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《高等数学第三章》PPT课件

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高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt

高等数学第三章第二节洛必达法则课件.ppt

lim f (x) g(x)
是未定式极限 , 如果
f (x) 极限 g ( x)
不存在
,
是否
f (x) g(x)
的极限也不存在
?
举例说明 .
3 2
ln(1 x)～ x
分析:
原式
1
lim
3sin
x
x2
cos
1 x
1
(3
0)
2 x0
x
2
1
3.
6
分析:
பைடு நூலகம்原式
lim
x0
cos
x x
(x sin 2
sin x
求
lim
x
xn ex
(n 0 , 0).
型
n 为正整数的情形.
解:原式 lim
x
nxn1
ex
lim
x
n(n 1)xn2
2 e x
lim
x
n!
n e x
0
说明:
1) 例3 , 例4 表明 x 时,
ln x,
ex ( 0)
后者比前者趋于 更快 .
2) 在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题 . 例如, 用洛必达法则
x)
lim
x0
x
sin x3
x
sin x ～ x
lim cos x 1
x0
lim 1
x0
cos 3x2
x
lim
x0
1 2
x2
3x2
1 6
1
cos
x
～
1 2
x
2
3)
lim f (x) xa F(x)

高等数学第三版第三章课件(每页16张幻灯片)

高等数学第三版第三章课件(每页16张幻灯片)

A
∃ x 0 ∈ (0,1), 使 f ( x 0 ) = 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 ∈ (0,1), x1 ≠ x 0 , 使 f ( x1 ) = 0.
ξ ，使等式
线平行于弦 AB .
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
f ( b ) − f ( a ) = f ' ( ξ )( b − a ) 成立.
= lim
x →0
原式 = lim e
x →0
1 ln x 1− x 1 ln x
=e
1 lim x x → 1 −1
=e .
−1
例11 求 lim+ (cot x )
(∞ )
0
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 取对数得 (cot x )
1 ln x
1 1 − ⋅ 2 1 = lim+ cot x sin x ∵ lim+ ⋅ ln(cot x ) 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
+
解
原式 = lim+ e x ln x = e x → 0+ x →0
lim x ln x
=e
x →0+
1 x
=e
x →0+ −
lim
1 x 1
x2
= e 0 = 1.
20
例10 解
求 lim x
x →1 x →1
1 1− x
.
(1 )
=e
.
=e
ln x x → 11− x lim

《高等数学第三章》ppt课件

《高等数学第三章》ppt课件

中值定理与导数的应用
12
令
S
1 4
(3 x02
64 x0
16
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 217
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
中值定理与导数的应用
13
三、小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
中值定理与导数的应用
16
练习题
一、填空题： 1、最值可_____________处取得. 2、函数 y 2x 3 3x 2 ( 1 x 4)的最大值为____ _____；最小值为__________. 3、函数 y 100 x 2 在[0,8]上的最大值为______ ______；最小值为___________. 4、设有重量为 5kg 的物体，置于水平面上，受力f 的作用而开始移动，摩擦系数 =0.25，问力f 与
0.5公里
s(t ) A
敌我相距函数 s(t)
B
s(t) (0.5 t)2 (4 2t)2
4公里
(2) 求s s(t)的最小值点.
s(t)
5t 7.5 .
(0.5 t)2 (4 2t)2
令s(t) 0,
得唯一驻点 t 1.5.
故得我军从B处发起追击后 1.5 分钟射击最好.
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
套，
每月总收入为
R(
x
)
(
x
20)
50

大一高数上_1完整_第三章ppt课件

大一高数上_1完整_第三章ppt课件
例如, f(x)x22x3(x3 )x (1 ).
在[1,3]上连,续 在 (1,3)内可导 , 且 f( 1 ) f(3 ) 0 ,
f(x ) 2 (x 1 )取 , 精 选1 课,件(1 ( 1 ,3 ))f()0. 2Biblioteka 几何解释:yC
yf(x)
若连续曲线弧的两个
端点的纵坐标相等，
且除去两个端点外处 o a 处有不垂直于横轴的
f(x2)f(x1)。 因此 f(x)在区间I上是一个常数。
精选课件
10
例 2 ． 证 明 当 x > 0 时 ， x l 1 x ) n x 。 ( 1 x
证明：设f(x)ln(1x)，显然f(x)在区间[0, x]上满足
拉格朗日中值定理的条件，根据定理，就有
f(x)f(0)f ()(x0)，0<<x。
在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,且F ' ( x)
在(a, b)内每一点处均不为零，那么在(a, b)内至少
有一点(a b),使等式
f F
(a) (a)
f (b) F (b)
f F
' ()成立. ' ()
Cauchy定理又称为广义微分中值定理
精选课件
12
结构图
特例
推广
lim xn 0.
n x 0
精选课件
21
2. 型
步骤: 11 0 0 . 0 0 00
例8 求lim ( 1 1). x0 sinx x
()
解 原式 lim xsin xlim1coxs x 0 xsin x x 0sin xxcoxs
lim sinx
0.
x0 2cosxxsinx

