7＝30，则S 9＝________.解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意，得S 4＝4a 1＋4(4－1)2d ＝14，① S 10－S 7＝⎣⎡⎦⎤10a 1＋10(10－1)2d －⎣⎡⎦⎤7a 1＋7(7－1)2d ＝30，② 联立①②解得a 1＝2，d ＝1，所以S 9＝9×2＋9(9－1)2×1＝54. ★答案★：547．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由． 解：(1)依题意⎩⎨⎧S 12＝12a 1＋12×112d >0，S 13＝13a 1＋13×122d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0， ①a 1＋6d <0. ② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12. ③将③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >0，3＋d <0， 解得－247<d <－3. 故公差d 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－247，－3. (2)由d <0可知{a n }是递减数列，由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大．8．已知数列{a n }，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋。

§2等差数列2.1等差数列第一课时等差数列的概念和通项公式一、非标准1.若{a n}是等差数列,则下列数列中也成等差数列的是()A.{}B.C.{3a n}D.{|a n|}解析:设{a n}的公差为d,则3a n+1-3a n=3(a n+1-a n)=3d是常数,故{3a n}一定成等差数列.{},,{|a n|}都不一定是等差数列,例如当{a n}为:{3,2,1,0,-1,-2,-3}时.答案:C2.等差数列{a n}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{a n}的公差为()A.1B.2C.3D.4解析:∵a1+a5=10=a1+a1+4d=2(a1+2d)=2a3,∴a3=5.故d=a4-a3=7-5=2.答案:B3.{a n}是首项a1=2,公差为d=3的等差数列,如果a n=2015,则序号n等于()A.670B.671C.672D.673解析:∵a1=2,d=3,∴a n=2+3(n-1)=3n-1.令3n-1=2015,解得n=672.答案:C4.若等差数列的第一、二、三项依次是,那么这个等差数列的第101项是()A.50B.13C.24D.8解析:由已知得方程2·,解得m=2.a1=,d=,a101=+100×=8.答案:D5.若数列{a n}满足a1=3,2a n+1=2a n-3,则a17=()A.-21B.-45C.27D.51解析:由已知得a n+1-a n=-,即{a n}是公差为-的等差数列.又因为a1=3,所以a17=a1+16d=3+16×=-21.答案:A6.等差数列1,-1,-3,-5,…,-89的项数是.解析:该等差数列的首项为1,公差为-2,末项为-89.由-89=1+(n-1)·(-2)得,n=46.答案:467.在等差数列{a n}中,若a1+a2=3,a3+a4=5,则a7+a8等于.解析:设等差数列的公差为d,由题意得解得a1=,d=.所以a7+a8=a1+6d+a1+7d=9.答案:98.在等差数列中,已知a5=10,a12>31,则公差d的取值范围是.解析:设此数列的首项为a1,公差为d,由已知得②-①得7d>21,所以d>3.答案:d>39.已知a,b,c成等差数列,且它们的和为33,又lg(a-1),lg(b-5),lg(c-6)也构成等差数列,求a,b,c.解:由已知,得∴解得a=4,b=11,c=18,或a=13,b=11,c=9.10.已知函数f(x)=,数列{x n}的通项由x n=f(x n-1)(n≥2且n∈N+)确定.(1)求证:是等差数列;(2)当x1=时,求x100.解：(1)证明:∵x n=f(x n-1)=(n≥2且n∈N+),∴,∴(n≥2且n∈N+),∴是等差数列.(2)解∵+(n-1)×=2+,∴=35,∴x100=.。

