高中数学第一章数列1.3等比数列1.3.1.2习题精选北师大版必修
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第2课时等比数列的性质及应用
课后篇巩固探究
A组
1.在等比数列{a n}中,a5=3,则a2·a8=()
A.3
B.6
C.8
D.9
解析:a 2·a8==32=9.
答案:D
2.若1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则的值等于()
A.-
B.
C.±
D.
解析:∵=1×4=4,∴b2=2或b2=-2(舍去).
又a2-a1==1,∴=-.
答案:A
3.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,c,a,b成等比数列,且a+3b+c=10,则a等于()
A.4
B.2
C.-2
D.-4
解析:由解得a=-4或a=2.
又当a=2时,b=2,c=2,与题意不符,故a=-4.
答案:D
4.在等比数列{a n}中,a1=1,公比|q|≠1.若a m=a1a2a3a4a5,则m=()
A.9
B.10
C.11
D.12
解析:因为{a n}是等比数列,所以a1a5=a2a4=,
于是a 1a2a3a4a5=.
从而a m==(q2)5=q10=1×q11-1,故m=11.
答案:C
5.在正项等比数列{a n}中,=81,则等于()
A. B.3 C.6 D.9
解析:∵=81,
∴=81,∴=81.
∵数列各项都是正数,∴=9.
答案:D
6.在等差数列{a n}中,公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则=.
解析:由题意知a3是a1和a9的等比中项,
∴=a 1a9,∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),得a1=d,
∴.
答案:
7.在1和100之间插入n个正数,使这(n+2)个数成等比数列,则插入的这n个正数的积为.
解析:设插入的n个正数为a1,a2,…,a n.
设M=1·a1·a2·…·a n·100,则
M=100·a n·a n-1·…·a1·1,
∴M2=(1×100)n+2=100n+2,∴M=10=10n+2,
∴a1·a2·…·a n=10n.
答案:10n
8.导学号33194020在表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵行成等比数列,所有公比相等,则a+b+c的值为.
a
b 6
1 2
c
解析:设公比为q,由题意知q=,q2=.
第四行最后一个数为.
因为每一行成等差数列,所以2×2=1+,即bc=6.
因为,所以
所以所以q=.
又=q3=,所以a=8,a+b+c=.
答案:
9.三个互不相等的实数成等差数列,如果适当排列这三个数,又可成为等比数列,且这三个数的和为6,求这三个数.
解由题意,这三个数成等差数列,可设这三个数分别为a-d,a,a+d(d≠0),∴a-d+a+a+d=6,∴a=2,
∴这三个数分别为2-d,2,2+d.
若2-d为等比中项,则有(2-d)2=2(2+d).
解得d=6或d=0(舍去),
此时三个数分别为-4,2,8;
若2+d是等比中项,则有(2+d)2=2(2-d),
解得d=-6或d=0(舍去),此时三个数分别为8,2,-4.
10.已知等比数列{b n}与数列{a n}满足b n=(n∈N+).
(1)判断{a n}是何种数列;
(2)若a8+a13=m,求b1.b2 (20)
解(1)设数列{b n}的公比为q,则q>0.
∵b n=,∴b1=,
∴b n=·q n-1,∴·q n-1=. ①将两边取以3为底的对数得a n=log3(·q n-1)
=a1+(n-1)log3q=log3b1+(n-1)log3q.
∴数列{a n}是以log3b1为首项,log3q为公差的等差数列.
(2)∵a1+a20=a8+a13=m,
∴a1+a2+…+a20==10m,
∴b 1·b2·…·b20=·…·
==310m.
B组
1.已知0<a<b<c,且a,b,c成等比数列,n为大于1的整数,则log a n,log b n,log c n()
A.成等差数列
B.成等比数列
C.各项倒数成等差数列
D.以上都不对
解析:∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac,又=log n a+log n c=log n ac=log n b2=2log n b=,
∴log a n,log b n,log c n的各项倒数成等差数列.
故选C.
答案:C
2.一个等比数列的前三项的积为3,最后三项的积为9,且所有项的积为729,则该数列的项数是
()
A.13
B.12
C.11
D.10
解析:设该等比数列为{a n},其前n项积为T n,则由已知得
a1·a2·a3=3,a n-2·a n-1·a n=9,(a1·a n)3=3×9=33,∴a1·a n=3,
又T n=a1·a2·…·a n-1·a n,T n=a n·a n-1·…·a2·a1,
∴=(a 1·a n)n,即7292=3n,∴n=12.
答案:B
3.在等比数列{a n}中,|a1|=1,a5=-8a2,且a5>a2,则a n等于()
A.(-2)n-1
B.-(-2)n-1
C.±(-2)n-1
D.-(-2)n
解析:∵|a1|=1,∴a1=1或a1=-1.
∵a5=-8a2=a2·q3,∴q3=-8,∴q=-2.
又a5>a2,即a2q3>a2,∴a2<0.
而a2=a1q=a1·(-2)<0,∴a1=1.
故a n=a1·(-2)n-1=(-2)n-1.
答案:A
4.已知等比数列{a n}满足a n>0,n=1,2,…,且a5·a2n-5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=()
A.n(2n-1)
B.(n+1)2
C.n2
D.(n-1)2
解析:由等比数列的性质可得=a 5·a2n-5=22n=(2n)2,
∵a n>0,∴a n=2n,故数列首项a1=2,公比q=2,
故
log2a1+log2a3+…+log2a2n-1=log2(a1·a3·…·a2n-1)=log2[(a1)n q0+2+4+…+2n-2]=log2[2n·]=l
og2=log2=n2,故选C.
答案:C
5.导学号33194021在数列{a n}中,a1=2,当n为奇数时,a n+1=a n+2;当n为偶数时,a n+1=2a n-1,则a12=()
A.32 C.34 C.66 D.64
解析:依题意,a1,a3,a5,a7,a9,a11构成以2为首项,2为公比的等比数列,故a11=a1×25=64,a12=a11+2=66.故选C.
答案:C
6.在等比数列{a n}中,已知a9=-2,则此数列的前17项之积为.
解析:∵a 1a2a3·…·a17=(a1·a17)(a2·a16)·…·a9=·…·a9==(-2)17=-217.
答案:-217
7.已知数列{a n}是公差不为零的等差数列,且a5,a8,a13是等比数列{b n}中相邻的三项,若b2=5,求数列{b n}的通项公式.
解∵{a n}是等差数列,
∴a5=a1+4d,a8=a1+7d,a13=a1+12d.
∵a5,a8,a13是等比数列{b n}中相邻的三项,
∴=a 5a13,即(a1+7d)2=(a1+4d)(a1+12d),
解得d=2a1.
∴q=,b2=b1q=5,b1=5,b1=3,
∴b n=3·.
8.导学号33194022已知两个等比数列{a n},{b n}满足a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3=3.
(1)若a=1,求数列{a n}的通项公式;
(2)若数列{a n}唯一,求a的值.
解(1)设{a n}的公比为q,则b1=1+a1=1+a=2,b2=2+aq=2+q,b3=3+aq2=3+q2.
由b1,b2,b3成等比数列,得(2+q)2=2(3+q2),即q2-4q+2=0,解得q1=2+,q2=2-,
故{a n}的通项公式为a n=(2+)n-1或a n=(2-)n-1.
(2)设{a n}的公比为q,则由(2+aq)2=(1+a)·(3+aq2),得aq2-4aq+3a-1=0,由a>0得,Δ=4a2+4a>0,故方程aq2-4aq+3a-1=0有两个不同的实根.又{a n}唯一,故方程必有一根为0,
代入上式得a=.。