同济版 高等数学(上册) 第三章课件1

同济版 高等数学(上册) 第三章课件1

f x dx F x C .
式, x 称为积分变量, F x 是 f x 的一个原函数.
不定积分的概念
其中 , 符号 称为 积分号 , 称 f x 为 被积函数 , f x dx 称为 被积表达
6
二、不定积分
第三章 一元函数积分学及其应用
由定义知, 求函数 f ( x) 的不定积分, 就是求 f ( x) 的全体原函数.在 f ( x )dx 中, 积分号 表示对函数 f ( x) 施行求原函数的运算, 故求
x4 dx ; 例6 求不定积分: (6) 2 1 x
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式
4 x4 x 2 1 x 2 1 1 x 1 1 1 2 d x = d x dx dx x 1 1 x2 2 1 x2 2 1 x 1 x x3 x arctanx C . = 3

9
二、不定积分
1 例3 求 dx ( x 1dx ). x 1 解 当 x 0 时, (ln x) ; x
第三章 一元函数积分学及其应用
1 1 (1) . 当 x 0 时, 即 x 0 时, [ln( x)] x x 1 1 故 ln x 为 在 (0, ) 上的一个原函数 , ln( x) 为 在 (, 0) 上的一个原函 x x 数. 故当 x 0 时, ln x 为 1 的一个原函数, 从而 x 1 x dx ln x C ( x 0) .
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)函数积分学及其应用
按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.

《高等数学(上册)》课件 第三章

《高等数学(上册)》课件 第三章

高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例7
求
ln x
lim
x
xn
(n 0)．
解 此题属于“ ”型未定式，应用洛必达法则有
1
xl im ln xnxxl im nxxn1
1 lim
xnxn
0
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
在使用洛必达法则时，应注意如下几点：
0
0
lim f ( x ) g ( x )
lim f ( x ) g (x)
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
推论2 如果对(a,b)内的任意x，均有f ’(x)= g ’(x) ，那么 在(a,b)内f(x)与g(x)之间只差一个常数，即f(x)= g(x) +C〔 C 为 常数〕．
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
高等数学
01 中值定理与洛 必达法那么
02 函数的单调性、 极值与最值
03 函数图形的描绘
例1 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上是否满足拉格朗日 中值定理条件？假设满足，找出点．
解 函数f(x)=1－x2在区间[－1,2]上连续，在(－1,2)上可
导，因此，满足拉格朗日定理的条件，即至少存在一点
ξ ，使

高等数学第三章第八节方程的近似解课件.ppt

高等数学第三章第八节方程的近似解课件.ppt

内容小结
作图法 1. 隔根方法 二分法
二分法 牛顿切线法 2. 求近似根的方法 简化牛顿法
一般迭代法
1 2 x
从区间[a, b]的左端点出发 , 以定步长 h 一步步向右
搜索, 若
f (a jh) f (a ( j 1)h) 0 ( j 0,1,; a ( j 1)h b)
则区间[a jh，a ( j 1)h]内必有根 .
搜索过程也可从 b 开始 , 取步长 h < 0 .
2. 二分法
实根时, 要使误差不超过 103, 至少应对分区间多少次 ? 解: 设 f (x) x3 1.1x2 0.9x 1.4,则 f (x) C(, ) f (x) 3x2 2.2x 0.9 0 ( 5.67 0)
f (x)在(, )单调递增, 又
f (0) 1.4 0, f (1) 1.6 0
f (x0 ) f (x0 )
如此继续下去, 可得求近似根的迭代公式 :
xn
xn1
f (xn1) f (xn1)
(n 1,2,)
称为牛顿迭代公式
牛顿法的变形:
y
(1) 简化牛顿法
若用一常数代替 f (xn1), 即用平行
a
线代替切线, 则得简化牛顿迭代公式. o
bx
例如用 f (x0 ) 代替 f (xn1), 得
故该方程只有一个实根 , [0,1] 为其一个隔根区间, 欲使
n1
1 2n1
(1
0)
103
必需 2n1 1000 , 即 n log210001 8.96
可见只要对分区间9次 ,即可得满足要求的实根近似值10
二、牛顿切线法及其变形
f (x) 满足 :