课时作业2 数列的函数特性时间：45分钟 满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．数列{a n }，a n ＝f (n )是一个函数，则它的定义域为( ) A ．非负整数集 B ．正整数集 C ．正整数集或其子集D ．正整数集或{1,2,3,4，…，n } 【答案】 D【解析】 根据数列的定义可以得出．2．数列53，108，17a ＋b ，a －b 24，…中，有序数对(a ，b )可以是( )A ．(21，－5)B ．(16，－1)C ．(－412，112)D ．(412，－112)【答案】 D【解析】 通项公式为(n ＋1)2＋1n (n ＋2)，故⎩⎨⎧a ＋b ＝15，a －b ＝26.∴a ＝412，b ＝－112.3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( ) A ．107B ．108C ．10818 D ．109【答案】 B【解析】 a n ＝－2n 2＋29n ＋3 ＝－2(n 2－292n )＋3 ＝－2(n －294)2＋3＋2928. 当n ＝7时，a n 最大且a 7＝108.4．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2＋kn ＋2，若对于n ∈N ＋，都有a n ＋1>a n 成立，则实数k 的取值范围是( )A ．k >0B ．k >－1C ．k >－2D ．k >－3【答案】 D【解析】 ∵a n ＋1>a n ， ∴a n ＋1－a n >0. 又a n ＝n 2＋kn ＋2，∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋2－(n 2＋kn ＋2)>0. ∴k >－2n －1.又－2n －1(n ∈N ＋)的最大值为－3， ∴k >－3.5．已知数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a n ＝an ＋2，b n ＝bn ＋1(a ，b 为常数)，且a >b ，那么两个数列中序号与数值均相同的项的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】 A【解析】 设an ＋2＝bn ＋1， ∴(a －b )n ＋1＝0， ∵a >b ，n >0，∴(a －b )n ＋1＝0不成立，故选A.6．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中x 的值是( ) A ．21 B ．20 C ．18 D ．5【答案】 A【解析】 由题意知：从第3项起，每一项都等于它的前面相邻两项的和，所以x ＝8＋13＝21.7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1－1，则关于a n 的最大项，最小项叙述正确的是( )A ．最大项为a 1，最小项为a 3B ．最大项为a 1，最小项不存在C ．最大项不存在，最小项为a 3D ．最大项为a 1，最小项为a 4 【答案】 A【解析】 令t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －1，则它在N ＋上递减且0<t ≤1，而a n ＝t 2－t ，在0<t ≤12时递减，在t ≥12时递增，且n ＝1时，t ＝1，n ＝2时，t ＝34，n ＝3时，t ＝916，n ＝4时，t ＝2764，且a 4>a 3，故选A.二、填空题(每小题5分，共15分)8．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋5，则它的通项公式为________．【答案】 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4 (n ＝1)2n －3 (n ≥2)【解析】 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－2n ＋5－(n －1)2＋2(n －1)－5＝2n －3，n ＝1时，a 1＝S 1＝4，不适合上式，∴a n ＝⎩⎨⎧4 (n ＝1)2n －3 (n ≥2).9．已知数列{a n }中，a n ＝b n ＋m (b <0，n ∈N ＋)满足a 1＝2，a 2＝4，则a 3＝________.【答案】 2【解析】 a 1＝2，a 2＝4，∴⎩⎨⎧2＝b ＋m 4＝b 2＋m，∴⎩⎨⎧b ＝2m ＝0(舍去)或⎩⎨⎧b ＝－1m ＝3，∴a 3＝(－1)3＋3＝2.10．若数列{a n }的通项公式为a n ＝－2n 2＋13n ，关于该数列，有以下四种说法：(1)该数列有无限多个正数项；(2)该数列有无限多个负数项；(3)该数列的最大项就是函数f (x )＝－2x 2＋13x 的最大值；(4)－70是该数列中的一项．其中正确的说法有________．(把所有正确的序号都填上) 【答案】 (2)(4)【解析】 令－2n 2＋13n >0，得0<n <132，故数列{a n }有6项是正数项，有无限个负数项．当n ＝3时，数列{a n }取到最大值，而当x ＝3.25时函数f (x )取到最大值．令－2n 2＋13n ＝－70，得n ＝10，或n ＝－72(舍去)．即－70是该数列的第10项．三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－n 2＋24n (n ∈N ＋)． (1)求{a n }的通项公式．(2)当n 为何值时，S n 达到最大？最大值是多少？ 【解析】 (1)a n ＝－2n ＋25(n ∈N ＋)． (2)当n ＝12时，S n 最大，S 12＝144.12．(15分)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋7. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．【解析】 数列的通项a n 与n 之间构成二次函数关系，可结合二次函数知识去进行探求，同时要注意n 的取值范围．(1)由n 2－8n ＋7<0，得1<n <7，∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3,4,5,6， ∴{a n }有5项是负数．(2)∵a n ＝n 2－8n ＋7＝(n －4)2－9， ∴n ＝4时，a n 取最小值，其最小值为9. 13．(20分)数列{a n }中，a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1.(1)求这个数列的第10项； (2)99100是否为该数列的项，为什么？ (3)求证：a n ∈(0,1)；(4)在区间(13，23)内有无数列{a n }的项，若有，有几项？若无，说明理由．【解析】 (1)∵a n ＝9n 2－9n ＋29n 2－1＝3n －23n ＋1， ∴a 10＝2831.(2)假设99100是数列{a n }中的项，则 3n －23n ＋1＝99100⇒3n ＝299， 此方程无整数解， ∴99100不是该数列的项．(3)证明：∵a n ＝3n －23n ＋1＝1－33n ＋1，n ∈N ＋，∴0<33n ＋1<1，∴a n ∈(0,1)． (4)由13<a n <23， 得13<3n －23n ＋1<23.∴⎩⎨⎧3n ＋1<9n －69n －6<6n ＋2⇒76<n <83，∴当且仅当n ＝2时，在区间(13，23)内有数列{a n }的项．。

