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偏微分方程和数值方法

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第11章偏微分方程和数值方法本章的学习目标了解布莱克-休尔斯方程所属的二阶偏微分方程的类型；了解热传导方程的推导过程和它代表的物理意义；理解偏微分方程所附带的边界条件和初始条件的具体形式和现实意义；熟悉傅里叶变换方法及其主要性质；熟悉用傅里叶积分变换来求热传导方程；掌握通过变量代换来求解布莱克-休尔斯方程；了解求解偏微分方程的主要几种有限差分格式以及各自的优缺点；掌握柯尔莫格罗夫方程的推导过程，并理解扩散过程和数学期望之间的联系；掌握费曼-卡茨定理并了解它同风险中性定价之间的关系；了解产生随机数、随机分布和随机过程的技术方法；掌握使用蒙特卡罗模拟技术计算期权的实际操作方法和两种算法优化技术。

完整学习有着数百年知识积淀的偏微分方程理论本身是一项艰巨而耗费时日的工作。

幸运的是：在我们所关注的微观金融领域，几乎所有被用到的偏微分方程都只属于其中一个很小的类别——二阶线性偏微分方程。

因此这一章的设计思想（用软件行业的术语来说）是完全面向任务的，目标很明确：求解布莱克-休尔斯方程。

我们这样安排本章的结构：首先了解一下偏微分方程的数学表达形式，并在直观的热物理背景下，讨论偏微分方程的定解问题。

然后使用经典的傅里叶变换（Fourier transform）技术来求出一般热传导方程的解析解，这就使我们可以遵循布莱克-休尔斯（1973）的方法求解布莱克-休尔斯偏微分方程获得期权价格。

但是由于获得解析解的机会并不多，因此我第11章 偏微分方程和数值方法·533·们要学习偏微分方程的数值解法（numerical method ）——有限差分方法（finite difference method ）。

此外，根据风险中性定价原理和费曼-卡茨（Feynman-Kac ）理论，布莱克-休尔斯方程还有一种概率解。

但是获得这种概率解同样需要一种被称为蒙特卡罗的数值方法，因此本章最后我们要考察这日益重要的种计算机模拟（simulation ）技术。

11.1 介 绍11.1.1 基本概念我们在第4、9、10章中都见到过著名的布莱克-休尔斯方程：02122 22=−∂∂+∂∂+∂∂rf S f rS S f S t f σ 其中S 是某种基础产品的价格，r 是无风险收益率，t 是时间，σ是S 的波动率，f 则是基于S 的衍生产品的价格。

这个偏微分方程包含了衍生产品价格运动信息，是对所有基础产品和基于它的衍生产品之间相对价格运动形式的高度概括。

它在金融理论中的重要性，怎样强调都不过分。

就其本身而言，这是一个有着两个自变量的偏微分方程，这种偏微分方程的更一般形式为：G Ff Ef Df Cf Bf Af t S tt St SS =+++++ （11-1）该方程有这样几个特征：（1）它（被称为）是二阶的，因为（如果）它的最高阶是22 Sf ∂∂； （2）它（被称为）是齐次的，因为（如果）0),(=t S G ；（3）它（被称为）是线性的，因为（如果）A 、B 、C 、D 这些系数只是自变量S 和t 的函数。

二阶线性偏微分方程有不少类别，数学上对二阶线性偏微分方程的最重要的分类方式受到解析几何中对二次曲线：022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax的分类方法的启发。

我们知道根据上面曲线方程的系数可以判断二次曲线的形状究竟是双曲线、抛物线或者椭圆。

类似的在这里，方程（11-1）中：（1）如果042>−AC B ，就称之为双曲型（hyperbolic ）偏微分方程；（2）如果042=−AC B ，则称之为抛物型（parabolic ）偏微分方程；微观金融学及其数学基础·534·（3）如果042<−AC B ，则称之为椭圆型（elliptic ）偏微分方程。

对于布莱克-休尔斯方程，因为有：222/1S A σ=0===G C BrS D =r F E −==,1而且042=−AC B所以现在可以知道，我们面对的是一个二阶齐次线性抛物型偏微分方程。

听上去相当复杂，我们接下来的任务就是一步一步揭开这种方程所蕴涵的实际物理意义，并得到求解它的一般方法。

11.1.2 物理意义一个二阶齐次线性抛物型偏微分方程究竟描述了怎样的一种现象呢？鉴于它最初的来源和最广泛的应用都发生在热物理领域，我们不妨来看一下它的实验背景，这对于我们理解这个方程将提供足够的洞察力。