高等数学第三章第一节中值定理课件.ppt

高等数学第三章第一节中值定理课件.ppt
及 满足 :
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点
使
f (b) f (a) F (b) F (a)
f ( ) . F( )
分析: F(b) F(a) F()(b a) 0 a b
要证 f (b) f (a) F( ) f ( ) 0
且 x0 I , 使 f (x0 ) C0.
自证: arctan x arccot x , x (, )
2
例3. 证明不等式 x ln(1 x) x (x 0). 1 x
证: 设 f (t) ln(1 t) ,
中值定理条件, 因此应有
即 因为
故
三、柯西(Cauchy)中值定理
即
2. 设 f (x) 0 , f (0) 0 证明对任意 x1 0, x2 0 有
f (x1 x2 ) f (x1) f (x2 ) 证：不妨设 0 x1 x2
f (x1 x2) f (x2) f (x1)
f (x1 x2) f (x2) f (x1) f (0)
上面两式相比即得结论. 错!
柯西定理的几何意义:
弦的斜率 切线斜率
注意:
x F (t)
y
f
(t)
d y f (t) d x F(t)
y
f (b)
f (a)
o F(a)F( )
F (b) x
例4. 设
至少存在一点
使
证: 结论可变形为
证明
设 F (x) x2, 则 f (x), F(x) 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 , 使

高数课件第三章

高数课件第三章

y arccot x
幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反 三角函数统称为基本初等函数.
二、初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算 和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子 表示的函数,称为初等函数.
y log a x
(1,0)

(a 1)
y log 1 x
a
4、三角函数 正弦函数 y sin x
y sin x
余弦函数 y cos x
y cos x
正切函数 y tan x
y tan x
余切函数 y cot x
y cot x
正割函数 y sec x
y sec xsc x
5、反三角函数
反正弦函数 y arcsin x
y arcsin x
反余弦函数 y arccos x
y arccos x
反正切函数 y arctan x
y arctan x
反余切函数 y arccot x
第三节 初等函数
一、基本初等函数
1、 幂函数 y x

(是常数)
y x
(1,1)
y
y x2
1
y
x
o
1 y x
1
x
2、指数函数
1 x y( ) a
y ax
(a 0, a 1)
y ex
y ax
(a 1)

(0,1)
3、对数函数 y log a x
(a 0, a 1) y ln x

高等数学第三章第三节泰勒公式课件.ppt

高等数学第三章第三节泰勒公式课件.ppt

当在 x0 的某邻域内 f (n1) (x) M 时
Rn (x)
M (n 1)!
x
x0
n1
Rn (x) o((x x0 )n ) (x x0 )
泰勒中值定理 :
阶的导数 , 则当
时, 有
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 n!
)
(
x
பைடு நூலகம்
x0
f
(x)
f
(x0 )
f
(x0 )(x x0 )
f
( )
2 (!
(x x0 )2
在 x0 与x
之间)
误差
( 在 x0 与x 之间) d f
在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .
2. 常用函数的麦克劳林公式 ( P140 ~ P142 )
ex , ln(1 x), sin x, cos x, (1 x)
3. 泰勒公式的应用 (1) 近似计算
(2) 利用多项式逼近函数 , 例如 sin x
(3) 其他应用
求极限.
思考与练习
计算
解: ex2 1 x2 1 x4 o(x4 ) 2!
由此得近似公式
f (x) f (0) f (0)x
若在f (公x) 式 成f (立x0的) 区f间(x上0 )(
x f
f (nx10)
()2x(!0) )fx22M(x!0,则) (x有误fx(0nn差))!(20估) 计xn式