[学业水平训练]．等差数列，－，－，…中，－的项数是( )．．．．解析：选.∵＝，＝－，∴＝＋(－)×(－)＝－＋，令－＋＝－，解得＝.故选.．等差数列{}的前三项分别是－，＋，＋，则该数列的通项公式为( )．＝－．＝－．＝＋－．＝＋－解析：选.公差＝(＋)－(－)＝，首项＝－，所以＝＋(－)＝－＋(－)＝＋－.．等差数列{}中，已知＝，＋＝，＝，则等于( )．．．．解析：选.由＝，＋＝，可求得公差＝.所以＝＋(－)＝，解得＝.．一个首项为，公差为整数的等差数列，如果前项均为正数，第项起为负数，则它的公差是( )．．－．－．－．－解析：选.设该数列的公差为，∵＝＋(－)，且得－＜＜－，又∈，∴＝－.．已知等差数列{}的首项＝，第项是第一个比大的项，则公差的取值范围是( ) ．＞．＜＜＜＜≤解析：选.设{}的通项公式为＝＋(－)，由题意得即解得＜≤.．在数列{}中，＝，＋＝＋，则＝．解析：由已知得＋－＝，则数列{}是首项＝，公差为的等差数列，∴＝＋×＝.答案：．已知{}为等差数列，＋＝，则＝．解析：∵＋＝＝，∴＝，或由＋＝＋＝，∴＋＝，∴＝＋＝.答案：．等差数列{}中，＝，＝，则＝．解析：由是与的等差中项，得＝＋，∴＝－＝×－＝.答案：．在等差数列{}中：()已知＝，＝－，求与；()已知＋＝，＋＝，求.解：()由＝＋＝－，＝，解得＝－.∴＝＋＝＋×(－)＝－.()由(＋)－(＋)＝＝，得＝.．第一届现代奥运会于年在希腊雅典举行，此后每年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．()试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；()年伦敦奥运会是第几届？年举行奥运会吗？解：()由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以为首项，为公差的等差数列．这个数列的通项公式为＝＋(－)＝＋(∈＋)．()假设＝，由＝＋，得＝.假设＝，但＝＋无正整数解．所以年伦敦奥运会是第届奥运会，年不举行奥运会．[高考水平训练]．在数列{}中，＝，＋＝－，则该数列中相邻两项乘积为负值的项是( )．和．和．和．和解析：选.因为＋＝－，所以{}是以－为公差的等差数列．所以＝＋(－)·(－)．验证可知＝，＝－，即·＝－＜.．若≠，且，，，和，，，，各自都成等差数列，则＝．解析：设数列，，，的公差为，数列，，，，的公差为，则－＝，－＝，而＝＋，所以＝.又＝＋，所以＝.因此＝.故＝＝.答案：．已知点(，)都在直线：＝＋上，为直线与轴的交点，数列{}成等差数列，公差为(∈)，分别求数列{}，{}的通项公式．＋解：由题意，得(－，)，∴＝－.又∵＝，∴＝＋(－)＝－＋(－)·＝－.又∵点(，)都在直线＝＋上，∴＝＋＝(－)＋＝－.故＝－，＝－.．某公司经销一种数码产品，第年可获利万元．从第年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从第几年起，该公司经销这一产品将亏损？解：由题设可知第年获利万元，第年获利万元，第年获利万元，…，每年获利构成等差数列{}，且当＜时，该公司会出现亏损．设从第年起，第年的利润为万元，则＝，－－＝－，≥，∈＋，所以每年的利润可构成一个首项为，公差为－的等差数列{}，从而＝－.若＜，则该公司经销这一产品将亏损，所以由＝－＜，得＞，即从第年起，该公司经销此产品将亏损．。