根据日常生活的经验，我们知道当物体内部各处的温度不一致时，热量就会从高温处向低温处传递，这被称为“热传导”现象。

现在假定存在一导热物体，它在3维空间占据的区域为G ，边界面为G ∂，我们怎样才能知道它其中的某一部分的温度变化情况呢？用温度函数),,,(t z y x u 表示该物体在t 时刻和),,(z y x 位置的温度，我们来建立该温度函数需要满足的关系式①。

设想从物体G 内任意割取一个由光滑曲面L 所围成的区域D （见图11-1）。

根据热量守恒定律，D 内各点的温度由任一时刻1t 的),,,(1t z y x u 改变为2t 时刻的),,,(2t z y x u 所吸收（或释放）的热量Q ，应当等于从1t 到2t 时间内通过L 进入（或流出）D 内的热量1Q 和D 内热源提供的热量2Q 的总和。

图11-1 热量在物体内部的传导① 以下分析均假定u 对x ，y ，x 具有二阶连续偏导数，对t 具有一阶连续偏导数。

第11章 偏微分方程和数值方法·535·下面我们分别决定这些热量，首先是:（1）D 内温度改变所需要的热量Q 。

假定物体的比热（使单位质量的物体温度改变1摄氏度所需要的热量）为),,(z y x c ，密度为),,(z y x ρ。

那么根据物理中的实验规律，无穷小体积z y x V d d d d =的温度由),,,(1t z y x u 升高到),,,(2t z y x u 所需要的热量Q d 为：V t z y x u t z y x u c Q d )],,,(),,,([d 21−=ρ （11-2）整个D 由于温度改变需要的热量是：∫∫∫−=DV t z y x u t z y x u c Q d )],,,(),,,([21ρ （11-3）根据牛顿-莱布尼兹公式∫∂∂=−21 12d ),,,(),,,(t t t tu t z y x u t z y x u （11-4） 前式可以改写为∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂=∂∂=D t t D t t t V t u c V t t u c Q 2121 d d d d ρρ （11-5） （2）通过L 进入D 的热量1Q 。

这里要使用热物理中的傅里叶（Fourier ）热传导定律。

该定律证明了：在无穷小时间间隔d t 内通过一个法矢量为n 的无穷小曲面d S ，流向n 所指那一侧的热量为：t S nu z y x k Q d d ),,(d ∂∂−= （11-6） 其中),,(z y x k 是该物体在点),,(z y x 处的热传导系数。

它恒为正，数值大小取决于组成物体的材料的性质；n 是曲面的外法线，n u ∂∂/是温度函数在),,(z y x 处沿外法线n 的方向导数。

我们规定n 所指的那一侧为S d 的正侧，因此该式表示了在t d 时间内从S d 的负侧流向正侧的热量。

之所以用负号表示热流的方向与温度梯度方向相反，因为热量总是从温度高的一侧流向温度低的一侧。

现考虑光滑封闭曲面L ，设在其上确定了一连续变动的单位外法线n ，则在两个时刻1t 和2t 内，经由该物体内任意封闭曲面L 进入D 的热量为：t S n u k Q t t Ld d 21 1∫∫∫ ∂∂−= （11-7）微观金融学及其数学基础·536·应用奥斯托洛夫斯基-高斯（Ostrowski—Gauss ）公式于上式中的曲面积分①，有0d d 21 1=∂∂∂∂+ ∂∂∂∂+ ∂∂∂∂=∫∫∫∫t V z u k z y u k y x u k x Q t t D （11-8） （3）最后是热源提供的热量2Q 。

物体内部可能存在热源，令物体内的热源密度（即单位时间从单位体积内放出的热量）为0),,,(>t z y x F ，则在时间],[21t t 内物体热源所产生的热量为：t V t z y x F Q t t D d d ),,,(21 2∫∫∫∫= （11-9） 根据热量守恒定律应有：21Q Q Q += （11-10）把上面3种热量代入守恒定律就有： t V t z y x F t V z u k z y u k y x u k x t V t u c t t D t t D t tD d d ),,,( d d d d 212121 ∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ +∂∂∂∂+ ∂∂∂∂+ ∂∂∂∂= ∂∂ρ （11-11）即0d d ),,,(21 =− ∂∂∂∂− ∂∂∂∂− ∂∂∂∂−∂∂∫∫∫∫t V t z y x F z u k z y u k y x u k x t u c t t V ρ （11-12） 由于时间间隔],[21t t 以及区域D 是任取的，如果上式积分号下的函数是连续的，则在任意时刻，该物体内任意点，上式中的三重积分必恒等于0。

所以在我们所考察的空间范围和时间范围内恒有：),,,(t z y x F z u k z y u k y x u k x t u c + ∂∂∂∂+∂∂∂∂+ ∂∂∂∂=∂∂ρ （11-13） 这就是温度函数应当满足的偏微分方程，物理上称为各向同性介质有热源三维非齐次热传导方程②。

