正余弦定理应用举例(一)

则BD=AD· tan∠BAD = 3 200
3
3
3
BC CD BD 200 200 400 . 3 3
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200 3 3
高度问题---练习
3
4
【规律方法】 ①测量高度时，要准确 理解仰、俯角的概念；②分清已知和待求， 分析(画出)示意图，明确在哪个三角形内应 用正、余弦定理．
D
C
B
A
解:设缉私船用t h在D处追上走私船， 则有CD=10 3 t，BD=10t. 在△ABC中，∵AB= 3 -1，AC=2， ∠BAC=120°, ∴由余弦定理， 得BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cos∠BAC
=（ 3 -1）2+22-2×（ 3 -1）×2×cos 120°=6, 即∠CBD=90°+30°=120°，
圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的
最大值.
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解 设∠POB=θ，四边形面积为y， 则在△POC中，由余弦定理得 PC2=OP2+OC2-2OP· OCcos θ=54cos θ.
y SOPC SPCD 1 1 2sin 3 (5 4cos ) 2 4 2sin( ) 5 3 . 3 4 当 ,即 5 时, ymax 2 5 3 . 3 2 6 4 所以四边形OPDC 面积的最大值为2 5 3 . 4
检 验
实际问题的解
谢谢观赏
天行健，君子自强不息； 地势坤，君子厚德载物。
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角度问题---典例
例3 在海岸A处发现北偏东45方向，距离A处( 3 - 1)海里
的B处有一艘走私船，在 A处北偏西75的方向，距离A处2 海里的C处的缉私船奉命以 10 3海里的速度追截走私船 ， 此时，走私船正以 10海里 / 时的速度从BБайду номын сангаас向北偏东 30方 向逃窜，问缉私船沿什 么方向能最快追上走私 船？

正余弦定理的应用举例正、余弦定理的应用举例（1）知识梳理一、解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解二．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.三．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.典例剖析题型一距离问题例 1.如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？解：如图，连结，由已知，，，又，是等边三角形，，由已知，，，在中，由余弦定理，．．因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）．答：乙船每小时航行海里．题型二高度问题例2、在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4，求的大小和建筑物AE的高。

解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中，AC=BC=30，AD=DC=10，ADC=180-4，=。

sin4=2sin2cos2cos2=,得2=30=15，在RtADE中，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法二：（设方程来求解）设DE=x，AE=h在RtACE中,(10+x)+h=30在RtADE中,x+h=(10)两式相减，得x=5,h=15在RtACE中,tan2==2=30,=15答：所求角为15，建筑物高度为15m解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为AE=x，由题意，得BAC=，CAD=2，AC=BC=30m,AD=CD=10m在RtACE中，sin2=------①在RtADE中，sin4=,----②②①得cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15答：所求角为15，建筑物高度为15m评析：根据题意正确画出图形是解题的关键，同时要把题意中的数据在图形中体现出来。

AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos
练习1、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正 北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的 方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔 在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这 艘船可以继续沿正北方向航行吗？
答：此船可以继续沿正北方向要计算
油泵顶杆BC的长度．已知车厢的最大仰角是60°，油泵顶点B 与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 6°20’，AC长为1.40m，计算BC的长（精确到0.01m）．
6020
（1）什么是最大仰角？
AC

a sin( )
sin180 (


)

a sin( ) sin(
)
BC

a sin
sin180 (



)

a
sin(
sin


)
计算出AC和BC后，再在⊿ABC中，应用余弦定理计 算出AB两点间的距离
6020 已知△ABC中AB＝1.95m，AC＝1.40m，
夹角∠CAB＝66°20′，求BC． 解：由余弦定理，得
最大角度
BC 2 AB2 AC 2 2 AB AC cos A 1.952 1.402 2 1.951.40 cos 6620 3.571
距离
高度
角度
例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， 测出AC的距离是55cm，∠BAC＝51o， ∠ACB ＝75o，求A、B两点间的距离（精确到0.1m）

正余弦定理应用举例（一）测量距离问题一、学习任务：利用解决实际中有关距离、高度、角度的测量问题。

1、巩固正弦定理、余弦定理等知识。

2、利用正弦、余弦定理等知识求解实际中有关距离问题。

二、预习任务：（查资料完成并记住）1、 方位角：2、 方向角：3、 仰角与俯角：4、 坡比和坡角：三、回顾正、余弦定理公式及变式：1、正弦定理公式：2余弦定理公式：四、自主探究(一)、测量距离问题问题1、（1）测量从一个可到达的点A 到一个不可到达的点B 之间的距离问题。

如图所示：(11页图)这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，应怎样计算？ 例如：课本例1.中AC=8cm ，∠BAC=30︒，∠ACB=45︒求A 、B 两点的距离？（2）若A 、B 不能直达之间用一座山隔着，A 、B 、C 都可到达（如图）我们需要测得哪些量就可求出AB 的长？若AD 、BE 的长已知了，如何求出DE=? (这实际上就是已知三角形两个角和一边解三角形的问题)。

例1.中变式：AC=8cm ，∠BAC=30︒，∠ACB=45︒AD=DE=1 cm ，求D 、,E 两点的距离？问题2、测量两个不可到达的点A 、B 之间的距离问题。

如图所示：(12页上图)首先把不可到达的两点A 、B 之间的距离转化为应用正、余弦定理求三角形边长问题，然后把未知的BC 和AC 的距离问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题。

例2、（课本11页例2、）变式训练1、在一次反恐作战准备中，为了弄清基地组织两个训练营地A 和B 之间的距离，盟军在两个相距为a 23的观测点C 和D 处，测得∠ADB=30︒,∠BDC=30︒,∠DCA=60︒，∠ACB=45︒，求基地组织的这两个训练营地之间的距离。

变式训练2、隔河看两目标A,B,但不能到达，在岸边选取相距3km 的C 、D 两点，并测得∠ACB=75︒，∠BCD=45︒,∠ADC=30︒,∠ADB=45︒,(A 、B 、C 、D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离？五、巩固训练1、 已知A 、B 两地相距10km ，B 、C 两地相距20km ，且∠ABC=120︒，则A 、C 两地相距_______。