分钟课时作业一、选择题：每小题5分，共30分.1.已知数列c为常数，以下说法中正确的是（）A.｛。

”｝是等差数列时，｛ca n｝不一定是等差数列B.｛禺｝不是等差数列时，｛“”｝一定不是等差数列C.｛ca n｝是等差数列时，｛。

”｝一定是等差数列D.｛“”｝不是等差数列时，｛给｝一定不是等差数列解析：｛给｝是等差数列，公差为〃时，｛ca n｝的公差为〃c,也―定是等差数列，故A不对；｛。

”｝不是等差数列时，若c=0,则｛ca“｝是等差数列，故B不正确；｛ca n｝是等差数列，c=0时，｛«…｝不一定是等差数列，故C不正确；从而选D.答案：D2・已知m和2〃的等差中项是4,2/71和n的等差中项是5,则加和〃的等差中项是（）A. 2B. 3C・6 D・9解析：由题意= &2m-\-n=10,两式相加得3m+3n = 18, m-\-n = 69所以加和〃的等差中项是3.答案：B3.在等差数列｛给｝中，。

2 = 2,。

3=4，则。

10=( )A. 12B. 14C・16 D・18解析：由题意知,公差d=4—2 = 2,则°1=0,所以。

10=。

1 + 9d=18・故选D.答案：D4 •在等差数列他?｝中Mi二A. 48 C・50B・49 D・51=〒，。

2+。

5=4,给=33,则n是（）解析：Q] =。

2+。

5 = 2。

] + 5〃=4,._2 _• ■ d, ci=(1+ (n-l)J=|+|(n-1) = 33,« = 50. 答案：C5・在等差数列｛给｝中，02=—5,。

6=他+6,则⑷等于（）A. —9 B. —8C. —7D・一4解析：由给二-a m+ («—m)d(m,侍d—・n—m•a6—a46-4 "6 .一厂A— 3・・・d] —。

