二次函数在开闭区间上零点个数判断

考点 1 零点的求法及零点的个数

题型 1：求函数的零点。

[例1] 求函数 y x3 2x2 x 2的零点.

[ 解题思路 ] 求函数 y x 3 2x 2 x 2 的零点就是求方程 x 3 2x 2 x 2 0的根

[ 解析 ] 令 x3 2x2 x 2 0 ，∴ x2 ( x 2) ( x 2) 0

∴ (x 2)( x 1)( x 1) 0 ，∴ x 1或x 1或 x 2

即函数 y x3 2x 2 x 2 的零点为 -1 ，1，2。

[ 反思归纳 ] 函数的零点不是点，而是函数函数 y f ( x) 的图像与 x 轴交点的横

坐标，即零点是一个实数。

题型 2：确定函数零点的个数。

[例2] 求函数 f(x)=lnx ＋2x － 6 的零点个数 .

[ 解题思路 ] 求函数 f(x)=lnx ＋ 2x －6 的零点个数就是求方程 lnx ＋ 2x －6=0 的

解的个数

[ 解析 ] 方法一：易证 f(x)= lnx ＋ 2x －6 在定义域 (0, ) 上连续单调递增，

又有 f (1) f (4) 0 ，所以函数 f(x)= lnx ＋ 2x －6 只有一个零点。

方法二：求函数 f(x)=lnx ＋2x － 6 的零点个数即是求方程 lnx ＋2x － 6=0 的解

的个数

y ln x

即求 y 6 2x 的交点的个数。画图可知只有一个。

[ 反思归纳 ] 求函数 y f ( x) 的零点是高考的热点，有两种常用方法：

①（代数法）求方程 f ( x) 0 的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方

程，可以将它与函数 y f ( x) 的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。

一次函数、二次函数、函数的零点

（一）基本知识回顾及应用举例

1. 一次函数.当时，叫做正比例函数，其图象是直线.当时，直线上升，函数为增函数；当时，直线下降，函数为减函数

2. 二次函数的解析式的三种形式

（1）一般式；

（2）顶点式；

（3）零点式

3. 二次函数的图象是抛物线.当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下.抛物线的顶点坐标为，对称轴方程为.抛物线与轴的交点的横坐标是方程的根，它在轴上截得的线段的长为=.

4. 二次方程实根的分布情况，常常根据二次函数的图象与轴的交点的位置来确定.当二次方程在区间内只有一个实根时，有，或；有两个不等实根时，有；在两个区间各有一个实根即时，，.

5. 二次函数与一元二次不等式有紧密的联系.

图1 图2 图3

6. 函数零点的概念：对于函数y＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y＝f（x）（x∈D）的零点。

函数零点的意义：函数y＝f（x）的零点就是方程f（x）＝0的实数根，亦即函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标。即方程f（x）＝0有实数根函数 y＝f（x）的图象与x轴有交点函数y＝f（x）有零点。

例： 问：二次函数f（x）=ax2 ＋bx＋c （a≠0）在什么条件下有两个零点？一个零点？没有零点？

7. 例：观察下面函数f（x）＝0的图象（如图4）。

图4 ①在区间[a，b]上______（有/无）零点；f（a）·f（b）_____0（＜或＞＝。

②在区间[b，c]上______（有/无）零点；f（b）·f（c）_____0（＜或＞＝。

③在区间[c，d]上______（有/无）零点；f（c）·f（d）_____0（＜或＞＝。

如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）＝0的根。

第四节 二次函数

考纲解读 结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

命题趋势探究 对于二次函数，高考中主要考察二次函数的性质及其应用，尤其是二次函数、一元二次方程及一元二次不等式的综合应用.重点考察数形结合与等价转化以及分类讨论三种数学思想.

由于二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间有着密切的联系，在高中数学中应用十分广泛，并对考查学生的数学能力有重要意义，所以以二次函数为命题背景仍将是一个热点.

知识点精讲

一、二次函数解析式的三种形式及图像

1. 二次函数解析式的三种形式

（1）一般式：2()(0)fxaxbxca；

（2）顶点式：2()()(0)fxaxmna；其中，(,)mn为抛物线顶点坐标，xm为对称轴方程.

（3）零点式：12()()()(0)fxaxxxxa，其中，12,xx是抛物线与x轴交点的横坐标.

2．二次函数的图像

二次函数2()(0)fxaxbxca的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bxa，顶点坐标为24(,)24bacbaa.

(1) 单调性与最值

①当0a时，如图2-8所示，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当2bxa时， 2min4()4acbfxa；②当0a时，如图2-9所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，；2max4()4acbfxa.

O

2bxa y

244acbax

图2-8 O y

x

2bxa 244acba图2-9 (2) 与x轴相交的弦长

当240bac时，二次函数2()(0)fxaxbxca的图像与x轴有两个交点11(,0)Mx和22(,0)Mx，212121212||||()4||MMxxxxxxa.

二次函数求取值范围的解题技巧

一、什么是二次函数求取值范围

二次函数是一种常见的函数形式，其数学表达式为：f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数，a不等于0。二次函数的图像通常是一个U形或倒U形的抛物线。

求取值范围是指给定定义域内的x值，求出对应的函数值f(x)的范围。也就是在给定的定义域上，函数能够取到的所有值的集合。

本文将介绍二次函数求取值范围的解题技巧，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。

二、二次函数求取值范围的基本方法

二次函数的求取值范围可以通过探究函数的图像形状和相关的数学性质来确定。

在初学阶段，我们可以借助以下三个基本方法来求解二次函数的取值范围：

1. 完成平方

通过对二次函数进行平方完成，并转换成顶点形式，可以更方便地分析函数的取值范围。

完成平方的基本步骤如下：

1. 将二次函数写成完全平方的形式。

例如：f(x) = ax^2 + bx + c

2. 将二次函数进行平移，使平方项与一次项的和等于顶点横坐标的相反数。

例如：将f(x) = ax^2 + bx + c形式的二次函数通过平移变换得到顶点形式f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标。

3. 根据顶点的纵坐标可以确定函数的取值范围。

– 当a > 0时，函数的图像开口向上，顶点为函数的最小值，取值范围为[y, +∞)。

– 当a < 0时，函数的图像开口向下，顶点为函数的最大值，取值范围为(-∞, y]。 2. 运用导数

二次函数求取值范围还可以通过运用导数的性质来分析。导数可以告诉我们函数的增减性和极值的位置。

步骤如下：

1. 求出二次函数f(x)的导函数f’(x)。

例如：f(x) = ax^2 + bx + c，求导得f’(x) = 2ax + b。

2. 根据导数的符号确定函数的增减性。

– 当导数f’(x) > 0时，函数在该区间上是增函数；