非常好的定积分与微积分基本定理复习讲义

定积分与微积分基本定理复习讲义

[备考方向要明了]

考

什

么 怎 么 考

1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．

2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题．

2.考查简单定积分的求解．

3.考查曲边梯形面积的求解．

4.与几何概型相结合考查．

[归纳·知识整合]

1．定积分

(1)定积分的相关概念：在∫baf(x)dx中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．

(2)定积分的几何意义

①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫baf(x)dx的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．

②一般情况下，定积分∫baf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．

(3)定积分的基本性质： ①∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx.

②∫ba[f1(x)±f2(x)]dx＝∫baf1(x)dx±∫baf2(x)dx.

③∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx.

[探究] 1.若积分变量为t，则∫baf(x)dx与∫baf(t)dt是否相等

提示：相等．

2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗

提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．

3．定积分∫ba[f(x)－g(x)]dx(f(x)>g(x))的几何意义是什么

提示：由直线x＝a，x＝b和曲线y＝f(x)，y＝g(x)所围成的曲边梯形的面积．

2．微积分基本定理：如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么∫baf(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式． 为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)|ba，即 ∫baf(x)dx＝F(x)|ba＝F(b)－F(a)．

课前预测：

421xdx等于( )

A．2ln 2 B．－2ln 2 C．－ln 2 D．ln 2

2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V(t)＝t2－t＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )

3．(教材习题改编)直线x＝0，x＝2，y＝0与曲线y＝x2所围成的曲边梯形的面积为________．

4．(教材改编题)∫101－x2dx＝________.

5．由y＝1x，直线y＝－x＋52所围成的封闭图形的面积为________

考点一 利用微积分基本定理求定积分

[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：

(1)∫21(x2＋2x＋1)dx；(2)∫π0(sin x－cos x)dx；

(3)∫20x(x＋1)dx；(4)∫21e2x＋1xdx； (5)20 sin2x2dx.

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求定积分的一般步骤：

(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；

(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；

(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；

(4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值；

(5)计算原始定积分的值．

强化训练：

1．求下列定积分：(1)∫20|x－1|dx；(2) 201－sin 2xdx.

考点二 利用定积分的几何意义求定积分

[例2] ∫10－x2＋2xdx＝________. 变式：在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2xdx的值．

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利用几何意义求定积分的方法

(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．

(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．

强化训练：

2．(2014·福建模拟)已知函数f(x)＝∫x0(cos t－sin t)dt(x>0)，则f(x)的最大值为________．

考点三：利用定积分求平面图形的面积

[例3] (2014·山东高考)由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为( )

A.103 B．4 D．6

变式训练：

若将“y＝x－2”改为“y＝－x＋2”，将“y轴”改为“x轴”，如何求解

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利用定积分求曲边梯形面积的步骤

(1)画出曲线的草图．

(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限．

(3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差．

(4)计算定积分，写出答案． 强化训练：

3．(2014·郑州模拟)如图，曲线y＝x2和直线x＝0，

x＝1，y＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )

考点四：定积分在物理中的应用

[例4] 列车以72 km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度a＝－

m/s2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动

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1．变速直线运动问题

如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≥0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为∫bav(t)dt；如果做变速直线运动的物体的速度v关于时间t的函数是v＝v(t)(v(t)≤0)，那么物体从时刻t＝a到t＝b所经过的路程为－∫bav(t)dt.

2．变力做功问题

物体在变力F(x)的作用下，沿与力F(x)相同方向从x＝a到x＝b所做的功为∫baF(x)dx.

强化训练：

4．一物体在力F(x)＝ 10 0≤x≤23x＋4 x>2(单位：N)的作用下沿与力F(x)相同的方向运动了4米，力F(x)做功为( )

A．44 J B．46 J C．48 J D．50 J

1个定理——微积分基本定理 由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．

3条性质——定积分的性质

(1)常数可提到积分号外；(2)和差的积分等于积分的和差；

(3)积分可分段进行．

3个注意——定积分的计算应注意的问题

(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量；

(2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限；

(3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.

易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点

[典例] (2013·上海高考)已知函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A(0,0)，B12，5，C(1,0)．函数y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________．

[易误辨析]

1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．

2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．

3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题：

(1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形；

(2)准确确定被积函数和积分变量．

变式训练：1．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为( )

2．(2014·山东高考)设a>0.若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.

定积分与微积分基本定理检测题

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

e11＋ln xxdx＝( )

A．ln x＋12ln2x －1

2．(2012·湖北高考)已知二次函数y＝f(x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为( )

3．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若∫30f(x)dx＝3f(x0)，则x0等于( )

A．±1 C．±3 D．2

4．设f(x)＝ x2， x∈[0，1]，2－x， x∈1，2]，则∫20f(x)dx＝( )

D．不存在

5．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t秒时刻的速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )

m m m m

6．(2013·青岛模拟)由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为( )

B．1

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

7．设a＝∫π0sin

xdx，则曲线y＝f(x)＝xax＋ax－2在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．

8．在等比数列{an}中，首项a1＝23，a4＝∫41(1＋2x)dx，则该数列的前5项之和S5等于________．

9．(2013·孝感模拟)已知a∈0，π2，则当∫a0(cos x－sin x)dx取最大值时，a＝________.

三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)

10．计算下列定积分：

(1)20 sin2xdx； (2)∫32x＋1x2dx； (3)120e2xdx.

11．如图所示，直线y＝kx分抛物线y＝x－x2与x轴所围图形为面积相等的两部分，求k的值．

12．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线y＝x2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线y＝x2及直线x＝2围成图形的面积为S2，若S1＝S2，求点P的坐标．

备选习题

1．一物体做变速直线运动，其v－t曲线如图所示，则该物体在12 s～6 s间的运动路程为________．

2．计算下列定积分：

(1)31 (3x2－2x＋1)dx； (2)∫e1x＋1x＋1x2dx.

3．求曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成图形的面积．

4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)满