高等数学-第3章课件

高等数学-第3章课件

第二节 洛必达法则
如果当 x a (或 x ) 时，两个函数 f (x) 与 F(x) 都趋于零或都趋于无穷大,那么 极限 lim f (x) 可能存在,也可能不存在.通常
xa F(x)
( x )
把这种极限称为 0 或 型未定式. 0
一、0 型未定式 0
定理3.2.1 (洛必达法则)
(1) lim f (x) lim g(x) 0 ;
第三节 函数单调性的判定法
定理3.3. 1 (函数单调性的判别法) 设函数 y=f (x)在开区间(a,b)的内可导，则 (1) 如果在(a,b)的内恒有 f'(x) >0 ,则函数 y=f(x)在 (a,b)的上单调增加; (2) 如果在(a,b)的内恒有 f'(x) <0 ,则函数 y=f(x)在 (a,b)的上单调减少.
第五节 函数曲线 y=f(x)在区间(a,b)内各点均有切线. 如果曲线弧总位于切线的上方，则称曲线 y=f(x)在 (a,b)内是凹弧或凹的，也称(a,b)为曲线 y=f(x)的凹区间. 如果曲线弧总位于切线的下方，则称曲线 y=f(x)在 (a,b)内是凸弧或凸的，也称(a,b)为曲线 y=f(x)的凸区间.
函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与 极小值点统称为极值点.
定理3.4.1 (极值存在的必要条件) 若函数 f(x) 在点 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则 必有 f'(x0) =0 . 定义3.4.2 使导数 f'(x)等于零的点 x0 ,称为函数 f(x)的驻点.
定理3.4.2 (极值存在的第一充分条件)
二、拉格朗日中值定理
定理3.1.2 (拉格朗日中值定理) 若函数 f(x) 满足: (1) 在闭区间[a,b]上连续; (2) 在开区间(a,b)内可导; 则在(a,b)的内至少存在一点 ξ ,使得 f(b) - f(a)= f'(ξ )(b-a)

高职课件《高等数学》第三章导数的应用课件

高职课件《高等数学》第三章导数的应用课件

a
ab
例3.1.4
当x
0,
π 2
时，证明不等式
x
tanx
x cos2 x
。
解 将不等式化为1
tanx 1 x cos2x
，其中
tanx x
tanx tan0 x0
。显然，设
f
x tanx
，
由于x
0,
2
，则函数在
0, x 上连续。又因为
f
'
x
1 cos2
x
， 则函数在 0, x 内可导。故函数在 0, x 内至少存在
x
lnx
x 12
。
lnx'
解 原式 lim
lim
1
0
x x 12 ' x 2x(x 1)
0 注意：洛必达法则Ⅱ与Ⅰ使用方法相同，但只适用于0 和 型的极限，
每做一步都要检验是否为此两种类型之一，否则是不能使用洛必达
法则的。 另外，有时也会出现两个法则同时使用的情况。
f 'x
此外，当洛必达法则的第三个条件
证 设f x ax3 bx2 cx ，则 f x在 0, x0 上连续，且 f ' x 3ax2 2bx c 在 0, x0 内存在， f 0 f x0 ，函数 f x满足 罗尔定理的条件，故在 0, x0 内至少存在一点 ，使得
f ' 3a 2 2b c 0
用
如下变换进行转化:
由于
f
x
e gx
lnf xgx
egx lnf x
，
所以
lim f
x
gx
lim elnf xgx
lim g x lnf x

专升本-高等数学--第三章-PPT

专升本-高等数学--第三章-PPT

Δx0
Δx Δx0
Δx0
Δx
由此可见，曲线 y f (x)在点M 0处的纵坐标 y 的增量
Δ y 与横坐标 x的增量Δx之比，当 x 0 时的极限即为
曲线在M 0点处的切线斜率.
二、导数的概念
1.导数的定义
设函数 y f (x)在点 x0的某一邻域内有定义，当自
变量 x在 x0处有增量Δx(Δx 0, x0 Δx仍在该邻域内)时，
Q (t0 )
细杆 质量
的线 m m(x) Δm m(x0 Δx) m(x0)
密度
Δx
Δx
(x0
)
lim
Δx0
m(
x0
Δx) Δx
m(x0
)
边际
成本 总成本 模型 C C(x)
ΔC C(x Δx) C(x)
Δx
Δx
C(x) limΔC limC(xΔx)C(x)
Δx Δx0
Δx0
即在 x 处连续的函数未必在 x 处可导.
例如，函数 y
x
x, x 0,
x,
x
0
显然在
x 0 处连续，
但是在该点不可导.
因为y f (0 x) f (x) x ,
所以在x 0 点的右导数:
f (0)
lim
x0
y x
lim x0
x x
x lim x0 x
1.
而左导数是:
f (0)
2.若lim xa
f (x) f (a) xa
A（A 为常数），试判断下列命
题是否正确.
（1） f (x)在点 x=a 处可导；
（2） f (x)在点 x=a 处连续；
（3） f (x) f (a) A(x a) o(x a).

