2020年四川省宜宾市高考(理科)数学第二次诊断测试试卷 含解析
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2020年高考（理科）数学二诊试卷
一、选择题（共12小题）
1．设i是虚数单位，则（2+3i）（3﹣2i）＝（ ）
A．13 B．5i C．6﹣6i D．12+5i
2．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，}
3．2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情．如图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（ ）
A．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势
B．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数
C．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大
D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值
4．已知双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．20世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输入正整数m的值为40，则输出的n的值是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
6．在△ABC中，角A的平分线交边BC于D，AB＝4，AC＝8，BD＝2，则△ABD的面积是（ ）
A． B．3 C．1 D．3
7．（1﹣2x）7的展开式中x2的系数为（ ）
A．﹣84 B．84 C．﹣280 D．280
8．定义在[﹣2，2]上的函数f（x）与其导函数f′（x）的图象如图所示，设O为坐标原点，A，B，C，D四点的横坐标依次为﹣，﹣，1，，则函数y＝的单调递减区间是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，1） C．（﹣，﹣） D．（1，2）
9．某人用随机模拟的方法估计无理数e的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点A（1，0）作x轴的垂线与曲线y＝ex相交于点B，过B作y轴的垂线与y轴相交于点C（如图），然后向矩形OABC内投入M粒豆子，并统计出这些豆子在曲线y＝ex上方的有N粒（N＜M），则无理数e的估计值是（ ）
A． B． C． D．
10．若函数f（x）＝|lnx|满足f（a）＝f（b），且0＜a＜b，则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C． D．2
11．M是抛物线y2＝4x上一点，N是圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1关于直线x﹣y﹣1＝0的对称圆上的一点，则MN|的最小值是（ ）
A．﹣1 B．﹣1 C．2﹣1 D．
12．若函数f（x）＝x2+2x﹣mcos（x+1）+m2+3m﹣7有且仅有一个零点，则实数m的值为（ ）
A． B． C．﹣4 D．2
二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分.
13．已知tanα＝3，则cos2α＝
．
14．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为，则S5＝ ．
15．在△ABC中，已知AB＝3，AC＝2，P是边BC的垂直平分线上的一点，则•＝ ．
16．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF（如图①）．将四边形ADEF沿AD折起，连接BE，BF，CE（如图②）．在折起的过程中，则下列表述：
①AC∥平面BEF
②四点B，C，E，F可能共面
③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD ④平面BCE与平面BEF可能垂直，其中正确的是
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.
17．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0，20]，（20，40]，（40，60]，（60，80]，（80，100]分组，绘成频率分布直方图如图：
（Ⅰ）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0，20]和（20，40]内的人数；
（Ⅱ）从所抽取的20人中得分落在组[0，40]的选手中随机选取3名选手，以X表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．
18．已知数列{an}满足+++…+＝．
（1）求数列{an}的通项公式； （2）设数列{}的前n项和为Tn，证明：Tn＜．
19．将棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥D1﹣ACD后得到如图所示几何体，O为A1C1的中点．
（1）求证：OB∥平面ACD1；
（2）求二面角C﹣AD1﹣C1的正弦值．
20．已知中心在原点O的椭圆C的左焦点为F1（﹣1，0），C与y轴正半轴交点为A，且，∠AF1O＝．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点A作斜率为k1，k2（k1k2≠0）的两条直线分别交C于异于点A的两点M，N．证明：当k2＝时，直线MN过定点．
21．已知函数f（x）＝，g（x）＝xsinx+cosx，
（1）判断函数g（x）在区间（0，2π）上的零点的个数；
（2）记函数f（x）在区间（0，2π）上的两个极值点分别为x1，x2，求证：f（x1）+f（x2）＜0．
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系Ox中，曲线C的极坐标方程为＝+ρsinθ，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ﹣sinθ）＝1，设l与C交于A，B两点，AB中点为M，AB的垂直平分线交C于E，F．以O为坐标原点，极轴为x轴正半轴，建立直角坐标系xOy．
（1）求C的直角坐标方程及点M的直角坐标；
（2）求证：|MA|•|MB|＝|ME|•|MF|． [选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+3|．
（1）求不等式f（x）＜1的解集；
（2）若存在实数x，使不等式m2﹣3m﹣f（x）＜0成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）
1．设i是虚数单位，则（2+3i）（3﹣2i）＝（ ）
A．13 B．5i C．6﹣6i D．12+5i
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
解：（2+3i）（3﹣2i）＝6﹣4i+9i+6＝12+5i．
故选：D．
2．已知集合A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} B．{﹣2，﹣1，0，1，2}
C．{﹣1，0，1，2} D．{﹣2，﹣1，0，1，}
【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．
解：∵B＝{x|﹣2＜x＜3}，A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，
∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．
故选：C．
3．2020年初，湖北出现由新型冠状病毒引发的肺炎．为防止病毒蔓延，各级政府相继启动重大突发公共卫生事件一级响应，全国人民团结一心抗击疫情．如图表示1月21日至3月7日我国新型冠状病毒肺炎单日新增治愈和新增确诊病例数，则下列中表述错误的是（ ）
A．2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势
B．随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数
C．2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大
D．我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数在2月12日左右达到峰值 【分析】根据图表，观察分析可得．
解：由图可得，2月下旬新增确诊人数呈波动下降趋势，正确，故A正确，
随着全国医疗救治力度逐渐加大，2月下旬单日治愈人数超过确诊人数，正确，故B正确，
2月10日至2月14日新增确诊人数波动最大，正确，故C正确，
我国新型冠状病毒肺炎累计确诊人数，一直在增加，在2月12日左右新增人数达到峰值，故D错误，
故选：D．
4．已知双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为y＝x，推出b、a的关系式，由此能求出该双曲线的离心率．
解：∵双曲线﹣＝1的一条渐近线方程为y＝x，
∴4a＝3b，
∴c＝＝a
∴e＝＝．
故选：B．
5．20世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输入正整数m的值为40，则输出的n的值是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【分析】这是一个循环结构的问题，根据循环体的运算功能一步步往下算就行，直到算出m＝1，要注意m与n的值对应好．
解：根据框图可知：n＝2，m＝40
n＝6，m＝3×5+1＝16
n＝10，m＝，
故选：B．
6．在△ABC中，角A的平分线交边BC于D，AB＝4，AC＝8，BD＝2，则△ABD的面积是（ ）
A． B．3 C．1 D．3