如果物体是均质的，则k ，c 和ρ均为常数，令ρc k a /2=则上述方程简化为：①该公式又称为散度定理（divergence theorem ），见《数学百科辞典》（1984），p689。

② 分子在介质中的扩散，其浓度u 就满足该方程，因此有时也称它为扩散方程（diffusion equation ），请注意它与我们前面接触到的随机微分方程形式的扩散过程的区别，但是它们之间确实存在密切的联系，后面的分析会揭示这种联系。

第11章 偏微分方程和数值方法·537·),,,(2222222t z y x f z u y u x u a t u +∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ （11-14） 其中ρc F f /=。

在没有热源的情况下，就是说0),,,(=t z y x F ，上述方程可以进一步简化为齐次方程：∂∂+∂∂+∂∂=∂∂2222222z u y u x u a t u （11-15） 如果该物体是一长度为l 的均匀细长杆，则热传导方程最简形式为：l x x u a t u ∈∂∂=∂∂ , 222 （11-16） 在物理上，这个方程定义了热量在一维空间中传导的一种模式：),(t x u 代表了在一根两端绝缘的匀质细长棒中各个点的温度，它随着细棒长度x 和时间t 变化而变化。

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偏微分方程的数值方法

偏微分方程的数值方法

偏微分方程的数值方法偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中研究的重要分支，广泛应用于物理学、工程学等领域中。

由于一些复杂的PDEs难以找到解析解，因此需要借助数值方法进行求解。

本文将介绍偏微分方程的数值解法，包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

一、有限差分法（Finite Difference Method）有限差分法是解偏微分方程最常用的数值方法之一。

它将偏微分方程中的导数用差商来近似，将空间离散成若干个小区间和时间离散成若干个小时间步长。

通过求解离散化后的代数方程，可以得到原偏微分方程的数值解。

以二维的泊松方程为例，偏微分方程可以表示为：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = f(x, y)其中，u(x, y)为未知函数，f(x, y)为已知函数。