中山大学《高等数学》课件-第三章

中山大学《高等数学》课件-第三章

6. 导数的应用
(1) 求极限； (2) 证明不等式； (3) 判别方程的根； (4) 几何应用
1) 切线与法线； 2) 平面曲线的曲率、曲率圆与曲率半径； 3) 三点 (极值点、最值点、拐点); 4) 两性 (单调性、凹凸性); 5) 一线 (渐近线). (5) 物理应用
四个重要定理的关系图
柯西定理
例6 分析：
例6 证明：
例 证：
f (x) 在（0，+ ）上单调增加，故当 x > 0 时，必有
亦即
//
第三章及习题选讲
知识结构图
关 系
导数
基本公式 高阶导数
微微 分分
几何意义
求导法则
常见函数求导 求导的应用 中值定理及应用
Cauchy 中值定理
洛必达法则
Lagrange 中值定理
Taylor 中值定理
Rolle 定理
常用的 泰勒公式
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
拉格朗日
罗尔定理
泰勒中值定理
麦克劳林展开
二、重点、难点及易错点解析
（一）、 导数定义的充分性分析
说明：
（二）、利用罗尔定理证明的问题 (1)适用范围
(2)构造辅助函数的常规方法 1)逐项还原法
(2)构造辅助函数的常规方法 1)逐项还原法
2)组合还原法 3)两端同乘除因子、同加减因子后再组合
3)两端同乘除因子、同加减因子后再组合
（三） 利用微分法证明不等式问题方法分析 1、利用单调性
1、利用单调性
2、利用函数的最值
3、利用中值定理
3、利用中值定理
注意：此题也可用单调性证明