2 —d一一8・o—4答案：B6・一个首项为23,公差为整数的等差数列，若前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是（）A・—2 B・—3C・—4 D. 一6答案：C二、填空题：每小题5分，7・已知数列｛给｝中，a x =共15分.3 AFT%心幼则©解析:V=5(^22)，如给一1・•・数列｛[｝是以5为公差的等差数列，且首项为!Cl n Cl\ 3•••数列｛，｝的通项公式：匕+（「1）X5詁+5〃-5 = 15〃—143\5n—14*答案:15〃—148・已知s b, c成等差数列，那么二次函数y=a^ + 2bx+c的图像与%轴的公共点的个数是___________ ・解析：Ta, b, c成等差数列，2b=a-\~c.二次函数y=ax1 + 2bx-\-c的判别式J = 4Z?2—Aac = (« + c)2—4ac=(a—c)? 2 0,・•・图像与x轴有一个或两个公共点.答案：1或29.已知等差数列｛给｝中，ai<a2<^9<a n,且知为/—10x+16=0的两个实根，则此数列的通项公式是 ____________ ・匚 亠6/3 + 06=1° 解析：由题意得.'&3。

一、选择题1．若等比数列的首项为98，末项为13，公比为23，则这个数列的项数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】 B【解析】 ∵a 1＝98，a n ＝13，q ＝23，∴98·(23)n －1＝13，则n ＝4.2．等差数列{a n }与{b n }，它们的前n 项之和分别为S n 与S ′n ，如S n S ′n ＝7n ＋14n ＋27(n ∈N ＋)，则a 11b 11的值是( ) A.74B.32C.43D.7871 【答案】 C【解析】 a 11b 11＝2a 112b 11＝a 1＋a 21b 1＋b 21＝212(a 1＋a 21)212(b 1＋b 21)＝S 21S ′21＝7×21＋14×21＋27＝148111＝43. 3．已知x ，y ，z 成等比数列，且0<x <y <z ，a >0，a ≠1，则log a x ，log a y ，log a z 组成的数列( )A ．是等比数列而非等差数列B ．是等差数列而非等比数列C ．既是等差数列又是等比数列D．即不是等差数列又不是等比数列【答案】 B【解析】由等差数列与等比数列的关系可知log a x，log a y，log a z 是等差数列．二、填空题4．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝__________，ac＝________.【答案】－39【解析】∵－1，a，b，c，－9成等比数列，∴b2＝(－1)×(－9)＝9.又∵a2＝－1×b＝－b，∴b＝－3.又b2＝ac，∴ac＝9.5．已知a，b，c成等差数列，那么二次函数y＝ax2＋2bx＋c的图像与x轴的公共点的个数是________．【答案】1或2【解析】∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.二次函数y＝ax2＋2bx＋c的判别式Δ＝4b2－4ac＝(a＋c)2－4ac＝(a－c)2≥0，∴图像与x轴有一个或两个公共点．三、解答题6．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{a n}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求S n.【解析】(1)设等比数列{a n}的首项为a1，公比为q，由题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，又a 1≠0，q ≠0，故q ＝－12.(2)由已知得a 1－a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝3⇒a 1＝4.从而S n ＝4[1－(－12)n ]1－(－12)＝83[1－(－12)n ]．。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）课时作业3等差数列的概念和通项公式时间：45分钟满分：100分一、选择题(每小题5分，共35分)1．已知数列{a n}的通项公式为a n＝2 011－2 012n，则此数列()A．是首项为2 011的等差数列B．是首项为－1且公差为2 012的等差数列C．是公差为2 011的递增等差数列D．是首项为－1且公差为－2 012的递减等差数列【答案】 D【解析】a1＝－1，a n＋1－a n＝[2 011－2 012(n＋1)]－(2 011－2 012n)＝－2 012<0.故选D.2．已知在数列{a n}中，a n＋1－a n＝2，且a1＝2，则这个数列的第10项为()A．18B．19C．20 D．21【答案】 C【解析】由条件知{a n}是公差为2的等差数列，故a10＝a1＋9d＝2＋9×2＝20.3．在等差数列{a n}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{a n}的公差为()A．1 B．2C．3 D．4【答案】 B【解析】∵a1＋a5＝10＝2a3，∴a3＝5.故d＝a4－a3＝7－5＝2.4．在等差数列{a n}中，a1＋a9＝10，a2＋a10＝14，则a4的值为() A．3 B．6C．8 D．