2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)-理工类数学

1 2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)

数学(理工类)

本试题卷共6页,22题,其中第15、16题为选考题.全卷满分150分.考试用时120分钟.

注意事项:

1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑.

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.答在试题卷、草稿纸上无效.

3.填空题和解答题的作答:用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.答在试题卷、草稿纸上无效.

4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑.考生应根据自己选做的题目准确填涂题号,不得多选.答题答在答题卡上对应的答题区域内,答在试题卷、草稿纸上无效.

5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交.

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.(2013湖北,理1)在复平面内,复数z=2i1+i(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于( ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

答案:D

解析:∵z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)=i(1-i)=1+i,

∴复数z=2i1+i的共轭复数𝑧=1-i,其在复平面内对应的点(1,-1)位于第四象限.

2.(2013湖北,理2)已知全集为R,集合A= x 12 x≤1 ,B={x|x2-6x+8≤0},则A∩∁RB=( ).

A.{x|x≤0} B.{x|2≤x≤4}

C.{x|0≤x<2或x>4} D.{x|0

答案:C

解析:由题意知集合A= x 12 x≤1 ={x|x≥0},

集合B={x|x2-6x+8≤0}={x|2≤x≤4},

∁RB={x|x<2或x>4}.

因此A∩(∁RB)={x|0≤x<2或x>4}.

3.(2013湖北,理3)在一次跳伞训练中,甲、乙两位学员各跳一次.设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围”,则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( ).

A.(p)∨(q) B.p∨(q)

C.(p)∧(q) D.p∨q

答案:A

解析:“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围,因此应为(p)∨(q).

4.(2013湖北,理4)将函数y= 3cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于y轴对称,则m的最小值是( ).

A.𝜋12 B.𝜋6 C.𝜋3 D.5𝜋6

答案:B

解析:∵y= 3cos x+sin x=2sin x+𝜋3 ,∴函数y= 3cos x+sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后,变为函数y=2sin x+𝜋3+m 的图象.

2 又∵所得到的图象关于y轴对称,则有

𝜋3+m=kπ+𝜋2,k∈Z,

∴m=kπ+𝜋6,k∈Z.

∵m>0,∴当k=0时,m的最小值为𝜋6.

5.(2013湖北,理5)已知0

A.实轴长相等 B.虚轴长相等

C.焦距相等 D.离心率相等

答案:D

解析:对于双曲线C1:x2𝑐𝑜𝑠2θ−y2𝑠𝑖𝑛2θ=1,𝑎12=cos2θ,b12=sin2θ,c12=1;

对于双曲线C2:y2𝑠𝑖𝑛2θ−x2𝑠𝑖𝑛2θ𝑡𝑎𝑛2θ=1,𝑎22=sin2θ,b22=sin2θtan2θ,c22=sin2θ+sin2θtan2θ=sin2θ(1+tan2θ)=sin2θ 1+𝑠𝑖𝑛2θ𝑐𝑜𝑠2θ =𝑠𝑖𝑛2θ𝑐𝑜𝑠2θ=tan2θ.

∵只有当θ=kπ+𝜋4(k∈Z)时,a12=a22或b12=b22或c12=c22,

而0

设双曲线C1,C2的离心率分别为e1,e2,则e12=1𝑐𝑜𝑠2θ,𝑒22=𝑡𝑎𝑛2θ𝑠𝑖𝑛2θ=1𝑐𝑜𝑠2θ.

故e1=e2,即两双曲线的离心率相等.

6.(2013湖北,理6)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB 在CD 方向上的投影为( ).

A.3 22 B.3 152 C.-3 22 D.-3 152

答案:A

解析:由题意可知AB =(2,1),CD =(5,5),故AB 在CD 方向上的投影为AB ·CD

|CD |=15 50=3 22.

7.(2013湖北,理7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t(t的单位:s,v的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ).

A.1+25ln 5 B.8+25ln113

C.4+25ln 5 D.4+50ln 2

答案:C

解析:由于v(t)=7-3t+251+t,且汽车停止时速度为0,

因此由v(t)=0可解得t=4,

即汽车从刹车到停止共用4 s.

该汽车在此期间所行驶的距离

s= 40 7-3t+251+t dt

= 7t-3𝑡22+25𝑙𝑛(t+1) |04

=4+25ln 5(m).