我们可以将空间离散成Nx × Ny个小区间，时间离散成Nt个小时间步长。

利用中心差分法可以近似表示导数，我们可以得到离散化的代数方程组。

二、有限元法（Finite Element Method）有限元法是一种重要的数值解PDEs的方法。

它将求解区域离散化成一系列的单元，再通过插值函数将每个单元上的未知函数近似表达。

然后，利用加权残差方法，将PDEs转化成代数方程组。

在有限元法中，采用形函数来近似未知函数。

将偏微分方程转化为弱形式，通过选取适当的形函数和权函数，可以得到离散化后的代数方程组。

有限元法适用于求解各种各样的偏微分方程，包括静态和动态、线性和非线性、自由边界和固定边界等问题。

三、谱方法（Spectral Method）谱方法是一种基于特殊函数（如正交多项式）的数值方法，用于解PDEs。

谱方法在求解偏微分方程时，利用高阶连续函数拟合初始条件和边界条件，通过调整特殊函数的系数来近似求解解析解。

谱方法具有高精度和快速收敛的特点，适用于各种偏微分方程求解。

偏微分方程 解析解与数值解比较

偏微分方程 解析解与数值解比较

偏微分方程解析解与数值解比较解析解与数值解比较的意义偏微分方程是数学中重要的研究对象，广泛应用于自然科学和工程领域。

解析解和数值解是解决偏微分方程的两种方法，它们在精度、计算复杂度和适用范围等方面存在差异。

比较解析解和数值解的优缺点，可以帮助我们选择合适的方法来解决实际问题。

解析解是通过数学推导得到的精确解。

它可以提供方程的整体特征和行为，具有数学上的完美性。

解析解的优点是精确、简洁、快速。

对于简单的偏微分方程，可以直接通过求解微分方程得到解析解。

例如，对于线性的一阶偏微分方程，可以通过分离变量或者变换等方法求得解析解。

解析解在理论研究和数学证明中具有重要意义。

然而，对于复杂的非线性偏微分方程，往往很难得到解析解。

数值解是通过数值计算得到的近似解。

数值解的优点是适用范围广、计算复杂度低。

对于复杂的偏微分方程，往往无法得到解析解，这时只能通过数值方法来求解。

数值解的核心思想是将偏微分方程离散化为代数方程组，然后通过迭代方法求解。

常用的数值方法有有限差分法、有限元法和谱方法等。

数值解可以通过增加计算精度和网格密度来提高计算结果的精确性。

解析解和数值解之间存在着差异和联系。

首先，解析解是精确解，而数值解是近似解。

在计算结果上，解析解可以提供方程的精确解，而数值解只能提供近似解，其精确度受到计算精度和网格密度的限制。

其次，解析解往往适用于简单的偏微分方程，而数值解适用于复杂的偏微分方程。

对于无法得到解析解的偏微分方程，只能通过数值方法来求解。

最后，解析解和数值解可以互相验证和比较。

通过比较解析解和数值解，可以评估数值方法的准确性和稳定性。

在实际应用中，解析解和数值解的选择取决于问题的复杂性、计算资源和求解精度的要求。

对于简单的偏微分方程和要求高精度的问题，可以选择解析解方法。

对于复杂的非线性偏微分方程和大规模计算问题，数值解是更为合适的选择。

在实际求解中，常常会将解析解作为数值解的参考，用于验证数值方法的正确性。

偏微分方程数值解法及其在机械工程中的应用

偏微分方程数值解法及其在机械工程中的应用

偏微分方程数值解法及其在机械工程中的应用偏微分方程是描述自然界许多现象的重要数学工具，广泛应用于物理学、工程学等领域。

现代科技的发展，需要对偏微分方程进行数值求解，以获得实用的有效解答。

本文将介绍一些常用的偏微分方程数值解法，并探讨这些方法在机械工程中的应用。

一、偏微分方程的基本概念偏微分方程（Partial Differential Equation，简称PDE）是描述函数的变化率与它的各个自变量之间关系的方程。

常见的偏微分方程包括波动方程、扩散方程和泊松方程等。

例如，波动方程可以写作：∂²u/∂t² = c²∇²u其中，u是波动的位移，t是时间，c是波速，∇²u是拉普拉斯算子，表示u各方向二阶偏导数的和。

二、偏微分方程数值求解方法由于偏微分方程通常难以解析求解，因此需要采用数值求解方法。

下面分别介绍有限差分法、有限元法和谱方法三种常用的数值解法。

1. 有限差分法有限差分法（Finite Difference Method，简称FDM）将偏微分方程中的微分算子用差分算子代替，将求解区域离散化为网格点，并在这些点上逐一求解。

基本思想是用中心差分公式近似求得函数在某点处的导数，然后用差分公式得到下一时刻的函数值。

有限差分法简单易行，计算效率高，但需要使用较大的网格才能保证精度。

2. 有限元法有限差分法只能适用于规则网格，而有限元法（Finite Element Method，简称FEM）即使在不规则网格上求解也很有优势。

有限元法将求解区域分成若干个小区域，每个小区域内的函数值近似为一些基函数在该区域内的系数之和。

给定问题的初始边界条件和偏微分方程，可以得到解方程所需的线性方程组，进而求出各个区域内的系数。

有限元法需要选择一组适当的基函数及其系数，计算量较大，但对不规则边界问题的求解有较好的适用性。

3. 谱方法谱方法（Spectral Method）是一种基于傅里叶变换思想的数值解法，将函数在某个特定的函数空间内展开为傅里叶级数，即用一些特定的基函数展开求和。

偏微分方程的差分方法与数值解

偏微分方程的差分方法与数值解


显式差分格式
01
利用前一时间步长的温度值，通过差分公式计算下一
时间步长的温度分布。
隐式差分格式
02 需要求解线性方程组，但具有更好的稳定性，适用于
大时间步长。
Crank-Nicolson格式
03
结合了显式与隐式格式的优点，具有二阶精度和无条
件稳定性。
波动方程的数值解法
01
有限差分时间域（ FDTD）方法
数值解法的稳定性和收敛性需要仔细考虑，否则可能导致计算结果不准确 。
未来发展趋势和挑战
发展趋势
随着计算机技术的不断发展，更高性能的计算机和更先进的算法将使得偏微分方程的数值解法更加高效 和精确。
结合人工智能和机器学习技术，可以开发出更加智能化的数值解法，提高计算效率和精度。
未来发展趋势和挑战
未来发展趋势和挑战
数值解的应用
数值解在各个领域都有广泛的应用，如物理学中的波动方程、热传导方程和量子力学方程，化学中的 反应扩散方程，生物学中的生态模型和神经网络模型，以及工程学中的结构力学、流体力学和电磁场 问题等。
02
偏微分方程的基本概念和性质
偏微分方程的定义和分类
定义
偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程。
分类
根据方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数，可分为一阶、二阶和高阶偏微分方程；根据方程中是否包含未知函 数的非线性项，可分为线性和非线性偏微分方程。
偏微分方程的定解条件和适定性
定解条件
为了使偏微分方程的解唯一确定，需要 给出定解条件，如初始条件、边界条件 等。
VS
适定性
适定性是指偏微分方程定解问题的解的存 在性、唯一性和稳定性。对于线性偏微分 方程，通常可以通过能量方法等方法研究 其适定性；对于非线性偏微分方程，适定 性的研究更加复杂，需要运用不动点定理 、上下解方法、变分方法等工具。