高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布第62讲条件概率n次独立重复试验与二项分布课件理

跟进训练2 (1)(2023·上海宝山二模)从装有3个红球和4个蓝球的袋中，每次不 放回地随机摸出一球．记“第一次摸球时摸到红球”为A，“第二次摸球时摸 到蓝球”为B，则P(B|A)＝________． (2)(2022·天津卷)52张扑克牌，没有大小王，无放回地抽取两次，则两次都抽 到A的概率为 ______；已知第一次抽到的是 A，则第二次抽取 A的概率为 ________．
√
提醒： P(B|A)与P(A|B)的意义不同，“|”后面的表示条件，一般情况下，二者 不相等．
1 0≤P(B|A)≤1 P(B|A)＋P(C|A)
1－P(B|A)
P(A)P(B|A)
√
√
0.72
链接·2024高考试题 (2024·天津高考数学真题) A，B，C，D，E五种活动，甲、乙都要选择三个 活动参加．甲选到A的概率为________；已知乙选了A活动，他再选择B活动的 概率为________．
第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第4课时 事件的相互独立性、条件概率与全 概率公式
考点一 事件的相互独立性 对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝____________成P立(A，)·则称P(事B件) A与事件B相互独立，简
概念 称为独立
性质
P(B)
P(A)
提醒：(1)事件A与B独立的直观理解是，事件A是否发生不会影响事件B发生的概率， 事件B是否发生也不会影响事件A发生的概率． (2)P(AB) ＝ P(A)P(B) 只 有 在 事 件 A ， B 相 互 独 立 时 ， 公 式 才 成 立 ， 此 时 P(B) ＝ P(B|A)． (3)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

i(i＝0,1,2,3)，令 6－i＝5，得 i＝1，则(x2＋x)3 的展开式中 x5 项的系数是
C13＝3，故(x2＋x＋y)5 的展开式中，x5y2 的系数是 C25·3＝10×3＝30。
答案 C
角度二：几个多项式和的展开式中特定项(系数)问题
2.x3－2x4＋x＋1x8 的展开式中的常数项为(
A．15x2
B．20x3
C．21x3
D．35x3
【解析】 (1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 令 x＝0，得 a0＝1。 令 x＝1，则(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6。 又(1＋x)6 的展开式二项式系数最大项的系数最大， ∴(1＋x)6 的展开式系数最大项为 T4＝C36x3＝20x3。
相等，则奇数项的二项式系数和为( )
A．212
B．211
C．210
D．29
解析 由条件知 C3n＝C7n，∴n＝10。∴(1＋x)10 中二项式系数和为 210， 其中奇数项的二项式系数和为 210－1＝29。
答案 D
5．已知 C0n＋2C1n＋22C2n＋23C3n＋…＋2nCnn＝729，则 C1n＋C2n＋C3n＋…＋ Cnn＝___6_3____。
＝2n。
二项展开式中，偶数项的二项式系数的和__等__于____奇数项的二项式系 数的和，即 C0n＋C2n＋…＝___C_1n_＋__C_3n_＋__…_____＝____2_n－_1______。
基础自测
[判一判]
(1)Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式中的第 r 项。( × ) 解析 错误。根据二项展开式的通项可知，Crnan－rbr 是(a＋b)n 的展开式

名师点拨 求相互独立事件同时发生的概率的方法 1．首先判断几个事件的发生是否相互独立． 2．再求相互独立事件同时发生的概率． (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解； (2)正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
跟踪训练
甲、乙、丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为
1 2
跟踪训练 某市的教育研究机构对全市高三学生进行综合素质测试，随机抽取了 部分学生的成绩，得到如图所示的成绩频率分布直方图．
(1)估计全市学生综合素质成绩的平均值； (2)若评定成绩不低于80分为优秀，视频率为概率，从全市学生中任选3名学生(看 作有放回的抽样)，变量ξ表示3名学生中成绩优秀的人数，求变量ξ的分布列及期 望E(ξ)． 解析：(1)依题意可知 55×0.12＋65×0.18＋75×0.40＋85×0.22＋95×0.08＝74.6， 所以综合素质成绩的平均值为74.6.
该校成绩高于120分的有
人．
[解析] (1)由题意知，P(AB)＝233＝38，
3 P(A)＝1－213＝78，所以P(B|A)＝PPAAB＝87＝37.
8
(2)因为成绩ξ～N(90，σ2)，所以其正态曲线关于直线x＝90对称．又P(60≤ξ≤120)
＝0.8，由对称性知成绩在120分以上的人数约为总人数的
P(ξ＝50)＝12×1－12－13＋1－13－12×13＝356.
P(ξ＝60)＝1－13－12×1－12－13＝316. 故ξ的分布列为
ξ 20 30 40 50 60
P
1 6
13 11 5 1 36 36 36 36
∴ξ的数学期望是E(ξ)＝20×16＋30×1336＋40×3116＋50×356＋60×316＝35.

D．若另有3名学生加入这4个小组，可自由选择小组，且第一组必有人选，则
不同的选法有35种
(1)B (2)D (3)ABC [(1)由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法， 由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(种)走法． (2)如图，先在区域A布置花卉，有5种不同的布置方案，再在区域E布置花卉， 有4种不同的布置方案，再在区域D布置花卉，有3种不同的布置方案．若区域B 与区域E布置同一种花卉，则区域C2种不同的布置方案，区域C有3种不同的布置方 案．故不同的布置方案有5×4×3×(3＋2×3)＝540(种)．故选D.
跟进训练3 (1)(2021·全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短 道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项 目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有( )
A．60种 B．120种 √C．240种 D．480种
(2)(2024·山东泰安高三模拟)第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日至 8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选 项目．若将3男、3女6名志愿者分成3组，每组一男一女，分别分配到3个自选 项目比赛场馆服务，则不同的分配方案共有( )
点拨 求解排列应用问题的六种常用方法
考向2 组合问题 [典例3] 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35 种商品中选取3种． (1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
[拓展变式] 若本例(1)中 CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到 G的最短路径有___2_6____条．