10【答案】 A【解析】由a1＋a9＝10，a2＋a10＝14得d＝2，∵a1＋a9＝2a1＋8d＝10，∴a1＝－3，∴a4＝－3＋3×2＝3.5．已知递增的等差数列{a n}满足a1＝1，a3＝a22－4，则a n＝() A．2n B．2n－1C．n－1 D．2n＋1【答案】 B【解析】设等差数列{a n}的公差为d(d>0)．由a3＝a22－4得a1＋2d＝(a1＋d)2－4，即1＋2d＝(1＋d)2－4，d2＝4.又{a n}是递增数列，所以d＝2，故a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)·2＝2n－1.6．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n＝n2，则{a n}()A．是常数列B．是等差数列C．是摆动数列D．非以上三种数列【答案】 B【解析】 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧1， (n ＝1)，2n －1 (n ≥2). ∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．又a n ＋1－a n ＝2为常数，∴{a n }是等差数列．7．设数列{a n }是递增的等差数列，前三项的和是12，前三项的积是48，则它的首项是( )A ．1B ．2C ．4D ．8 【答案】 B【解析】 设等差数列{a n }前三项分别为a －d ，a ，a ＋d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＋a ＋a ＋d ＝12，(a －d )×a ×(a ＋d )＝48，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，d ＝±2(由题意舍去－2). 所以首项为a －d ＝2.二、填空题(每小题5分，共15分)8．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝________.【答案】 13【解析】 等差数列{a n }的公差为d ，则由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，a 1＋4d ＝a 1＋d ＋6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2，∴a6＝a1＋5d＝13.9．若lg2，lg(2x－1)，lg(2x＋3)成等差数列，则x的值为________．【答案】log25【解析】lg(2x－1)－lg2＝lg(2x＋3)－lg(2x－1)，∴2(2x＋3)＝(2x－1)2，∴(2x)2－4×2x－5＝0，∴2x＝5，∴x＝log25.10．在数列{a n}中，a1＝3且对任意大于1的正整数n，点(a n，a n－1)在直线x－y－3＝0上，则a n＝________.【答案】3n2【解析】∵点(a n，a n－1)在直线x－y－3＝0上，∴a n－a n－1＝3，即数列{a n}是首项为3，公差为3的等差数列．∴数列的通项公式为a n＝3＋(n－1)3＝3n，∴a n＝3n2.三、解答题(共50分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．(15分)数列{a n}是等差数列，b n＝ka n＋b(k，b是常数，n∈N ，求证：数列{b n}也是等差数列．＋)【解析】证明：因为{a n}是等差数列，所以a n＋1－a n为常数，不妨设为d.所以b n＋1－b n＝(ka n＋1＋b)－(ka n＋b)＝k(a n＋1－a n)＝kd(常数)，所以数列{b n}为等差数列．12．(15分)已知等差数列{a n}中，(1)a n＝2n＋3，求a1和d；(2)a7＝131，a14＝61，求a100，并判断0是不是该数列的项？【解析】(1)∵a n＝2n＋3，∴a1＝2×1＋3＝5.∴d ＝a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)＋3－(2n ＋3)＝2.(2)设数列{a n }的公差为d ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋6d ＝131，a 1＋13d ＝61.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝191，d ＝－10. 故a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝－10n ＋201.∴a 100＝－10×100＋201＝－799.令－10n ＋201＝0，解得n ＝20.1∉N ＋，∴0不是该数列的项．13．(20分)第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；(2)2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？【解析】 (1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为a n ＝1 896＋4(n －1)＝1 892＋4n (n ∈N ＋)．(2)假设a n ＝2 008，由2 008＝1 892＋4n ，得n ＝29.假设a n ＝2 050,2 050＝1 892＋4n 无正整数解．所以2008年北京奥运会是第29届，2050年不举行奥运会．。