8.(2013湖北,理8)一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为V1,V2,V3,V4,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有( ).

3

A.V1

C.V2

答案:C

解析:由三视图可知,四个几何体自上而下分别为圆台,圆柱,四棱柱,四棱台.结合题中所给数据可得:

V1=13(4π+π+2π)=7𝜋3,V2=2π,

V3=23=8,V4=13(16+4+8)=283.

故V2

9.(2013湖北,理9)如图,将一个各面都涂了油漆的正方体,切割为125个同样大小的小正方体.经过搅拌后,从中随机取一个小正方体,记它的涂漆面数为X,则X的均值E(X)=( ).

A.126125 B.65 C.168125 D.75

答案:B

解析:由题意可知涂漆面数X的可能取值为0,1,2,3.

由于P(X=0)=27125,P(X=1)=54125,P(X=2)=36125,P(X=3)=8125,

故E(X)=0×27125+1×54125+2×36125+3×8125=150125=65.

10.(2013湖北,理10)已知a为常数,函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点x1,x2(x1

A.f(x1)>0,f(x2)>-12

B.f(x1)<0,f(x2)<-12

C.f(x1)>0,f(x2)<-12

D.f(x1)<0,f(x2)>-12

答案:D

解析:由题意知,函数f(x)=x(ln x-ax)=xln x-ax2有两个极值点,

即f'(x)=ln x+1-2ax=0在区间(0,+∞)上有两个根.

令h(x)=ln x+1-2ax,则h'(x)=1x-2a=-2ax+1x,当a≤0时h'(x)>0,f'(x)在区间(0,+∞)上递增,f'(x)=0不可能有两个正根,

∴a>0.由h'(x)=0,可得x=12a,从而可知h(x)在区间 0,12a 上递增,在区间 12a,+∞ 上递减.因此需h 12a =ln12a+1-1=ln12a>0,即12a>1时满足条件,故当00,

∴x1<1<12a

∴f(x1)f(1)=-a>-12.故选D.

二、填空题:本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分.请将答案填在答题卡对应题．．．．．．号．的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.

4 11.(2013湖北,理11)从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其用电量都在50至350度之间,频率分布直方图如图所示.

(1)直方图中x的值为 ;

(2)在这些用户中,用电量落在区间[100,250)内的户数为 .

答案:(1)0.004 4 (2)70

解析:(1)由频率分布直方图知[200,250)小组的频率为1-(0.002 4+0.003 6+0.006 0+0.002 4+0.001 2)×50=0.22,

于是x=0.2250=0.004 4.

(2)∵数据落在[100,250)内的频率为(0.003 6+0.006 0+0.004 4)×50=0.7,

∴所求户数为0.7×100=70.

12.(2013湖北,理12)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果i= .

答案:5

解析:第一次执行循环体后:a=5,i=2;第二次执行循环体后:a=16,i=3;第三次执行循环体后:a=8,i=4;第四次执行循环体后:a=4,i=5,满足条件,循环结束.输出i=5.

13.(2013湖北,理13)设x,y,z∈R,且满足:x2+y2+z2=1,x+2y+3z= 14,则x+y+z= .

答案:3 147

解析:由柯西不等式得(x2+y2+z2)(12+22+32)≥(x+2y+3z)2当且仅当x1=y2=z3时等号成立,此时y=2x,z=3x.

∵x2+y2+z2=1,x+2y+3z= 14,

∴x= 1414,y=2 1414,z=3 1414.

∴x+y+z=6 1414=3 147.

14.(2013湖北,理14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为n(n+1)2=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:

三角形数 N(n,3)=12n2+12n,

正方形数 N(n,4)=n2,

五边形数 N(n,5)=32n2-12n,

六边形数 N(n,6)=2n2-n,

…… ……

可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=

.

答案:1 000

解析:由题中数据可猜想:含n2项的系数为首项是12,公差是12的等差数列,含n项的系数为首项是12,公差是-12的等差数列,因此N(n,k)= 12+(k-3)12 n2+ 12+(k-3) -12 n=k-22n2+4-k2n.故N(10,24)=11n2-10n=11×102-10×10=1 000.