《高等数学》 课件 高等数学第三章

《高等数学》 课件 高等数学第三章

（2）f
(x)
3
3
2 x
，当x 1
1时，f
(x)不存在.
（3）列表，点x 1将定义域分为三个小区间：(∞，1，) (1， ∞， ) 如表所示．
x0
1 x0
1 x0
x0
x
x2
例10 求 lim( 1 1．)
x0 sin x x
解 ∞ ∞型未定式，所以
lim( 1 1 ) lim x sin x lim 1 cos x lim
sin x
0.
x0 sin x x
x0 x sin x
x0 sin x x cos x
2 x0 cos x cos x x sin x 洛必达法则
高等数学 第三章. 第一节
第4 页
定理1 拉格朗日〔 Lagrange 〕中值定理
如果函数y f (x)满足下列条件：
（1）在闭区间a, b 上连续；
（2）在开区间(a, b)内可导，
则在开区间(a, b)内至少存在一点 (a b，) 使得函数y f (x)
在该点的导数满足等式
f ( ) f (b) f (a) 或
x
x2
2 洛必达法则
高等数学 第三章. 第二节
第 18 页
例5 求 lim x cos x．
x∞ x sin x
解 0 型未定式，由于对分子、分母同时求导后的极
0
限 lim 1 sin x 不存在， 所以不能用洛必达法则求解. x∞ 1 cos x
事实上，lim
x
cos
x
lim
1
1 x
cos
高等数学 第三章. 第二节
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例11 求 lim x．x x0
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注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值)
h
3
二、应用举例
例1 求函y数 2x33x212x14的[在 3,4] 上的最大值 . 与最小值
解 f ( x ) 6 ( x 2 )x ( 1 )
解方 f(x) 程 0 ,得x 1 2 ,x 21 .
计算 f(3)23;
h
19
练习题答案
一 、 1、 区 间 端 点 及 极 值 点 ；
2 、 最 大 值 y ( 4 ) 80 , 最 小 值 y ( 1 ) 5 ；
3 、 1 0 , 6 ； 4 、 arctan , f
3
V
R3 24 2
4 2 4 6 ,(0,2 ).
解 设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x11080
套，
每月总收入为
R(x)
(x2)050
x11080
h
9
R(x)(x2)068 1x0
R (x) 6 8 1 x 0 (x2) 0 1 1 0 70
x 5
R(x)0 x35（0唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高。
最大收入为R(x)(350 2)068 31500 108(元 90 )
s(16) 8 0. s(16)409为 6 极大 . 值
3
3 217
故s(16)409为 6 所有三角形 最中 大.面 者积 3 27
h
13
三、小结
注意最值与极值的区别. 最值是整体概念而极值是局部概念. 实际问题求最值的步骤.
h
14
思考题
若 f (a)是f (x)在[a,b]上的最大值或最 小值，且f (a)存在，是否一定有f (a) 0？
二 、 x 3 时 函数有最小值 27.
三 、14.
四、 r 3 v , h 23 v ;
2
2
五、(2a, 4a2). 39
d : h 1 :1.
h
20
h
10
例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围 成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点， 使曲线在该点 处的切线与直 线 y0及 x8 所围成的三角 形面积最大．
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h
11
解 如图,
y
设所求切P(点 x0,y为 0),
则切P线 T 为
o
y y 0 2 x 0 (x x 0 ),
得唯一驻点 t1.5.
故得我 B处军 发从 起 1.5追 分击 钟后 射 . 击
h
7
实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数;
(2)求最值; 若目标函数只有 点唯 ，一 则驻 该点的 函数值即为所(或 求最 的)小 值 最．
h
8
例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定 为每月180元时，公寓会全部租出去．当租 金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去， 而租出去的房子每月需花费20元的整修维护 费．试问房租定为多少可获得最大收入？
h
17
5、从一块半径为 R 的圆缺片上挖去一个扇形做成一个
漏 斗 ， 问 留 下 的 扇 形 的 中 心 角 为 _________ 时 ， 做
成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为
________________ 考 察 区 间 为 ________ _______.
二 、求函数 y x 2 54 ( x 0 )的最值 . x
P
A
T B
Cx
y0 x02, A(12x0, 0), C(8, 0), B (8,1x 6 0x0 2)
S AB 1 2 C (8 1 2x 0)1 (x 0 6 x 0 2) (0x08)
h
12
令 S 1 4 (3 x 0 2 6x 0 4 1 1 6) 6 0 , 解得 x0136 , x016(舍)去 .
一、最值的求法
若函数 f(x)在[a,b]上连续，除个处 别可 点导 外， 处 并且至多有有为 限零 个的 导点 数f， (x)在 则[a,b] 上的最大值与在 最. 小值存
y
y
y
oa
bx o a
bx oa
h
bx
2
步骤:
1.求驻点和不可导点;
2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值;
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h
6
解 (1)建立敌我相距函数关系
设t 为我军从 B处发起
s(t )
A
追击至射击的(时 分)间. 0.5公里
敌我相距函数 s(t )
B
s (t)(0 .5 t)2 (4 2 t)2 4公里
(2)求ss(t)的最小.值点
s(t)
5t7.5
.
(0.5t)2(42t)2
令 s(t)0,
三
、
求
数
列
n 10 2n
的
最
大
项
.
四、要造一圆柱形油灌，体积为 V ，问底半径 r 和高
h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与
高的比是多少？
h
18
五、由yx2,y0 , xa(a0)围成一曲边三角形 OA， B在曲线弧OB上求一点，使得过此点所作曲 线yx2的切线与OA， OB围成的三角形面积最大.
f(2)34;
f(1)7 ;
f(4)142;
h
4
y2 x 33 x 2 1x 2 14
比较得 最大 f(4)值 14 ， 最 2 小 f(1值 )7.
h
5
例2 敌人乘汽车从河的北岸A处以1千米/分钟 的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的 南岸B处向正东追击， 速度为2千米/分钟． 问我军摩托车何 时射击最好（相 距最近射击最好）？
h
15
思考题解答
结论不成立. 因为最值点不一定是内点.
例 yf(x)x x[0,1] 在 x0有最小值，但 f(0)10
h
16
练习题
一、填空题： 1、 最 值 可 _____________处 取 得 . 2、函数 y 2 x 3 3 x 2 ( 1 x 4)的最大值为____ _____； 最 小 值 为 __________. 3 、 函 数 y 100 x 2 在 [0,8]上 的 最 大 值 为 ______ ______； 最 小 值 为 ___________. 4 、 设 有 重 量 为 5kg 的 物 体 ， 置 于 水 平 面 上 ， 受 力f 的 作 用 而 开 始 移 动 ， 摩 擦 系 数 =0.25 ， 问 力f 与 水 平 线 的 交 角 为 _____ 时 ， 才 可 使 力f 的 大 小 为 最 小 ， 则 此 问 题 的 目 标 函 数 为 ______________， 讨 论 区 间 为 _____________.