例谈求函数值域的方法

例谈求函数值域的方法 邮箱 boy_luck@126.com 邮编 333200 大家都知道函数这一章在整个高中数学学习阶段的重要性，它涉及多种知识的综合应用，并且都是利用函数思想解题，实际上只要有数学表达式就涉及到函数，例如现在常见的不等式恒成立问题、方程的解的问题、不等式的解的问题、应用题中的最值问题等，这些问题如果能构造一个函数及求其值域就能很好的解决。所以在高三第一轮复习函数时，对求函数值域的方法作一个总结。针对求值域问题类型杂、方法多、思路广，为帮助高三同学系统掌握这类问题的求解方法，特做如下归纳： 一、配方法求值域 配方法是指关于某个式子的二次函数问题，对其进行配方，然后借助二次函数的单调性和图象直观性，来求在某个定义域内的值域。形如2()()()(0)Fxafxbfxca的函数值域问题。 例1、求2sincos2sin3yxxx的值域。 解：化简222117sincos2sin3sinsin4(sin)24yxxxxxx sin[1,1]x，结合二次函数图象可得：17[2,]4y 变式1：求2431,yxxxm的值域。

例2求函数3131loglog(3),,92727xyxx的值域。 解：先化简31333loglog(3)log3log127xyxxx 233log2log3xx2

3(log1)4x

由1,927x得：3log3,2x，再结合二次函数性质可以求得12,4y， 变式2：若0,2x时，求函数124325xxy的值域。 二、换元法求函数的值域 换元法是指运用代数或三角代换，将所给函数化成易求值域的函数，从而求得原函数的值域。形如：0..accbadcxbaxy为常数，且 或sincos(sincos)yAxxBxxC。

例3、求函数2612yxx的值域。 解：221222120,,sin,,222222xxxx



,令

26sincos3sincos2sin2623232363yy





函数的值域为，

变式3：求12xxy的值域。 例4、求函数sincossincos2yxxxx的值域。 解：化简sincossincos2yxxxx，令sincostxx

则221(1)6222ttyt，由,xR 得2,2t， 即结合二次图象可求得：32,32y， 变式4：求函数4221122,1,2xxyxxx的值域。（提示：令1txx） 三、函数单调性法求函数值域 单调性法是指能够确定函数在定义域上的单调性，然后求函数在某个区间的值域。形如求函数(0)kyxkx的值域。知道该函数在0xk和0kx上为减函数，在xk和

xk上为增函数。

例5、求函数12yxx的值域。

解：函数12yxx的定义域为1,2，由函数yx和12yx在该定义域内都是

增函数，故函数12yxx在1,2上为增函数。则11112222y，1(,]2y

变式5：求函数22,(0)yxxaa的值域。 例6、已知2()1xafxxbx是奇函数，求()fx的值域。 解：由()fx为奇函数得：()()fxfx， P B A A1

即2211xaxaxbxxbx2211xaxaxbxxbx恒成立。 得：0,0ab，即2()1xfxx为奇函数。 可以证明()fx在(,1]上为减函数，在(1,1)上为增函数。 在[1,)上为减函数，又x时，1()01fxxx，

即函数()fx的值域为[(1),(1)]ff，所以函数()fx的值域为11[,]22 变式6：求函数2254xyx的值域。 四、反函数表达式法求函数的值域 反函数表达式法是利用函数和它的反函数的定义域与值域的互换关系，通过求反函数的定义域，得

到原函数的值域。形如()(0)()cfxdyaafxb的函数的值域，均可使用反函数表达式法()bydfxayc，由()fx的取值去求y的值域。 例7、求函数1212xxy的值域。 解：由1212xxy得112yyx，120,01xyy



,所以|11yyy函数值域为或

变式7：求函数y=xxsin2sin2的值域。 五、数形结合求解函数值域 数形结合思想是高中数学的重要解题思想，在很多领域都有着重要的应用。在求函数的值域时把代数问题转化到几何图形问题，能过图象来求函数的值域。

例8、求函数22()4131237fxxxxx的最小值。 解：上式联想两点的距离公式，由 2222()(2)(03)(6)(01)fxxx

得，

设A（2，3），B（6，1），P（x，0），由上述问题可转化为 求|PA|+|PB|的最小值。作A关于x轴的对称点A1（2，－3），

由|PA|+|PB|=|PA1|+|PB|≥|A1B|=42。所以()fx的最小值是42。

变式8：求函数|3||2|yxx的值域。（提示：|3||2|xx的几何意义是表示数轴上任 A P

u v o

意动点（x，0）到A（2，0）、B（3，0）两定点的距离之差。） 例9、试求函数sin2cos1xyx的值域。 解：由解析式可得：1cos1x，由斜率公式可视 sin2cos1xx为点(cos,sin)Pxx与点(1,2)A的斜率，而点P

满足221(1)xyx，由数形结合不难得出动点P与

定点A的斜率的取值范围，即函数值域为3,)4y。 变式9：求函数2sin24cos1xyx的值域。(提示：化简1sin112cos4xyx，再用构造法来做） 例10、求函数242yxx的值域。 解:令2ux,2vx,则224uv,从而可把 (,)uv看成是圆心在原点且半径为2的14个圆上的动点,

把2yuv看成关于过点(,)uv的直线方程,结合图象易得: 直线和14圆如图相切时有最大值, 解得:||23y,即y的最大值为23, 过点(2,0)时有最小值,即y的最小值为2。 变式10:求函数121yxx的值域. 六、求复合函数值域 复合函数就是: 把一个函数()yfx中的自变量替换成另一个函数()gx所得的新函数

(())yfgx。求这类函数的值域就是要弄清楚这个函数是由哪二个函数合成的，然后先由定义

域求内函数()ygx的值域，再把内函数的值域看作外函数()yfx的定义域去求值域。

例11、求函数2213xxy的值域 解：这个函数看成由1()3xfx和2()2gxxx合成的复合函数(())yfgx。 易得2()2gxxx的值域为1,，再由1()3xfx的定义域为1,， 利用函数的单调递减性可求得值域为0,3，即函数2213xxy的值域为0,3。 变式11：求函数21log,(3)1xyxx的值域。 七、判别式法求函数的值域 判别式法是把函数转化成关于x的二次方程0),(yxF，通过方程有实根，判别式0，

从而求得原函数的值域 ，形如21112222axbxcyaxbxc（不同时为21,aa零）。

例12、求函数221232xxxyxx的值域 解：221232xxxyxx211xxx，所以可化为2(1)10xyxy， 由2(1)4(1)0yy，解得： 323y或323y 所以函数的值域为|y323y或323y

变式12：求y=1322xxxx的值域。 通过例举函数的值域求法,让同学们能够理解各类求解方法，以便今后更好的解决函数的综合应用题。还有可用导数法来求函数的单调性，然后再求值域等方法。这里最后再举几个例子来运用函数值域求法解综合题。

函数应用举例一:关于x的方程021sin4sin224mxmx有实数解，求m的取值范围?

解:原式化为422222sin4sin112(sin2)42sin2sinxxmxxx,再构造一个函数 22

1()2(sin2)42sinfxxx,利用求函数值域的方法可求得17()[,]23fx,

所以根据关于x的方程要有解，则满足17[,]23m。 函数应用举例二:设2()22fxxax , 当 x 1,2时,()fxa恒成立,求a取值范围?

解:由222xaxa

可变形为2221xax,构造函数221191()()1212228()2xgxxxx,

利用求函数值域的方法可求得()[1,)gx,所以由2221xax恒成立得:1a